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第07講 空間直線﹑平面的垂直（二）
知識點1：二面角
(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范圍：[0，π].
知識點 2:平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
(2)判定定理與性質定理
文字語言 圖形表示 符號表示
判定定理 一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 α⊥β
性質定理 如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 l⊥α
【題型 1 求二面角】
【典例1】如圖，已知平面與底面所成角為，且．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先根據線面垂直的性質可得，再利用勾股定理可得，再根據線面垂直的判定定理即可得證；
（2）先說明為二面角的平面角，根據與底面所成角的正切值求出，再解即可.
【詳解】（1）因為平面，平面，所以，
又由已知得，，
則，即，
又平面，
所以平面；
（2）因為平面，平面，所以，
所以為二面角的平面角，
因為平面與底面所成角為，
所以為與底面所成角，由，得，
在中，，則，
所以二面角的大小為．
【變式1-1】如圖，邊長為2的兩個等邊三角形，若點到平面的距離為，則二面角的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設的中點為E，過點A作，說明為二面角的平面角；證明平面，從而證明平面，解直角三角形，即可求得答案.
【詳解】設的中點為E，連接，過點A作，垂足為F，
因為均為等邊三角形，故，
故為二面角的平面角；

又平面，故平面，
而平面，故，
又，平面，
故平面，則點A到平面的距離為，
又為等邊三角形，邊長為2，故，
故在中，，則，即，
故二面角的大小為，
故選：A
【變式1-2】將兩個相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐中，兩兩互相垂直，則二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取中點，連接，說明為二面角的平面角，通過幾何關系計算求解.
【詳解】取中點，連接，交平面于點，
由正棱錐性質及對稱性易知為的中心，且，
故為二面角的平面角，
設正三棱錐側棱長為2，易得，
則，
在中由余弦定理得.
故選：D.
【變式1-3】如圖，在三棱錐中，平面平面，，， E、F分別為棱、的中點．
(1)求證：直線平面；
(2)若直線與平面所成的角為，直線與平面所成角為，求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據E，F分別是棱、的中點得到，從而可證直線平面；
（2）利用線面角與二面角的定義，結合線面垂直的判定定理求得所需線面角與二面角，從而得解.
【詳解】（1）∵E，F分別是棱、的中點，∴在中，，
∵平面，平面，∴直線平面；
（2）∵平面平面，平面平面，
平面，，∴平面，
∴是直線與平面所成角，
∵直線與平面所成角為，
∴，∴，∵平面，， 平面，
∴，，∵，，，平面，
∴平面，∴是直線與平面所成角，
∵直線與平面所成角為，∴，
∴，，設，
則，，，，
∴為等腰直角三角形，，
∵，，∴是二面角的平面角，
∴二面角的大小為．
【題型 2由二面角大小求線段長度或距離】
【典例2】如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．

(1)求證：；
(2)若平面交于點，求的值；
(3)若二面角的大小為，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據給定條件，利用線面平行的判定、性質推理即得.
（2）利用平面的基本事實證得三點共線，作于，利用平行關系推理計算即得.
（3）作出二面角的平面角，結合（2）的信息計算即得.
【詳解】（1）四棱錐的底面是菱形，，又平面，平面，則平面，
而平面平面，平面，
所以.
（2）由平面，平面，得平面平面，
而，平面，于是平面，又平面，
則，即三點共線，由平面，平面，則，
如圖，在中，過點作的垂線，垂足為，于是，

