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第05講 空間直線﹑平面的平行
知識點1：線線平行
①利用相似三角形或平行四邊形；
②利用公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行；
③線面平行線線平行
即
④面面平行線線平行
即
⑤垂直于同一平面的兩條直線平行
即
知識點2：線面平行
①定義：若一條直線和一個平面沒有公共點，則它們平行；
②線線平行線面平行
若平面外的一條直線平行于平面內的一條直線，則它與這個平面平行．
即
③面面平行線面平行
若兩平面平行，則其中一個平面內的任一條直線平行于另一個平面．
即
知識點3：面面平行
①線面平行面面平行
若一個平面內兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行。
即
②平行于同一平面的兩個平面平行
即
③垂直于同一條直線的兩個平面平行
即
【題型 1證明線線平行】
【典例1】已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．
【答案】證明見解析
【分析】連接AC，利用正方體的性質，得到四邊形AA′C′C為平行四邊形，再結合M，N分別是CD，AD的中點，得到MN∥A′C′且MN=A′C′證明.
【詳解】證明：如圖所示：
連接AC，
由正方體的性質可知：
AA′=CC′，AA′CC′，
∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，
∴A′C′=AC．A′C′AC，
又∵M，N分別是CD，AD的中點，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．
∴四邊形MNA′C′是梯形．
【變式1-1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是側面AA1D1D，側面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關系是（ ）
A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直
【答案】C
【分析】連接AD1，CD1，AC，根據E，F分別為AD1，CD1的中點，由三角形的中位線定理和平行關系的傳遞性判斷.
【詳解】如圖，

連接AD1，CD1，AC，
因為E，F分別為AD1，CD1的中點，
由三角形的中位線定理知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.
故選：C
【變式1-2】如圖，在三棱錐中，M，N，E，F分別為棱SA，SC，AB，BC的中點，試判斷直線MN與直線EF是否平行．
【答案】平行
【分析】根據給定條件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判斷作答.
【詳解】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點，則有MN//AC，
而E，F分別為棱AB，BC的中點，則有EF//AC，
由平行公理得：MN//EF，
所以直線MN與直線EF平行．
【變式1-3】如圖，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：.
【答案】證明見解析
【分析】由線線平行得到線面平行，再由線面平行的性質得到線線平行，證明出結論.
【詳解】∵四邊形為平行四邊形，∴，
又平面，平面，
∴平面.
而平面平面，平面，
∴，∴.
【題型 2直線與平面平行的判定】
【典例2】已知四棱錐，底面為菱形，平面平面，證明：.

【答案】證明見解析
【分析】先證明平面，再根據線面平行的性質定理求解即可.
【詳解】因為為菱形，所以
平面平面，
所以平面，
又因為平面，且平面平面，
所以．
【變式2-1】若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關系是（ ）
A． B．與相交
C． D．以上三種情況都有可能
【答案】D
【分析】根據線線，線面的位置關系可判斷結果.
【詳解】在長方體中，平面視為平面，直線為直線a，點E，F分別為棱的中點，
如圖， 顯然有平面，當直線b為直線時，直線是異面直線，此時；
因，平面，平面，則，
當直線b為直線時，直線是異面直線，此時；
當直線b為直線時，直線是異面直線，此時與相交，
所以直線b與平面可能平行，可能相交，也可能在平面內.
故選：D.
【變式2-2】如圖，四面體中，分別為的中點．則下列結論一定正確的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面
【答案】D
【分析】是中點，利用中位線性質平移相關線段，將、轉化為、，根據四面體側面形狀不定判斷A、B；利用線面平行的判定及平面的基本性質判斷C、D.
【詳解】由題設，若，即，
由于四面體各側面形狀不定，不一定成立，故A錯；
若是中點，連接，則，若，即，
同上，各側面形狀不定，不一定成立，故B錯；

