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專題02 平面向量的運(yùn)算（六大題型）
【題型1向量的加減運(yùn)算】
【題型2 三角形( 平行四邊形 ) 法則的應(yīng)用】
【題型3向量的線性運(yùn)算】
【題型4 用已知向量表示相關(guān)向量】
【題型5 向量共線定理的應(yīng)用】
【題型6向量線性運(yùn)算在三角形中的運(yùn)用】
【題型1向量的加減運(yùn)算】
1．化簡：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法則可知.
【詳解】.
故選：C.
2．在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【詳解】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法化簡，根據(jù)矩形的特征可求對角線的長度，進(jìn)而可求模長．
【分析】在矩形中，由，可得，
又因?yàn)?，故，故?br/>故選：A.
3．已知四邊形是平行四邊形，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量加法法則可化簡.
【詳解】.
故選：D.
4．四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】,
故選：B
5．若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（ ）
A．向東北方向航行
B．向北偏東方向航行
C．向正北方向航行
D．向正東方向航行
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的方向，畫出圖形，利用向量的加法運(yùn)算，計(jì)算結(jié)果.
【詳解】如圖，

易知，所以．故的方向是北偏東．又.
故選：B．
6．化簡
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
（2）
【題型2 三角形( 平行四邊形 ) 法則的應(yīng)用】
7．如圖所示，在中，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.
【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：
.
故選：A.
8．如圖，已知中，是邊上一點(diǎn)，若，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量加減法運(yùn)算求解即可.
【詳解】連接，如圖所示：