設，由，得，，，
從而，所以，即．
（3） 過點作于點，連接，
由平面，平面，則，而平面，
則平面，而平面，于是，
則有為二面角的平面角，即，
在菱形中，由，得，則，
由（2）得，所以.
【變式2-1】已知二面角為，點、分別在、內且，到的距離為，到的距離為, 則兩點之間的距離為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意作交于，連接，作，，證明為二面角的平面角，以及，；在，中分別求出，，再在中，利用余弦定理求解即可.
【詳解】如圖，作交于，連接，作，，
因為，，，平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以，所以為二面角的平面角，
即，
因為平面，平面，所以，
又，， ，，所以，
所以，
同理，所以，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，
所以.
故選：.
【變式2-2】已知二面角為60°，點，，C為垂足，點，，D為垂足，且，，則線段的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先過點在平面內作，得到二面角的平面角，即由余弦定理求得,再證明，從而解得長.
【詳解】
如圖，在平面內，過點作，且使,連接，因，則即二面角的平面角，
在中，由余弦定理： ，則，
又，易得矩形,故,且
因平面即得：平面，從而平面,則有,
在中，.
故選：A.
【題型 3面面垂直的判定】
【典例3】如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點，連接.求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，進而得到線面平行；
（2）由線面垂直得到線線垂直，進而得到線面垂直，面面垂直.
【詳解】（1）連接，交于點，連接，
因為底面為矩形，所以為的中點，
又為的中點，所以，
因為平面，平面，
故平面；
（2）平面，平面，
∴，
∵底面為矩形，
.
又，平面，
平面.
又平面，
平面平面.
【變式3-1】（多選題）如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列說法中錯誤的是（ ）．
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
【答案】ABD
【分析】由已知可證明平面，由線面垂直可推出面面垂直，判斷選項；在選項的基礎上可判斷選項，D不一定垂直；對于選項可考察動態變化情況，知其不一定垂直..
【詳解】因為，且是的中點，所以，同理，，
由于，平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以平面平面，
又平面，所以平面平面，
故正確；
由于平面平面，若平面平面，而平面平面，
則平面,但已知條件不能保證平面,所以平面與平面不一定垂直，故錯誤；同理平面與平面不一定垂直，故錯誤；
由于，所以當時平面，當長度趨于0時，二面角接近，故平面與平面不一定垂直，故錯誤；
故選：.
【變式3-2】正三棱柱的底面邊長與側棱長都是2，分別是的中點．
(1)求三棱柱的全面積；
(2)求證：∥平面；
(3)求證：平面⊥平面．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）利用棱柱的表面積公式進行求解即可；
（2）利用線面平行的判定定理進行證明即可；
（3）利用面面垂直的判定定理證明即可.
【詳解】（1）因為三棱柱是正三棱柱，且棱長均為2，所以底面是正三角形，側面均為正方形，
故三棱柱的全面積為；
（2）在正三棱柱中，因為分別是的中點，
可知，又∥，
所以四邊形是平行四邊形，故∥，
又平面，平面，
所以∥平面．
（3）連，設與相交于，則由側面為正方形，可知與互相平分．
在中，，在中，，故，
連，則．
又，，連，則，
又與相交于，，平面，所以平面．
因為平面，所以平面平面．
【題型4面面垂直性質定理的應用】
【典例4】如圖，在矩形中，，，E為的中點，把和分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P．
(1)求證：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線線垂直得到線面垂直，進而得到線面垂直；
（2）作出輔助線，得到線線垂直，得到就是二面角的平面角，結合邊長求出二面角的大小.
【詳解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．
又∵，平面，
∴⊥平面．
又平面，
∴平面⊥平面．
（2）如圖所示，取的中點F，連接，
∵四邊形為矩形，
∴，
因為，所以⊥，⊥，
故就是二面角的平面角．
又⊥平面，平面，
所以⊥，
∵，
∴，
∴．
∴二面角P－AD－E的大小為．
【變式4-1】如圖，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，平面ABCD，，M為PB的中點．
(1)求證：平面平面PDB；
(2)求CP與平面MAC所成角的正弦值．
【答案】(1)證明過程見講解.
(2)
【分析】（1）利用直線與平面的垂直的性質，平面與平面的判斷定理進行證明.
（2）利用空間向量求解.
【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以.
因為平面，因為平面，
所以，因為，
平面，所以平面，
因為平面，
所以平面平面.
（2）連接，交于，
因為四邊形為菱形，所以為的中點，
因為M為PB的中點，所以為的中位線，
所以，因為平面ABCD，
所以平面，如圖建立空間直角坐標系.
根據題意有,,
所以，
易知平面的一個法向量為，設CP與平面MAC所成角為，
則，
所以CP與平面MAC所成角的正弦值.
【變式4-2】如圖，在四棱柱中，底面為正方形，平面．
(1)證明：平面平面；
(2)設，求四棱錐的高．
【答案】(1)證明見解析；
(2)1
【分析】（1）根據線面垂直的性質及判定、面面垂直的判定證明即可；
（2）根據幾何圖形特征轉化求出到平面的距離即可.
【詳解】（1）因為底面為正方形，平面，平面,
所以，
又平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面；
（2）易知平面，故到平面的距離即到平面的距離，
過作，平面平面，
由上結論可知平面，
由題意面為正方形，平面，平面，則，
所以,
顯然是等腰直角三角形，
又四邊形為平行四邊形，故是等腰直角三角形，
所以,
故四棱錐的高為1.
【題型 5空間垂直的轉化】
【典例5】如圖，四棱錐中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．

