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第03講 簡單幾何體的表面積和體積
考點1：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們各個面的面積的和．
求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量：底面邊長、高、斜高、側棱，并注意兩個直角梯形的應用
(1)高、側棱、上、下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面邊心距所成的直角梯形．
考點2：棱柱、棱錐、棱臺的體積
棱柱：V棱柱＝Sh （S為棱柱的底面積，h為棱柱的高）
棱錐：V棱錐＝Sh（S為棱錐的底面積，h為棱錐的高）
棱臺：V棱臺＝(S′＋＋S)h（S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高）
求解正棱臺的體積時，注意棱臺的五個基本量(上、下底面邊長、高、斜高、側棱)．
常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到直角梯形中解決問題；二是把正棱臺還原成正棱錐．利用正棱錐的有關知識來解決問題．
考點3：簡單組合體的表面積與體積
求組合體的表面積和體積，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減．
表面積公式：底面積：S底＝2πr2
旋轉體側面積：S側＝2πrl
圓柱：表面積：S＝2πr(r＋l)；
圓錐：底面積：S底＝πr2；側面積：S側＝πrl；表面積：S＝πr(r＋l)
圓臺：上底面面積：S上底＝πr′2；
下底面面積：S下底＝πr2；
側面積：S側＝π(r′l＋rl)；
表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計算，
而表面積是側面積與底面圓的面積之和．
考點4:圓柱、圓錐、圓臺的體積
圓柱：V圓柱＝Sh＝πr2h（圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h）
圓錐：V圓錐＝Sh＝πr2h（圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h）
圓臺：V圓臺＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h
圓臺上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為h
考點5：球的表面積與體積
1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)．
2．球的體積公式V＝πR3.
計算球的表面積與體積，關鍵是確定球心與半徑．
【題型1多面體的表面積與體積】
【典例1】已知正三棱柱所有棱長均為2，則該正三棱柱的體積為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根據三棱棱柱體積的計算公式直接計算，判斷選項.
【詳解】,
故選:A
【變式1-1】若正四棱柱的底面周長為，高為，則該正四棱柱的表面積為 .
【答案】10
【分析】求出側面積和上下底面積，相加即可得答案.
【詳解】因為正四棱柱的底面周長為4，所以底面正方形邊長為1，
則該正四棱柱的表面積，
故答案為：10.
【變式1-2】在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為 ．
【答案】
【分析】根據題意，利用勾股定理算出底面中心到頂點的距離為，再由錐體的體積公式加以計算，即可得到該棱錐的體積．
【詳解】在平面上的投影是，因為是正四棱錐，
所以是正方形對角線的交點，連結，
，，
所以，于是.
故答案為：.
【變式1-3】如圖，正四面體的各棱長均為1，則它的表面積是 .
【答案】
【分析】利用椎體的表面積求法求解.
【詳解】因為是正三角形，其邊長為1，所以,
因此，四面體的表面積.
故答案為: .
【題型 2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】
【典例2-1】已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用圓錐側面積公式求出底面圓半徑，進而求出高即可計算得解.
【詳解】設圓錐PO的底面圓半徑為，由母線長為2，側面積等于，得，
解得，因此圓錐的高，
所以該圓錐的體積為.
故選：C
【典例2-2】如圖，圓臺高為，軸截面中母線與底面直徑的夾角為，軸截面中一條對角線垂直于腰，求：圓臺的體積.
【答案】
【分析】利用圓臺的體積公式求解即可.
【詳解】設上、下底面半徑分別為，，過作底面交于，
由題意可知，，
所以，
所以，，
所以，
解得，，
所以.
【變式2-1】如圖所示，圓錐的頂點為，底面中心為，母線，底面半徑與的夾角為，且.求該圓錐的表面積.
【答案】
【分析】根據圓錐的側面積公式及圓的面積公式求解.
【詳解】圓錐的側面積公式，
底面圓的面積，
故圓錐的表面積.
故答案為：
【變式2-2】如圖，已知圓柱的底面半徑為2，母線長為3，

