資源簡介

第01講 平面向量的概念
知識點1： 向量的實際背景與概念
(1)數量與向量
在數學中,把既有大小又有方向的量叫做向量,而把只有大小沒有方向的量稱為數量.
注意：向量不能比較大小.數量可以比較大小.
(2)向量的二要素
向量由大小與方向兩個要素組成.向量的大小是代數特征,方向是幾何特征.
知識點2： 向量的幾何表示
（1）有向線段的概念
具有方向的線段叫做有向線段. 通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向,以 A為起點、B 為終點的有向線段記作 （如圖）；
以B 為起點,A 為終點的有向線段記作(如圖 ).
注意：起點一定要寫在終點的前面。
①有向線段的長度線段
AB 的長度也叫做有向線段的長度,記作,易知=
②有向線段的三要素
有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定了.
(2)向量的表示
幾何表示：向量可以用有向線段表示,我們把這個向量記作向量
字母表示：向量也可以用字母a,b,c,···表示.
注意：印刷用黑體a,b,c,書寫用 ,注意區分.
（3）向量的長度
向量AB的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.向量的長度在數值上等于線段 的長度,因此向量的長度是非負實數。
（4）兩種特殊的向量
長度為0的向量叫做零向量,記作0
注意：0與0的區別及聯系,0是一個實數，0是一個向量，且有=0.長度等于1 個單位長度的向量,叫做單位向量.
知識點3：相等向量與共線向量
（1）相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等向量．
（2）向量共線或平行：通過有向線段的直線，叫做向量的基線．
如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行．向量平行于向量，
記作∥．
說明：共線向量的方向相同或相反，　
注意：這里說向量平行，包含向量基線重合的情形，與兩條直線平行的概念有點不同．
知識點4：用共線(平行 )向量或相等向量刻畫幾何關系
(1)利用向量的模相等可以證明線段相等,利用向量相等可以證明線段平行且相等（需說明向量所在的直線無公共點）
(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行
(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形等腰三角形等)證明多點共線等.
【題型1 向量的概念】
【典例1】下列量中是向量的為（ ）
A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離
【答案】B
【分析】根據向量與數量的意義直接判斷即可.
【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故選：B
【變式1-1】已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起點是M D．終點是M
【答案】D
【詳解】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．
【變式1-2】用有向線段表示下列物體運動的速度．
(1)向正東方向勻速行駛的汽車在2h內的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落體運動的物體在1s末的速度（用1cm的長度表示速度2m/s）．
【答案】(1)答案見解析．
(2)答案見解析．
【分析】（1）以為起點，向右作長度是3cm的有向線段；
（2）以為起點，向下作長度為的有向線段．
【詳解】（1），
以為起點，向右作有向線段，它的長度是3cm，

（2），時，，
以為起點，向下作有向線段，長度為：

【題型2 向量的幾何表示】
【典例2】在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)3
【分析】（1）根據向量的大小和方向，作向量，
（2）根據向量的大小和方向，作向量，
（3）根據向量的模的定義求.
【詳解】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：

（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：

（3）
.
【變式2-1】如圖，某人從點A出發，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發現D點在B點的正北方．
(1)作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；
(2)求的模．
【答案】(1)作圖見解析
(2)
【分析】（1）根據行走方向和單位長度即可確定各點在坐標系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由題意可知，四邊形是平行四邊形，則可求得的模.
【詳解】（1）根據題意可知，B點在坐標系中的坐標為，
又因為D點在B點的正北方，所以，
又，所以，即D、 C兩點在坐標系中的坐標為，；
即可作出、、如下圖所示.
（2）如圖，作出向量，
由題意可知，且，
所以四邊形是平行四邊形，
則，
所以的模為
【變式2-2】一艘軍艦從基地A出發向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
【答案】（1）作圖見解析；（2）400（海里）．
【分析】（1）根據題設以為正東方向，過A垂直于向上為正北方向，結合題設畫出向量即可.
（2）由題設知，易知為平行四邊形，即可求.
【詳解】（1）建立如圖所示的直角坐標系，向量即為所求．
（2）根據題意，向量與方向相反，故向量，又，
∴在中，，故為平行四邊形，
∴，則（海里）．
【變式2-3】已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
【答案】答案見解析.
【分析】根據方向角及飛行距離可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【詳解】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標系．
由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限，
向量如圖所示，
由已知可得，

為正三角形，所以．
又，，
所以為等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模為，方向為東南方向．
【題型3 向量相等或共線】
【典例3】如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.

