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專題03 復(fù)數(shù)的三角表示（三大題型）
【題型1 復(fù)數(shù)的三角表示】
【題型2 復(fù)數(shù)的輔角】
【題型3復(fù)數(shù)的乘、除運算的三角表示及及其幾何意義】
【題型1 復(fù)數(shù)的三角表示】
1．復(fù)數(shù)的三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點，即可求出和輻角，從而得解；
【詳解】解：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為位于第四象限，
則，，所以，即
所以．
故選：D
2．復(fù)數(shù)的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形公式可求解.
【詳解】解：
故選：C.
3．復(fù)數(shù)的三角形式為 ．
【答案】
【分析】利用誘導(dǎo)公式可將所給復(fù)數(shù)化為三角形式.
【詳解】.
故答案為：.
4．寫出復(fù)數(shù)的三角形式是 ．（輻角）
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的三角表示可得結(jié)果.
【詳解】.
故答案為：.
5．在復(fù)平面內(nèi)作出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并用三角形式表示（輻角取主值）：
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，畫向量見解析
(2)，畫向量見解析
(3)，畫向量見解析
(4)，畫向量見解析
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，求出模長和輻角，即可求解.
【詳解】（1）6對應(yīng)的向量如答圖中，
，又，
.

（2）對應(yīng)的向量如答圖中，
，
又，.

（3）對應(yīng)的向量如答圖中
，
又，.

（4）對應(yīng)的向量如答圖中，
，
又，.