(1)求該圓柱的體積和表面積
(2)直角三角形繞旋轉一周，求所得圓錐的側面積
【答案】(1)體積為，表面積為；
(2)
【分析】（1）由圓柱體積公式可得體積，由側面積公式先求側面積，表面積為側面積加上兩個底面積可得；
（2）先求圓錐母線長，再由側面積公式可得.
【詳解】（1）圓柱的底面半徑，母線長，即高，
體積，
表面積.
（2）由題意，圓錐母線，
所得圓錐的側面積為.
【變式2-3】已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出上下底面的面積，作出輔助線，得到母線長，從而得到圓臺的表面積.
【詳解】由題意，得上底面面積為，下底面面積為，
由圖形可得，，
母線與下底面所成的角為，故，
故圓臺的母線長為2，所以側面積為，
所以該圓臺的表面積為．
故選：C．
【變式2-4】現有一個圓臺形的杯子，杯口的內徑為，杯底的內徑為，杯中盛滿溶液時溶液的高度為，當杯中盛滿溶液時，杯中溶液的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由臺體體積公式結合題目條件可得答案.
【詳解】由題可得，杯底面積為，杯口面積為，又溶液高度為.
當杯中盛滿溶液時，溶液的體積．
故選：A
【題型 3球的表面積與體積】
【典例3】已知球的表面積為，則該球的體積為 ．
【答案】
【分析】根據球體表面積計算公式求出球體半徑，再根據球體體積計算公式求出球體體積即可.
【詳解】設球體的半徑為，根據已知有：，解得，所以球體體積為：
.
故答案為：.
【變式3-1】A，B，C，D是球的球面上四點，，球心是的中點，四面體的體積為，則球的表面積為 .
【答案】
【分析】利用棱錐的體積公式結合球的表面積公式計算即可.
【詳解】由題意可知為球的直徑，設到面的距離為，
易知等邊的面積為，
所以，則球心到面的距離為1，
設面，易知為等邊的外心，
所以，
故.
故答案為：
【變式3-2】球面上三點、、所確定的截面到球心的距離等于球半徑的，且，，，則該球的體積為 .
【答案】
【分析】設球的半徑為，計算出的外接圓半徑，根據題意可得出關于的等式，解出的值，再利用球體的體積公式可求得該球的體積.
【詳解】設球的半徑為，因為，，，則，
所以，，則為直角三角形，且為斜邊，
所以，的外接圓半徑為，
因為所確定的截面到球心的距離等于球半徑的，
則，可得，
因此，該球的體積為.
故答案為：.
【題型4組合體的表面積與體積】
【典例4】如圖，某幾何體的下部分是長 寬均為8，高為3的長方體，上部分是側棱長都相等且高為3的四棱錐，求：
（1）該幾何體的體積；
（2）該幾何體的表面積.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）按照公式求出長方體和四棱錐的體積，求和即可；（2）先找到四棱錐側面的高，然后可求出四棱錐的側面積，繼而求長方體的表面積，求和即可.
【詳解】連接，交于點，取的中點，連接，，
（1）
∴
（2）∵，
∴
【點睛】易錯點睛：求棱錐的表面積時要注意高為面的高，而不是棱錐的高.
【變式4-1】如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統手工藝品之一．圖2是小明為自家設計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為和，正六棱臺與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（ ）

A．B． C． D．
【答案】A
【分析】作出輔助線，求出正六棱臺的側高，從而求出正六棱臺的側面積，再求出正六棱臺的下底面面積，圓柱的側面積和底面積，相加得到該花燈的表面積.
【詳解】正六棱柱的六個側面面積之和為，
正六棱柱的底面面積為，
如圖所示，正六棱臺中，，
過點分別作垂直于底面于點，
連接相交于點，則分別為的中點，
過點作⊥于點，連接，則為正六棱臺的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，

所以正六棱臺的斜高為，
故正六棱臺的側面積為，
又正六棱臺的下底面面積為，
所以該花燈的表面積為．
故選：A．
【變式4-2】某個實心零部件的直觀圖如圖所示，其下部是上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱.現需要對該零部件表面進行防腐處理，已知，，，，每平方厘米的加工處理費為0.2元，則需加工處理費多少元？