(1)證明：；
(2)若，M是PA的中點，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據底面的幾何關系，可證明，再根據面面垂直的性質定理，即可證明；
（2）首先求點到平面的距離，再根據體積轉化，即可求解.
【詳解】（1）取BC中點N，連接AN，則，又，，
所以四邊形ANCD為正方形，則，，

又在中，，則，所以，即．
又平面ABCD⊥平面PAC，平面平面，平面，
所以平面，又面PAC，所以．
（2）連接，交于O，連接，
因為平面，平面，所以
由于，，又因為，為的中點，所以，
又因為平面，平面，所以平面
所以，
，
又因為M為PA中點，所以
【變式5-1】如圖，四棱錐中，，，，平面平面.
(1)證明：；
(2)若，M是的中點，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用直角梯形的性質計算證得，再利用面面垂直的性質、線面垂直的性質推理即得.
（2）取的中點，連接，利用面面垂直的性質結合等體積法求出體積.
【詳解】（1）在四棱錐中，，，，
四邊形是直角梯形，，，，
于是，即，而平面平面，
平面平面，平面，則平面，又平面，
所以.
（2）取的中點，連接，由，得，，
由平面平面，平面平面，平面，得平面，
由M是的中點，得點到平面的距離，又，
顯然，所以三棱錐的體積.
【變式5-2】如圖，在四棱錐中，，，平面平面．
(1)證明：平面；
(2)已知，且，求點D到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，利用面面垂直的判定定理，中點平面，結合，即可證得平面；
（2）由（1）可知，平面，中點平面，設點到平面的距離為，結合，列出方程，即可求解．
【詳解】（1）因為平面平面，平面平面，
且， 平面，所以平面，
又因為，所以平面．
（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，
過作直線的垂線，垂足為，則平面，
由，，
可得，，，，
因為平面，平面，所以，
則，可得，
在直角梯形中，因為，可得，
所以，在等腰中，，
取的中點，連接，可得，且，
所以，
設點到平面的距離為，
由，可得，解得，
所以點到平面的距離為．
1．（多選題）如圖，在直棱柱中，平面平面，且四邊形與四邊形都是邊長為1的正方形，連接，則下列說法正確的是（ ）

A．異面直線與的夾角為
B．二面角的平面角為
C．與平面所成的角為
D．點到平面的距離與點到平面的距離之比為
【答案】AB
【分析】由已知找到異面直線所成角、二面角的平面角，即可判斷A、B；利用等體積法求點面距，根據線面角的定義判斷C，進而判斷D.
【詳解】A：由題設，故異面直線與的夾角，即為或其補角，
又四邊形與四邊形都是邊長為1的正方形，則，
由，面面，面面，面，
所以面，面，則，故，
所以為等邊三角形，故異面直線與的夾角為，對；
B：由，面面，面面，面，
所以面，面，即，又，
由圖知：為二面角的平面角為，對；
C：令到面的距離為，又，
所以，則，
故與平面所成的角正弦值為，即與平面所成角不為，錯；
D：由面，面，則面面，
面面，所以到平面的距離為到的距離為，
令到平面的距離為，又，則，故，
綜上，點到平面的距離與點到平面的距離之比為，錯.
故選：AB
2．（多選題）直三棱柱頂點都在球的表面上，，側面側面，則（ ）
A．四棱錐的體積為
B．三棱錐的體積為
C．球的表面積為
D．平面截該三棱柱所得截面的面積為
【答案】ABC
【分析】首先可證明，以及平面，再結合體積公式，和等體積轉化，可判斷AB；首先確定球心的位置，再求球的半徑，根據球的表面積公式，即可求解；
首先確定截面圖形，再求面積，判斷D.
【詳解】因為平面，平面，
所以，且側面側面，
所以，且，平面，
所以平面，
因為，所以，，
所以四棱錐的體積，故A正確；

B.，故B正確；
C.取的中點，連結，點是線段的中點，
由條件可知，垂直于上下底面，且分別是上下底面三角形外接圓的圓心，
所以點是三棱柱外接球的球心，，
所以球的表面積為，故C正確；