(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個
(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個
【答案】(1)11
(2)4
【分析】（1）根據平面向量的概念即可得出結論；
（2）由共線向量的概念即可得出結論.
【詳解】（1）因為ABCDEF為正六邊形，所以中心O到各頂點的距離相等，且均等于正六邊形的邊長.
因此題圖中所示的向量中與 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11個.
（2）由題知，圖中所示的向量中與 共線的向量有，、、，共4個.
【變式3-1】如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．
(1)寫出與向量相等的向量；
(2)寫出與向量共線的向量．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據向量相等的概念直接求解；
（2）根據共線向量的概念直接求解即可.
【詳解】（1）∵四邊形和四邊形都是平行四邊形，
∴，，
∴.
故與向量相等的向量是，.
（2）由共線向量的條件知，與共線的向量有，，，，，，.
【變式3-2】如圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，在以此六邊形各頂點和中心為起點、終點的向量中：
(1)寫出與相等的向量；
(2)寫出的負向量；
(3)寫出與平行的向量；
(4)寫出與長度相等的向量．
【答案】(1)，，
(2)，，，
(3)，，，，，，，，
(4)，，，，
【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，負向量，平行向量，長度相等向量定義可得答案.
【詳解】（1）兩向量相等是指兩向量方向相同，長度相等，由圖可得與相等的向量為：，，；
（2）向量的負向量是指與方向相反，長度相等的向量，由圖可得的負向量為：，，，；
（3）兩向量平行，是指兩向量方向相同或相反，由圖可得平行的向量為：
，，，，，，，，.
（4）由圖，因圖形為正六邊形，則，故與長度相等的向量為：，，，，.
【典例4】多選題下列命題中錯誤的有（ ）
A．起點相同的單位向量，終點必相同；
B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；
C．若，則；
D．若，則
【答案】AC
【分析】由單位向量的定義、向量共線和相等的條件，判斷各選項的結論.
【詳解】單位向量的方向不確定，所以起點相同的，終點不一定相同，A選項錯誤；
四邊形ABCD中，，則且，四邊形ABCD為平行四邊形，B選項正確；
當時，滿足，但不能得到，C選項錯誤；
由向量相等的條件可知，若，則，D選項正確.
故選：AC
【變式4-1】若向量與向量不相等，則與一定（　　）
A．不共線 B．長度不相等
C．不都是單位向量 D．不都是零向量
【答案】D
【分析】向量相等為長度和方向都相同，所以若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個不同，分析選項可得結果.
【詳解】若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個不同，
所以與有可能共線，有可能長度相等，也有可能都是單位向量，
所以A，B，C都是錯誤的，
但是與一定不都是零向量．
故選：D.
【變式4-2】設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據非零向量的方向是否相同分別判斷各個選項即可.
【詳解】因為，故同向.
對于A:，方向相反,A選項錯誤；
對于B:，得出,不能得出方向，B選項錯誤；
對于C:,方向向相同,則成立，C選項正確；
對于D:,不能確定的方向，D選項錯誤.
故選：C．
【變式4-3】下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】A選項，由零向量的定義進行判斷；B選項，根據向量的模及相等向量判斷；
C選項，根據向量的性質判斷，D選項，根據共線向量的定義判斷；
【詳解】對于A項：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項錯誤；
對于B項：因為向量的模相等，但向量不一定相等，故B項錯誤；
對于C項：因為，，所以可得：，故C項正確；
對于D項：若，則不共線的，也有，，故D項錯誤.
故選：C.
【變式4-4】（多選）下列命題正確的是（　　）
A．若都是單位向量，則.
B．“”是“”的必要不充分條件
C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線
D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據平面向量的定義以及向量共線的概念一一判斷.
【詳解】對A，都是單位向量，則模長相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A錯誤；