【答案】484元
【分析】需計算上面四棱柱的表面積（除去下底面的面積），四棱臺的表面積（除去下底面的面積）即可．
【詳解】因為四棱柱的底面是正方形，側面是全等的矩形，
所以該零部件上部的表面積.
又四棱臺的上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形，
所以該零部件下部的表面積.
于是該實心零部件的表面積，
又（元），
故所需加工處理費為484元.
【題型5球的截面問題】
【典例5】已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且，，求球面面積與球的體積.
【答案】，
【分析】求出外接圓半徑，再利用勾股定理求出球半徑即可.
【詳解】如圖，設球心為O，球半徑為R，作平面ABC于點，
由于，則是的外心，
設M是AB的中點，由于，則.
設，易知，
則，，
又，∴，
解得，∴.
在中，，，，
由勾股定理得，解得，
則，.
【變式5-1】若將上底面半徑為2，下底面半徑為4的圓臺型木塊，削成體積最大的球，則該球的表面積為 ．
【答案】
【分析】球的體積最大，當且僅當該球為圓臺的內切球，利用圓臺軸截面與球的截面大圓關系求出球半徑即可.
【詳解】依題意，削成的球體積最大，當且僅當該球為圓臺的內切球，設球半徑為，
過圓臺軸的截面截球所得大圓是圓臺軸截面等腰梯形的內切圓，則梯形的高為，
由圓的外切四邊形性質可知，等腰梯形的腰長為，
因此，解得，
所以球的表面積.
故答案為：
【變式5-2】已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直OA的平面截球得到圓M，若圓M的面積為，則球O的表面積為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，利用圓的面積公式和球的截面圓的性質，求得球的半徑，結合球的表面積公式，即可求解.
【詳解】設圓的半徑為，因為圓M的面積為，可得，解得，
設球O的半徑為，由截面圓的性質，可得，即，
解得，所以球的表面積為．
故選：C．
【變式5-3】用與球心O距離為2的平面截球，所得截面與球心O構成的圓錐的體積為6π，則球的表面積為（ ）
A．13π B．52π
C．20π D．36π
【答案】B
【分析】根據球中截面圓的性質，結合錐體體積公式即可求解半徑，進而由球表面積公式求解.
【詳解】設平面截得截面圓的半徑為，球半徑為,
所以，
所以外接球的表面積為，
故選：B
【變式5-4】若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用球的截面小圓性質及球的面積公式計算即得.
【詳解】由平面截球所得截面圓的面積為，得此截面小圓半徑，而球心到此小圓距離，
因此球的半徑，有，
所以球的表面積.
故選：C
【題型 6 幾何體與球的切、接問題】
【典例6】三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先作圖構造外接球的球心，再根據幾何關系求外接球的半徑，最后代入三棱錐外接球的表面積公式.
【詳解】如圖，點為外接圓的圓心，過點作平面的垂線，
點為的中點，過點作線段的垂線，所作兩條垂線交于點，
則點為三棱錐外接球的球心，
因為平面，且為等邊三角形，，
所以四邊形為矩形，，，
所以，即三棱錐外接球的半徑，
則該三棱錐外接球的表面積為.
故選：B
【變式6-1】已知在直三棱柱中存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為 .
【答案】
【分析】求出底面直角三角形內切圓半徑，即可得直棱柱的高，如圖，分別取的中點，連接，的中點是其外接球球心，求出半徑后可得表面積．
