資源簡介

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第2講 一元二次函數、方程和不等式
1.兩個實數a，b，其大小關系有三種可能，即a>b，a＝b，a依據 a>b ①
a＝b ②
a結論 要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的④ 與 的大小
2.等式的基本性質
性質1　如果a＝b，那么⑥ ；
性質2　如果a＝b，b＝c，那么⑦ ；
性質3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 對稱性 a>b b⑧ a
2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c⑨ b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ⑩ a>b，c<0 c的符號
5 同向可加性 a>b，c>d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 同向
7 可乘方性 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
4.基本不等式
如果a>0，b>0， ，當且僅當 時，等號成立.其中，叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數.
變形：ab≤()2，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立.a＋b≥2，a，b都是正數，當且僅當a＝b時，等號成立.
5.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
用不等式(組)表示不等關系
【例1】一輛汽車原來每天行駛x km，如果該輛汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在8天內它的行程就超過2200 km，寫出不等式為____________________.
【變式題】用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于96 m2，靠墻的一邊長為x m.試用不等式(組)表示其中的不等關系.
不等式的性質
【例2】 對于任意實數a，b，c，d，下列四個命題中：
①若a>b，c≠0，則ac>bc；②若a>b，則ac2>bc2；③若ac2>bc2，則a>b；④若a>b>0，c>d，則ac>bD.其中真命題的個數是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【變式題】(1)已知a>b，c∈R，則下列不等式恒成立的是(　　)
A.a＋c>b＋c B.ac>bc C.a－c(2)已知a＞b，c＞d，則下列不等式恒成立的是 (　　)
A.a＋c＞b＋d B.a＋d>b＋c
C.a－c>b－d D.a－b>c－d
基本不等式及其應用
【例3】(1)(2021·湖南省學考)當x>0時，x＋的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.4
(2)已知正實數x，y滿足x＋4y＝1，求＋的最小值.
【變式題】(1)函數y＝x＋(x>1)的最小值是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)用12 cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，則這個矩形的面積是(　　)
A.3 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.12 cm2
一元二次不等式的解法
【例4】解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0.
【變式題】 (1)(2020·廣東學考模擬)不等式x2－7x<0的解集是(　　)
A.{x|x<－7或x>0} B.{x|x<0或x>7} C.{x|－7(2)若關于x的不等式(x－m)(x－n)≤0的解集為{x|2≤x≤4}，則m＋n＝__________.
二次函數與一元二次方程、不等式間的關系及應用
【例5】已知不等式ax2＋bx＋2<0的解集是(－2，－1)，則a＋b的值為(　　)
A.4 B.2 C.－1 D.－2
【變式題】已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，則不等式2x2＋bx＋a＜0的解集為(　　)
A.{x|－1}
C.{x|－2＜x＜1} D.{x|x＜－2或x＞1}
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第2講 一元二次函數、方程和不等式
必修第一冊
核心知識 評價要求
了解 理解 掌握
等式性質與不等式性質 √
基本不等式 √
二次函數與一元二次方程、不等式 √
a－b>0
a－b＝0
a－b<0
差
0
b＝a
a＝c
<
>
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
>
≤
a＝b
{x|xx2}
{x|x1

探究點一：用不等式(組)表示不等關系
探究點二：不等式的性質
探究點三：基本不等式及其應用
探究點四：一元二次不等式的解法
探究點五：二次函數與一元二次方程、不等式間的關系及應用
探究點一： 用不等式(組)表示不等關系
【變式題】
探究點二：不等式的性質
【變式題】
【變式題】
探究點三：集合間的基本運算
【變式題】
【變式題】
探究點四：一元二次不等式的解法
【變式題】
【變式題】
探究點五：二次函數與一元二次方程、不等式間的關系及應用
【變式題】
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第2講 一元二次函數、方程和不等式
1.兩個實數a，b，其大小關系有三種可能，即a>b，a＝b，a依據 a>b ①
a＝b ②
a結論 要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的④ 與 的大小
2.等式的基本性質
性質1　如果a＝b，那么⑥ ；
性質2　如果a＝b，b＝c，那么⑦ ；
性質3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 對稱性 a>b b⑧ a
2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c⑨ b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ⑩ a>b，c<0 c的符號
5 同向可加性 a>b，c>d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 同向
7 可乘方性 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
4.基本不等式
如果a>0，b>0， ，當且僅當 時，等號成立.其中，叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數.
變形：ab≤()2，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立.a＋b≥2，a，b都是正數，當且僅當a＝b時，等號成立.