D.點三點共線，所以平面截該三棱柱所得截面為三角形，
其中，，，
所以，所以，所以，
故D錯誤.
故選：ABC
3．（多選題）對于兩個平面，和兩條直線，，下列命題中假命題是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則
【答案】ABD
【分析】根據線線，線面，面面的位置關系，即可判斷選項.
【詳解】A. 若，，則或，故A錯誤；
B. 若，，則與平行或相交或在內，故B錯誤；
C. 若，，，則，故C正確；
D. 若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則或相交，故D錯誤.
故選：ABD
4．在三棱錐中，平面，底面是邊長為的正三角形，二面角的大小為，則該三棱錐的外接球的體積為 .
【答案】/
【分析】根據給定條件，結合線面垂直的判定性質求出，再將三棱錐補形成三棱柱，借助三棱柱的外接球求解即得.
【詳解】取的中點為，連接，，是邊長為的正三角形，
則，，又平面，平面，則，又，平面，
于是平面，而平面，則，因此為二面角的平面角，
即，則，將三棱錐補成三棱柱（為底面、為側棱），
則該三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，
設三棱錐的外接球半徑為，顯然的外接圓半徑，
因此，所以球的體積為.
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質求解.
5．一斜坡的坡面與水平面所成的二面角大小為，斜坡有一直道，它和坡腳水平線成角，沿這條直道向上100米后，升高了 米．
【答案】
【分析】作出示意圖，作出坡角，即二面角的平面角，結合直道的長，求解三角形，即可求得答案.
【詳解】如圖，CD表示斜坡上的直道，AB表示坡腳水平線，
由題意知CD＝100米，作DH⊥過BC的水平面，垂足為H，線段DH的長度就是所求的高度，
在平面DBC內，過點D作，連接GH，
∵平面BCH，平面BCH，
∴，又，平面DGH，
∴平面DGH，又平面DGH，
∴，
∴為坡面DGC與水平面BCH所成二面角的平面角，則，
依題意，,則,
故（米），
故答案為：
6．如圖，在三棱錐中，是直二面角，，，則異面直線與所成角的余弦值為 ．

【答案】/0.5
【分析】由題意結合面面垂直的性質以及線面垂直的性質，可得各邊的位置關系及數量關系，借助中位線分別作出異面直線與的平行線，可將求異面直線夾角轉化為求相交直線夾角.
【詳解】由是直二面角，故平面平面，
由，故、，
又平面平面，平面，
故平面，又平面，故，
由，，則，
又，故，
則，
取、、、中點、、、，
連接、、、、，
可得、，，，
故異面直線與所成角與直線與所成角相等，
亦可得，，，
故，則，
故，即為等邊三角形，
故，即異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
7．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點E為AB的中點，把沿DE折起，使點A到達點P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為 ．

【答案】/
【分析】或其補角就是異面直線PD與BC所成的角，在中結合已知條件得出相關線段的長度，由余弦定理可得答案.
【詳解】因為，故或其補角就是異面直線PD與BC所成的角，
連接PA，易知，，
因為平面平面，菱形中，，
即是正三角形，為中點，則，所以，又，
所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，
因為平面平面，
所以，，所以，
所以，在中，
由余弦定理得，
所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為．
故答案為：.

8．已知正方體的棱長為，為棱的中點，平面過點，，則平面截正方體所得截面的周長為 .
【答案】/
【分析】取的中點，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到平面截正方體的截面為，進而求得截面的周長.
【詳解】取的中點，連接，
在正方形中，因為分別為的中點，
可得，所以，
因為，所以，可得，
在正方體中，平面，
因為平面，所以
又因為分別為的中點，所以，所以，
因為，且平面，所以平面，
又因為平面，所以，
在正方體中，由平面，且平面，可得，
因為，且，平面，所以平面，
又因為平面，所以，
因為且平面，所以平面，
即平面為平面，取的中點，連接，

因為、分別為、的中點，則，
因為且，故四邊形為平行四邊形，故，
所以，，故、、、四點共面，則截面為，
由正方體的棱長為，
可得，，
，所以所得截面周長為.
故答案為：.
9．如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面ABD夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明平面，再根據面面垂直的判定定理即可證明結論；
（2）作，在平面內過點E作，即作出平面與平面ABD所成二面角的平面角，解三角形求出線相段的長，解即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知，則，
故，又，且平面，
故平面，而平面，
故平面平面；
（2）作，垂足為E，在平面內過點E作，交于F，連接，
則即為平面與平面ABD夾角或其補角，

由題意知，，
故，，
又在中，，則，
則，
又平面，平面，故，
則，
故，即，
在中，,
故平面與平面ABD夾角的余弦值為．
10．如圖，在三棱臺中，平面，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求與平面所成角正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線線垂直性質定理證明；
（2）將棱臺補全為棱錐，利用等體積法求到平面的距離，結合線平面角的定義求與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）由，得，
由平面，平面，則，
又平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
（2）將棱臺補全為如下棱錐，
由，，，易知，，
由平面，平面，則，，，
所以，.
可得，
設到平面的距離為h，又，
則，可得，
設與平面所成角為，，則.
11．如圖，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，，．