對B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；
對C，因為與反向共線，
且，都為單位向量，則＋＝，C正確；
對D，若，則，D正確，
故選:BCD.
【題型4 用向量關系研究幾何圖形的性質】
【典例5】如圖所示，點D在的邊上，且與點B，C不重合，點E，F分別在，上，.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】根據相等向量的定義，可以得到一個平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到線線平行，再根據已知的向量相等，可得到一組平行線，這樣可以得到兩組角對應相等，利用相似三角形的判定理可以證明.
【詳解】證明：∵，∴且，
∴四邊形是平行四邊形，∴，∴.
由，得.∴
【點睛】本題考查了相等向量的定義，考查了平行四邊形的判定定理和性質定理，考查了平行線的性質定理，考查了三角形相似的判定定理，考查了推理論證能力.
【變式5-1】如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：.
【答案】(1)，，；
(2)證明見解析.
【分析】根據條件，可得四邊形為平行四邊形，即可寫出與向量共線的向量；
根據題意可得出四邊形是平行四邊形，從而得出，，進而得出結論.
【詳解】（1）解：因為在平行四邊形中，，分別是，的中點，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
所以與向量共線的向量為：，，.
（2）證明：在平行四邊形中，，.
因為，分別是，的中點，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
故.
【變式5-2】如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【答案】答案見解析
【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四邊形的判定定理即可證明.
【詳解】因為四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．
所以四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，
所以四邊形ABCD是平行四邊形．
即證.
【變式5-3】如圖，已知在四邊形中，M，N分別是，的中點，又.求證：.
【答案】證明見解析
【解析】根據相等向量的定義、中點的定義、平行四邊形的判定定理和性質定理，可以證明出.
【詳解】證明：由可知且，
所以四邊形為平行四邊形，
從而.
又M，N分別是，的中點，于是.
所以且.
所以四邊形是平行四邊形.
從而.
【點睛】本題考查了相等向量的定義，考查了平行四邊形的判定定理和性質定理的應用，考查了推理論證能力.
一、單選題
1．如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據正六邊形的性質逐項判斷后可得正確的選項.
【詳解】對于A，由正六邊形的性質可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.
對于B，因為，故，故B正確.
對于C，由正六邊形的性質可得，故，故C正確.
對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，
故選：D.
2．設點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共線向量 D．共起點的向量
【答案】B
【分析】根據正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解
【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，
到三個頂點的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.
故選：B
3．下列命題正確的個數是（ ）
（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】（1）由向量的幾何表示判斷；（2）（3）（4）根據對零向量的規定判斷.
【詳解】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯誤；
（2）根據對零向量的規定零向量是有方向的，是任意的，故錯誤；
（3）根據對零向量的規定，零向量的方向是任意的，故正確；
（4）根據對零向量的規定，零向量的大小為0，所以零向量的長度為0，故正確．
故選：B
4．已知兩個非零向量與共線，下列說法不正確的是（　　）
A．或
B．與平行
C．與方向相同或相反
D．存在實數，使得
【答案】A
【分析】根據共線向量的概念，以及向量共線定理，逐項判斷，即可得出結果.
【詳解】非零向量與共線，
對于A，，，故A錯誤；
對于B，∵向量與共線，∴向量與平行，故B正確；