若是中點，連接，則，而面，面，
所以面，顯然面與面不是同一平面，且面面，
所以平面不成立，C錯；
由題意，面，面，
所以平面，D對.
故選：D
【題型 3平面與平面平行的判定】
【典例3】如圖，從平面外一點，引射線、、，在它們上面分別取點、、，使得．
(1)畫出平面并判斷兩個平面的位置關系；
(2)若點到平面的距離為2，求點到平面的距離．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據線段對應成比例可得線線平行，進而可得面面平行，
（2）根據比例即可求解.
【詳解】（1）根據可知：平面，平面，則∥平面，
同理可得∥平面，又，平面，則平面平面．
（2）點到平面的距離為到平面的距離，即為．
【變式3-1】如圖，三條直線、、不共面，但交于一點，若，，，那么平面和平面的位置關系是 ．
【答案】平行
【分析】根據線線平行即可判斷面面平行.
【詳解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,
故答案為：平行
【變式3-2】下列選項中，能判定平面和平面平行的是（ ）
A．內有無數條直線都與平行 B．內的任意一條直線都與平行
C．與垂直于同一平面 D．與平行于同一直線
【答案】B
【分析】利用面面平行的判定直接判斷即可．
【詳解】對于A中，當內有無數條直線都與平行，平面與平面可能平行，也可能時相交的，所以A不正確；
對于B中，若平面內的任何一條直線都與平行，則平面內必存在兩條相交直線和平面平行，根據面面平行的判定定理，可得，所以B正確；
對于C中，垂直于同一平面的兩個平面不一定平行，還可以相交，所以C不正確；
對于D中，平行于同一條直線的兩個平面可能不平行，還可以相交.
故選：B.
【變式3-3】已知直線m，n和平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，，， D．，
【答案】D
【分析】根據空間中直線與平面，平面與平面的關系，即可結合選項逐一求解.
【詳解】由直線和，
若，，，則與相交或平行，故A不正確；
若，，則與相交或平行，故B不正確，
若，，，，由于不一定相交，所以與相交或平行，故C不正確；
若，，則垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，即，故D正確；
故選：D．
【題型 4由線面平行的性質判定線線平行】
【典例4】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．
求證：.
【答案】證明見解析
【分析】根據線面平行判定定理證明平面，然后再由線面平行的性質定理可證.
【詳解】證明：∵平面平面，
∴平面，
又平面，平面平面，
∴.
【變式4-1】如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.
(1)證明：；
(2)若平面平面，H為的中點，，，，求該幾何體的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)用線面平行的性質定理即可證得.(2) 將體積分割，轉化為一個三棱柱和一個三棱錐求體積即可.
【詳解】（1）證明：∵，而平面，平面，
∴平面，又∵平面，
平面平面，∴，∴.
（2）∵，，H為中點，∴.
而，∴，∵平面平面.
平面平面，平面，∴平面.
過E分別作交于點I，交于點J，連接.
∴.
【變式4-2】如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

【答案】證明見解析
【分析】先證明平面，再利用線面平行的性質定理可得結論.
【詳解】因為在三棱柱中，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
.
【題型 5由線面平行的性質判斷線段比例或點所在的位置】
【典例5-1】如圖，在三棱錐中，點是的中點，點在上，平面與平面相交于直線，∥，證明：是的中點．
【答案】證明見解析
【分析】由線線平行證線面平行，再用性質定理證明線線平行即可.
【詳解】因為∥，平面，平面，
所以∥平面.
因為平面，平面平面，
所以∥，
又因為點是的中點，
所以點是的中點.
【典例5-2】如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】連接CD，交PE于點G，連接FG，由線面平行性質證明，再利用重心性質求解即可.
【詳解】如圖，連接CD，交PE于點G，連接FG，

因為平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因為點D，E分別為棱PB，BC的中點，所以G是的重心，所以.
故選：C.
【變式5-1】已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，由線面平行的性質定理可得，再借助比例式可得答案.
【詳解】如下圖，四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，
因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點，也是BD中點，
而點Q是AD中點，于是得點N是重心，從而得，
因平面，平面，平面平面，
因此得，于是得，所以.
故選：C.

【變式5-2】如圖，為平行四邊形所在平面外一點，分別為上一點，且，當平面時， .

【答案】/
【分析】根據線面平行的性質定理，結合平行線的性質進行求解即可.
【詳解】如圖，連結交于點，連結.

因為，所以，
因為平面，平面平面平面，
所以，所以.
故答案為：
【變式5-3】已知正方體，點E為中點，直線交平面于點F．求證：點F為中點．
【答案】證明見解析
【分析】先證明線面平行，然后利用線面平行的性質得到，結合E為中點可證結論.
【詳解】在正方體中，所以；
因為平面，平面，
所以平面；
因為直線交平面于點F，
所以平面，且平面平面，
因為平面，平面，平面平面，
所以，
因為點E為中點，底面是正方形，
所以F為中點.
【題型6由線面平行求線段長度】
【典例6】如圖，長方體的底面是正方形，其側面展開圖是邊長為4的正方形，E，F分別是側棱上的動點，點P在棱上，且，若平面PBD，求EF的長.

