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第06講 空間直線﹑平面的垂直（一）
知識點(diǎn)1：直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示
判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 l⊥α
性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 a∥b
知識點(diǎn)2：直線和平面所成的角
(1)定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.
(2)范圍：.
【題型1異面直線所成的角】
【典例1】如圖是正方體的表面展開圖，在原正方體中，直線AB與CD所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將正方體的表面展開圖還原為正方體，證明平面，即可證明，即可得答案.
【詳解】將正方體的表面展開圖還原為正方體，與在正方體中的位置如圖所示，
由于平面平面，故，
又，且平面，
故AB⊥平面，平面，所以，
故直線與所成角的大小為.
故選：D.
【變式1-1】如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接、，可得且為等邊三角形，即可得直線與直線所成角的大小.
【詳解】
連接，，在正方體中，易得，
故直線與直線所成角的大小與直線與直線所成角大小相等，
又，故為等邊三角形，故，
即直線與直線所成角的大小為.
故選：C.
【變式1-2】已知正方體 的棱長為 ，則異面直線 與 所成的角的余弦值 ．

【答案】/
【分析】利用正方體的特征構(gòu)造平行線求異面直線夾角即可.
【詳解】
如圖所示連接，根據(jù)正方體的特征易知，且為等邊三角形，
所以即異面直線 與 所成的角，且，.
故答案為：
【題型2線線垂直的判定】
【典例2】如圖，在正三棱柱中，E為棱AC的中點(diǎn)，.求證：.
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)異面直線的夾角結(jié)合勾股定理分析證明.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)F，連接EF，BF，
∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
∴，∴BE和EF所成角為，
即為異面直線BE與所成角，且.
在正三棱柱中，，.
在等邊三角形ABC中，，
在Rt△BCF中，.
在△BEF中，，
∴，∴.
【變式2-1】如圖，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且為線段的中點(diǎn)．證明：.
【答案】證明見解析
【分析】取BC中點(diǎn)為G，連接DG，AG，通過證明，結(jié)合可證明結(jié)論；
【詳解】取BC中點(diǎn)為G，連接DG，AG．
因分別為中點(diǎn)，則．
則四邊形是平行四邊形，故．
因?yàn)?，則，所以.
【題型 3 線面垂直的判定】
【典例3】下列關(guān)于直線與平面垂直的判斷中，正確的是（ ）.
A．若直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則直線與平面垂直
B．若直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直，則直線與平面垂直
C．若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直
D．若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線與平面垂直
【答案】C
【分析】由線面垂直的判定定理即可得.
【詳解】直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直才可得直線與平面垂直，
A、B不符，D中的無數(shù)條直線可能為無數(shù)條平行直線，不符，
故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.
故選：C.
【變式3-1】已知，為兩條不同直線，，為兩個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．如果，，，那么
B．如果，，，那么
C．如果，，.那么
D．如果，，，，那么
【答案】A
【分析】由線面垂直的性質(zhì)可得A正確；由面面平行的性質(zhì)可得C錯(cuò)誤；由空間中線線，線面位置關(guān)系可判定B，D錯(cuò)誤.
【詳解】已知，為兩條不同直線，，為兩個(gè)不同平面.
若，，則，又，所以.故選項(xiàng)A正確；
若，，則或，又，所以.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
若，，，則直線和平行或異面.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
若，，，，則平面和平行或相交.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：A.
【變式3-2】設(shè)，是兩個(gè)平面，、是兩條直線，下列命題中，可以判斷的是（ ）
A．，，且， B．，，且
C．，且 D．，，且
【答案】D
【分析】利用平面與平面平行的判定定理以及直線與平面平行的性質(zhì)，判斷、、，利用直線與平面的垂直的性質(zhì)判斷，推出結(jié)果.
【詳解】條件中，增加上與相交才能判斷出，錯(cuò).
由條件可知與可以相交，錯(cuò).
若，且，，可得，，可得，由平行的傳遞性可知，即滿足條件C的兩個(gè)平面可以相交，所以C錯(cuò)誤,
，，可得，又，而垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，成立.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題.
【變式3-3】設(shè)兩條直線，，兩個(gè)平面，，則下列條件能推出的是（ ）
A．，，且 B．，，且
C．，，且 D．，，且，
【答案】A
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷A；舉例說明判斷BCD.
【詳解】對于A，由，，得，而，所以；
對于B，若，，且，此時(shí)，可能相交，如下圖所示：
當(dāng)，，，都與平行時(shí)，，相交，B錯(cuò)誤；
對于C，若，，且，此時(shí)，可能相交，如下圖所示：
當(dāng)，都與平行時(shí)，，相交，C錯(cuò)誤；
對于D，若，，且，，此時(shí)，可能相交，如下圖所示：
當(dāng)，都與平行時(shí)，，相交，D錯(cuò)誤.
故選：A
【題型4直線與平面所成的角】
【典例4】如圖，已知正方體中，分別是和的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、．由題意可證得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即可證得.
（2）設(shè)到平面（即平面）的距離為，直線與平面所成角為，由線面垂直的判定定理可證得平面，所以，由等體積法求出，再由，代入即可得出答案.
【詳解】（1）證明：如圖，正方體中，
取的中點(diǎn)，連接、．∵是的中點(diǎn)，
∴，．∵是的中點(diǎn)，且，，
∴，，∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，∵正方體，又為的中點(diǎn)，
∴，∴．
（2）設(shè)到平面（即平面）的距離為，直線與平面所成角為，
設(shè)正方體棱長為2，則，
由（1）知：，由正方體的性質(zhì)知平面，
因?yàn)槠矫?，所以，平面，?br/>所以平面，因?yàn)?，所以平面?br/>∴即，
∴，
∴．

