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第05講 平面向量的應用
考點1：向量在平面幾何中的應用
向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：
（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．
（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求與夾角相關的問題，往往利用向量的夾角公式．
（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數運算解決幾何問題．
考點2：向量在解析幾何中的應用
在平面直角坐標系中，有序實數對（x，y）既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯系，特別是有關直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．
常見解析幾何問題及應對方法：
（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質．
（2）垂直條件運用：轉化為向量垂直，然后構造向量數量積為零的等式，最終轉換出關于點的坐標的方程．
（3）定比分點問題：轉化為三點共線及向量共線的等式條件．
（4）夾角問題：利用公式．
考點3：向量在物理中的應用
（1）利用向量知識來確定物理問題，應注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉化成數學問題，即將物理問題抽象成數學模型；另一方面是如何利用建立起來的數學模型解釋相關物理現象．
（2）明確用向量研究物理問題的相關知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數乘向量；④功即是力F與所產生位移s的數量積．
（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關量用向量表示；二是轉化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結果還原為物理結論．
【題型1 用向量解決平面幾何中的垂直問題】
【典例1】如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點．

(1)求的余弦值．
(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在．
【分析】（1）如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系，由于就是的夾角，從而利用向量夾角的坐標表示即可求解；
（2）根據向量的共線表示聯立方程組可求解，分點在上、點在上，結合向量垂直的坐標表示即可求解.
【詳解】（1）如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系．
則．
由于就是的夾角．

的余弦值為．
（2）設
．
．
由題得．
①當點在上時，設，
；
②當點在上時，設，
，舍去．
綜上，存在．
【變式1-1】如圖所示，矩形ABCD的頂點A與坐標原點重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，，，點E為AB上一點

(1)若，求AE的長；
(2)若E為AB的中點，AC與DE的交點為M，求．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）設，由可得，即可得答案；
（2）由圖可知，由向量夾角公式可得答案.
【詳解】（1）由題，可得.則.
設，則.因，則.則，故AE的長為1；
（2）若E為AB的中點，則，，又.
由圖可知.
【變式1-2】已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點在邊上，且，設與相交于點．記，．

(1)請用，表示向量；
(2)若，設，的夾角為，若，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）結合圖形，根據平面向量的線性運算可得；
（2）以，為基底表示出，結合已知求可證.
【詳解】（1），由題意得，
所以．
（2）由題意，．
∵，，∴．
∴，
∴．
【變式1-3】如圖，O為的外心，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為點D，再以OC，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為點H．
(1)若，，，試用，，表示；
(2)在（1）的條件下，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）由平面向量加法的平行四邊形法則可得；
（2）以，，為基底分別表示向量，然后結合三角形外心性質求其數量積可證.
【詳解】（1）由平面向量加法的平行四邊形法則得
，
所以
（2）由（1）知
所以
又
所以
因為O為的外心，
所以
所以，
所以.
【題型2 利用向量求線段間的長度關系】
【典例2】如圖，在中，是邊的中點，與交于點.
(1)求和的長度；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函數定義即可求得的長；利用向量法即可求得的長度；
（2）利用向量夾角的余弦公式即可求得的值.
【詳解】（1）是高，，在Rt中，，
所以.
是中線，，
，
（2），
.
另解：過D作交于，
是的中點，是的中點，
是的中位線，是的中位線，
，
.
【變式2-1】如圖，在中，.
(1)求的長；
(2)求的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）確定，，，，計算得到答案.
（2），，計算得到答案.
【詳解】（1）；
，
，故，
.
（2），
.
【變式2-2】如圖，在中，D是的中點，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將用、表示，根據平面向量的運算律以及定義可求出結果；
（2）根據平面向量基本定理可求出結果.
【詳解】（1）因為，
所以，
故.
（2）因為，所以，所以，
設.
因為，
所以，.
【變式2-3】證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.已知：平行四邊形ABCD．求證：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
【答案】證明見解析
【分析】設，，利用、表示、，然后帶入中計算即可完成證明.
【詳解】證明:不妨設，，則，，
，，得①
同理②，
①②得：
所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.
得證.
【題型3用向量解決夾角問題】
【典例3】如圖，在中，已知，，點在上，且，點是的中點，連接，相交于點.
(1)求線段，的長；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，，根據向量數量積的運算即可求解；
（2）由與的夾角即為，利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，，，
又，
所以，
，即，
=
，
，即；
（2）解：，
==，
與的夾角即為，
.
【變式3-1】已知的三個頂點分別為,求的大?。?br/>【答案】120°
【分析】由向量的數量積求夾角即可.
【詳解】由條件可得：，
所以，
所以，所以.
【變式3-2】如圖，在平面直角坐標系中，O是原點.已知點，.試求的度數.
【答案】
【分析】求出，根據數量積的定義可求解.
【詳解】由，
得，.
其中，
故.
所以.
故答案為：.
【變式3-3】如圖，已知與的夾角為，，，，，與相交于點.
（1）求；
（2）求與的夾角的余弦值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據題意，分析可得，由數量積的運算性質計算可得答案；
（2）根據題意，設與的夾角為，則與的夾角也是，分析有，求出、的值，由向量夾角公式計算可得答案．
【詳解】（1）根據題意，，即是的中點，則，
則，則；
（2）設與的夾角為，則與的夾角也是，
，
則，
，
則．
【題型4 用向量解決物理中的相關問題】
【典例4】如圖，在傾角為、高m的斜面上，質量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對物體所做的功，（參考數據，）．
【答案】答案見解析
【分析】首先分析物體的受力，再計算各個力所做的功.
【詳解】物體受三個力，重力，斜面對物體的支持力，摩擦力，
且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，則重力與位移之間的夾角，
則重力對物體做的功，
支持力與位移方向垂直，做功為，
摩擦力與位移方向相反，對物體做功
．