【答案】
【分析】連接與交于點，連接，在棱上取，連接，，由平面PBD，證得四邊形QEFC是平行四邊形，在直角中，即可求解.
【詳解】因為長方體的底面ABCD是正方形，其側面展開圖是邊長為的正方形，所以，，
如圖所示，連接與交于點，連接，
在棱上取，連接，，則，且，
因為平面PBD，且平面，平面平面，
所以，所以，
又因為，所以四邊形QEFC是平行四邊形，所以，
在直角中，，，所以，
所以.

【變式6-1】已知正方體的棱長為1，點是平面的中心，點是平面的對角線上一點，且平面，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用線面平行的性質定理及三角形的中位線定理，結合勾股定理即可求解.
【詳解】連接，，則過點.如圖所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，
∴.
故選：B.
【變式6-2】如圖，是棱長為正方體的棱上的一點，且平面，求線段的長．
【答案】
【分析】連接，交于點，由線面平行的性質可得，知為中點，利用勾股定理可求得結果.
【詳解】連接，交于點，連接，則為的中點．
平面，平面，平面平面，
，又為中點，為中點，，
則在中，.
【題型 7面面平行性質定理的應用】
【典例7】已知直四棱柱，，，，，．

(1)證明：直線平面；
(2)若該四棱柱的體積為，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明出平面平面，再利用面面平行的性質可證得結論成立；
（2）計算出梯形的面積，利用柱體的體積可求得的長.
【詳解】（1）證明：在直四棱柱中，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，平面，平面，所以，平面，
因為，、平面，所以，平面平面，
因為平面，因此，平面.
（2）解：因為，，，，，
所以，，
所以，，解得.
【變式7-1】如圖，點S是所在平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且．求證：平面．

【答案】證明過程見解析
【分析】作出輔助線，得到線線平行，進而證明出線面平行，面面平行，從而證明出線面平行.
【詳解】在上取，使得，則，
因為平面，平面，
所以平面，
因為，所以，則，
又中，，故，
因為平面，平面，
所以平面，
因為平面，平面，，
所以平面平面，
因為平面，所以平面.

【題型 8平行問題的綜合應用】
【典例8】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點.
(1)證明：平面；
(2)設，，求點D到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）借助線面平行的判定定理即可得；
（2）借助等體積法與體積公式計算即可得.
【詳解】（1）連接，交于點O，連接，
∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點，
又∵E為的中點，∴是三角形的中位線，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
.
（2）∵平行四邊形中，，，，
∴，
則，故，
又∵平面，∴，，都是直角三角形，
∵，∴，，，
∴，∴，∴，
因為是的中點，所以，且，
所以，
，
設點到平面的距離為，
由得：，
解得.
【變式8-1】在四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E為線段PA的中點.
(1)求證：平面BDE.
(2)求三棱錐的體積
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）要證明線面平行，轉化為證明線線平行，即通過構造中位線，即可證明；
（2）根據三棱錐的體積公式，即可求解.
【詳解】（1）如圖，連接交于點，連接.

∵四邊形是正方形，在中，為的中點，
又∵為的中點，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）如圖，取的中點，連接，

則且，
∵平面，∴平面，
∴就是三棱錐的高.
∴.
【變式8-2】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，，，分別是，，的中點．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點，可得四邊形為平行四邊形，，再由線面平行的判定定理可得答案；
（2）設到平面的距離為，利用可得答案．
【詳解】（1）證明：如圖取中點，連接，，
因為為中點，所以，且，
又因為四邊形為菱形，且為中點，
所以，且，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）設到平面的距離為，
因為，平面，平面，所以平面，
易得，，所以，
所以，
所以，所以，
所以到平面的距離為．
1．在正六棱柱任意兩個頂點的連線中與棱AB平行的條數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】作出幾何體的直觀圖觀察即可.
【詳解】解：連接CF，C1F1，與棱AB平行的有，共有5條，
故選：D.