【題型5由線面垂直的性質(zhì)證明線線平行、垂直】
【典例5】如圖，已知正方體的棱長為2． ，分別為與上的點(diǎn)，且，．
求證：；
【答案】證明見解析
【分析】利用線面垂直的判定定理，證明均與平面垂直，進(jìn)而證明；
【詳解】證明：如圖，連接，．
∵平面，平面，
∴．
∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴．同理可得，
又∵，平面，
∴平面．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，平面，
∴平面．
∴．
【變式5-1】如圖，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，求證：∥平面BCE.
【答案】證明見詳解
【分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可證∥，進(jìn)而結(jié)合線面平行的判定定理分析證明.
【詳解】因?yàn)槠矫鍭CD，平面ACD，則∥，
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且，
由題意可得：∥，且，
則∥，且，則為平行四邊形，
可得∥，
且平面BCE，平面BCE，
所以∥平面BCE.

【變式5-2】如圖，已知多面體，平面平面，且，證明：平面.
【答案】證明見解析.
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)證得，進(jìn)而得，再利用線面平行的判定推理作答.
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，則，又，即四邊形為平行四邊形，
因此，而平面平面，
所以平面.
【變式5-3】如圖，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）證明出平面，可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)?、都垂直于平面，則且，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面.
（2）證明：為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以，，
平面，平面，，
，、平面，平面，
，平面，平面，所以，平面平面.
【題型 6平面內(nèi)的射影問題】
【典例6】如圖，在四面體中，底面ABC是邊長為1的正三角形，，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為H， ，二面角的正切值為．
(1)求證：；
(2)求異面直線PC與AB所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過H作，證明HB，HD，HP三直線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，向量法證明；
（2）利用向量法求異面直線PC與AB所成角的余弦值．
【詳解】（1）證明：過H作，底面，平面，則；
又，，平面，∴平面；
平面，∴，∴；
∴HB，HD，HP三直線兩兩垂直，分別以這三條直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則根據(jù)條件：
，，，；
∵，；
∴為二面角的平面角，∴；
∴，∴；
∴，，
∴，則，即；
（2），；
設(shè)異面直線PC與AB所成角為θ，則：
；
異面直線PC與AB所成角的余弦值為．
【變式6-1】如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，，，.

(1)證明：；
(2)設(shè)直線到平面的距離為，求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）連接，由已知易得、面，應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)及已知有、，根據(jù)線面垂直的判定證面，最后由線面垂直的性質(zhì)、判定證結(jié)論；
（2）根據(jù)二面角定義及線面垂直性質(zhì)易得是二面角的平面角，再由線面平行及面面垂直判定證面、面面，得到的距離為，進(jìn)而確定為等邊三角形，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）連接，由題設(shè)，易知為菱形，故，
由點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在AC上，則面，
面，則，而，則，
又，面，故面，
面，則，
而，面，則面，
由面，則.