【典例4-2】如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河邊的A點出發到達對岸的B點，船只在河內行駛的路程，行駛時間為0.2 h.已知船在靜水中的速度的大小為，水流的速度的大小為.求：

(1)；
(2)船在靜水中速度與水流速度夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得，結合已知利用余弦定理可求解；
（2）由（1）結合余弦定理可求出.
【詳解】（1）∵河的寬度，，
∴，∴.
如圖，設合速，，船在靜水中的速度，則，

由題意可得，且，
又，∴在中，由余弦定理可得
（2）由（1）知，，，
由余弦定理可得.
∴.
【變式4-1】如圖，在細繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重G的大?。?br/>
【答案】
【分析】作圖，進行力（向量）的分解，即可得出答案.
【詳解】
設細繩作用力為，則，
如圖，對力進行分解，可得.
根據力的平衡可知，物重G的大小為.
【變式4-2】如圖，一艘船從長江南岸點A出發，以km/h的速度垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h．

(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實際航行的速度；
(2)求船實際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．
【答案】(1)答案見解析
(2)船實際航行速度的大小為，方向與江水速度間的夾角為
【分析】（1）直接利用向量加法的平行四邊形法則作圖即可；
（2）利用勾股定理求解船速的實際大小，在求解直角三角形即可得方向.
【詳解】（1）如圖所示，表示船速，表示水速，
以為鄰邊作平行四邊形，
則表示該船實際航行的速度；

（2）由題意，
在中，，
則，，所以，
所以船實際航行速度的大小為，方向與江水速度間的夾角為.
【變式4-3】一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點出發航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設和的夾角為，北岸上的點在點的正北方向.

(1)若游船沿到達北岸點所需時間為，求的大小和的值；
(2)當時，游船航行到北岸的實際航程是多少？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設游船的實際速度為，由速度合成的，根據求得結果即可；
（2）設到達北岸點所用時間為，根據計算長度，得出結果.
【詳解】（1）設游船的實際速度為.

由，得，.
如圖所示速度合成示意圖，由，得，
.
所以的大小為的值為.
（2）當時，設到達北岸點所用時間為，作出向量加法示意圖如圖所示，由向量數量積運算得：

. .
在Rt中，，從而.
所以.
故游船的實際航程為.
【變式4-4】有一艘在靜水中速度大小為10 km/h的船，現船沿與河岸成角的方向向河的上游行駛．由于受水流的影響，結果沿垂直于河岸的方向駛達對岸．設河的兩岸平行，河水流速均勻．
(1)設船相對于河岸和靜水的速度分別為，河水的流速為，求之間的關系式；
(2)求這條河河水的流速．
【答案】(1)
(2)河水的流速為，方向順著河岸向下
【分析】（1）根據題意可得與的夾角為，則三條有向線段構成一個直角三角形，其中，再根據向量的加法法則即可得解；
（2）結合圖象，求出即可.
【詳解】（1）如圖，是垂直到達河對岸方向的速度，是與河岸成角的靜水中的船速，
則與的夾角為，
由題意知，三條有向線段構成一個直角三角形，其中，
由向量加法的三角形法則知，，即；
（2）因為，而，
所以這條河河水的流速為，方向順著河岸向下．
【題型5 向量與幾何最值】
【典例5】在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，建立合適的直角坐標系，從而利用平面向量數量積的坐標表示即可得解.
【詳解】因為三角形中，，
所以是邊長為2的等邊三角形，則
以為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標系如圖，

