資源簡介

第04講 平面向量基本定理及坐標表示
考點1：平面向量基本定理
定理 條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 把不共線的向量e1，e2叫做表這一平面內所有向量的一組基底
考點2：平面向量的正交分解被坐標的表示
1．平面向量的正交分解
把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐標表示
(1)基底：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．
(2)坐標：對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數x、y，使得a＝xi＋yj，我們把有序實數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x軸上的坐標，y叫做向量a在y軸上的坐標．
(3)坐標表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐標表示．
(4)特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．向量與坐標的關系
設＝xi＋yi，則向量的坐標(x，y)就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標就是向量的坐標(x，y)．因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一有序實數對唯一表示．即以原點為起點的向量與實數對是一一對應的．
考點3：平面向量的坐標運算
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數乘 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標 λa＝(λx1，λy1)
向量坐標公式 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
考點4：平面向量的垂直與平行
1．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當且僅當x1y2＝x2y1時，a∥b．
兩個向量共線條件的三種表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)當b≠0時，a＝λb．
這是幾何運算，體現了向量a與b的長度及方向之間的關系．
(2)x1y2－x2y1＝0．
這是代數運算，用它解決向量共線問題的優點在于不需要引入參數“λ”，從而減少未知數的個數，而且使問題的解決具有代數化的特點和，程序化的特征．
(3)當x2y2≠0時，＝．
即兩向量的相應坐標成比例，通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現搭配錯誤．
2．平面向量的數量積與向量垂直的坐標表示
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
數量積 兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
兩個向量垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0
注意：1.公式a·b＝|a||b|cos與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數量積的，沒有本質區別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos求解；若已知兩向量的坐標，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
分別簡記為：縱橫交錯積相等，橫橫縱縱積相反．
3．平面向量的模與夾角的坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則有下表：
坐標表示
模 |a|2＝x＋y或|a|＝
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝
夾角 cosθ＝＝(a，b為非零向量)
【題型1 用基底表示向量】
【典例1】如圖，點B與點C關于點A對稱，點D在線段OB上，，DC和OA交于點E.設，，用和表示向量，.

【答案】，
【分析】根據向量數乘運算及平面向量基本定理求解.
【詳解】∵點與點關于點對稱，
∴是的中點，，
，
，
，
且，
.
綜上：， .
【變式1-1】如圖，的對角線AC和BD交于點M，，，試用基底，表示，，和．

【答案】，，，
【分析】根據向量的加法、減法法則，以及數乘運算求解．
【詳解】由向量加法的平行四邊形法則．
因為平行四邊形的對角線互相平分，
所以．
從而，
，
．
【變式1-2】如圖，已知梯形中，，且，、分別是、的中點，設，，試用，表示，，，．

【答案】，，
【分析】根據題意知，，，并且有，分別求出和;
再由三角形法則對應的首尾相連法則得，結合圖形和題意用和表示出來即可．
【詳解】因為，且，、分別是、的中點，故CD=AF且CD//AF，
所以四邊形AFCD為平行四邊形，則，，
所以.
【題型2 平面向量基本定理的應用】
【典例2】已知為的邊所在直線上一點，且，點在直線上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量基本定理的推論求解．
【詳解】，
而三點共線，故，即，
故選：A
【變式2-1】在平行四邊形中，如圖，，依次是對角線上的兩個三等分點，設試用與表示和，則= ，= ．

【答案】
【分析】利用平面向量的基本定理求解.
【詳解】，
．
故答案為: ;.
【變式2-2】如圖，在中，為上一點，，為上一點，，且，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據平面向量基本定理得到，從而得到，求出答案.
【詳解】因為，，所以，，
又，所以，
故.
故選：D
【題型3 平面向量的加減運算的坐標表示】
【典例3】已知向量、的坐標，求、的坐標．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）（2）（3）（4）利用平面向量加法與減法的坐標運算可得出向量、的坐標．
【詳解】（1）解：因為，，則，
.
（2）解：因為，，則，
.
（3）解：因為，，則，
.
（4）解：因為，，則，
.
【變式3-1】如圖，已知的三個頂點為，求頂點D的坐標．