【詳解】由已知是直角三角形，，的內切圓半徑為，
直三棱柱中存在內切球，則其高為，
分別取的中點，連接，則也是該直三棱柱的高，的中點是其外接球球心，
，
所以外接球的表面積為．
故答案為：．
【變式6-2】棱長為2的正方體外接球的表面積是 ．
【答案】
【分析】直接求出正方體的對角線的長度，就是它的外接球的直徑，求出半徑即可求出球的體積，
【詳解】由題意得正方體的對角線的長度，就是它的外接球的直徑，
所以球的直徑為：，半徑為，
球的表面積為：.
故答案為：.
【題型 7實際應用問題】
【典例7】西安市建造圓錐形倉庫用于儲存糧食，已建的倉庫底面直徑為，高為.隨著西安市經濟的發展，糧食產量的增大，西安市擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多的糧食.現有兩種方案：一是新建的倉庫底面半徑比原來大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）.
（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；
（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；
（3）哪個方案更經濟些？
【答案】（1）；.（2）；.（3）方案二比方案一更加經濟.
【分析】（1）根據方案一，則倉庫的底面直徑變成，由圓錐的體積公式建立模型；根據方案二，則倉庫的高變成，由圓錐的體積公式建立模型；
（2）根據方案一，倉庫的底面直徑變成，由表面積公式建立模型；根據方案二，則倉庫的高變成，由表面積公式建立模型.
（3）比較兩種方案的體積和表面積，得出結論.
【詳解】（1）如果按方案一：倉庫的底面直徑變成，
則倉庫的體積：
（），
如果按方案二，倉庫的高變成，則倉庫的體積：
（）；
（2）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成，半徑為，
圓錐的母線長為（），
則倉庫的表面積（），
如果按方案二，倉庫的高變成，
圓錐的母線長為，
則倉庫的表面積（）.
（3）由（1）（2）可知，第二種方案的體積大，可以貯藏更多的糧食，第二種方案的表面積小，則用料少，成本低，所以選擇方案二更經濟.
【點睛】關鍵點睛：本題考查圓錐的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握圓錐的體積和表面積公式，要求有計算能力、分析能力.
【變式7-1】某企業要設計一款由同底等高的圓柱和圓錐組成的油罐（如圖），設計要求：圓錐和圓柱的總高度與圓柱的底面半徑相等，均為10m.
（1）已知制作這種油罐的材料單價為1萬元/m2，則制作一個油罐所需費用為多少萬元？（取3.14，結果精確到0.01萬元）
（2）已知該油罐的儲油量為0.95噸/m3，則一個油罐可儲存多少噸油？（取3.14，結果精確到0.01噸）
【答案】（1）979.56萬元；（2）1989.68噸.
【分析】由題意知，求得圓柱和圓錐的高以及圓錐的母線長；
（1）求得組合體的表面積，從而求得造價；
（2）求得組合體體積，從而求得儲油量.
【詳解】由題意知，圓柱和圓錐的底面半徑，圓柱和圓錐的高均為；
則圓錐的母線長，
（1）由上知，組合體的表面積為：
，
則總造價為萬元；
（2）組合體的體積為：，
又儲油量為噸/，則一個油罐可以儲存油量為：噸
【變式7-2】一座倉庫的屋頂呈正四棱錐形，底面的邊長為2.7 m，側棱長為2.3 m，如果要在屋頂上鋪一層油氈紙，則需多少油氈紙？（精確到0.1 ）
【答案】
【分析】由棱錐側面積的求法求屋頂上鋪一層油氈紙的面積即可.
【詳解】如圖所示，設SE是側面三角形ABS的高，則SE就是正四棱錐的斜高．