2．設是兩條直線，是兩個平面，若，，則下列說法一定正確的是（ ）
A． B．
C．是兩條異面直線 D．
【答案】B
【分析】ACD可舉出反例，D選項，可根據面面平行得到線面平行.
【詳解】ACD選項，如圖1和圖2，，，則或是兩條異面直線，故ACD錯誤.
B選項，，，根據面面平行的性質可知，故B正確；
故選：B
3．平面與平面平行的充要條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面
C．，平行于同一條直線 D．內有兩條相交直線都與平行
【答案】D
【分析】根據面面平行的判定定理逐項判斷即可.
【詳解】對于A，內有無數條直線與平行，可得與相交或；
對于B，與垂直于同一個平面，可得與相交或；
對于C，與平行于同一條直線，可得與相交或；
對于D，內有兩條相交直線平行于，結合面面平行的判定定理可得，
故選：D．
二、多選題
4．如圖，在三棱錐中，E，F分別為AB，AD的中點，過EF的平面截三棱錐得到的截面為，則下列結論中一定成立的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面
【答案】ABC
【分析】根據中位線得到，證得平面，再結合線面平行的性質定理，可判定A，B一定成立；由，結合線面平行的判定定理，證得平面，可判定C一定成立；根據位置不確定，可判定D不一定成立.
【詳解】對于A、B中，因為分別為的中點，所以是的中位線，
所以，又因為平面，平面，所以平面，
因為過的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，
所以，所以，故A，B一定成立；
對于C中，因為，平面ABD，平面，
所以平面，故C一定成立；
對于D中，因為的位置不確定，所以與平面有可能相交，所以D不一定成立.
故選：ABC.
5．如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（ ）

A． B．平面
C． D．點B，D到平面的距離不相等．
【答案】BC
【分析】由平行線分線段成比例可判斷A；由線面平行的判定定理和性質定理可判斷B；由線線平行和垂直的性質可判斷C；由線面平行性質可判斷D.
【詳解】在四面體中,若截面是正方形,可得平面平面,可得平面
又平面，而平面平面,可得
又平面,面，則平面,故B正確；
同樣可得平面,所以點B，D到平面的距離相等，故D錯誤；
由,可得,故C正確；
由,且,但不一定與相等,故,不一定相等,故A錯誤.
故選：BC
6．在正方體中，E，F，G分別為BC，，的中點，則（ ）

A．直線與直線AF異面 B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面是平行四邊形 D．點C和點B到平面的距離相等
【答案】ABD
【分析】由圖可知直線與直線AF異面，利用面面平行的判定定理以及面面平行的性質可證明平面；將平面擴大至與相交于點，即可得截面為等腰梯形，顯然平面將線段平分，所以C和B到平面的距離相等.
【詳解】對于選項A，由圖可知AF與顯然不平行，且不相交，所以AF與異面，選項A正確；
對于選項B，取的中點為M，連接、，如下圖所示：

易知，且平面，平面，
所以平面，
又易知，，因此，
平面，平面，所以平面；
，可得平面平面，
又平面，從而平面，選項B正確；
對于選項C，連接，，如下圖所示：

易知，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，選項C錯誤；
對于選項D，平面過的中點E，即平面將線段平分，
所以C與B到平面的距離相等，選項D正確.
故選：ABD.
三．填空題
7．如圖，空間四邊形中，E，F，G，H分別是，，，的中點，則四邊形是( )
A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【詳解】根據中位線定理可知：//且，可知四邊形為平行四邊形
故選：B
8．已知表示三個不同的平面，若，且，則直線，的位置關系是 .
【答案】
【分析】根據面面平行的性質定理可得答案.
【詳解】由題意知，且，
根據面面平行的性質定理可得，
故答案為：
9．如圖，在長方體中，寫出滿足條件的一個平面：
（1）與平面平行的平面為 ；
（2）與平面平行的平面為 ；
（3）與平面平行的平面為 ．
【答案】 平面 平面 平面
【分析】結合長方體的結構特征和面面平行的判定定理即可判斷.
【詳解】因為為長方體，所以平面∥平面，平面∥平面，同時∥，∥，
又因為平面，平面，所以∥面，∥平面，因為，所以平面∥平面.
故答案為：①平面；②平面；③平面.
10．如圖，四邊形是平行四邊形，是平面外一點，為上一點，若平面，則 ．

【答案】
【分析】連接交于點，連接，根據線面平行的性質證明，即可得解.
【詳解】連接交于點，連接，
因為四邊形是平行四邊形，所以為的中點，
因為平面，平面平面，平面，
所以，
所以為的中點，
所以.
故答案為：.
11．A是所在平面外一點，M是的重心，N是的中線AF上的點，并且平面BCD，當時， ．