對于C，∵向量與共線，∴與方向相同或相反，故C正確；
對于D，∵與共線，∴存在實數，使得，故D正確．
故選:A．
5．下列各物理量表示向量的是（ ）
A．質量 B．距度 C．力 D．體重
【答案】C
【分析】根據向量的定義判斷可得出結論.
【詳解】由向量的定義可知，力為向量，質量、距離、體重都為數量.
故選：C.
6．如果一架飛機向西飛行，再向南飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，則（ ）．
A． B． C． D．與不能比較大小
【答案】A
【分析】根據題意，作圖，結合向量的幾何意義，可得答案.
【詳解】由題意，作圖如下：
則該飛機由先飛到，再飛到，則，，，
則飛機飛行的路程為，，
所以.
故選：A.
7．設為兩個非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合共線向量的定義分析判斷
【詳解】因為，所以同向共線，所以，
因為，所以同向共線，此時不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
二、多選題
8．下列說法中,錯誤的有（ ）
A．單位向量都相等 B．模相等的兩個平行向量相等
C．若且,同向,則 D．,若,,則
【答案】ABC
【分析】根據平面向量的概念一一判斷即可.
【詳解】對于A,單位向量的方向不能確定,根據兩個向量相等的概念,兩向量不一定相等,故A錯誤;
對于B,相反向量模相等,且為平行向量,但不是相等向量,故B錯誤;
對于C,向量的模可以比較大小,但向量不能比較大小,故C錯誤;
對于D,因為,所以若,,則,故D正確.
故選:ABC.
9．以下說法正確的是（ ）
A．兩個相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若和都是單位向量，則
D．平行向量一定是共線向量
【答案】AD
【分析】根據相等向量、平行向量、單位向量、共線向量的概念分析可得答案.
【詳解】根據相等向量的概念可知，兩個相等向量的模相等，故A正確；
根據平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量與任何向量平行，此時不談方向，故B不正確；
若和都是單位向量，則，不一定有，故C不正確；
平行向量與共線向量是同一個概念，故D正確.
故選：AD.
10．下面關于向量的說法正確的是（ ）
A．單位向量：模為的向量
B．零向量：模為的向量
C．平行共線向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】ABD
【分析】由單位向量、零向量、相等向量、共線向量的概念可知.
【詳解】C項，方向相反的向量也是共線向量，故錯誤；
ABD項，由單位向量、零向量、相等向量概念可知，正確.
故選：ABD.
11．給出下面四個命題，其中是真命題的是（ ）
A．
B．零向量與任意向量平行
C．是的充分不必要條件
D．向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
【答案】AB
【分析】利用相反向量的定義判斷選項A；利用規定：零向量和任意向量平判斷選項B；利用相等向量的定義判斷選項C；利用平行四邊形可判斷選項D.
【詳解】對A，，A正確；
對B，我們規定：零向量與任意向量平行，B正確；
對C，由只能確定長度相等，不等確定方向，
所以推不出，
又由可得，
所以是的必要不充分條件，C錯誤；
對D，在平行四邊形中，向量與向量是共線向量，
但點A，B，C，D不在同一條直線上，D錯誤；
故選:AB.
三、填空題
12．在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
【答案】 與，與 與，與
【分析】觀察圖形，利用共線向量、方向相反向量、模相等的向量的意義判斷作答.
【詳解】觀察圖形，，因此與是共線向量，并且方向相反；與是共線向量，并且方向相反，
顯然，因此的模相等.
故答案為：與，與；與，與；
13．已知是單位向量，在四邊形ABCD中，，，則四邊形ABCD的形狀為 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）.
【答案】菱形；
【分析】利用向量得到四邊形對邊和鄰邊的位置關系，判斷四邊形的形狀.
【詳解】是單位向量，在四邊形ABCD中，，，
則，在四邊形ABCD中，，，可知四邊形ABCD是平行四邊形，
又，，所以四邊形ABCD是菱形.
故答案為：菱形.
14．若與任意都平行，則 .
【答案】
【分析】根據零向量的性質可直接得到結果.
【詳解】零向量與任意向量都平行，.
故答案為：.
四、解答題
15．用有向線段分別表示一個方向向上、大小為20N的力，以及一個方向向下、大小為30N的力（用1cm的長度表示大小為10N的力）．
【答案】答案見解析．
【分析】根據有向線段的定義作圖．
【詳解】如圖，有向線段表示方向向上、大小為20N的力，有向線段表示方向向下、大小為30N的力，
16．已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在下圖所標出的向量中：