在中，m，m，
所以m，而底面周長m，
所以需油氈紙，故需要油氈紙約.
【變式7-3】某種“籠具”由內，外兩層組成，無下底面，內層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為，高為30，圓錐的母線長為20．

(1)求這種“籠具”的體積（結果精確到）；
(2)現要使用一種紗網材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根據題意，結合圓錐和圓柱的體積公式，即可求解；
（2）根據題意，求得該組合體的表面積，結合題意，即可求解.
【詳解】（1）設圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，高為，
則，可得，且，
所以籠具的體積.
（2）圓柱的側面積，
圓柱的底面積，
圓錐的側面積為，
故籠具的表面積．
故制造50個這樣的籠具總造價為：元，
答：這種籠具的體積約為，生產50個籠具需要元．
一、單選題
1．如圖，在直角梯形中，，，，，，以所在直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】所得幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐的組合體，分別求出圓柱與圓錐的體積，相減可得幾何體的體積．
【詳解】旋轉后所得幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐的組合體，如圖所示：
其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于
圓柱的高等于，圓錐的高等于，
底面圓的面積為，
圓錐的體積為，圓柱的體積為，
所以所得幾何體的體積為．
故選：C.
2．已知圓錐的母線長為，為底面的圓心，高，其軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設圓錐的底面半徑為，高為，根據已知條件可得出關于方程組，解出的值，即可求得該圓錐的的體積.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，由題意可得，解得：，
因此，該圓錐的體積為.
故選：C
3．如圖，在正三棱柱中，，則三棱錐的體積為（ ）．
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】利用棱柱和棱錐公式結合整體減部分的方法即可.
【詳解】因為正三棱柱，
所以，
則
，
故選：A.
4．《九章算術》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個側面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用側面與下底面的夾角的正切值均為，求得正棱臺的高，進而求得其斜高，結合側面積公式，即可求解.
【詳解】設上底面為，下底面為，取的中點，的中點，連接，
設上底面的中心為，下底面的中心為，連接，
過點作于點，如圖所示，
因為，
所以即為側面與下底面夾角的平面角，即，
又因為，
所以，所以，
所以，
所以方亭的側面積為.
故選：B.
5．已知圓錐SO的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形，則圓錐SO的體積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，利用圓錐的體積公式計算即可．
【詳解】解：如圖所示，
圓錐SO中，底面圓半徑為，
高為；
所以圓錐SO的體積為：
.
故選：D．
6．曲池幾何體是我國古代數學名著《九章算術》中研究的一種幾何體，該幾何體是上下底面均為扇環的柱體.下圖是某一曲池幾何體的正視圖與側視圖，則該幾何體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合曲池幾何體的特點，求出各個面的面積相加即可求解.
【詳解】解：由正視圖與側視圖可知，上下底面均為半圓環，
所以上、下底面的面積均為，
其側面積為，
所以該幾何體的表面積為.
故選：B．
二、填空題
7．已知圓錐的側面展開圖是半徑為8的直角扇形，則此圓錐的表面積為 ．
【答案】
【分析】利用弧長公式和圓的周長公式求出底面半徑，然后可得表面積.
【詳解】如圖，設圓錐底面半徑為r，
則，解得，
所以，該圓錐的表面積為.
故答案為：
8．一個正四棱柱底面邊長為2，高為，上底面對角線交點與下底面四個頂點構成幾何體的內切球表面積為 .
【答案】
【分析】根據題意該幾何體為正四棱錐，利用正四棱錐的結構特征，求出內切球半徑得解.
【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，為內切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點，
連接，是球與側面的切點，可知在上，，
設內切球半徑為，則，，，，由，
，即，解得，
所以內切球表面積為.
故答案為：.
9．已知圓臺上、下底面半徑分別為1和2，一條母線長為，則該圓臺的體積為 ．
【答案】/
【分析】根據上下底面半徑和母線長求得圓臺的高，然后再利用圓臺的體積公式計算得到答案.
【詳解】由題意知作出圓臺示意圖，如圖，所以可得圓臺的高，
所以圓臺的體積．
故答案為：.
10．正多面體被古希臘哲學家柏拉圖認為是構成宇宙的基本元素，也是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積為 ，平面截此正八面體的外接球所得截面的面積為 ．