【答案】4
【分析】先根據線面平行性質得出，再根據中位線從而求出，再由重心得到，計算求解即可.
【詳解】因為平面，平面，平面平面.
所以，M是的重心，N是的中線AF上的點，
所以E，F分別是BC，CD的中點，N是的重心,
所以，
又因為M，N分別是和的重心，
所以
且,
所以.
故答案為：4.
12．如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，且，，，點為中點，若上存在一點使得平面，則長度為 .
【答案】
【分析】連接，，，取中點，連接與交于，取中點，連接，則平面．證明，為的三等分點，即可得出結論．
【詳解】解：如圖所示，連接，，，取中點，連接與交于，取中點，連接，則
，平面，平面，
平面．
為中點，為中點，
，
為中點，
為中點，
，，四邊形是矩形，平面，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查直線與平面平行的性質，還運用中位線性質以及線面垂直的性質，確定，為的三等分點是關鍵，考查學生的計算能力．
13．如圖，在三棱柱中，M是的中點，平面平面，平面．求證：

(1)；
(2)N為AC的中點．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由面面平行的性質得到線線平行；
（2）證明出四邊形為平行四邊形，從而證明出結論.
【詳解】（1）因為平面平面，
平面平面，平面平面，
所以．
（2）三棱柱中，，且，
因為，，
所以四邊形為平行四邊形，
又M是的中點，
所以，
所以N為AC的中點．
14．如圖，在正方體中，E是的中點.

(1)求證：平面；
(2)設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證，再用直線與平面平行的判定定理證明平面；
（2）利用等體積法，求三棱錐的體積.
【詳解】（1）證明：因為在正方體中，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）因為正方體的棱長是1，E是的中點，所以，
三角形ABC的面積，
三棱錐的體積.
15．如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，E、F分別是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據中位線定理、平行線的傳遞性及線面平行的判定定理即可得證；
（2）由于面，故即為與平面的夾角，從而勾股定理求出的三條邊長，再根據即可得解.
【詳解】（1）取中點為，連接，，如圖所示：
因為F，M分別為PD，PC的中點，故可得，且；
又因為且；
故可得，，則四邊形為平行四邊形，
故可得，又平面平面，
故平面．
（2）連接，如圖所示：
因為面，故即為與平面的夾角，
又面，故可得；
在中，，，
故可得，
則，
即與平面所成角的余弦值為．
16．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點E在線段上，平面.
（1）求線段的長；
（2）若平面平面，，直線與平面所成的角為，，求三棱錐的表面積.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）連接，交于點O，連接，證明，E是的中點，求出的值；
（2）由題意得出四棱錐的側面都是直角三角形，計算各個面的面積，求和即可.
【詳解】解：（1）連接，交于點O，連接，
由四邊形為矩形，
所以O為的中點，
又平面，
所以，
所以E是的中點，
所以；
（2）由平面平面，，
且平面，平面平面，
所以平面，
所以直線與平面所成的角為，
又底面是矩形，
所以，又，且，
所以平面，
所以，同理，
所以四棱錐的側面都是直角三角形，且，；
又，所以，
所以，
，
，
；
計算三棱錐的表面積為：
.
【點睛】本題考查了四棱錐的結構特征與表面積計算問題，也考查了線面平行的性質定理，是中檔題.第05講 空間直線﹑平面的平行
知識點1：線線平行
①利用相似三角形或平行四邊形；
②利用公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行；
③線面平行線線平行
即
④面面平行線線平行
即
⑤垂直于同一平面的兩條直線平行
即
知識點2：線面平行
①定義：若一條直線和一個平面沒有公共點，則它們平行；
②線線平行線面平行
若平面外的一條直線平行于平面內的一條直線，則它與這個平面平行．
即
③面面平行線面平行
若兩平面平行，則其中一個平面內的任一條直線平行于另一個平面．
即
知識點3：面面平行
①線面平行面面平行
若一個平面內兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行。
即
②平行于同一平面的兩個平面平行
即
③垂直于同一條直線的兩個平面平行
即
【題型 1證明線線平行】
【典例1】已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．
【變式1-1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是側面AA1D1D，側面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關系是（ ）
A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直
【變式1-2】如圖，在三棱錐中，M，N，E，F分別為棱SA，SC，AB，BC的中點，試判斷直線MN與直線EF是否平行．
【變式1-3】如圖，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：.
【題型 2直線與平面平行的判定】
【典例2】已知四棱錐，底面為菱形，平面平面，證明：.

