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第03講 向量的數量積
考點1：平面向量的數量積
(1) 已知兩個非零向量和，作＝，＝，∠AOB＝θ(0≤θ≤)叫作向量與的夾角．記作，并規定.如果與的夾角是，就稱與垂直，記為.
(2) ||| |cos 叫作與的數量積(或內積)，記作,即＝| || |cos .
規定：零向量與任一向量的數量積為0.兩個非零向量與垂直的充要條件是=0.
兩個非零向量與平行的充要條件是＝| || |.
考點2：平面向量數量積的幾何意義
數量積等于的長度| |與在方向上的射影| |cos θ的乘積．即＝| || |cos θ.( 在方向上的射影| |cos θ;在方向上的射影| |cosθ).
考點3：平面向量數量積的重要性質
性質1 .
性質2
性質3 當與同向時；當當與反向時.
或.
性質4
性質5
注意：利用向量數量積的性質2可以解決有關垂直問題；利用性質3可以求向量長度；利用性質4可以求兩向量夾角；利用性質5可解決不等式問題.
考點4：平面向量數量積滿足的運算律
（1）（交換律）；
（2）為實數）；
（3）（分配律）。
數量積運算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結合律，不可約分
.
【題型1 向量的投影】
【典例1】向量，夾角為，且，|，則在方向上的投影的數量等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】根據數量積的幾何意義，投影向量的公式可求.
【詳解】由題意，在方向上的投影的數量等于.
故選：D
【變式1-1】已知，，，則在方向上的投影向量是 .
【答案】
【分析】設與方向相同的單位向量為， 則在方向上的投影向量與共線，可用表示,由已知表示單位向量，并求出可得所求向量.
【詳解】設與方向相同的單位向量為，則，
則在方向上的投影向量為.
故答案為：.
【變式1-2】如圖所示，求出以下向量的數量積．

(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)1
(2)0
(3)
【分析】（1）（2）根據圖得到向量夾角及向量的模，利用數量積公式計算；
（3）根據向量在向量上投影的數量計算.
【詳解】（1）圖可知，
因此
（2）由圖可知，，因此0．
（3）由圖可知，向量在向量上的投影的數量為，且為單位向量，因此根據向量數量積的幾何意義可知．
【變式1-3】已知與的夾角為.
(1)求；
(2)求在上的投影向量的模長.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由平面向量數量積的定義即可求得答案；
（2）先求出在上投影，進而求出投影向量的模長.
【詳解】（1）.
（2）因為，所以在上的投影向量的模長為.
【題型2 向量數量積的計算】
【典例2】已知向量與的夾角為，且，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)12
【分析】(1)利用向量數量積的定義直接求解即可.
(2)利用向量數量積的運算律，求解即可.
【詳解】（1）由已知得
（2）．
【變式2-1】已知，，與的夾角為，計算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據數量積的運算律計算可得；
（2）根據數量積的定義求出，再由數量積的運算律計算可得.
【詳解】（1）因為，，
所以.
（2）因為，，與的夾角為，
所以，
所以.
【變式2-2】已知向量，，與的夾角為.求
(1)
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）根據數量積的定義運算求解；
（2）根據向量模長公式結合數量積的運算律運算求解；
（3）根據數量積的運算律運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：.
（2）由題意可得：.
（3）由題意可得：.
【題型3求向量的夾角(夾角的余弦值)】
【典例3】已知向量，滿足，，.
(1)求；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，然后根據向量的夾角公式求解；
（2）先表示出，然后根據數量積的定義求解.
【詳解】（1）因為，所以，，
所以，.
（2）因為，所以，，
所以，邊的長度為.
【變式3-1】已知，，，求與的夾角．
【答案】
【分析】根據已知模長、數量積，應用向量夾角公式求夾角即可.
【詳解】由，而，
所以.
【變式3-2】已知，，.
(1)求；
(2)求向量與的夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩個向量的數量積的運算法則，以及求向量的模的方法，求出；
（2）設向量與的夾角的夾角為，根據兩個向量的夾角公式，求出的值.
【詳解】（1）已知，，
，
，
；
（2）設向量與的夾角的夾角為，
則，
向量與的夾角的余弦值為.
【變式3-3】已知向量與的夾角，且，.
(1)求與的夾角的余弦值.