(1)找出與相等的向量；
(2)找出幾組相反向量．
【答案】(1)
(2)與，與，與
【分析】（1）根據相等向量定義判斷選擇即可；
（2）根據相反向量定義判斷選擇即可.
【詳解】（1）與方向相同且長度相等，故．
（2）與，與，與方向相反且長度相等分別互為相反向量．
17．如圖，D，E分別為的邊AB，AC的中點，求證：與共線，并用表示．

【答案】證明見解析；
【分析】由三角形的中位線的性質及共線向量基本定理可得結果.
【詳解】證明：因為D，E分別為AB，AC的中點，
所以，
即與共線．
又，且與同向，
所以．
18．如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.
【答案】見解析
【解析】根據平行四邊形及向量相等的定理即可證明；
【詳解】解：因為，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以且.
又與的方向相同，所以.
同理可證，四邊形是平行四邊形，所以.
因為，，所以，
又與的方向相同，所以
【點睛】本題考查向量相等的定義的應用，屬于基礎題.
19．某人從A點出發向西走了200m到達B點，然后改變方向向西偏北60°走了450m到達C點，最后又改變方向向東走了200m到達D點
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
【答案】（1）見解析；（2）450m
【分析】（1）利用具體方位，用有向線段表示向量；
（2）借助相反向量模相等，得到.
【詳解】（1）根據題意，如圖所示.
（2）由題意及（1）可得，四邊形為平行四邊形,所以.
【點睛】本題考查具體方位，用有向線段表示向量，向量的平行四邊形法則以及相反向量模相等．
20．如圖,在中,已知向量,,求證:.
【答案】證明見解析
【解析】先證明四邊形是平行四邊形,再證明即可.
【詳解】證明 ∵,∴D為的中點.
∵,
∴,
∴四邊形是平行四邊形,
∴,
∴E為的中點,
∴,
∴.
【點睛】本題主要考查了相等向量的證明,屬于基礎題型.第01講 平面向量的概念
知識點1： 向量的實際背景與概念
(1)數量與向量
在數學中,把既有大小又有方向的量叫做向量,而把只有大小沒有方向的量稱為數量.
注意：向量不能比較大小.數量可以比較大小.
(2)向量的二要素
向量由大小與方向兩個要素組成.向量的大小是代數特征,方向是幾何特征.
知識點2： 向量的幾何表示
（1）有向線段的概念
具有方向的線段叫做有向線段. 通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向,以 A為起點、B 為終點的有向線段記作 （如圖）；
以B 為起點,A 為終點的有向線段記作(如圖 ).
注意：起點一定要寫在終點的前面。
①有向線段的長度線段
AB 的長度也叫做有向線段的長度,記作,易知=
②有向線段的三要素
有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定了.
(2)向量的表示
幾何表示：向量可以用有向線段表示,我們把這個向量記作向量
字母表示：向量也可以用字母a,b,c,···表示.
注意：印刷用黑體a,b,c,書寫用 ,注意區分.
（3）向量的長度
向量AB的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.向量的長度在數值上等于線段 的長度,因此向量的長度是非負實數。
（4）兩種特殊的向量
長度為0的向量叫做零向量,記作0
注意：0與0的區別及聯系,0是一個實數，0是一個向量，且有=0.長度等于1 個單位長度的向量,叫做單位向量.
知識點3：相等向量與共線向量
（1）相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等向量．
（2）向量共線或平行：通過有向線段的直線，叫做向量的基線．
如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行．向量平行于向量，
記作∥．
說明：共線向量的方向相同或相反，　
注意：這里說向量平行，包含向量基線重合的情形，與兩條直線平行的概念有點不同．
知識點4：用共線(平行 )向量或相等向量刻畫幾何關系
(1)利用向量的模相等可以證明線段相等,利用向量相等可以證明線段平行且相等（需說明向量所在的直線無公共點）
(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行
(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形等腰三角形等)證明多點共線等.
【題型1 向量的概念】
【典例1】下列量中是向量的為（ ）
A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離
【變式1-1】已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起點是M D．終點是M
【變式1-2】用有向線段表示下列物體運動的速度．
(1)向正東方向勻速行駛的汽車在2h內的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落體運動的物體在1s末的速度（用1cm的長度表示速度2m/s）．
【題型2 向量的幾何表示】
【典例2】在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
【變式2-1】如圖，某人從點A出發，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發現D點在B點的正北方．
(1)作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；
(2)求的模．
【變式2-2】一艘軍艦從基地A出發向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
【變式2-3】已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
【題型3 向量相等或共線】
【典例3】如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.