【答案】
【分析】根據幾何體的特征求高，即可求其體積；根據球的截面性質即可求其截面面積.
【詳解】如圖，取的中點，連接，取的中點，連接．

由棱長為2，可得正八面體上半部分的斜高為，高為，
則正八面體的體積為．
此正八面體的外接球的球心為，半徑為，到平面的距離等于到平面的距離，
在中，過作的垂線，垂足為，則平面．
由，得，平面截正八面體的外接球所得截面是圓，
其半徑，所以所得截面的面積為．
故答案為：；.
11．如圖所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是 ．（取3.14）
【答案】102.28
【分析】根據題意求出正方體的表面積，圓柱的側面積，進而求出打孔后的表面積.
【詳解】正方體的表面積為，圓柱的側面積為，
則挖洞后幾何體的表面積為．
故答案為：102.28.
12．米斗是稱量糧食的量器，它有著吉祥的宮意，是豐饒富足的象征，是古代官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具.某課外興趣小組為了解米斗的幾何結構，在通用技術教師的指導下，用木制榫卯結構的方式制作了一個米斗如圖，上寬下窄呈方形，近似于一個正四棱臺，斗口邊長為3米，斗底邊長為2米，斗高3米，則該米斗能裝米 升（忽略木板厚度，1升立方米）.
【答案】
【分析】根據題意，由棱臺的體積計算公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意可得，上底面面積，下底面面積，高，
則米斗的體積，
則該米斗能裝米升.
故答案為：
13．在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為 ．
【答案】
【分析】將四面體放在長方體中，通過求長方體的外接球半徑得出結果.
【詳解】如圖，依題意將四面體放在長方體中，設長方體的高為.
根據錐體的體積，解得，
所以長方體的長寬高分別為，和4，
所以長方體的外接球直徑即為對角線，解得.
所以四面體外接球的體積為．
故答案為：.
14．若用與球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4，則球的體積為 .
【答案】/
【分析】利用球的截面小圓性質，求出求半徑及體積.
【詳解】依題意，球的半徑，所以球的體積.
故答案為：
15．如圖，已知正四棱臺的兩底面均為正方形，且邊長分別為20cm和10cm，側面積為，則其體積為 ．
【答案】
【分析】利用四棱臺的結構特征，作出輔助線，根據側面積列出方程，求出正四棱臺的高，結合棱臺的體積公式計算得結論
【詳解】如圖，取的中點、的中點，上、下底面的中心、，
則為斜高，四邊形為直角梯形．
正四棱臺的側面積，
，
在直角梯形中，過點作⊥于點，
則，，
因為，，
所以cm，
cm，
該四棱臺的體積為
故答案為：
三、解答題
16．已知正四棱錐底面邊長為4，高與斜高夾角為.求它的側面積和表面積．
【答案】側面積是32，表面積是48
【分析】由正四棱錐的高，斜高，邊心距組成的直角三角形，依據題意可以求出高與斜高，即可求得正四棱錐的側面積和表面積．
【詳解】如圖所示，設正四棱錐的高為，斜高為，
底面邊心距為，它們組成一個直角三角形；
，
，
所以正四棱錐的側面積，
底面正方形面積為，
則正四棱錐的表面積為，
即該正四棱錐的側面積是32，表面積是48.
17．一個直角梯形的兩底長為2和5，高為4，將其繞較長的底旋轉一周，求所得旋轉體的表面積．
【答案】
【分析】根據圖形特征旋轉后根據圓錐側面積及圓柱表面積公式計算可得.
【詳解】如圖所示，直角梯形中，，
作，垂足為，則，
故，
在旋轉生成的旋轉體中，形成了一個圓面，
形成一個圓柱的側面，形成一個圓錐的側面，
設其面積分別為，
則，
所以次旋轉體的表面積為.
18．如圖是一個正四棱臺形的石墩．已知它的上底面邊長為30cm，下底面邊長為40cm，側面梯形的高為30cm．在不計下底面所占面積的情況下，試計算這個物體的表面積（結果單位為）．

【答案】
【分析】根據棱臺表面積公式求解即可.
【詳解】由題意可知，上底面周長為，
下底面周長為，
則．
又上底面積為，所以表面積為．
又，
因此，在不計下底面所占面積的情況下，這個物體的表面積為．
19．如圖，三棱柱內接于一個圓柱，且底面是正三角形，圓柱的體積是，底面直徑與母線長相等.