(1)求證：平面平面；
(2)若，，直線與平面所成的角為，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)12
【分析】（1）先證平面，再證面面垂直；
（2）根據條件，求四棱錐的底面積和高，進而求其體積.
【詳解】（1）平面，平面，所以．
，，平面且，所以平面，
又平面，所以：平面平面．
（2）設和相交于點，連接．如圖：

由（1）知，平面，所以是直線與平面所成的角，
，所以．
四邊形為等腰梯形，，
∴，均為等腰直角三角形，
梯形的高為，
梯形的面積為．
在等腰三角形中，，∴，
∴，，
四棱錐的體積為．
12．如圖，在四棱柱中，底面為矩形，側面為菱形，平面平面，．
(1)求證：平面；
(2)求四棱柱的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可證；
（2）取中點為，連結，由面面垂直的性質定理可證平面，從而求解棱柱體積.
【詳解】（1）在四棱柱中，，，
所以，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面平面，
所以平面．
（2）
取中點為，連結．
在四棱柱中，，
因為四邊形為菱形，所以，
又因為，所以為等邊三角形，所以．
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱柱的高．
因為底面為矩形，，
所以四棱柱的底面積為，
故四棱柱的體積為．
13．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，E是上一點，且，若平面平面．
(1)求證：平面；
(2)棱上是否存在點F，使得∥平面？請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；理由見解析
【分析】（1）由面面垂直的性質知平面，故，再由得平面；
（2）取F為的中點，G為的中點，可證四邊形是平行四邊形，由線面平行判斷可證∥平面.
【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，且，
∴四邊形是菱形，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
與相交，平面，
平面．
（2）當F為的中點時，平面．理由如下：
取F為的中點，G為的中點，連接，
則，且．
∵底面為菱形，且E為的中點，
，且．
，且．
∴四邊形是平行四邊形，．
平面平面平面．
14．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長為2的正三角形，延長至點，使得為線段的中點．

(1)證明：平面．
(2)若，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面平行的判定證明即可.
（2）作出輔助線，合理轉化距離，幾何法求解體積即可.
【詳解】（1）連接，交于點，連接，
因為底面為矩形，所以為線段的中點．
又為線段的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面．
（2）
記的中點為，連接，，
因為是邊長為2的正三角形，所以．
又平面平面，且平面平面，且平面，
所以平面，則．
又，，所以平面，
則．
因為四邊形為矩形，所以，
則，
即，解得．
因為為線段的中點，所以到的距離等于到的距離的2倍，
所以四棱錐的體積．
15．如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點，現將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點，使？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，且
【分析】（1）利用中位線的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；
（2）在線段上取點，使，過點在平面內作于點，連接，利用面面垂直的性質推導出平面，可得出，可得出，推導出，可得出平面，再利用線面垂直的性質可得出結論.
【詳解】（1）證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點，所以，，
因為平面，平面，所以，平面.
（2）解：在線段上取點，使，過點在平面內作于點，連接.

由題意得，平面平面.
因為，平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因為平面，所以，.
在中，因為，，所以，，
所以，，
翻折前，為等邊三角形，則，
因為為的中點，所以，，即，
翻折后，仍有，所以，，故，
在中，，因為，則.
又因為，則平分，
因為是斜邊上的中線，則，且，
所以，是等邊三角形，則，
又因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，
綜上，在線段上存在一點，且當時，.
16．如圖1，在矩形ABCD中，，O是AC與BE的交點，將△ABE沿BE折起到圖2中的位置，得到四棱錐.

(1)證明：平面；
(2)當平面平面時，若，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據，證得，得出，得到，結合線面垂直的判定定理，即可證得平面；
（2）由和平面平面，證得平面，求得，再求得，結合錐體的體積公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，，O是與的交點，
可得，所以，
因為，且，
所以，可得，所以，
在圖（2）中，可得，
因為，且平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，，
因為平面平面，且平面，且平面平面，
所以平面，
又因為，且，所以，
可得，所以，
在圖（1）中，連接，由,可得相似比為，
設邊的高為，邊的高為，可得，
因為，可得，
則，
又由，
所以三棱錐的體積.
第07講 空間直線﹑平面的垂直（二）
知識點1：二面角
(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范圍：[0，π].
知識點 2:平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
(2)判定定理與性質定理
文字語言 圖形表示 符號表示
判定定理 一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 α⊥β
性質定理 如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 l⊥α
【題型 1 求二面角】
【典例1】如圖，已知平面與底面所成角為，且．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小．
【變式1-1】如圖，邊長為2的兩個等邊三角形，若點到平面的距離為，則二面角的大小為（ ）

