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專題04 平面向量基本定理及坐標表示（七大題型）
【題型1 用基底表示向量】
【題型2 平面向量基本定理的應用】
【題型3 平面向量的加減運算的坐標表示】
【題型4 平面向量數乘運算的坐標表示】
【題型5 向量共線、平行和垂直的坐標表示】
【題型6 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
【題型7向量坐標運算與三角函數的交匯】
【題型1 用基底表示向量】
1．如圖，AB是的直徑，點C，D是半圓弧上的兩個三等分點，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓的幾何性質、菱形以及向量運算確定正確選項.
【詳解】畫出圖象如下圖所示，
由于是半圓弧上的兩個三等分點，
所以是等邊三角形，
所以，
所以四邊形是菱形，四邊形是菱形，
所以.
故選：C
2．如圖，在中，設，，若點E在上，且，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運用平面向量基本定理，結合平面向量加法的運算性質、平行四邊形的性質進行求解即可.
【詳解】因為，所以，
在中，，
所以，
故選：B
3．如圖，已知，，，用，表示，則=（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】結合平面圖形的幾何性質以及平面向量的線性運算即可求出結果.
【詳解】因為，
所以，
又因為，，
所以，
故選：B.
4．如圖，在中，，，若點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量加法的幾何意義，結合共線向量的性質進行求解即可.
【詳解】因為，所以有，
，
故選：A
5．如圖，在中，C為BD的中點，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加，減，數乘運算，結合圖形，即可求解.
【詳解】.
故選：D
6．在長方形ABCD中，E為CD的中點，F為AE的中點，設，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量的線性運算求解．
【詳解】由題意
．
故選：A．
7．已知空間中四點，點在直線上，且滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根據三點共線的性質求解即可.
【詳解】因為三點在同一直線上，所以，所以.
故選：B
【題型2 平面向量基本定理的應用】
8．在中，點在邊上，．記，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量的加法法則和減法法則即可求解.
【詳解】如圖所示：
.
故選：A
9．在中，點D在邊AB上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】選定基底，根據向量的線性運算，即可求得答案.
由題意可知,
故選：C.
10．如圖，在平行四邊形中，分別為上的點，且，連接交于點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】選為基底分別把表示出來，然后代入中，的系數對應相等即可；本題也可以用排除法，顯然，故，只有C選項滿足，故選C.
【詳解】設
則
顯然
得
顯然
因為
所以有
即
根據向量的性質可知
解得
故選：C
11．如圖，若，，，點B是線段AC上一點，且．若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據平面向量的線性運算求解即可.
【詳解】因為.
所以，即，.
故選：B
12．在中，邊上的中線與邊上的中線的交點為，若，則 ．
【答案】0
【分析】利用平面向量的基本定理和向量相等求解.
【詳解】∵，
∴，，
∴．
故答案為：0
13．已知是不共線的向量，若，則用與表示為 .
【答案】
【分析】結合平面向量基本定理求解即可.
【詳解】解：由題知：不共線，由平面向量基本定理知有且只有一對實數，使，
所以，
從而，解得，
所以.
故答案為：
【題型3 平面向量的加減運算的坐標表示】
14．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法公式進行計算.
【詳解】因為，，故.
故選：B
15．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量減法的坐標運算求解．
【詳解】由題設，．
故選：C．
16．已知向量．若，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根據平面向量的坐標的線性運算即可得解.
【詳解】因為向量，
所以.
故選：B.
17．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將坐標代入中計算結果.
【詳解】解：因為，，
所以.
故選：A
18．若向量，，則 .
【答案】
【分析】由向量加減法坐標運算求解．
【詳解】．
故答案為：．
【題型4 平面向量數乘運算的坐標表示】
19．已知向量，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量的坐標運算求解即可.
【詳解】因為，，所以.
故選：A.
20．已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算，即可求得答案.
【詳解】由可得，
故選：A
21．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐標運算即可求解.
【詳解】因為，所以.