【答案】．
【分析】利用向量的線性運算的坐標表示求解．
【詳解】因為，
所以點D的坐標是．
【題型4 平面向量數乘運算的坐標表示】
【典例4】已知，，求，的坐標
【答案】，
【分析】利用平面向量線性運算的坐標表示可求得向量，的坐標.
【詳解】解：因為，，則，
.
【變式4-1】已知，，求，，的坐標．
【答案】，，
【分析】根據平面向量的坐標運算求解即可.
【詳解】由題意，，
，
.
【變式4-2】解答下列各題：
(1)設向量，，求；
(2)已知兩點和，點P滿足，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由向量線性運算的坐標表示求解；
（2）由向量的坐標表示求解.
【詳解】（1）．
（2）由已知兩點和，可得，
設點P的坐標是，則．
由已知，可得，
∴解得∴點P的坐標是．
【變式4-3】已知向量，，.
(1)求；
(2)求滿足的實數，；
【答案】(1)
(2)、
【分析】（1）直接利用向量的坐標運算法則求解即可．
（2）利用平面向量坐標運算和向量相等列出方程組即可求解．
【詳解】（1）解：，，，
．
（2）解：因為，
所以，
所以，解得．
即、.
【題型5 向量共線、平行和垂直的坐標表示】
【典例5】已知向量，，點．
(1)求線段BD的中點M的坐標；
(2)若點滿足點P，B，D三點共線，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量的坐標運算，求得點的坐標，利用中點坐標公式，可得答案；
（2）由點的坐標表示出向量的坐標，利用共線向量的坐標公式建立方程，可得答案.
【詳解】（1）設，，，
，
，，
，同理可得，
設BD的中點，
則，，
.
（2），，
三點共線，，
，解得.
【變式5-1】已知向量，，且與共線，求的值.
【答案】
【分析】根據向量的線性坐標運算及向量共線的坐標運算列式求解即可.
【詳解】因為向量，，所以，，
又與共線，所以，解得.
【變式5-2】已知.
(1)求的坐標；
(2)為何值時，與共線.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量線性運算的坐標表示即可求解.
（2）由向量共線的充要條件即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以.
（2）因為,
所以,
又與共線,
所以.
【變式5-3】平面給定三個向量，，
(1)若，求的值；
(2)若向量與向量共線，求實數k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運用向量加、減、數乘運算即可求得結果.
（2）運用向量共線的坐標公式計算即可.
【詳解】（1）由題知，，
所以，
又因為，
所以，解得，
所以.
（2）由題知，，
又因為與共線，
所以，解得：.
【典例6】已知向量，，
(1)分別求，的坐標；
(2)若向量，且與向量平行，求實數k的值
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量線性運算的坐標表示求解即得.
（2）求出向量的坐標，再利用向量共線的坐標表示求解即得.
【詳解】（1）依題意，，
.
（2）由（1）知，而，
由與向量平行，得，解得：，
所以實數k的值是.
【變式6-1】已知點，，，M是線段的中點.
(1)求點M和的坐標：
(2)若D是x軸上一點，且滿足，求點D的坐標.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用中點坐標公式求出點的坐標，并根據求出的坐標；
（2）設出，求出，根據平行得到方程，求出答案.
【詳解】（1）是線段的中點，
點的坐標為，
故；
（2）設，則，
因為與平行，所以
解得，
點的坐標是.
【變式6-2】平面內給定三個向量，，.
(1)設，求m，n的值；
(2)若，求實數k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量，，，由，利用向量相等求解；
（2）根據向量，，，得到和的坐標，由求解；
【詳解】（1）解：因為向量，，，且，
所以，
所以，解得；
（2）因為向量，，，
所以，，
因為，
所以.
【變式6-3】已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐標運算可求得向量的坐標；
（2）求出向量、的坐標，利用平面向量共線的坐標表示可求得實數的值.
【詳解】（1）解：因為，，.
所以，.
（2）解：由已知可得，
，
因為，則，解得.
【典例7】已知向量，．
(1)求；
(2)若，求m的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用向量數量積的坐標運算即可求得的值；
（2）利用向量垂直的充要條件列出關于m的方程，解之即可求得m的值．
【詳解】（1）∵，
∴；
（2）由，可得
即，即，解得．
【變式7-1】已知平面向量
(1)若，求x；
(2)當x為何值時最小，最小值是多少．
【答案】(1)或
(2)當時最小，最小值是
【分析】（1）根據向量數量積的坐標表示可得，解方程即可求得或；
（2）由坐標運算可得，表示出再利用二次函數的最值即可求得結果.
【詳解】（1）由可得，
又可得，
所以，解得或；
（2）易知，
所以，
顯然當時，，最小，此時，
即當時最小，最小值是.
【變式7-2】已知平面向量
(1)若，求x的值：
(2)若，求
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）直接利用向量垂直的坐標表示列方程求解；
（2）先通過向量平行的坐標公式求出，再通過向量的坐標運算求模.
【詳解】（1），
，
解得或；
（2），
，即解得或，
當時，，，；
當時，，，，
或.
【變式7-3】已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若與共線，求與同向的單位向量的坐標.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂直的的向量表示即數量積為0求得值；
（2）由共線向量的坐標表示求得，再求得，從而易得結論．
【詳解】（1）因為，且，
所以，
所以；.
（2）因為與共線，且，
所以，
，
所以，
，
因為與同向的單位向量為，
所以與同向的單位向量坐標為.
【題型6 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
【典例8】如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點B C D的坐標分別是（-1，3） （3，4） （2，2），