則，設，則，
故，
顯然當時，取得最小值，
故選：B.
【變式5-1】在中，，，點為邊的中點，點在邊上運動，則的最大值為 .
【答案】
【分析】建立如圖平面直角坐標系，根據平面向量數量積的坐標表示和二次函數的性質計算即可求解.
【詳解】以A為坐標原點，建立如圖平面直角坐標系，
，
設直線BC方程為，則，
解得，所以BC方程為，設，
所以，
得.
故答案為：.

【變式5-2】如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 ．

【答案】/
【分析】以D為原點，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，利用向量坐標運算，結合二次函數性質可得.
【詳解】連接AC，因為，，，
所以，
又，所以，
所以.
過點B作AD的垂線BF，垂足為F，
易知，在中，，
所以，
以D為原點，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，
則
設，
則，
，
當時，有最小值.
故答案為：

【變式5-3】如圖，在矩形中，與的交點為為邊上任意一點（包含端點），則的最大值為 .

【答案】
【分析】令，用表示出，再由向量數量積的運算律化簡求最大值即可.
【詳解】令，則，，
所以，
所以時，的最大值為.
故答案為：
【變式5-4】如圖，邊長為2的菱形ABCD的對角線相交于點O，點P在線段BO上運動，若，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】根據向量共線以及數量積的運算律，即可求解.
【詳解】由得，
設，所以，
故當時，取最大值，
故答案為：
一、單選題
1．已知向量共面，且均為單位向量，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，可設出向量的坐標，由于這三個向量都是單位向量，則向量的終點都落在以坐標原點為圓心的單位圓上，作出示意圖，由向量的性質可知，只有當與同向時， 有最大值，求解即可.
【詳解】因為向量共面，且均為單位向量，，
可設，，，如圖，

所以，當與同向時，此時有最大值，為.
故選：A.
2．已知向量，線段的中點為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用平面向量基底表示，找到的關系求解即可.
【詳解】設，
則，
由，
得，又已知，且，
則有，
故.
故選：A.
3．如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據降落傘在勻速下落的過程中力的平衡可列式求解，即得答案.
【詳解】設降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小，
則，故，
故選：C
4．已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（ ）．
A．N B．5N C．10N D．N
【答案】B
【分析】作圖，根據已知，在直角三角形中，求解即可得出答案.
【詳解】
如圖，，，，，.
在中，有，
所以，的大小為5N.
故選：B.
二、填空題
5．已知船在靜水中的速度大小為，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為，船垂直到達對岸用的時間為，則水流的速度大小為 .
【答案】3
【分析】根據向量的加法運算，確定船行駛的方向與水流方向和船實際的方向之間的關系，進而解三角形可得.
【詳解】設船在靜水中的速度為，船的實際速度為，水流速度為，如圖所示，

∵，
∴，即水流的速度大小為.
故答案為：3.
6．一個物體在大小為6N的力F的作用下產生大小為100m的位移s，且力F與s的夾角為，則力F所做的功 J．
【答案】300
【分析】利用向量數量積公式進行求解.
【詳解】J.
故答案為：300
7．如圖，已知力與水平方向的夾角為（斜向上），大小為.一個質量為的木塊受力的作用在動摩擦因數的水平平面上運動了，則力和摩擦力所做的功分別為 .（）

【答案】，
【分析】結合物理知識，求解力在水平方向及豎直方向的分量，進而得出摩擦力，利用做功公式即可求解.
【詳解】由題可知，以木塊運動的方向為正方向，
則力在水平方向的分量為：，
在豎直方向的分量為：，
則摩擦力為：，
則力做功為,摩擦力做功.
故答案為：，
8．如圖，在重的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為，物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為 ， .