(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個
(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個
【變式3-1】如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．
(1)寫出與向量相等的向量；
(2)寫出與向量共線的向量．
【變式3-2】如圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，在以此六邊形各頂點和中心為起點、終點的向量中：
(1)寫出與相等的向量；
(2)寫出的負向量；
(3)寫出與平行的向量；
(4)寫出與長度相等的向量．
【典例4】多選題下列命題中錯誤的有（ ）
A．起點相同的單位向量，終點必相同；
B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；
C．若，則；
D．若，則
【變式4-1】若向量與向量不相等，則與一定（　　）
A．不共線 B．長度不相等
C．不都是單位向量 D．不都是零向量
【變式4-2】設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【變式4-4】（多選）下列命題正確的是（　　）
A．若都是單位向量，則.
B．“”是“”的必要不充分條件
C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線
D．若，則
【題型4 用向量關系研究幾何圖形的性質】
【典例5】如圖所示，點D在的邊上，且與點B，C不重合，點E，F分別在，上，.求證：.
【變式5-1】如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：.
【變式5-2】如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【變式5-3】如圖，已知在四邊形中，M，N分別是，的中點，又.求證：.
一、單選題
1．如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
2．設點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共線向量 D．共起點的向量
3．下列命題正確的個數是（ ）
（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知兩個非零向量與共線，下列說法不正確的是（　　）
A．或
B．與平行
C．與方向相同或相反
D．存在實數，使得
5．下列各物理量表示向量的是（ ）
A．質量 B．距度 C．力 D．體重
6．如果一架飛機向西飛行，再向南飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，則（ ）．
A． B． C． D．與不能比較大小
7．設為兩個非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
8．下列說法中,錯誤的有（ ）
A．單位向量都相等 B．模相等的兩個平行向量相等
C．若且,同向,則 D．,若,,則
9．以下說法正確的是（ ）
A．兩個相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若和都是單位向量，則
D．平行向量一定是共線向量
10．下面關于向量的說法正確的是（ ）
A．單位向量：模為的向量
B．零向量：模為的向量
C．平行共線向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
11．給出下面四個命題，其中是真命題的是（ ）
A．
B．零向量與任意向量平行
C．是的充分不必要條件
D．向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
三、填空題
12．在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
13．已知是單位向量，在四邊形ABCD中，，，則四邊形ABCD的形狀為 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）.
14．若與任意都平行，則 .
四、解答題
15．用有向線段分別表示一個方向向上、大小為20N的力，以及一個方向向下、大小為30N的力（用1cm的長度表示大小為10N的力）．
16．已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在下圖所標出的向量中：

(1)找出與相等的向量；
(2)找出幾組相反向量．
17．如圖，D，E分別為的邊AB，AC的中點，求證：與共線，并用表示．

18．如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.
19．某人從A點出發向西走了200m到達B點，然后改變方向向西偏北60°走了450m到達C點，最后又改變方向向東走了200m到達D點
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
20．如圖,在中,已知向量,,求證:.

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