(1)求向量BC；
(2)求頂點A的坐標.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由點B C的坐標即可求解的坐標；
（2）設頂點A的坐標為，由四邊形ABCD為平行四邊形，有，從而即可求解.
【詳解】（1）解：因為點B C的坐標分別是（-1，3） （3，4），
所以；
（2）解：設頂點A的坐標為，
因為四邊形ABCD為平行四邊形，D的坐標是（2，2），
所以，即，
所以，解得，
所以頂點A的坐標為.
【變式8-1】已知梯形，其中，且，三個頂點，，，求點D的坐標．
【答案】
【解析】在梯形中，，．得到，設點D的坐標為，根據向量相等得到方程組，解得.
【詳解】解：∵在梯形中，，，，，．
∴．設點D的坐標為．
則，．
∴，即，
∴解得故點的坐標為．
【點睛】本題考查向量的坐標運算以及向量相等，屬于基礎題.
【變式8-2】如圖，已知的三個頂點A，B，C的坐標分別是，，，求頂點D的坐標．
【答案】
【解析】設頂點D的坐標為，表示出的坐標，根據得到方程組，解得.
【詳解】解：設頂點D的坐標為．
，，，
，，
又，
所以．
即解得
所以頂點D的坐標為．
【點睛】本題考查向量的坐標運算，向量相等，屬于基礎題.
【題型7向量坐標運算與三角函數的交匯】
【典例9】已知向量，，．設．
(1)求函數的最小正周期；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐標運算求出，然后利用三角公式整理為的形式，就可以求出周期了；
（2）先通過求出，再通過展開計算即可.
【詳解】（1）
，
所以的最小正周期為；
（2）由（1）得，由得，
所以，
則
．
【變式9-1】已知，，.
(1)求；
(2)求的模的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用平面向量數量積的坐標運算，結合兩角差的余弦公式求解；
（2）結合公式求解.
【詳解】（1）
（2）∵，，∴
∴
∴當時，.
【變式9-2】設平面向量，，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量的坐標運算，結合模長公式即可求解，結合三角恒等變換即可求解，
（2）根據二倍角公式即可求解.
【詳解】（1）.
∴
∵∴所以.
（2），得：，∴，
∴
【變式9-3】已知平面向量，函數.
(1)求不等式的解集；
(2)求函數在上的單調遞增區間.
【答案】(1)
(2)單調遞增區間為
【分析】（1）先利用三角恒等變化將函數表達式化簡成，從而等價于，
即，解不等式即可.
（2）由題意令，解不等式即可進一步求解.
【詳解】（1）由題意，得
，
由，得，即，
所以，
解得，
所以不等式的解集為.
（2）由（1）知，令，
解得，
所以的單調遞增區間為，
當時，的單調遞增區間為，
所以函數在上的單調遞增區間為.
一、單選題
1．在梯形中，設，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量基本定理進行求解.
【詳解】.
故選：A
2．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐標表示，求出的坐標
【詳解】.
故選：B.
3．已知向量，則（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】先根據向量加法的坐標運算得，再代入模的坐標公式求解即可.
【詳解】因為，所以，所以.
故選：C
4．已知平面向量，，若，則實數的值為（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根據向量數量積的公式可得與同向共線，進而可得解.
【詳解】由可知與同向共線,
令，解得或，
當時，，，符合題意；
當時，，，不符合題意．
所以，
故選：B.
5．已知向量，則（ ）
A．10 B．18 C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量的坐標運算法則進行運算即可.
【詳解】因為向量，
所以，
故選:A.
6．已知向量，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對兩邊平方化簡可得答案.
【詳解】，，
，
解得，
又，，即與的夾角為.
故選：D.
7．已知，若，則（ ）
A．4 B． C． D．-4
【答案】D
【分析】根據向量垂直結合數量積的運算律，利用模的坐標表示以及數量積的坐標表示，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
即，
，
故選：D.
8．設，向量，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據條件，利用向量垂直的坐標運算，得出，從而可得出，再利用向量數量積公式即可求出結果.
【詳解】因為，，又，所以，得到，
所以，得到，
所以，
故選：B.
二、填空題
9．已知向量，則 ．
【答案】
【分析】根據向量的坐標運算求得結果.
【詳解】，，
.
故答案為：.
10．已知向量，，則 .
【答案】
【分析】根據向量的坐標運算即可求解.
【詳解】因為，，所以，
故.
故答案為：
11．已知向量，滿足，，則 ．
【答案】32
【分析】利用向量的坐標進行運算，求數量積.
【詳解】因為，所以，又因為，
則.
故答案為：32.
12．已知向量，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據題目條件可得，代入化簡即可.
【詳解】已知向量，，若，則有，
∴.
故答案為：.
13．若向量，，且，則實數x的值為 ．
【答案】/
【分析】由平行向量的坐標表示求解即可.
【詳解】因為向量，，且，
所以，解得：.
故答案為：.
三、解答題
14．已知,,,求，，，.
【答案】；；；
【分析】根據平面向量的坐標運算求解即可.
【詳解】因為,，
所以，且，
所以，
，
因為，所以，
則.
15．已知，，，分別求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據平面向量的坐標運算求解即可.
【詳解】（1）原式
（2）原式
（3），∴.
16．已知向量，的坐標，求．
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由數量積的坐標表示計算；
（2）由數量積的坐標表示計算．
【詳解】（1）由已知；
（2）由已知．
17．如圖所示，M是內一點，且滿足，BM的延長線與AC的交點為N.