6．把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：
(1)；
(2)i．
【答案】(1)
(2)
【分析】求出這個復(fù)數(shù)的模，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的位置，找出該復(fù)數(shù)的一個輻角即可寫出復(fù)數(shù)的三角形式．
【詳解】（1）因為，所以，
又對應(yīng)的點在第一象限內(nèi)，因而可取，
所以．
（2）因為，對應(yīng)的點在軸正半軸上，因而可取．
所以．
7．已知實數(shù)，寫出下列復(fù)數(shù)的輻角主值．
(1)a；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】根據(jù)輻角主值的定義，整理每個小題中復(fù)數(shù)的一般形式，找出實部與虛部，找出對應(yīng)復(fù)平面的點，可得答案.
【詳解】（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，其輻角主值為0；
（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的點在y軸正半軸，其輻角主值為；
（3）復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的點在x軸負半軸，其輻角主值為；
（4）復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的點在y軸負半軸，其輻角主值為．
8．下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
【答案】(1)是三角形式．
(2)不是三角形式，
(3)不是三角形式，z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
【分析】(1) 由復(fù)數(shù)的三角形式的特征判斷即可；
(2) 由復(fù)數(shù)的三角形式的特征判斷，求出復(fù)數(shù)的模和輻角可得答案；
(3) 由復(fù)數(shù)的三角形式的特征判斷，求出復(fù)數(shù)的模和輻角可得答案.
【詳解】（1）解：符合三角形式的結(jié)構(gòu)特征，是三角形式．
（2）解：由“加號連”知，不是三角形式．
，
模，.復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，所以取，
所以；
（3）解：由“模非負”知，不是三角形式．
復(fù)平面上的點Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ為銳角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要變換三角函數(shù)名稱，因此可用誘導(dǎo)公式“π＋θ”將θ變換到第三象限．
所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
9．將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)當時,；
當時，.
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式，再結(jié)合復(fù)數(shù)表示的三角形式
即可求解；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式及誘導(dǎo)公式，再結(jié)合復(fù)數(shù)表示的三角形式即可求解；
【詳解】（1），
，
（2）
.
∵當時，，，
∴，
當時，，，
∴
.
10．化下列復(fù)數(shù)為三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【答案】(1)2
(2)
(3)2
(4)cosπ＋isinπ
【分析】對于（1）、（2）、（3）、（4）四個小題，分別求出模和輻角主值，即可寫出對應(yīng)的三角形式.
【詳解】（1）因為z=－1＋i，所以a＝－1，b＝，
則r＝＝2，tanθ＝－.
而對應(yīng)點M(－1，)在第二象限，θ的主值為，
∴－1＋i＝2．
（2）因為z=1－i，所以a＝1，b＝-1，
則r＝，tanθ＝－1.
而對應(yīng)點M(1，-1)在第四象限，θ的主值為，
∴－1＋i＝．
（3）因為z=2i，所以a＝0，b＝2，
則r＝.
對應(yīng)點M(0，2)在y軸正半軸上，θ的主值為，
∴2i＝2．
（4）因為z=－1，所以a＝－1，b＝0，
則r＝1，對應(yīng)點M(-1，0)在x軸正半軸上，θ的主值為.
∴－1＝．
11．將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式直接可得；
（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式直接轉(zhuǎn)化即可.
【詳解】（1）
（2）
12．將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】求出各復(fù)數(shù)的模和輻角，化簡成的形式即可得解.
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）.
【題型2 復(fù)數(shù)的輔角】
13．復(fù)數(shù)1＋i的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將代數(shù)形式化為三角形式，即可得結(jié)果.
【詳解】由，故輻角主值為.
故選：C
14．下列各角不是復(fù)數(shù)的輻角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模和輻角的含義求出模及輻角主值，從而得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，，，
∴輻角主值，故可以作為復(fù)數(shù)的輻角的是，.
∴當時，；
當時，；
當時，；
故選：C．
【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)及其三角形式，計算出復(fù)數(shù)的模和輻角主值，是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
15．復(fù)數(shù)的三角形式的輻角主值為 .
【答案】/
【分析】直接由輻角主值的概念求解即可.
【詳解】由輻角主值的概念知，的輻角主值為.
故答案為：.
16．復(fù)數(shù)的三角形式（用輻角主值表示）為 ．
【答案】
【分析】由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的三角形式求解作答.
【詳解】．
故答案為：
17．已知，則的輻角主值為 ．
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式的運算可求得，由此可確定輻角主值.
【詳解】，
的輻角主值為.
故答案為：.
18．復(fù)數(shù)的輻角主值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的概念即可求解.
【詳解】，
故其輻角主值是.
故答案為：.
19．復(fù)數(shù)的幅角主值為 .
【答案】
【分析】將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的三角形式，即可知其幅角主值.
【詳解】由知：復(fù)數(shù)的幅角主值為.
故答案為：
【題型3復(fù)數(shù)的乘、除運算的三角表示及及其幾何意義】
20．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式乘法的運算法則，進行計算即可.
【詳解】
.
故選：C.
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則，屬基礎(chǔ)題.
21．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先將2化為三角形式，再用除法法則計算即可.
【詳解】
.
故選：B.
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，注意本題中將實數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式的細節(jié).
22．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進行整理化簡即可.
【詳解】
故選：C.
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬基礎(chǔ)題.
23．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進行整理化簡即可.
【詳解】
故選：D.
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬基礎(chǔ)題.
24．計算的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角運算公式運算即可.
【詳解】因為
所以，
所以，
故選：B.
25． .
【答案】
【解析】將化為復(fù)數(shù)的三角形式，再利用除法法則，進行計算即可.
【詳解】
故答案為：.
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，注意本題中將純虛數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式的細節(jié).
26．計算 ．
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的法則和三角恒等變換即可求解.
【詳解】
故答案為：.
27．化簡：
（1）；
（2）.
【答案】（1） （2）
【解析】將復(fù)數(shù)化為三角形式，按照復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，即可求解.
【詳解】解：（1）原式.
（2）原式
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.
28．計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【點睛】本.題考查【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.
【解析】復(fù)數(shù)化為三角形式，按三角形式的運算法則，即可求解.
【詳解】解：（1）原式
（2）原式
；
（3）原式 ；
（4）原式 .
復(fù)數(shù)三角形式的乘除法運算，屬于基礎(chǔ)題
29．把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：
（1）；
（2）；
（3）
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】求出各復(fù)數(shù)的實部和虛部三角函數(shù)值，即可求解.
【詳解】解.（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式與代數(shù)形式互化，屬于基礎(chǔ)題.專題03 復(fù)數(shù)的三角表示（三大題型）
【題型1 復(fù)數(shù)的三角表示】
【題型2 復(fù)數(shù)的輔角】
【題型3復(fù)數(shù)的乘、除運算的三角表示及及其幾何意義】
【題型1 復(fù)數(shù)的三角表示】
1．復(fù)數(shù)的三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
2．復(fù)數(shù)的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．復(fù)數(shù)的三角形式為 ．
4．寫出復(fù)數(shù)的三角形式是 ．（輻角）
5．在復(fù)平面內(nèi)作出下列復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，并用三角形式表示（輻角取主值）：
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
6．把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：
(1)；
(2)i．
7．已知實數(shù)，寫出下列復(fù)數(shù)的輻角主值．
(1)a； (2)； (3)； (4)．
8．下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．
(1)； (2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
9．將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式
(1)； (2)．
10．化下列復(fù)數(shù)為三角形式．
(1)－1＋i； (2)1－i； (3)2i； (4)－1．
11．將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)； (2)．
12．將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【題型2 復(fù)數(shù)的輔角】
13．復(fù)數(shù)1＋i的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
14．下列各角不是復(fù)數(shù)的輻角的是（ ）
A． B． C． D．
15．復(fù)數(shù)的三角形式的輻角主值為 .
16．復(fù)數(shù)的三角形式（用輻角主值表示）為 ．
17．已知，則的輻角主值為 ．
18．復(fù)數(shù)的輻角主值是 ．
19．復(fù)數(shù)的幅角主值為 .
【題型3復(fù)數(shù)的乘、除運算的三角表示及及其幾何意義】
20．（ ）
A． B． C． D．
21．（ ）
A． B． C． D．
22．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
23．（ ）
A． B． C． D．
24．計算的值是（ ）
A． B．
C． D．
25． .
26．計算 ．
27．化簡：
（1）； （2）.
28．計算：
（1）； （2）；
（3）；
（4）.
29．把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：
（1）； （2）；
（3） （4）.

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