(1)求圓柱的底面半徑；
(2)求三棱柱的體積.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據圓柱體積公式直接計算；
（2）根據三棱柱體積公式以及正弦定理進行計算即可.
【詳解】（1）設底面圓的直徑為2r，
由題可知,圓柱的體積，
解得，即圓柱的底面半徑為1
（2）因為為正三角形，底面圓的半徑為1，
由正弦定理，邊長，
所以三棱柱的體積第03講 簡單幾何體的表面積和體積
考點1：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們各個面的面積的和．
求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量：底面邊長、高、斜高、側棱，并注意兩個直角梯形的應用
(1)高、側棱、上、下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面邊心距所成的直角梯形．
考點2：棱柱、棱錐、棱臺的體積
棱柱：V棱柱＝Sh （S為棱柱的底面積，h為棱柱的高）
棱錐：V棱錐＝Sh（S為棱錐的底面積，h為棱錐的高）
棱臺：V棱臺＝(S′＋＋S)h（S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高）
求解正棱臺的體積時，注意棱臺的五個基本量(上、下底面邊長、高、斜高、側棱)．
常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到直角梯形中解決問題；二是把正棱臺還原成正棱錐．利用正棱錐的有關知識來解決問題．
考點3：簡單組合體的表面積與體積
求組合體的表面積和體積，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減．
表面積公式：底面積：S底＝2πr2
旋轉體側面積：S側＝2πrl
圓柱：表面積：S＝2πr(r＋l)；
圓錐：底面積：S底＝πr2；側面積：S側＝πrl；表面積：S＝πr(r＋l)
圓臺：上底面面積：S上底＝πr′2；
下底面面積：S下底＝πr2；
側面積：S側＝π(r′l＋rl)；
表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計算，
而表面積是側面積與底面圓的面積之和．
考點4:圓柱、圓錐、圓臺的體積
圓柱：V圓柱＝Sh＝πr2h（圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h）
圓錐：V圓錐＝Sh＝πr2h（圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h）
圓臺：V圓臺＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h
圓臺上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為h
考點5：球的表面積與體積
1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)．
2．球的體積公式V＝πR3.
計算球的表面積與體積，關鍵是確定球心與半徑．
【題型1多面體的表面積與體積】
【典例1】已知正三棱柱所有棱長均為2，則該正三棱柱的體積為（ ）
A． B．4 C． D．
【變式1-1】若正四棱柱的底面周長為，高為，則該正四棱柱的表面積為 .
【變式1-2】在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為 ．
【變式1-3】如圖，正四面體的各棱長均為1，則它的表面積是 .
【題型 2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】
【典例2-1】已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】如圖，圓臺高為，軸截面中母線與底面直徑的夾角為，軸截面中一條對角線垂直于腰，求：圓臺的體積.
【變式2-1】如圖所示，圓錐的頂點為，底面中心為，母線，底面半徑與的夾角為，且.求該圓錐的表面積.
【變式2-2】如圖，已知圓柱的底面半徑為2，母線長為3，

(1)求該圓柱的體積和表面積
(2)直角三角形繞旋轉一周，求所得圓錐的側面積
【變式2-3】已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】現有一個圓臺形的杯子，杯口的內徑為，杯底的內徑為，杯中盛滿溶液時溶液的高度為，當杯中盛滿溶液時，杯中溶液的體積為（ ）
A． B． C． D．
【題型 3球的表面積與體積】
【典例3】已知球的表面積為，則該球的體積為 ．
【變式3-1】A，B，C，D是球的球面上四點，，球心是的中點，四面體的體積為，則球的表面積為 .
【變式3-2】球面上三點、、所確定的截面到球心的距離等于球半徑的，且，，，則該球的體積為 .
【題型4組合體的表面積與體積】
【典例4】如圖，某幾何體的下部分是長 寬均為8，高為3的長方體，上部分是側棱長都相等且高為3的四棱錐，求：
（1）該幾何體的體積；
（2）該幾何體的表面積.
【變式4-1】如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統手工藝品之一．圖2是小明為自家設計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為和，正六棱臺與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（ ）

A．B． C． D．
【變式4-2】某個實心零部件的直觀圖如圖所示，其下部是上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱.現需要對該零部件表面進行防腐處理，已知，，，，每平方厘米的加工處理費為0.2元，則需加工處理費多少元？