A． B． C． D．
【變式1-2】將兩個相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐中，兩兩互相垂直，則二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】如圖，在三棱錐中，平面平面，，， E、F分別為棱、的中點．
(1)求證：直線平面；
(2)若直線與平面所成的角為，直線與平面所成角為，求二面角的大小．
【題型 2由二面角大小求線段長度或距離】
【典例2】如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．

(1)求證：；
(2)若平面交于點，求的值；
(3)若二面角的大小為，求的長．
【變式2-1】已知二面角為，點、分別在、內且，到的距離為，到的距離為, 則兩點之間的距離為 （ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】已知二面角為60°，點，，C為垂足，點，，D為垂足，且，，則線段的長度為（ ）
A． B． C． D．
【題型 3面面垂直的判定】
【典例3】如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點，連接.求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【變式3-1】（多選題）如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列說法中錯誤的是（ ）．
A．平面平面
B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
【變式3-2】正三棱柱的底面邊長與側棱長都是2，分別是的中點．
(1)求三棱柱的全面積；
(2)求證：∥平面；
(3)求證：平面⊥平面．
【題型4面面垂直性質定理的應用】
【典例4】如圖，在矩形中，，，E為的中點，把和分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P．
(1)求證：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【變式4-1】如圖，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，平面ABCD，，M為PB的中點．
(1)求證：平面平面PDB；
(2)求CP與平面MAC所成角的正弦值．
【變式4-2】如圖，在四棱柱中，底面為正方形，平面．
(1)證明：平面平面；
(2)設，求四棱錐的高．
【題型 5空間垂直的轉化】
【典例5】如圖，四棱錐中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．

(1)證明：；
(2)若，M是PA的中點，求三棱錐的體積．
【變式5-1】如圖，四棱錐中，，，，平面平面.
(1)證明：；
(2)若，M是的中點，求三棱錐的體積.
【變式5-2】如圖，在四棱錐中，，，平面平面．
(1)證明：平面；
(2)已知，且，求點D到平面的距離．
1．（多選題）如圖，在直棱柱中，平面平面，且四邊形與四邊形都是邊長為1的正方形，連接，則下列說法正確的是（ ）

A．異面直線與的夾角為
B．二面角的平面角為
C．與平面所成的角為
D．點到平面的距離與點到平面的距離之比為
2．（多選題）直三棱柱頂點都在球的表面上，，側面側面，則（ ）
A．四棱錐的體積為
B．三棱錐的體積為
C．球的表面積為
D．平面截該三棱柱所得截面的面積為
3．（多選題）對于兩個平面，和兩條直線，，下列命題中假命題是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則
4．在三棱錐中，平面，底面是邊長為的正三角形，二面角的大小為，則該三棱錐的外接球的體積為 .
5．一斜坡的坡面與水平面所成的二面角大小為，斜坡有一直道，它和坡腳水平線成角，沿這條直道向上100米后，升高了 米．
6．如圖，在三棱錐中，是直二面角，，，則異面直線與所成角的余弦值為 ．

7．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點E為AB的中點，把沿DE折起，使點A到達點P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為 ．

8．已知正方體的棱長為，為棱的中點，平面過點，，則平面截正方體所得截面的周長為 .
9．如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面ABD夾角的余弦值．
10．如圖，在三棱臺中，平面，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求與平面所成角正弦值.
11．如圖，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，，．

(1)求證：平面平面；
(2)若，，直線與平面所成的角為，求四棱錐的體積．
12．如圖，在四棱柱中，底面為矩形，側面為菱形，平面平面，．
(1)求證：平面；
(2)求四棱柱的體積．
13．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，E是上一點，且，若平面平面．
(1)求證：平面；
(2)棱上是否存在點F，使得∥平面？請說明理由．
14．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長為2的正三角形，延長至點，使得為線段的中點．

(1)證明：平面．
(2)若，求四棱錐的體積．
15．如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點，現將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點，使？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
16．如圖1，在矩形ABCD中，，O是AC與BE的交點，將△ABE沿BE折起到圖2中的位置，得到四棱錐.

(1)證明：平面；
(2)當平面平面時，若，求三棱錐的體積.

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