(2)若，求在上的投影向量的坐標.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由數量積公式計算出，對平方再開方求出；設與的夾角為，再由向量的夾角公式計算可得答案；
（2）根據投影向量公式直接計算可得答案.
【詳解】（1）由已知，得，
；
設與的夾角為，
則，
因此，與的夾角的余弦值為；
（2）因為，
所以在上的投影向量為
.
【題型4 已知向量的夾角求參數】
【典例4】已知，，與的夾角是.
(1)計算；
(2)當k為何值時，？
【答案】(1)
(2)
【分析】根據數量積的計算規則計算.
【詳解】（1），，與的夾角是，
則，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.則當k為時，；、
綜上，（1），（2）.
【變式4-1】已知的夾角為，
(1)求的值；
(2)當為何值時，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的數量積公式及向量的模公式即可求解；
（2）根據（1）的結論及向量垂直的條件即可求解.
【詳解】（1）因為的夾角為，
所以.
所以.
（2）由（1）知，，，
因為，
所以，即，
所以，解得.
所以當時，.
【變式4-2】設向量，滿足，，滿足．
(1)判斷與能否垂直；
(2)若與的夾角為，求實數的值．
【答案】(1)與不垂直
(2)
【分析】（1）根據題意結合數量積的運算律可得，結合向量垂直分析判斷；
（2）根據數量積的定義可得，運算求解即可.
【詳解】（1）∵，即，
整理得，
又∵，即，則，
整理得，
注意到，則，
故與不垂直.
（2）若與的夾角為，則，
則，解得，
故實數的值為.
【變式4-3】如圖，在平行四邊形中，，垂足為.
(1)若，求的長；
(2)設，求的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用線性運算將轉化為，然后根據和得到，然后求即可；
（2）根據三點共線得到，根據數量積公式得到，，即可得到，然后解方程即可.
【詳解】（1）在平行四邊形中，，垂足為，
，
，
解得，故長為2.
（2），且三點共線，
①，
又，
則，
由可知，
展開，化簡得到②
聯立①②解得，故.
【題型5 向量的?！?br/>【典例5】已知平面向量滿足．
(1)求與的夾角；
(2)求在方向上的投影向量的模．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由兩邊平方化簡結合已知條件可得，再利用向量的夾角公式可求得答案，
（2）先求出，再利用向量數量積的幾何意義可求得結果
【詳解】（1）∵
，
∵，
∴
解得
，
，
（2）
∵，
∴，
在方向上的投影向量的模為：
【變式5-1】已知，，且向量與的夾角為，則向量的模為 .
【答案】
【分析】先根據平面向量數量積的運算計算，再求即可.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：
【變式5-2】已知非零向量滿足，且，則向量的模長為 ．
【答案】
【分析】將兩邊平方并化簡，進而結合即可求得答案.
【詳解】設的夾角為，因為，
所以，
所以．
故答案為：．
【變式5-3】已知非零向量，滿足=2，則向量的模是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據向量的模長公式直接計算即可.
【詳解】由已知得，
故，
所以，
故選：D
【題型6 向量數量積的最值問題】
【典例6】已知向量，滿足，，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根據向量數量積的運算性質，可得答案.
【詳解】因為，所以，即，
整理得，
又，所以，即，
所以，即，又，
所以當與反向時，取得最大值，且最大值為.
故選：D.
【變式6-1】若，且，則的最大值為 .
【答案】
【分析】將分解計算，利用向量數量積的運算即可得解.
【詳解】
.
故答案為：.
【變式6-2】已知向量滿足，則的最大值是 ，最大值是 ．
【答案】 3
【分析】綜合應用平面向量的數量積和三角函數的知識即可解決.
【詳解】設向量的夾角為，，因為，
所以，
故的最大值是3；
同理，所以，
則，因為，所以，故.
因為，所以，故最大值是.
故答案為：3；.
【變式6-3】如圖，是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，若，，點M為線段上的動點，則的最大值為（ ）

A． B． C．6 D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量的線性表示和數量積，轉化為函數的最值問題求解.
【詳解】根據題意可得，，
所以，
又因為，
所以,，
設,則，
所以，
，
所以
，
令，
當單調遞增，單調遞減，
當，取最大值為.
故選：D
一、單選題
1．在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據平面向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】∵，向量與的夾角為120°，
∴.