【答案】
【分析】設兩根繩子的拉力分別為，作平行四邊形OACB，使求解.
【詳解】解：如圖所示：

設兩根繩子的拉力分別為，
作平行四邊形OACB，使，
在平行四邊形OACB中，，
則，
所以，，
所以物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為，，
故答案為：， .
三、解答題
9．在中，已知，，，試判斷的形狀．
【答案】直角三角形
【分析】根據已知求出的坐標，進而得出，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，，，
所以有，
所以有，
所以，.
又，，
所以，為直角三角形.
10．用向量的方法證明如圖，在中，點E，F分別是AD和DC邊的中點，BE，BF分別交AC于點R，T．你能發現AR，RT，TC之間的關系嗎？

【答案】，理由見解析
【分析】根據向量基本定理得到，結合三點共線，求出，同理可證出，得到結論.
【詳解】因為四邊形為平行四邊形，所以，
設，
因為是的中點，所以，
故，
又因為三點共線，
可設，即，
即，
故，相加可得，解得，
故，
同理可證，
故可知為的三等分點，
故.
11．已知點，向量，過點以向量為方向向量的直線為，求點到直線的距離．
【答案】
【分析】首先求出，再求出，，，最后根據距離計算可得.
【詳解】因為點，向量，則，
所以，，
過點以向量為方向向量的直線，
所以點到直線的距離．
12．已知點，，，求：
(1)的值；
(2)的大??；
(3)點A到直線BC的距離．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據數量積得坐標公式計算即可；
（2）利用數量積求出得余弦值，即可得解；
（3）根據點A到直線BC的距離為計算即可.
【詳解】（1）依題意，得，
，
；
（2）因為，
又，所以；
（3）點A到直線BC的距離為
．
13．質量kg的物體，在4.0N的水平力作用下，由靜止開始在光滑水平面上運動了3s，求水平力在3s內對物體做的功．
【答案】
【分析】根據已知求出物體運動運動的加速度以及位移的大小，即可得出答案.
【詳解】設物體運動了，加速度為，
由已知可得，kg，，
則由可得，，
所以，.
所以，水平力在3s內對物體做的功為.
14．飛機從A地向西北飛行200km到達B地后，又從B地向東飛行km到達C地，再從C地向南偏東60°飛行km到達D地，求飛機從D地飛回A地的位移．
【答案】大小為，方向為南偏西
【分析】作圖，根據已知結合幾何關系，即可得出答案.
【詳解】
如圖，飛機從運動到的過程，
由已知可得，，，且，
所以，，.
過點作，
因為，
所以，，
所以，.
由勾股定理可得，，
，所以.
所以，飛機從D地飛回A地的位移大小為，方向為南偏西.
15．在平面內以點O的正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系.質點在平面內做直線運動，分別求下列位移向量的坐標：
(1)向量表示沿北偏東移動了3個單位長度；
(2)向量表示沿西北方向移動了4個單位長度；
(3)向量表示沿南偏西移動了3個單位長度；
(4)向量表示沿東南方向移動了4個單位長度.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據方位角及向量的模長結合三角函數值求解向量坐標即可.
【詳解】（1）因為向量表示沿北偏東移動了3個單位長度，
所以向量對應坐標系中的角度為且模長為3，
所以；
（2）因為向量表示沿西北方向移動了4個單位長度，
所以向量對應坐標系中的角度為且模長為4，
所以；
（3）因為向量表示沿南偏西移動了3個單位長度，
所以向量對應坐標系中的角度為且模長為3，
所以；
（4）因為向量表示沿東南方向移動了4個單位長度，
所以向量對應坐標系中的角度為且模長為4，
所以.
16．如圖，在一場足球比賽中，中場隊員在點A位置得球，將球傳給位于點B的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前，球到達點C時前插的中場隊員正好趕到，直接射門得分．設，．（取）

(1)求中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移；
(2)這一過程中中場隊員的位移與球的位移是否相等？
【答案】(1)位移大小為，方向為正前方
(2)相等
【分析】（1）解直角三角形求出，再根據即可得解；
（2）根據向量加法得幾何意義即可得解.
【詳解】（1）由題意，為直角三角形，
由，，
得，
又，
所以中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移大小為，方向為正前方；
（2）因為，
所以中場隊員的位移與球的位移相等.
17．一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地，然后向C地飛行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C兩地相距2000km，求飛機從B地到C地的位移．
【答案】飛機從B地到C地的位移：南偏西且距離為 km.
【分析】由題設有，應用向量數量積的運算律求即可.
【詳解】如下圖，，
則，
所以km.
又，即，結合圖易知：在南偏西方位，
綜上，飛機從B地到C地的位移：南偏西且距離為 km.