【變式2-1】若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關系是（ ）
A． B．與相交
C． D．以上三種情況都有可能
【變式2-2】如圖，四面體中，分別為的中點．則下列結論一定正確的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面
【題型 3平面與平面平行的判定】
【典例3】如圖，從平面外一點，引射線、、，在它們上面分別取點、、，使得．
(1)畫出平面并判斷兩個平面的位置關系；
(2)若點到平面的距離為2，求點到平面的距離．
【變式3-1】如圖，三條直線、、不共面，但交于一點，若，，，那么平面和平面的位置關系是 ．
【變式3-2】下列選項中，能判定平面和平面平行的是（ ）
A．內有無數條直線都與平行 B．內的任意一條直線都與平行
C．與垂直于同一平面 D．與平行于同一直線
【變式3-3】已知直線m，n和平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，，， D．，
【題型 4由線面平行的性質判定線線平行】
【典例4】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．
求證：.
【變式4-1】如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.
(1)證明：；
(2)若平面平面，H為的中點，，，，求該幾何體的體積.
【變式4-2】如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

【題型 5由線面平行的性質判斷線段比例或點所在的位置】
【典例5-1】如圖，在三棱錐中，點是的中點，點在上，平面與平面相交于直線，∥，證明：是的中點．
【典例5-2】如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（ ）

A．1 B．2 C． D．
【變式5-1】已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】如圖，為平行四邊形所在平面外一點，分別為上一點，且，當平面時， .

【變式5-3】已知正方體，點E為中點，直線交平面于點F．求證：點F為中點．
【題型6由線面平行求線段長度】
【典例6】如圖，長方體的底面是正方形，其側面展開圖是邊長為4的正方形，E，F分別是側棱上的動點，點P在棱上，且，若平面PBD，求EF的長.

【變式6-1】已知正方體的棱長為1，點是平面的中心，點是平面的對角線上一點，且平面，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】如圖，是棱長為正方體的棱上的一點，且平面，求線段的長．
【題型 7面面平行性質定理的應用】
【典例7】已知直四棱柱，，，，，．

(1)證明：直線平面；
(2)若該四棱柱的體積為，求的長．
【變式7-1】如圖，點S是所在平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且．求證：平面．

【題型 8平行問題的綜合應用】
【典例8】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點.
(1)證明：平面；
(2)設，，求點D到平面的距離.
【變式8-1】在四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E為線段PA的中點.
(1)求證：平面BDE.
(2)求三棱錐的體積
【變式8-2】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，，，分別是，，的中點．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
1．在正六棱柱任意兩個頂點的連線中與棱AB平行的條數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．設是兩條直線，是兩個平面，若，，則下列說法一定正確的是（ ）
A． B．
C．是兩條異面直線 D．
3．平面與平面平行的充要條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面
C．，平行于同一條直線 D．內有兩條相交直線都與平行
二、多選題
4．如圖，在三棱錐中，E，F分別為AB，AD的中點，過EF的平面截三棱錐得到的截面為，則下列結論中一定成立的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面
5．如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（ ）

A． B．平面
C． D．點B，D到平面的距離不相等．
6．在正方體中，E，F，G分別為BC，，的中點，則（ ）

A．直線與直線AF異面 B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面是平行四邊形 D．點C和點B到平面的距離相等
三．填空題
7．如圖，空間四邊形中，E，F，G，H分別是，，，的中點，則四邊形是( )
A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形
8．已知表示三個不同的平面，若，且，則直線，的位置關系是 .
9．如圖，在長方體中，寫出滿足條件的一個平面：
（1）與平面平行的平面為 ；
（2）與平面平行的平面為 ；
（3）與平面平行的平面為 ．
10．如圖，四邊形是平行四邊形，是平面外一點，為上一點，若平面，則 ．

11．A是所在平面外一點，M是的重心，N是的中線AF上的點，并且平面BCD，當時， ．

12．如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，且，，，點為中點，若上存在一點使得平面，則長度為 .
13．如圖，在三棱柱中，M是的中點，平面平面，平面．求證：

(1)；
(2)N為AC的中點．
14．如圖，在正方體中，E是的中點.

(1)求證：平面；
(2)設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．
15．如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，E、F分別是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的余弦值．
16．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點E在線段上，平面.
（1）求線段的長；
（2）若平面平面，，直線與平面所成的角為，，求三棱錐的表面積.

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