故選：A.
22．已知向量，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的加法法則，直接計算可得答案.
【詳解】向量，，則.
故選:C
23．設向量，則的模長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量加法的坐標公式，得到的坐標，再利用向量模長的坐標公式即得解.
【詳解】因為向量
故選：C
【點睛】本題考查了向量加法、模長的坐標公式，考查了學生的數學運算能力，屬于基礎題.
24．已知向量，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據向量平行的坐標運算求出，然后利用向量的坐標運算即可求解.
【詳解】因為，
所以，得，
所以.
故選：B.
25．設平面向量，則
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】∵ ∴
故選A；
【考點】：此題重點考察向量加減、數乘的坐標運算；
【突破】：準確應用向量的坐標運算公式是解題的關鍵；
26．已知點,則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用有向線段表示向量的坐標公式終點坐標減去起點坐標得解.
【詳解】
故答案為：D
【點睛】本題考查有向線段表示向量的坐標運算,屬于基礎題.
27．若向量，，，則 .
【答案】
【分析】由向量線性運算的坐標表示計算．
【詳解】由已知．
故答案為：．
【題型5 向量共線、平行和垂直的坐標表示】
28．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據向量的平行的坐標表示，即可求解.
【詳解】因為，則，得.
故選：D
29．已知向量，若與共線，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先根據向量的坐標運算規則求出，再根據向量共線的運算規則求解.
【詳解】 ，；
故選：D.
30．已知向量，，若與平行，則實數的值為（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】先求與的坐標，然后由向量平行的坐標表示可得.
【詳解】因為，，
所以，
又與平行，
所以，解得.
故選：D
31．已知向量，，若共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量共線的坐標表示列方程求的值.
【詳解】因為，，共線，
所以，所以，
故選：A.
32．在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三點共線的向量關系式即可求解.
【詳解】因為A，B，C三點共線，
則，，
即，
則，解得.
故選：C
33．已知平面向量，，若與共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量共線的坐標表示即可求解.
【詳解】因為與共線，
所以，解得.
故選：A
34．向量，，，若與共線，則（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的坐標，再根據向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.
【詳解】因為，，，
所以，
又與共線，所以，解得.
故選：D
35．已知向量，若，則（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【分析】利用向量加法和數量積的坐標表示求解即可.
【詳解】由題意可得 ，
因為，所以，解得，
故選：B
36．已知平面向量，滿足，且，則（ ）
A．4 B．5 C． D．2
【答案】B
【分析】設，根據向量的模、向量垂直列方程，求得的坐標，進而求得.
【詳解】設，因為，，
所以，即①．
又因為，所以，
即，即②．
聯立①②可得或，
所以或，所以.
故選：B
37．已知向量，若，則 .
【答案】1或
【分析】根據平面向量的平行的性質即可求解.
【詳解】由，有
，
即，
解得或.
故答案為：1或.
38．已知，若與平行，則實數 ．
【答案】/
【分析】根據平面向量平行的坐標表示列式可得結果.
【詳解】因為，
所以，，
因為與平行，所以，得.
故答案為：.
39．已知向量，，若，則實數
【答案】
【分析】利用平面向量的數量積與向量垂直的關系，結合坐標運算求解即可.
【詳解】因為向量，， ，
所以，解得.
故答案為：1.
40．已知
(1)當k為何值時，與共線？
(2)若，且A，B，C三點共線，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，由向量共線的坐標運算列出方程，即可得到結果.
（2）根據題意，由三點共線可得與共線，列出方程，即可得到結果.
【詳解】（1）因為
所以，，
因為與共線，
所以，解得.
（2）因為
所以，
，
因為A，B，C三點共線，
所以與共線，即，解得.
41．已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三點共線，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出的坐標，再根據向量共線的坐標表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出，的坐標，依題意，根據向量共線的坐標表示得到方程，解得即可；
【詳解】（1）因為，，所以，
因為，所以，解得.