18．已知作用在原點上的三個力，，，求這些力的合力的坐標．
【答案】
【分析】利用平面向量加法的坐標運算可得出合力的坐標.
【詳解】解：已知作用在原點上的三個力，，，
則這三個力的合力為.
19．如圖，小娟、小明兩人共提一桶水勻速前行．已知兩人手臂上的拉力大小相等且均為，兩人手臂間的夾角為，水和水桶的總重力為，請你利用物理學中力的合成的相關知識分析拉力與重力的關系．
【答案】答案見解析
【分析】設兩人的拉力分別為、，作，，作，以、為鄰邊作平行四邊形，則為兩人拉力的合力，分析可得，分析當變大時，的變化，即可得出結論.
【詳解】解：設兩人的拉力分別為、，作，，作，
以、為鄰邊作平行四邊形，則為兩人拉力的合力，

水桶在兩人的合力下處于平衡狀態，則和互為相反向量，
因為，則四邊形為菱形，
連接交于點，則為的中點，且，且，，
，所以，，
所以，，
又因為，所以，隨著的增大而增大.
20．已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點為中點，設與相交于點.

(1)請用、表示向量；
(2)設和的夾角為，若，且，求證：.
【答案】(1).
(2)證明見解析.
【分析】（1）結合圖形，根據平面向量的線性運算可得.
（2）以、為基底表示出向量，結合向量的數量積公式，可證得.
【詳解】（1）.
（2），
，.
21．如圖，AB為半圓O的直徑，，C，D為（不含端點）上兩個不同的動點.

(1)若C是上更靠近點B的三等分點，D是上更靠近點A的三等分點，用向量方法證明：且.
(2)若與共線，求面積的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)最大值為
【分析】（1）建立平面直角坐標系，求出、、的坐標，從而有，即可證明；
（2）設點的坐標，求出，利用三角形面積公式及正弦函數最值求解即可.
【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標系.

由題意可知，，
則，，，，
得，，
因為，所以，且.
（2）設C在第一象限，，，
則，，
得，的高為，
所以的面積為，
當時，的面積取得最大值，且最大值為.第05講 平面向量的應用
考點1：向量在平面幾何中的應用
向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：
（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．
（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求與夾角相關的問題，往往利用向量的夾角公式．
（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數運算解決幾何問題．
考點2：向量在解析幾何中的應用
在平面直角坐標系中，有序實數對（x，y）既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯系，特別是有關直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．
常見解析幾何問題及應對方法：
（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質．
（2）垂直條件運用：轉化為向量垂直，然后構造向量數量積為零的等式，最終轉換出關于點的坐標的方程．
（3）定比分點問題：轉化為三點共線及向量共線的等式條件．
（4）夾角問題：利用公式．
考點3：向量在物理中的應用
（1）利用向量知識來確定物理問題，應注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉化成數學問題，即將物理問題抽象成數學模型；另一方面是如何利用建立起來的數學模型解釋相關物理現象．
（2）明確用向量研究物理問題的相關知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數乘向量；④功即是力F與所產生位移s的數量積．
（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關量用向量表示；二是轉化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結果還原為物理結論．
【題型1 用向量解決平面幾何中的垂直問題】
【典例1】如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點．

(1)求的余弦值．
(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．
【變式1-1】如圖所示，矩形ABCD的頂點A與坐標原點重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，，，點E為AB上一點

(1)若，求AE的長；
(2)若E為AB的中點，AC與DE的交點為M，求．
【變式1-2】已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點在邊上，且，設與相交于點．記，．

(1)請用，表示向量；
(2)若，設，的夾角為，若，求證：．
【變式1-3】如圖，O為的外心，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為點D，再以OC，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為點H．
(1)若，，，試用，，表示；
(2)在（1）的條件下，求證：．
【題型2 利用向量求線段間的長度關系】
【典例2】如圖，在中，是邊的中點，與交于點.
(1)求和的長度；
(2)求.
【變式2-1】如圖，在中，.
(1)求的長；
(2)求的長.
【變式2-2】如圖，在中，D是的中點，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【變式2-3】證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.已知：平行四邊形ABCD．求證：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
【題型3用向量解決夾角問題】
【典例3】如圖，在中，已知，，點在上，且，點是的中點，連接，相交于點.
(1)求線段，的長；
(2)求的余弦值.
【變式3-1】已知的三個頂點分別為,求的大?。?br/>【變式3-2】如圖，在平面直角坐標系中，O是原點.已知點，.試求的度數.
【變式3-3】如圖，已知與的夾角為，，，，，與相交于點.
（1）求；
（2）求與的夾角的余弦值.
【題型4 用向量解決物理中的相關問題】
【典例4】如圖，在傾角為、高m的斜面上，質量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對物體所做的功，（參考數據，）．
【典例4-2】如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河邊的A點出發到達對岸的B點，船只在河內行駛的路程，行駛時間為0.2 h.已知船在靜水中的速度的大小為，水流的速度的大小為.求：

(1)；
(2)船在靜水中速度與水流速度夾角的余弦值.
【變式4-1】如圖，在細繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重G的大小．

【變式4-2】如圖，一艘船從長江南岸點A出發，以km/h的速度垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h．

(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實際航行的速度；
(2)求船實際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．
【變式4-3】一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點出發航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設和的夾角為，北岸上的點在點的正北方向.