【題型5球的截面問題】
【典例5】已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且，，求球面面積與球的體積.
【變式5-1】若將上底面半徑為2，下底面半徑為4的圓臺型木塊，削成體積最大的球，則該球的表面積為 ．
【變式5-2】已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直OA的平面截球得到圓M，若圓M的面積為，則球O的表面積為（ ）．
A． B． C． D．
【變式5-3】用與球心O距離為2的平面截球，所得截面與球心O構成的圓錐的體積為6π，則球的表面積為（ ）
A．13π B．52π C．20π D．36π
【變式5-4】若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【題型 6 幾何體與球的切、接問題】
【典例6】三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】已知在直三棱柱中存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為 .
【變式6-2】棱長為2的正方體外接球的表面積是 ．
【題型 7實際應用問題】
【典例7】西安市建造圓錐形倉庫用于儲存糧食，已建的倉庫底面直徑為，高為.隨著西安市經濟的發展，糧食產量的增大，西安市擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多的糧食.現有兩種方案：一是新建的倉庫底面半徑比原來大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）.
（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；
（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；
（3）哪個方案更經濟些？
【變式7-1】某企業要設計一款由同底等高的圓柱和圓錐組成的油罐（如圖），設計要求：圓錐和圓柱的總高度與圓柱的底面半徑相等，均為10m.
（1）已知制作這種油罐的材料單價為1萬元/m2，則制作一個油罐所需費用為多少萬元？（取3.14，結果精確到0.01萬元）
（2）已知該油罐的儲油量為0.95噸/m3，則一個油罐可儲存多少噸油？（取3.14，結果精確到0.01噸）
【變式7-2】一座倉庫的屋頂呈正四棱錐形，底面的邊長為2.7 m，側棱長為2.3 m，如果要在屋頂上鋪一層油氈紙，則需多少油氈紙？（精確到0.1 ）
【變式7-3】某種“籠具”由內，外兩層組成，無下底面，內層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為，高為30，圓錐的母線長為20．

(1)求這種“籠具”的體積（結果精確到）；
(2)現要使用一種紗網材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？
一、單選題
1．如圖，在直角梯形中，，，，，，以所在直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
2．已知圓錐的母線長為，為底面的圓心，高，其軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在正三棱柱中，，則三棱錐的體積為（ ）．
A． B．3 C． D．6
4．《九章算術》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個側面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側面積為（ ）
A． B． C． D．
5．已知圓錐SO的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形，則圓錐SO的體積為（　　）
A． B． C． D．
6．曲池幾何體是我國古代數學名著《九章算術》中研究的一種幾何體，該幾何體是上下底面均為扇環的柱體.下圖是某一曲池幾何體的正視圖與側視圖，則該幾何體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．已知圓錐的側面展開圖是半徑為8的直角扇形，則此圓錐的表面積為 ．
8．一個正四棱柱底面邊長為2，高為，上底面對角線交點與下底面四個頂點構成幾何體的內切球表面積為 .
9．已知圓臺上、下底面半徑分別為1和2，一條母線長為，則該圓臺的體積為 ．
10．正多面體被古希臘哲學家柏拉圖認為是構成宇宙的基本元素，也是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積為 ，平面截此正八面體的外接球所得截面的面積為 ．

11．如圖所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是 ．（取3.14）
12．米斗是稱量糧食的量器，它有著吉祥的宮意，是豐饒富足的象征，是古代官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具.某課外興趣小組為了解米斗的幾何結構，在通用技術教師的指導下，用木制榫卯結構的方式制作了一個米斗如圖，上寬下窄呈方形，近似于一個正四棱臺，斗口邊長為3米，斗底邊長為2米，斗高3米，則該米斗能裝米 升（忽略木板厚度，1升立方米）.
13．在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為 ．
14．若用與球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4，則球的體積為 .
15．如圖，已知正四棱臺的兩底面均為正方形，且邊長分別為20cm和10cm，側面積為，則其體積為 ．
三、解答題
16．已知正四棱錐底面邊長為4，高與斜高夾角為.求它的側面積和表面積．
一個直角梯形的兩底長為2和5，高為4，將其繞較長的底旋轉一周，求所得旋轉體的表面積．
18．如圖是一個正四棱臺形的石墩．已知它的上底面邊長為30cm，下底面邊長為40cm，側面梯形的高為30cm．在不計下底面所占面積的情況下，試計算這個物體的表面積（結果單位為）．

19．如圖，三棱柱內接于一個圓柱，且底面是正三角形，圓柱的體積是，底面直徑與母線長相等.

(1)求圓柱的底面半徑；
(2)求三棱柱的體積.

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