（2）因為，，
因為，，三點共線，所以，所以，解得，
故的值為．
42．已知平面向量，，．
(1)若，求實數x的值；
(2)若，求實數x的值；
(3)若，且，求的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由平面向量平行的坐標表示計算即可；
（2）由平面向量垂直的坐標表示計算即可；
（3）由平面向量垂直的坐標表示及模長計算即可；
【詳解】（1）因為，且，所以，解得；
（2）因為，又且，所以，解得；
（3）設，因，且，則，
解得或，故或.
【題型6 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
43．如圖，正五邊形放入某平面直角坐標系后，若頂點A，B，C，D的坐標分別是，，，，則點E的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意可知點在軸，平行軸，從而得與關于軸對稱，從而可求出點E的坐標.
【詳解】因為正五邊形放入某平面直角坐標系后，頂點A，B，C，D的坐標分別是，，，，
所以點在軸，平行軸，
所以與關于軸對稱，
所以點E的坐標是，
故選：A
44．如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用是相等向量及為中點可得正確的選項．
【詳解】因為，故選A．
【點睛】本題考查向量的加法及向量的線性運算，屬于容易題．
45．在中,D是邊的中點,已知,求C點的坐標.
【答案】
【解析】根據向量關系表示出，結合坐標運算即可求解.
【詳解】設O為坐標原點,
∵,
∴,
∴.
即點C的坐標為.
【點睛】此題考查根據平面向量的基本運算法則求點的坐標，關鍵在于準確掌握平面向量的基本運算.
46．在平行四邊形中，，分別是，上的點且，，與交于點.
（1）求的值；
（2）若平行四邊形的面積為21，求的面積.
【答案】（1）；（2）
【詳解】分析：（1）根據向量共線基本定理，可用表示，再根據平面向量基本定理列出方程組求得向量模的比值．
（2）根據三角形面積的比例關系，得到高的比值．進而通過給出的三角形面積求出△BOC的面積．
詳解：
（1）設，，據題意可得
，從而有 .
由，，三點共線，則存在實數，使得 ，即 ，由平面向量基本定理，解得，從而就有.
（2）由（1）可知，所以∴ .
點睛：本題考查了向量在平面幾何中的綜合應用，向量共線基本定理、向量共面基本定理是解決問題的關鍵，屬于中檔題．
【題型7向量坐標運算與三角函數的交匯】
47．已知，，且，令，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據，，求得的關系，
然后將向量的坐標運算，，轉化成只含或的關系式，，最后結合二倍角公式代入計算求解；
【詳解】由，，
所以，故，
所以，
，
所以
所以．
故選：B．
48．已知，，，函數的最小正周期為.
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，，求周長的取值范圍.
【答案】(1)，
(2) .
【分析】（1）根據向量數量積運算以及三角恒等變換化簡得的表達式，再利用三角函數的單調性可求得結果；
（2）由結合（1）可求得，又為銳角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等變換可求得的范圍，從而得解.
【詳解】（1）因為，，則，
，
故，
因為最小正周期為，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的單調遞增區間為，.
（2）由（1）及，即，又，所以，解得，
又為銳角三角形，即，即，解，
，
又，，，
，
所以周長的取值范圍為.
49．已知向量，，，其中.
(1)當時，求的取值集合；
(2)設函數，求的最小正周期及其單調遞增區間.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用兩角差的三角函數公式得，即可求的取值集合；
（2）根據正弦函數的周期，以及單調減區間為，即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以， 所以所求的取值集合為.
（2）因為，
所以
，
所以最小正周期為，
由，
得，
所以函數單調遞增區間為.
50．已知點，點，且函數（為坐標原點）.
(1)求函數的解析式；
(2)求函數的最小正周期及最大值，并求出取得最大值時的集合.
【答案】(1)
(2)；4；
【分析】（1）根據向量的數量積的坐標表示，結合三角函數輔助角公式化簡，即可求得的解析式；
（2）利用三角函數周期公式，可得的最小正周期；結合正弦函數性質即可求得的最大值，并可得取得最大值時的集合.