(1)若游船沿到達北岸點所需時間為，求的大小和的值；
(2)當時，游船航行到北岸的實際航程是多少？
【變式4-4】有一艘在靜水中速度大小為10 km/h的船，現船沿與河岸成角的方向向河的上游行駛．由于受水流的影響，結果沿垂直于河岸的方向駛達對岸．設河的兩岸平行，河水流速均勻．
(1)設船相對于河岸和靜水的速度分別為，河水的流速為，求之間的關系式；
(2)求這條河河水的流速．
【題型5 向量與幾何最值】
【典例5】在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】在中，，，點為邊的中點，點在邊上運動，則的最大值為 .
【變式5-2】如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 ．

【變式5-3】如圖，在矩形中，與的交點為為邊上任意一點（包含端點），則的最大值為 .

【變式5-4】如圖，邊長為2的菱形ABCD的對角線相交于點O，點P在線段BO上運動，若，則的最小值為 ．

一、單選題
1．已知向量共面，且均為單位向量，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，線段的中點為，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
4．已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（ ）．
A．N B．5N C．10N D．N
二、填空題
5．已知船在靜水中的速度大小為，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為，船垂直到達對岸用的時間為，則水流的速度大小為 .
6．一個物體在大小為6N的力F的作用下產生大小為100m的位移s，且力F與s的夾角為，則力F所做的功 J．
7．如圖，已知力與水平方向的夾角為（斜向上），大小為.一個質量為的木塊受力的作用在動摩擦因數的水平平面上運動了，則力和摩擦力所做的功分別為 .（）

8．如圖，在重的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為，物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為 ， .

三、解答題
9．在中，已知，，，試判斷的形狀．
10．用向量的方法證明如圖，在中，點E，F分別是AD和DC邊的中點，BE，BF分別交AC于點R，T．你能發現AR，RT，TC之間的關系嗎？

11．已知點，向量，過點以向量為方向向量的直線為，求點到直線的距離．
12．已知點，，，求：
(1)的值；
(2)的大小；
(3)點A到直線BC的距離．
13．質量kg的物體，在4.0N的水平力作用下，由靜止開始在光滑水平面上運動了3s，求水平力在3s內對物體做的功．
14．飛機從A地向西北飛行200km到達B地后，又從B地向東飛行km到達C地，再從C地向南偏東60°飛行km到達D地，求飛機從D地飛回A地的位移．
15．在平面內以點O的正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系.質點在平面內做直線運動，分別求下列位移向量的坐標：
(1)向量表示沿北偏東移動了3個單位長度；
(2)向量表示沿西北方向移動了4個單位長度；
(3)向量表示沿南偏西移動了3個單位長度；
(4)向量表示沿東南方向移動了4個單位長度.
16．如圖，在一場足球比賽中，中場隊員在點A位置得球，將球傳給位于點B的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前，球到達點C時前插的中場隊員正好趕到，直接射門得分．設，．（?。?br/>
(1)求中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移；
(2)這一過程中中場隊員的位移與球的位移是否相等？
17．一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地，然后向C地飛行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C兩地相距2000km，求飛機從B地到C地的位移．
18．已知作用在原點上的三個力，，，求這些力的合力的坐標．
19．如圖，小娟、小明兩人共提一桶水勻速前行．已知兩人手臂上的拉力大小相等且均為，兩人手臂間的夾角為，水和水桶的總重力為，請你利用物理學中力的合成的相關知識分析拉力與重力的關系．
20．已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點為中點，設與相交于點.

(1)請用、表示向量；
(2)設和的夾角為，若，且，求證：.
21．如圖，AB為半圓O的直徑，，C，D為（不含端點）上兩個不同的動點.

(1)若C是上更靠近點B的三等分點，D是上更靠近點A的三等分點，用向量方法證明：且.
(2)若與共線，求面積的最大值.

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