故選：D
2．已知，，且，的夾角為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據向量的減法運算可得，平方后結合數量積的運算，即可求得答案.
【詳解】由題意得，所以
，
故，
故選：D
3．若向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量數量積的運算求得，結合投影向量的定義進行求解即可.
【詳解】因為，所以，
又，，所以，
則在上的投影向量為.
故選：A．
4．設向量，滿足，，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用的平方與的平方之間的關系求解.
【詳解】因為，，
以上兩式相減，可得，即，
所以.
故選：B
5．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據數量積的運算律及向量夾角的運算公式求解.
【詳解】解：因為，
所以，
設與的夾角為，
所以，
所以.
故選：D
6．在中，滿足，，，則（ ）
A． B．0 C．25 D．65
【答案】C
【分析】先判斷三角形是直角三角形，再結合向量線性運算與數量積運算知識進行計算即可.
【詳解】如圖所示，
因為在中，滿足，，，
所以，即，
所以.
故選：C
7．已知單位向量與單位向量的夾角為，則（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】根據向量數量積定義將平方即可計算得出其模長.
【詳解】由題意可知，
則，
可得.
故選：D
8．已知向量滿足，，，則（ ）
A． B． C．5 D．20
【答案】B
【分析】先根據，求出，再求，即可求.
【詳解】因為，所以，所以，
所以.
故選：B.
9．已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用向量數量積與模長關系結合二次函數的性質計算即可.
【詳解】因為，
所以，當且僅當時，等號成立.
故選：B
10．中，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據數量積求解，，進而求解三角形的面積.
【詳解】因為，
所以，
則.
故選：A.
11．已知為單位向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量數積量運算法則求得，再利用向量夾角余弦公式即可得解.
【詳解】因為為單位向量，，
所以，則，
所以.
故選：D.
二、填空題
12．設向量，，若，則 ．
【答案】
【分析】根據，利用數量積的坐標運算求解.
【詳解】解：因為向量，，
所以，
又因為，
所以 ，
解得 ，
故答案為：-3
13．已知為平面向量，．若在方向上的投影向量為，則 .
【答案】
【分析】先設的夾角為，由在方向上的投影向量為，求得，進而求得的值，則可求得.
【詳解】設的夾角為，
因為在方向上的投影向量為，，
所以，得．
從而.
.
故答案為：.
14．在中，，若，則 ．
【答案】0
【分析】根據向量線性運算得，利用向量數量積運算可得解.
【詳解】，
，
又，即，
.
故答案為：0.
15．已知向量與向量滿足：，，且與的夾角為，則 ．
【答案】2
【分析】由向量模、數量積公式先求出，再由公式即可得解.
【詳解】由題意，，
所以 .
故答案為：2.
16．已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則 .
【答案】/
【分析】計算出的值，由已知可得出，利用平面向量數量積的運算性質可求出的值.
【詳解】因為，，與的夾角為，
所以.
由，
得，
解得.
故答案為：.
17．已知向量滿足，，，則與的夾角為 ．
【答案】
【分析】利用模長的平方等于向量的平方和向量數量積運算法則求解即可.
【詳解】因為，，，
所以，解得，
所以，
又，故.
故答案為：.
三、解答題
18．，的夾角為，，.
(1)求；
(2)若與互相垂直，求
【答案】(1)7
(2).
【分析】（1）利用，展開后代入數量積公式求得答案；
（2）由與互相垂直，得，展開后化為關于的方程求解.
【詳解】（1），的夾角為，，，
.
故.
（2）若與互相垂直，則，
即.
所以，整理得，
即，解得.
19．已知向量與的夾角為，且，．向量與共線，
(1)求實數的值；
(2)求向量與的夾角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據共線向量定理，即可求解；
（2）根據向量夾角公式，，再代入數量積的運算公式，即可求解.
【詳解】（1）若向量與共線，
則存在實數，使得，
則，則；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
所以，且，
所以.
20．已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P.記，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根據平面向量基本定理，結合平面向量的線性運算定義進行求解即可；
（2）根據平面向量垂直的性質，結合平面向量數量積的運算性質和定義進行求解即可.
【詳解】（1），
；
（2）因為，所以，
因為，，
所以，
把代入式，得，
.第03講 向量的數量積
考點1：平面向量的數量積
(1) 已知兩個非零向量和，作＝，＝，∠AOB＝θ(0≤θ≤)叫作向量與的夾角．記作，并規定.如果與的夾角是，就稱與垂直，記為.