因?yàn)椋?br/>所以，
所以，所以.
故選：B
9．如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則判斷即可.
【詳解】在平行四邊形中.
故選：B
10．在平行四邊形中，O為對角線的交點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的加法運(yùn)算求解.
【詳解】解：在平行四邊形中，O為對角線的交點(diǎn)，
易知，
所以．
故選：D
11．在四邊形中，若，則（ ）
A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形
C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則及向量相等的充要條件判斷即可；
【詳解】解：，，
，且，四邊形是平行四邊形．
故選：D．
12．已知是平面上一點(diǎn)，，且四邊形為平行四邊形，則( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)在平行四邊形ABCD中，有和向量的加減法即可計(jì)算.
【詳解】易知，
而在平行四邊形中有，
∴，即，也即.
故選：B.
13．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>對A，，正確；
對B，，錯(cuò)誤；
對C，，正確；
對D，，正確.
故選：B.
14．點(diǎn)是平行四邊形的兩條對角線的交點(diǎn)，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形關(guān)系，結(jié)合向量的加減法，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】數(shù)形結(jié)合可知：
.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加減法的圖形表示，屬綜合簡單題.
15．若，則（　　）
A．一定可以構(gòu)成三角形
B．都是非零向量時(shí)可以構(gòu)成一個(gè)三角形
C．一定不可以構(gòu)成一個(gè)三角形
D．都是非零向量時(shí)也可能無法構(gòu)成三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)向量是否共線判斷．
【詳解】，則都是非零向量且不共線時(shí)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，而共線時(shí)不能構(gòu)成三角形，
故選：D．
16．在平行四邊形中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的三角形法則，將向量用來表示即可；
【詳解】因?yàn)镋為BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，
所以，
所以 ，，故．
故答案為：
【題型3向量的線性運(yùn)算】
17．化簡：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算求解作答.
【詳解】（1）.
（2）.
18．已知向量，計(jì)算
【答案】
【分析】利用向量運(yùn)算即可求出結(jié)果.
【詳解】，
所以
19．計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算即可求得結(jié)果；
（2）按照向量的運(yùn)算法則依次計(jì)算即可.
【詳解】（1）原式
．
（2）原式
20．化簡：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】根據(jù)向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算化簡即可.
【詳解】（1）.
（2）
.
21．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
22．計(jì)算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.
（2）利用平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】（1）原式=
.
（2）原式=
.
23．解關(guān)于，的方程或方程組：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，分別求解方程和方程組.
【詳解】（1），
即，解得：；
（2），整理為，兩式相減得，
代入其中一個(gè)式子得，
所以方程組的解是.
【題型4 用已知向量表示相關(guān)向量】
24．設(shè)，若用與表示，求的表達(dá)式.
【答案】
【分析】利用向量加法的三角形法則及數(shù)乘向量運(yùn)算律求解即得.
【詳解】因，
則，
所以.
25．若，，其中，是已知向量，求，.
【答案】
【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算解方程組，即可.
【詳解】把已知中的兩個(gè)等式看作關(guān)于，的方程
聯(lián)立得方程組解得
【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于較易題.
26．已知與，且，，求，．
【答案】
【解析】根據(jù)題意列出方程組，求出，即可.
【詳解】把已知中的兩個(gè)等式看成關(guān)于，的方程，
聯(lián)立得，解方程組得.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查了二元一次方程組的解法，屬于基礎(chǔ)題.
27．已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.
【答案】＝－8＋9－3.
【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，移項(xiàng)，直接解出即可.
【詳解】因?yàn)?(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，
即＝－8＋9－3.
28．已知向量，，且，求向量．
【答案】
【分析】利用向量的線性運(yùn)算化簡即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，可得.
【題型5 向量共線定理的應(yīng)用】
29．已知點(diǎn)為平面上四點(diǎn)，且向量且．
(1)求證：三點(diǎn)共線；
(2)若點(diǎn)在線段上，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】化簡且
得且，由向量共線定理即可證出.
由（1），若點(diǎn)B在線段上，則與同向且，
即
【詳解】(1)證明：
,，
且
又與有公共點(diǎn)A,∴三點(diǎn)共線.
(2)由(1)知，若點(diǎn)B在線段上，則與同向且（如圖所示）
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點(diǎn)共線問題，此題體現(xiàn)了向量共線定理的靈活應(yīng)用.
30．設(shè)是兩個(gè)不共線向量，已知，，．若，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值．
【答案】
【解析】由B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)存在，使得，化簡整理即可得解.
【詳解】，
∵B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴，即．
由題意知不共線，得，解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線問題，熟練應(yīng)用向量共線定理是解題的關(guān)鍵.
31．已知向量，，其中，不共線，向量，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使向量與共線？
【答案】存在
【分析】由已知得，所以要使與共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)，使，即，從而得，進(jìn)而可求得結(jié)果
【詳解】因?yàn)橄蛄?，?br/>所以
要使與共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)，使，
即，
即得.
故存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，只要，就能使與共線.
32．設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．若與共線，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】k＝±4.
【分析】由題意與共線，結(jié)合向量共線定理即可求得答案.
【詳解】由不共線可知為非零向量，而與共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即.
因?yàn)椴还簿€，所以.
33．已知.其中與不共線且B，C，D三點(diǎn)共線，求的值.
【答案】.
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算、共線的性質(zhì)進(jìn)行求解.
【詳解】由B，C，D三點(diǎn)共線，得，
又，
所以，
，
所以，即，
所以，解得.
【題型6向量線性運(yùn)算在三角形中的運(yùn)用】
34．如圖所示，在中，、、分別為、、邊的中點(diǎn)，求證.
【答案】證明見解析.
【分析】由向量線性運(yùn)算，結(jié)合中線向量的結(jié)論進(jìn)行證明，即把題中向量用三角形三邊線段對應(yīng)的向量表示后可得．
【詳解】、、分別為、、邊的中點(diǎn)，
，，.
.
35．如圖，在△中，D，E為邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，求．
【答案】，
【分析】由各向量對應(yīng)線段的幾何關(guān)系，結(jié)合向量加減、數(shù)乘的幾何意義有，，再根據(jù)、求關(guān)于的表達(dá)式.
【詳解】∵，
∴．又D，E為邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴，
∴，．
36．如圖所示，已知D，E分別是邊的中點(diǎn)．求證：，且．
【答案】證明見解析
【分析】利用平面向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為即可得到答案.
【詳解】．
因?yàn)镈，E分別為邊的中點(diǎn)，所以，
所以，所以且．
36．如圖，已知點(diǎn)是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．
【答案】
【分析】根據(jù)重心的幾何性質(zhì)和三點(diǎn)共線的向量表示，依據(jù)線段長的比例進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】∵是的重心，∴是邊上的中線，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三點(diǎn)共線，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，
∴的最小值為.專題02 平面向量的運(yùn)算（六大題型）
【題型1向量的加減運(yùn)算】
【題型2 三角形( 平行四邊形 ) 法則的應(yīng)用】
【題型3向量的線性運(yùn)算】
【題型4 用已知向量表示相關(guān)向量】
【題型5 向量共線定理的應(yīng)用】
【題型6向量線性運(yùn)算在三角形中的運(yùn)用】
【題型1向量的加減運(yùn)算】
1．化簡：（ ）
A． B． C． D．
2．在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
3．已知四邊形是平行四邊形，則（ ）
A． B． C． D．
4．四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
5．若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（ ）
A．向東北方向航行
B．向北偏東方向航行
C．向正北方向航行
D．向正東方向航行
6．化簡
(1)；
(2)．
【題型2 三角形( 平行四邊形 ) 法則的應(yīng)用】
7．如圖所示，在中，，則（ ）

