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專題01 平面向量的概念（四大題型）
【題型1題型1 向量的概念】
【題型2 向量的幾何表示】
【題型3向量相等或共線】
【題型4 用向量關系研究幾何圖形的性質】
【題型1 向量的概念】
1．對下面圖形的表示恰當的是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】圖像是個有向線段，可知其表達是一個向量.
【詳解】圖像有起點有終點，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.
故選：C.
2．給出下列物理量：（1）質量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強度；（9）體積.其中不是向量的有（ ）
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
【答案】A
【分析】根據向量的概念，即可得出答案.
【詳解】看一個量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.
故選：A.
3．分別以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量有（ ）
A．4個 B．6個 C．8個 D．12個
【答案】C
【分析】由圖形一一列出可得答案.
【詳解】如圖，以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量為：
，共8個．
故選：C．
【題型2 向量的幾何表示】
4．已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根據幾何關系求解.
【詳解】
如圖，，所以M是AC的中點，；
故選：C.
5．在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且，，則等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據，可得，進一步得出答案.
【詳解】如圖，連接AC，
由，得.
因為為半圓上的點，所以，
所以．
故選：A.
6．數軸上點A，B分別對應，則向量的長度是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據數軸上的點的位置，直接計算長度，即可得解.
【詳解】數軸上點A，B分別對應，
則向量的長度即.
故選：C．
7．如圖，是某人行走的路線，那么的幾何意義是某人從A點沿西偏南 方向行走了 km．
【答案】 60° 2
【分析】直接由圖求解即可
【詳解】解析：由已知圖形可知，的幾何意義是從A點沿西偏南60°方向，行走了2km．
故答案為：60°；2
8．已知向量，將按向量平移后得向量，則 ．
【答案】
【分析】根據向量相等的定義判斷即可得.
【詳解】與方向相同長度相等則向量相等,.
故答案為: .
9．已知點滿足，若，，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】由知為、的中點，由中點坐標公式求解.
【詳解】解：由可得，所以為、的中點，
又，，
所以點的坐標為.
故答案為：.
10．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1．
(1)試以為終點畫一個有向線段，設該有向線段表示的向量為，使．
(2)在圖中畫一個以為起點的有向線段，設該有向線段表示的向量為，且，并說出點的軌跡是什么？
【答案】(1)圖見解析
(2)點的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓
【分析】（1）根據相等向量的定義，即可畫出向量；
（2）根據模長，畫出向量，在判斷軌跡.
【詳解】（1）如圖，感覺向量相等的定義，與的方向相同，長度相等，即，即可得到向量；

（2）如圖，畫出一個滿足條件的向量，點的軌跡是以點為圓心，半徑的圓.