(2) ||| |cos 叫作與的數量積(或內積)，記作,即＝| || |cos .
規定：零向量與任一向量的數量積為0.兩個非零向量與垂直的充要條件是=0.
兩個非零向量與平行的充要條件是＝| || |.
考點2：平面向量數量積的幾何意義
數量積等于的長度| |與在方向上的射影| |cos θ的乘積．即＝| || |cos θ.( 在方向上的射影| |cos θ;在方向上的射影| |cosθ).
考點3：平面向量數量積的重要性質
性質1 .
性質2
性質3 當與同向時；當當與反向時.
或.
性質4
性質5
注意：利用向量數量積的性質2可以解決有關垂直問題；利用性質3可以求向量長度；利用性質4可以求兩向量夾角；利用性質5可解決不等式問題.
考點4：平面向量數量積滿足的運算律
（1）（交換律）；
（2）為實數）；
（3）（分配律）。
數量積運算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結合律，不可約分
.
【題型1 向量的投影】
【典例1】向量，夾角為，且，|，則在方向上的投影的數量等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【變式1-1】已知，，，則在方向上的投影向量是 .
【變式1-2】如圖所示，求出以下向量的數量積．

(1)； (2)； (3)．
【變式1-3】已知與的夾角為.
(1)求；
(2)求在上的投影向量的模長.
【題型2 向量數量積的計算】
【典例2】已知向量與的夾角為，且，求：
(1)；
(2)
【變式2-1】已知，，與的夾角為，計算下列各式：
(1)；
(2)．
【變式2-2】已知向量，，與的夾角為.求
(1)
(2)求；
(3)求.
【題型3求向量的夾角(夾角的余弦值)】
【典例3】已知向量，滿足，，.
(1)求；
(2)若，，求.
【變式3-1】已知，，，求與的夾角．
【變式3-2】已知，，.
(1)求；
(2)求向量與的夾角的余弦值.
【變式3-3】已知向量與的夾角，且，.
(1)求與的夾角的余弦值.
(2)若，求在上的投影向量的坐標.
【題型4 已知向量的夾角求參數】
【典例4】已知，，與的夾角是.
(1)計算；
(2)當k為何值時，？
【變式4-1】已知的夾角為，
(1)求的值；
(2)當為何值時，.
【變式4-2】設向量，滿足，，滿足．
(1)判斷與能否垂直；
(2)若與的夾角為，求實數的值．
【變式4-3】如圖，在平行四邊形中，，垂足為.
(1)若，求的長；
(2)設，求的值.
【題型5 向量的?！?br/>【典例5】已知平面向量滿足．
(1)求與的夾角；
(2)求在方向上的投影向量的模．
【變式5-1】已知，，且向量與的夾角為，則向量的模為 .
【變式5-2】已知非零向量滿足，且，則向量的模長為 ．
【變式5-3】已知非零向量，滿足=2，則向量的模是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【題型6 向量數量積的最值問題】
【典例6】已知向量，滿足，，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【變式6-1】若，且，則的最大值為 .
【變式6-2】已知向量滿足，則的最大值是 ，最大值是 ．
【變式6-3】如圖，是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，若，，點M為線段上的動點，則的最大值為（ ）

A． B． C．6 D．10
一、單選題
1．在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．已知，，且，的夾角為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．若向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4．設向量，滿足，，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
6．在中，滿足，，，則（ ）
A． B．0 C．25 D．65
7．已知單位向量與單位向量的夾角為，則（ ）
A．2 B． C． D．1
8．已知向量滿足，，，則（ ）
A． B． C．5 D．20
9．已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．1
10．中，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．2
11．已知為單位向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
12．設向量，，若，則 ．
13．已知為平面向量，．若在方向上的投影向量為，則 .
14．在中，，若，則 ．
15．已知向量與向量滿足：，，且與的夾角為，則 ．
16．已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則 .
17．已知向量滿足，，，則與的夾角為 ．
三、解答題
18．，的夾角為，，.
(1)求；
(2)若與互相垂直，求
19．已知向量與的夾角為，且，．向量與共線，
(1)求實數的值；
(2)求向量與的夾角．
20．已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P.記，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.

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