【詳解】（1）由題意可得,
故
；
（2）由于，故其最小正周期為；
當時，取得最大值4，
此時，即，
故取得最大值時的集合為.專題04 平面向量基本定理及坐標表示（七大題型）
【題型1 用基底表示向量】
【題型2 平面向量基本定理的應用】
【題型3 平面向量的加減運算的坐標表示】
【題型4 平面向量數乘運算的坐標表示】
【題型5 向量共線、平行和垂直的坐標表示】
【題型6 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
【題型7向量坐標運算與三角函數的交匯】
【題型1 用基底表示向量】
1．如圖，AB是的直徑，點C，D是半圓弧上的兩個三等分點，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在中，設，，若點E在上，且，則=（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，已知，，，用，表示，則=（　　）
A． B．
C． D．
4．如圖，在中，，，若點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在中，C為BD的中點，，則（ ）
A． B．
C． D．
6．在長方形ABCD中，E為CD的中點，F為AE的中點，設，，則等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知空間中四點，點在直線上，且滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．
【題型2 平面向量基本定理的應用】
8．在中，點在邊上，．記，則（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，點D在邊AB上，，則（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在平行四邊形中，分別為上的點，且，連接交于點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，若，，，點B是線段AC上一點，且．若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．在中，邊上的中線與邊上的中線的交點為，若，則 ．
13．已知是不共線的向量，若，則用與表示為 .
【題型3 平面向量的加減運算的坐標表示】
14．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
16．已知向量．若，則向量（ ）
A． B． C． D．
17．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
18．若向量，，則 .
【題型4 平面向量數乘運算的坐標表示】
19．已知向量，，那么（ ）
A． B． C． D．
20．已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．
21．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
22．已知向量，，則等于（ ）
A． B． C． D．
23．設向量，則的模長為（ ）
A． B． C． D．
24．已知向量，則（ ）
A． B．
C． D．
25．設平面向量，則
A． B． C． D．
26．已知點,則等于（ ）
A． B． C． D．
27．若向量，，，則 .
【題型5 向量共線、平行和垂直的坐標表示】
28．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
29．已知向量，若與共線，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
30．已知向量，，若與平行，則實數的值為（ ）
A． B． C．6 D．
31．已知向量，，若共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
32．在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
33．已知平面向量，，若與共線，則（ ）
A． B． C． D．
34．向量，，，若與共線，則（　　）
A．1 B． C． D．
35．已知向量，若，則（ ）
A． B．2 C． D．6
36．已知平面向量，滿足，且，則（ ）
A．4 B．5 C． D．2
37．已知向量，若，則 .
38．已知，若與平行，則實數 ．
39．已知向量，，若，則實數
40．已知
(1)當k為何值時，與共線？
(2)若，且A，B，C三點共線，求m的值．
41．已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三點共線，求的值．
42．已知平面向量，，．
(1)若，求實數x的值；
(2)若，求實數x的值；
(3)若，且，求的坐標．
【題型6 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
43．如圖，正五邊形放入某平面直角坐標系后，若頂點A，B，C，D的坐標分別是，，，，則點E的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
44．如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于　　
A． B． C． D．
45．在中,D是邊的中點,已知,求C點的坐標.
46．在平行四邊形中，，分別是，上的點且，，與交于點.
（1）求的值；
（2）若平行四邊形的面積為21，求的面積.
【題型7向量坐標運算與三角函數的交匯】
47．已知，，且，令，則（ ）
A． B． C． D．
48．已知，，，函數的最小正周期為.
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，，求周長的取值范圍.
49．已知向量，，，其中.
(1)當時，求的取值集合；
(2)設函數，求的最小正周期及其單調遞增區間.
50．已知點，點，且函數（為坐標原點）.
(1)求函數的解析式；
(2)求函數的最小正周期及最大值，并求出取得最大值時的集合.

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