（2）由（1）知面，面，則，
所以是二面角的平面角，
由，面，面，則面，
直線到平面的距離為，即到平面的距離為，
又面，面，則面面，
面，面面，即到的距離為，
由題設(shè)，易知，
點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，則為銳角，
所以，故為等邊三角形，即，
所以二面角的大小.
【變式6-2】如圖，在三棱柱中，在底面ABC上的射影為線段BC的中點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，且，.
(1)求三棱錐的體積；
(2)求MC與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用平行關(guān)系和垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，證明面，再根據(jù)條件中的數(shù)值，代入體積公式，即可求解；
（2）首先利用等體積公式轉(zhuǎn)化為求得點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)線面角的定義,利用即可.
【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連接OA，，
因?yàn)樵诘酌鍭BC上的射影為O，
所以面ABC，
在三棱柱中，面面，
所以面因?yàn)槊妫?br/>所以，
在中，M為線段的中點(diǎn)，，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)槊妫?，?br/>所以面，
中，，，所以，，
所以
；
（2）設(shè)C到平面的距離為d，則
在中，，，
所以，
所以，
設(shè)MC與平面所成角為，則
，
所以MC與平面所成角的正弦值為.
1．在三棱錐中，若頂點(diǎn)到底面三邊距離相等，則頂點(diǎn)在平面上的射影為的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心或旁心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】作出圖象，利用幾何知識證明在平面上的射影到三邊距離相等，從而求解.
【詳解】如圖，在平面的射影為，連接，則平面，
作，，，
且分別交于，所以，
連接，，，因?yàn)槠矫妫?br/>所以，，，
所以在，，中，
，，，
又因?yàn)?，所以?br/>由，，，平面，
所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br/>同理可證，，又因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)到的三邊距離相等，為的內(nèi)心或旁心，故B正確.
故選：B.
2．在各棱長都為2的正四棱錐中，側(cè)棱在平面上的射影長度為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先作出側(cè)棱在平面上的射影，再利用線面垂直性質(zhì)定理和勾股定理即可求得該射影長度.
【詳解】把正四棱錐放入正四棱柱中，
則V是上底面的中心，取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，
連接EF，BE，CF，過A作，垂足為G，
在正四棱柱中，
平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，所以側(cè)棱在平面上的射影為，
由已知得，，，
所以，所以，
所以．
故選：B．
3．（多選題）如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上異于、的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
【答案】BD
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng)；利用反證法可判斷AC選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br/>因?yàn)辄c(diǎn)是以為直徑的圓上且異于、的任一點(diǎn)，，則，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br/>因?yàn)槠矫妫?，平面平面，B對D對；
因?yàn)槠矫妫矫?，則，則為銳角，
即與不垂直，故與平面不垂直，C錯(cuò)；
若，又因?yàn)?，，、平面?br/>所以，平面，與C選項(xiàng)矛盾，A錯(cuò).
故選：BD.
4．（多選題）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．平面 D．平面
【答案】BC
【分析】選項(xiàng)A由可判斷；選項(xiàng)B先證明平面，從而可判斷；選項(xiàng)C取的中點(diǎn)，連接可得，又，從而可判斷；選項(xiàng)D取的中點(diǎn)，可得，又又與平面相交于點(diǎn)，可判斷.
【詳解】選項(xiàng)A. 連接,則, 又,所以不正確，故選項(xiàng)A不正確.

選項(xiàng)B. 在正方體中，且，平面，平面
所以平面,又平面,所以，故選項(xiàng)B正確.

選項(xiàng)C. 在正方體中，平面,又平面,所以
取的中點(diǎn)，連接，在正方形中（如圖），
, 又，所以,所以
又在正方體中，，所以
又,所以平面，故選項(xiàng)C正確.

選項(xiàng)D. 取的中點(diǎn)，連接, 則，且
所以,且,故四邊形為平行四邊形，則
又與平面相交于點(diǎn)，所以不可能與平面平行，故選項(xiàng)D不正確.

故選：BC
5．如圖，已知M是正方體的棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【分析】首先根據(jù)異面直線所成角的定義，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，再求解其余弦值.
【詳解】因?yàn)?，所以直線與所成角即為直線與所成角,
即為所求角，，
設(shè)正方體棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，,
所以，
所以直線與所成角的余弦值為.
故答案為：
6．貴州榕江“村超”火爆全網(wǎng)，引起旅游愛好者、社會名流等的廣泛關(guān)注．足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗蹴鞠的場景．已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，連接這四點(diǎn)構(gòu)成三棱錐A-BCD如圖所示，頂點(diǎn)A在底面的射影落在內(nèi)，它的體積為，其中和都是邊長為2的正三角形，則該“鞠”的表面積為 ．

【答案】
【分析】由線面垂直關(guān)系，利用分割法求三棱錐體積，由垂直關(guān)系結(jié)合球心性質(zhì)找到球心位置，再運(yùn)算求解球半徑即可.
【詳解】如圖，