(1)設，，請用，表示；
(2)設，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基底表示向量即可；
（2）利用向量的的分解和共線向量的線性關系表示即可.
【詳解】（1）∵，則，
解得，即.
（2）過M作交AB于P，過M作交于Q，則，
因為，則，
又因為相似于，所以,
所以，即.

18．已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可得，結合向量平行的坐標表示運算求解；
（2）根據題意可得，結合向量垂直的坐標表示運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
因為，則，解得.
（2）由題意可得：，
因為，則，解得.
19．在中，已知在線段上，且，設．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量基本定理求出答案；
（2）先求出，結合（1）中所求的，利用向量數量積公式求出的值.
【詳解】（1）因為，所以，
由題得；
（2）由已知得，
．
20．已知向量與向量共線，且，，
(1)求向量的坐標；
(2)求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，由數量積的坐標表示求得后得結論；
（2）由向量垂直的坐標表示計算可得．
【詳解】（1）共線， 可設，
，解得：， ，
（2）∵，∴，
即，解得：
21．已知，，設．
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)，（）
(2)
【分析】（1）利用向量數量積的坐標表示將表達出來，結合降冪公式、輔助角公式化簡，再結合整體思想即可求出的單調遞增區間，
（2）由、，求出的正余弦值，再利用兩角和的余弦公式即可求解.
【詳解】（1），
由，（），得，（）
所以函數的單調遞增區間為，（）
（2）由題設得，又，
則，
∴，
所以.第04講 平面向量基本定理及坐標表示
考點1：平面向量基本定理
定理 條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 把不共線的向量e1，e2叫做表這一平面內所有向量的一組基底
考點2：平面向量的正交分解被坐標的表示
1．平面向量的正交分解
把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐標表示
(1)基底：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．
(2)坐標：對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數x、y，使得a＝xi＋yj，我們把有序實數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x軸上的坐標，y叫做向量a在y軸上的坐標．
(3)坐標表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐標表示．
(4)特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3．向量與坐標的關系
設＝xi＋yi，則向量的坐標(x，y)就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標就是向量的坐標(x，y)．因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一有序實數對唯一表示．即以原點為起點的向量與實數對是一一對應的．
考點3：平面向量的坐標運算
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數乘 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標 λa＝(λx1，λy1)
向量坐標公式 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
考點4：平面向量的垂直與平行
1．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當且僅當x1y2＝x2y1時，a∥b．
兩個向量共線條件的三種表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)當b≠0時，a＝λb．
這是幾何運算，體現了向量a與b的長度及方向之間的關系．
(2)x1y2－x2y1＝0．
這是代數運算，用它解決向量共線問題的優點在于不需要引入參數“λ”，從而減少未知數的個數，而且使問題的解決具有代數化的特點和，程序化的特征．
(3)當x2y2≠0時，＝．
即兩向量的相應坐標成比例，通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現搭配錯誤．
2．平面向量的數量積與向量垂直的坐標表示
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
數量積 兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
兩個向量垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0
注意：1.公式a·b＝|a||b|cos與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數量積的，沒有本質區別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos求解；若已知兩向量的坐標，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
分別簡記為：縱橫交錯積相等，橫橫縱縱積相反．
3．平面向量的模與夾角的坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則有下表：
坐標表示
模 |a|2＝x＋y或|a|＝
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝
夾角 cosθ＝＝(a，b為非零向量)
【題型1 用基底表示向量】
【典例1】如圖，點B與點C關于點A對稱，點D在線段OB上，，DC和OA交于點E.設，，用和表示向量，.