A． B．
C． D．
8．如圖，已知中，是邊上一點(diǎn)，若，，則（ ）

A． B． C． D．
9．如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（ ）

A． B． C． D．
10．在平行四邊形中，O為對角線的交點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
11．在四邊形中，若，則（ ）
A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形
C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形
12．已知是平面上一點(diǎn)，，且四邊形為平行四邊形，則( )
A． B．
C． D．
13．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
14．點(diǎn)是平行四邊形的兩條對角線的交點(diǎn)，則等于（ ）
A． B． C． D．
15．若，則（　　）
A．一定可以構(gòu)成三角形
B．都是非零向量時(shí)可以構(gòu)成一個(gè)三角形
C．一定不可以構(gòu)成一個(gè)三角形
D．都是非零向量時(shí)也可能無法構(gòu)成三角形
16．在平行四邊形中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，則 ．
【題型3向量的線性運(yùn)算】
17．化簡：
(1)； (2).
18．已知向量，計(jì)算
19．計(jì)算：
(1)； (2)．
20．化簡：
(1)； (2).
21．計(jì)算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
22．計(jì)算：
(1)；
(2).
23．解關(guān)于，的方程或方程組：
（1）； （2）.
【題型4 用已知向量表示相關(guān)向量】
24．設(shè)，若用與表示，求的表達(dá)式.
25．若，，其中，是已知向量，求，.
26．已知與，且，，求，．
27．已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.
28．已知向量，，且，求向量．
【題型5 向量共線定理的應(yīng)用】
29．已知點(diǎn)為平面上四點(diǎn)，且向量且．
(1)求證：三點(diǎn)共線；
(2)若點(diǎn)在線段上，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
30．設(shè)是兩個(gè)不共線向量，已知，，．若，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值．
31．已知向量，，其中，不共線，向量，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使向量與共線？
32．設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．若與共線，求實(shí)數(shù)的值．
33．已知.其中與不共線且B，C，D三點(diǎn)共線，求的值.
【題型6向量線性運(yùn)算在三角形中的運(yùn)用】
34．如圖所示，在中，、、分別為、、邊的中點(diǎn)，求證.
35．如圖，在△中，D，E為邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，求．
36．如圖所示，已知D，E分別是邊的中點(diǎn)．求證：，且．
36．如圖，已知點(diǎn)是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．

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