取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)?，?br/>又平面，平面，，
所以平面，平面，
所以平面平面，
同理可證，平面平面，
設(shè)和的中心分別為、，
在平面內(nèi)，過、分別作的垂線，設(shè)交點(diǎn)為，
即，
又平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可知：平面，
同理可得：平面，即球心為，
設(shè)“鞠”的半徑為，連接，
則，
即：，
又因?yàn)?，，所以?br/>又頂點(diǎn)A在底面的射影落在內(nèi)，則，
由，為公共邊，得與全等，
則為的角平分線，所以.
在中，因?yàn)椋瑒t，
在中，，則，
所以該“鞠”的表面積.
故答案為：.
7．如圖，在平面內(nèi)，，PO是平面的斜線，，點(diǎn)Q是PO上一點(diǎn)，且，則線段PQ在平面上的射影長為 .

【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，作圖并求出直線與平面所成的角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即得.
【詳解】過作于，在平面內(nèi)過作，，垂足分別為，連接，如圖，

由，得，平面，則平面，
而平面，因此，同理，又，
于是，而分別為斜線段在內(nèi)的射影，則，
從而是的平分線，即，顯然，則，
因此，線段PQ在平面上的射影長為.
故答案為：.
8．如圖，在正四棱臺中，.

(1)證明：.
(2)若正四棱臺的高為3，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，，（，分別為正四棱臺上、下底面的中心），根據(jù)面線垂直的判定定理證明平面即可；
（2）連接，，可求得側(cè)面的斜高為，再由求解即可.
【詳解】（1）證明：連接，，
設(shè)正四棱臺上、下底面的中心分別為，，連接，
則，分別為，的中點(diǎn)，

因?yàn)槭钦睦馀_，所以平面.
又平面，則，
因?yàn)闉檎叫?，所以?br/>又，所以平面.
因?yàn)槠矫妫?br/>所以.
（2）解：連接，，

因?yàn)檎睦馀_的高為3，
所以，
且側(cè)面的斜高為，
所以.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
即點(diǎn)到平面的距離為.
9．如圖，正方體ABCD -A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AE⊥直線A1D;
（2）在線段AA1上求一點(diǎn)G，使得直線AE⊥平面DFG．
【答案】（1）證明見解析；（2）G點(diǎn)即為A1點(diǎn).
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明DA1⊥平面ABC1D1，然后證得；
（2）取CD的中點(diǎn)H，可證DF⊥平面AHE，得到DF⊥AE，進(jìn)而AE⊥平面DFA1，從而判定G點(diǎn)即為A1點(diǎn).
【詳解】（1）連接AD1，BC1，由正方體的性質(zhì)可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
又AB∩AD1=A，所以DA1⊥平面ABC1D1，
又AE 平面ABC1D1，所以DA1⊥AE．
（2）如圖所示，G點(diǎn)即為A1點(diǎn)，
證明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中點(diǎn)H，連接AH，EH，
由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，
可證DF⊥平面AHE，
所以DF⊥AE，又DF∩A1D=D，
所以AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG．
10．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）證明出平面，即可證得；（2）根據(jù)錐體體積公式，由此可求三棱錐的體積．
【詳解】（1）∵，，∴，
∵平面，平面，∴，∵，∴，
∵，平面，
∴ 平面，又平面，
∴．
（2）∵平面，平面ABC，∴，
又∵，，∴平面．
，
11．如圖，已知長方體的底面是邊長為2的正方形，為其上底面的中心，在此長方體內(nèi)挖去四棱錐后所得的幾何體的體積為.
(1)求線段的長；
(2)求異面直線與所成的角.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式計(jì)算即可；
（2）取的中點(diǎn)，連接，則，則是兩異面直線與所成的角，再解即可.
【詳解】（1）依題意，得，
解得；
（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，
所以是兩異面直線與所成的角，
因?yàn)槠矫妫云矫妫?br/>又平面，所以，
在中，，
則，所以，
所以異面直線與所成的角為.
12．如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影落在邊上.
(1)求的長度；
(2)若是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用投影性質(zhì)以及線面垂直性質(zhì)可得，再利用三角形相似可求得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，并根據(jù)坐標(biāo)分別求得平面與平面的法向量，由兩平面夾角的余弦值列方程解得，可得.
【詳解】（1）作，垂足為，連接，如下圖所示：