11．如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：
（1）與相等的向量共有幾個；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】根據共線向量和相等向量的定義、以及模的計算和對正方形的對角線即可.
【詳解】解：由題可知，每個小方格都是單位正方形，
每個小正方形的對角線的長度為且都與平行，
則，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個向量，
則與相等的向量共有5個，如圖1；
（2）與方向相同且模為的向量共有2個，如圖2.
【點睛】本題考查共線向量和相等向量的定義，以及向量的模的計算，考查理解能力和數形結合思想.
12．某人從A點出發向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了 米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【答案】（1）見解析；（2）米
【分析】（1）利用方位根據向量的定義作出向量.
（2）根據（1）作出的平面圖形，利用平面幾何知識求解.
【詳解】（1）作出向量，，；如圖所示：
（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【點睛】本題主要考查平面向量的畫法和向量模的求法，還考查了方位問題和平面幾何知識，屬于基礎題.
13．如圖所示，某人從點A出發，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發現D點在B點的正北方.
（1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）；
（2）求向量的模.
【答案】（1）作圖見解析（2）
【分析】（1）根據題意直接畫圖即可；
（2）根據（1）的作圖，可以通過平行四邊形的性質、勾股定理得到向量的模.
【詳解】解：（1）如圖，即為所求.
（2）如圖，作向量，由題意可知，四邊形是平行四邊形，
∴.
【點睛】本題考查了在直角坐標系內畫出向量，考查了利用勾股定理求向量的模，屬于基礎題.
【題型3向量相等或共線】
14．設是正方形ABCD的中心，則（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
【答案】D
【分析】根據正方形的性質，以及向量的概念，即可得出答案.
【詳解】
對于A項，，不共線，故A項錯誤；
對于B項，顯然不平行，且三點不共線，故B項錯誤；
對于C項，根據正方形的性質，可知，，，的長度相等，故C項錯誤；
對于D項，根據正方形的性質，方向相同，方向相同.
又，，，的長度相等，所以，，故D項正確.
故選：D.
13．下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若 ， ，則
C．長度不相等而方向相反的兩個向量是平行向量
D．單位向量都相等
【答案】C
【分析】根據向量的相關性質逐項分析.
【詳解】對于A，若，只能說明兩個向量的模長相等，但是方向不確定，所以A錯誤；
對于B，如果，結論B不正確；
對于C，根據平行向量的定義，C正確；
對于D，單位向量長度相等，但是方向不確定，所以D錯誤；
故選：C.
14．如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據相等向量的定義即可得答案.
【詳解】解：因為相等向量是指長度相等且方向相同的向量,O為正六邊形ABCDEF的中心，
所以與模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正確；
與只是模相等的向量，故B錯誤；
與只是模相等的向量，故C錯誤；
與只是模相等的向量，故D錯誤.
故選：A.
15．如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，，則下列向量相等的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】D
【分析】由可知四邊形是平行四邊形，根據相等向量的定義即可判斷.
【詳解】因為，則四邊形是平行四邊形，結合題圖，
，A錯誤；
，B錯誤；
與方向不相同，C錯誤；
，D正確.
故選：D
16．如圖所示，在中，分別為的中點．圖中與相等的向量為 ．
【答案】
【分析】根據相等向量的定義判斷.
【詳解】由幾何性質，平行且相等，平行且相等，
所以．
故答案為：．
17．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量相等的向量是 ．
【答案】,
【分析】根據相等向量的定義確定即可.
【詳解】因為P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，所以，,
因為方向相同，大小相等的向量為相等向量，所以與相等的向量為，.
故答案為：，.
18．如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長相等的向量有多少個？
(2)寫出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請列出與相等的向量．
【答案】(1)有9個
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根據平面幾何的性質及相等向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】（1）因為四邊形為正方形，為平行四邊形，
所以，
所以與模長相等的向量有、、、、、、、、共個.
（2）與相等的向量有、.
（3）與共線的向量有，，，，，，.
（4）因為為平行四邊形，所以且，
所以與相等的向量為.
【題型4 用向量關系研究幾何圖形的性質】
19．已知在四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD的形狀是 .
【答案】平行四邊形
【分析】根據平面向量的概念，可知AB與CD之間的關系，從而得到四邊形ABCD的形狀.
【詳解】由，可知與為相等向量，
∴與方向相同且長度相等，即ABDC，且AB=DC，
又∵ABCD為四邊形，
∴四邊形ABCD為平行四邊形（根據對邊平行且相等可知），
故答案為：平行四邊形.
20．如圖，半圓的直徑，是半圓上的一點，、分別是、上的點，且，，.
（1）求證：；
（2）求.
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】(1)本題首先可以根據勾股定理得出是直角三角形，然后根據點為半圓上一點得出，最后根據即可得出結果；
(2)本題首先可以根據得出，然后根據計算出，最后即可得出結果。
【詳解】(1)由題意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因為點為半圓上一點，所以
所以，故
(2)因為，所以，，
即，解得，即。
【點睛】本題考查向量平行的證明以及向量的模的計算，若兩向量所在直線平行或重合，則說明這兩個向量平行，向量所在線段的長即向量的模，考查計算能力，是中檔題。
21．在平行四邊形中，，分別為邊、的中點，如圖．
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：．
【答案】(1),
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意直接寫出與向量共線的向量即可；
（2）證明四邊形是平行四邊形即可證明.
【詳解】（1）據題意，與向量共線的向量為：, ；
（2）證明：是平行四邊形，且，分別為邊，的中點，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，且，
．
22．如圖，點D，E，F分別是△ABC的三邊BC，AB，AC上的點，且都不與A，B，C重合，＝.求證：△BDE∽△DCF.
【答案】證明見解析
【分析】根據＝，可得且，從而可得DE∥AF，即可證得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得證.
【詳解】證明：因為＝，所以且，故四邊形AEDF是平行四邊形，
所以DE∥AF，則∠C＝∠BDE，
由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，
故△BDE∽△DCF.專題01 平面向量的概念（四大題型）
【題型1題型1 向量的概念】
【題型2 向量的幾何表示】
【題型3向量相等或共線】
【題型4 用向量關系研究幾何圖形的性質】
【題型1 向量的概念】
1．對下面圖形的表示恰當的是（ ）．

A． B． C． D．
2．給出下列物理量：（1）質量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強度；（9）體積.其中不是向量的有（ ）
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
3．分別以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量有（ ）
A．4個 B．6個 C．8個 D．12個
【題型2 向量的幾何表示】
4．已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．
5．在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且，，則等于（ ）
A．1 B． C． D．2
6．數軸上點A，B分別對應，則向量的長度是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如圖，是某人行走的路線，那么的幾何意義是某人從A點沿西偏南 方向行走了 km．
8．已知向量，將按向量平移后得向量，則 ．
9．已知點滿足，若，，則點的坐標為 ．
10．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1．
(1)試以為終點畫一個有向線段，設該有向線段表示的向量為，使．
(2)在圖中畫一個以為起點的有向線段，設該有向線段表示的向量為，且，并說出點的軌跡是什么？
11．如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：
（1）與相等的向量共有幾個；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；
12．某人從A點出發向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了 米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
13．如圖所示，某人從點A出發，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發現D點在B點的正北方.
（1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）；
（2）求向量的模.
【題型3向量相等或共線】
14．設是正方形ABCD的中心，則（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
13．下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若 ， ，則
C．長度不相等而方向相反的兩個向量是平行向量
D．單位向量都相等
14．如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的是（ ）
A． B． C． D．
15．如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，，則下列向量相等的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
16．如圖所示，在中，分別為的中點．圖中與相等的向量為 ．
17．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量相等的向量是 ．
18．如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長相等的向量有多少個？
(2)寫出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請列出與相等的向量．
【題型4 用向量關系研究幾何圖形的性質】
19．已知在四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD的形狀是 .
20．如圖，半圓的直徑，是半圓上的一點，、分別是、上的點，且，，.
（1）求證：；
（2）求.
21．在平行四邊形中，，分別為邊、的中點，如圖．
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：．
22．如圖，點D，E，F分別是△ABC的三邊BC，AB，AC上的點，且都不與A，B，C重合，＝.求證：△BDE∽△DCF.

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