【變式1-1】如圖，的對角線AC和BD交于點M，，，試用基底，表示，，和．

【變式1-2】如圖，已知梯形中，，且，、分別是、的中點，設，，試用，表示，，，．

【題型2 平面向量基本定理的應用】
【典例2】已知為的邊所在直線上一點，且，點在直線上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】在平行四邊形中，如圖，，依次是對角線上的兩個三等分點，設試用與表示和，則= ，= ．

【變式2-2】如圖，在中，為上一點，，為上一點，，且，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【題型3 平面向量的加減運算的坐標表示】
【典例3】已知向量、的坐標，求、的坐標．
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，
【變式3-1】如圖，已知的三個頂點為，求頂點D的坐標．

【題型4 平面向量數乘運算的坐標表示】
【典例4】已知，，求，的坐標
【變式4-1】已知，，求，，的坐標．
【變式4-2】解答下列各題：
(1)設向量，，求；
(2)已知兩點和，點P滿足，求點P的坐標．
【變式4-3】已知向量，，.
(1)求；
(2)求滿足的實數，；
【題型5 向量共線、平行和垂直的坐標表示】
【典例5】已知向量，，點．
(1)求線段BD的中點M的坐標；
(2)若點滿足點P，B，D三點共線，求y的值．
【變式5-1】已知向量，，且與共線，求的值.
【變式5-2】已知.
(1)求的坐標；
(2)為何值時，與共線.
【變式5-3】平面給定三個向量，，
(1)若，求的值；
(2)若向量與向量共線，求實數k的值.
【典例6】已知向量，，
(1)分別求，的坐標；
(2)若向量，且與向量平行，求實數k的值
【變式6-1】已知點，，，M是線段的中點.
(1)求點M和的坐標：
(2)若D是x軸上一點，且滿足，求點D的坐標.
【變式6-2】平面內給定三個向量，，.
(1)設，求m，n的值；
(2)若，求實數k的值.
【變式6-3】已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求實數的值.
【典例7】已知向量，．
(1)求；
(2)若，求m的值．
【變式7-1】已知平面向量
(1)若，求x；
(2)當x為何值時最小，最小值是多少．
【變式7-2】已知平面向量
(1)若，求x的值：
(2)若，求
【變式7-3】已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若與共線，求與同向的單位向量的坐標.
【題型6 向量坐標運算與平面幾何的交匯】
【典例8】如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點B C D的坐標分別是（-1，3） （3，4） （2，2），
(1)求向量BC；
(2)求頂點A的坐標.
【變式8-1】已知梯形，其中，且，三個頂點，，，求點D的坐標．
【變式8-2】如圖，已知的三個頂點A，B，C的坐標分別是，，，求頂點D的坐標．
【題型7向量坐標運算與三角函數的交匯】
【典例9】已知向量，，．設．
(1)求函數的最小正周期；
(2)若，且，求的值．
【變式9-1】已知，，.
(1)求；
(2)求的模的最小值.
【變式9-2】設平面向量，，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【變式9-3】已知平面向量，函數.
(1)求不等式的解集；
(2)求函數在上的單調遞增區間.
一、單選題
1．在梯形中，設，，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，則（ ）
A．10 B．5 C． D．
4．已知平面向量，，若，則實數的值為（ ）
A．或 B． C．或 D．
5．已知向量，則（ ）
A．10 B．18 C． D．
6．已知向量，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
7．已知，若，則（ ）
A．4 B． C． D．-4
8．設，向量，，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．已知向量，則 ．
10．已知向量，，則 .
11．已知向量，滿足，，則 ．
12．已知向量，若，則的值為 ．
13．若向量，，且，則實數x的值為 ．
三、解答題
14．已知,,,求，，，.
15．已知，，，分別求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知向量，的坐標，求．
(1)，；
(2)，．
17．如圖所示，M是內一點，且滿足，BM的延長線與AC的交點為N.

(1)設，，請用，表示；
(2)設，求的值.
18．已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求實數的值.
19．在中，已知在線段上，且，設．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
20．已知向量與向量共線，且，，
(1)求向量的坐標；
(2)求實數的值.
21．已知，，設．
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)若，且，求的值．

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