由點(diǎn)在平面的射影落在邊上可得平面，
又平面，所以，
因?yàn)椋移矫妫?br/>所以平面，
又平面，所以，
又因?yàn)闉榫匦?，，可得?br/>由，可得，
所以，；
由可得，即；
即的長度為1.
（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)且平行于的直線為軸，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則，并設(shè)，
可得，所以；
易知，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，解得，取，則，
即，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，解得，取，則，
即，
因此可得，整理可得，
解得（舍）或；
因此，即可得.
所以的長度為.第06講 空間直線﹑平面的垂直（一）
知識點(diǎn)1：直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示
判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 l⊥α
性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 a∥b
知識點(diǎn)2：直線和平面所成的角
(1)定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.
(2)范圍：.
【題型1異面直線所成的角】
【典例1】如圖是正方體的表面展開圖，在原正方體中，直線AB與CD所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】已知正方體 的棱長為 ，則異面直線 與 所成的角的余弦值 ．

【題型2線線垂直的判定】
【典例2】如圖，在正三棱柱中，E為棱AC的中點(diǎn)，.求證：.
【變式2-1】如圖，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且為線段的中點(diǎn)．證明：.
【題型 3 線面垂直的判定】
【典例3】下列關(guān)于直線與平面垂直的判斷中，正確的是（ ）.
A．若直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則直線與平面垂直
B．若直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直，則直線與平面垂直
C．若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直
D．若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線與平面垂直
【變式3-1】已知，為兩條不同直線，，為兩個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．如果，，，那么
B．如果，，，那么
C．如果，，.那么
D．如果，，，，那么
【變式3-2】設(shè)，是兩個(gè)平面，、是兩條直線，下列命題中，可以判斷的是（ ）
A．，，且， B．，，且
C．，且 D．，，且
【變式3-3】設(shè)兩條直線，，兩個(gè)平面，，則下列條件能推出的是（ ）
A．，，且 B．，，且
C．，，且 D．，，且，
【題型4直線與平面所成的角】
【典例4】如圖，已知正方體中，分別是和的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【題型5由線面垂直的性質(zhì)證明線線平行、垂直】
【典例5】如圖，已知正方體的棱長為2． ，分別為與上的點(diǎn)，且，．
求證：；
【變式5-1】如圖，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，求證：∥平面BCE.
【變式5-2】如圖，已知多面體，平面平面，且，證明：平面.
【變式5-3】如圖，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．
【題型 6平面內(nèi)的射影問題】
【典例6】如圖，在四面體中，底面ABC是邊長為1的正三角形，，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為H， ，二面角的正切值為．
(1)求證：；
(2)求異面直線PC與AB所成角的余弦值．
【變式6-1】如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，，，.

(1)證明：；
(2)設(shè)直線到平面的距離為，求二面角的大小.
【變式6-2】如圖，在三棱柱中，在底面ABC上的射影為線段BC的中點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，且，.
(1)求三棱錐的體積；
(2)求MC與平面所成角的正弦值.
1．在三棱錐中，若頂點(diǎn)到底面三邊距離相等，則頂點(diǎn)在平面上的射影為的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心或旁心 C．垂心 D．重心
2．在各棱長都為2的正四棱錐中，側(cè)棱在平面上的射影長度為（ ）
A． B． C． D．2
3．（多選題）如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上異于、的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
4．（多選題）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．平面 D．平面
5．如圖，已知M是正方體的棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為 .
6．貴州榕江“村超”火爆全網(wǎng)，引起旅游愛好者、社會名流等的廣泛關(guān)注．足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗蹴鞠的場景．已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，連接這四點(diǎn)構(gòu)成三棱錐A-BCD如圖所示，頂點(diǎn)A在底面的射影落在內(nèi)，它的體積為，其中和都是邊長為2的正三角形，則該“鞠”的表面積為 ．

7．如圖，在平面內(nèi)，，PO是平面的斜線，，點(diǎn)Q是PO上一點(diǎn)，且，則線段PQ在平面上的射影長為 .

8．如圖，在正四棱臺中，.

(1)證明：.
(2)若正四棱臺的高為3，求點(diǎn)到平面的距離.
9．如圖，正方體ABCD -A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AE⊥直線A1D;
（2）在線段AA1上求一點(diǎn)G，使得直線AE⊥平面DFG．
10．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求三棱錐的體積．
11．如圖，已知長方體的底面是邊長為2的正方形，為其上底面的中心，在此長方體內(nèi)挖去四棱錐后所得的幾何體的體積為.
(1)求線段的長；
(2)求異面直線與所成的角.
12．如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影落在邊上.
(1)求的長度；
(2)若是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.

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