5.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
參考答案：①a－b>0；②a－b＝0；③a－b<0；④差；⑤0；⑥b＝a；⑦a＝c；⑧<；⑨>；⑩ac>bc； acb＋d； ac>bd； >； ≤； a＝b； {x|xx2}； {x|x1用不等式(組)表示不等關系
【例1】一輛汽車原來每天行駛x km，如果該輛汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在8天內它的行程就超過2200 km，寫出不等式為____________________.
解析：由題意知，汽車原來每天行駛x km，8天內它的行程超過2200 km，則8(x＋19)>2200.
答案： 8(x＋19)>2200
【變式題】用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于96 m2，靠墻的一邊長為x m.試用不等式(組)表示其中的不等關系.
解析：由于矩形菜園靠墻的一邊長為x m，而墻長為18 m，所以0這時菜園的另一條邊長為＝15－.
因此菜園面積S＝x·(15－)，依題意有S≥96，即x(15－)≥96，
故該題中的不等關系可用不等式組表示為
不等式的性質
【例2】 對于任意實數a，b，c，d，下列四個命題中：
①若a>b，c≠0，則ac>bc；②若a>b，則ac2>bc2；③若ac2>bc2，則a>b；④若a>b>0，c>d，則ac>bD.其中真命題的個數是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：若a>b，c<0時，acd>0時，ac>bd，④錯誤.故選A.
答案： A
【變式題】(1)已知a>b，c∈R，則下列不等式恒成立的是(　　)
A.a＋c>b＋c B.ac>bc C.a－c(2)已知a＞b，c＞d，則下列不等式恒成立的是 (　　)
A.a＋c＞b＋d B.a＋d>b＋c
C.a－c>b－d D.a－b>c－d
解析：(1)在A中，若a>b，則a＋c>b＋c，A正確；在B中，若a>b，c<0，則acb，則a－c>b－c，C不正確；在D中，取a＝1，b＝－2，滿足a>b，但a2(2)在A中，若a>b，c＞d，則a＋c>b＋c>b＋d，A正確；
在B中，若a＝1，b＝0，c＝2，d＝0，則a＋d在C中，若a＝1，b＝0，c＝2，d＝0，則a－c在D中，若a＝1，b＝0，c＝2，d＝0，則a－b答案：(1)A　(2)A
基本不等式及其應用
【例3】(1)(2021·湖南省學考)當x>0時，x＋的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.4
(2)已知正實數x，y滿足x＋4y＝1，求＋的最小值.
解析： (1)由基本不等式可得x＋≥2＝2，當且僅當x＝1時取等號，所以x＋的最小值為2.
(2)因為x>0，y>0，x＋4y＝1，所以＋＝(＋)(x＋4y)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，當且僅當x＝，y＝時取等號.所以＋的最小值為9.
答案：(1)C
【變式題】(1)函數y＝x＋(x>1)的最小值是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)用12 cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，則這個矩形的面積是(　　)
A.3 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.12 cm2
解析：(1)y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，當且僅當x＝3時，函數取得最小值，最小值為5.
(2)設矩形的長、寬分別為x cm，y cm，則有2(x＋y)＝12，即x＋y＝6，
因為矩形的面積S＝xy，所以S＝xy≤＝9 cm2，當且僅當x＝y＝3時等號成立.
答案：(1)B　(2)C
一元二次不等式的解法
【例4】解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0.
解析：(1)方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1，x2＝6.
結合二次函數y＝x2－5x－6的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－1或x>6}.
(2)原不等式可化為(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的兩根為x1＝2，x2＝－3.
結合二次函數y＝(x－2)(x＋3)的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－3或x>2}.
【變式題】 (1)(2020·廣東學考模擬)不等式x2－7x<0的解集是(　　)
A.{x|x<－7或x>0} B.{x|x<0或x>7} C.{x|－7(2)若關于x的不等式(x－m)(x－n)≤0的解集為{x|2≤x≤4}，則m＋n＝__________.
解析：(1)不等式x2－7x<0可化為x(x－7)<0，解得0所以不等式的解集是{x|0(2)由題可得 m，n的值為2和4，因此m＋n＝6.
答案：(1)D　(2)6
二次函數與一元二次方程、不等式間的關系及應用
【例5】已知不等式ax2＋bx＋2<0的解集是(－2，－1)，則a＋b的值為(　　)
A.4 B.2 C.－1 D.－2
解析：由已知得－＝－2＋(－1)，＝－2×(－1)，解得a＝1，b＝3，故a＋b＝4.
答案：A
【變式題】已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，則不等式2x2＋bx＋a＜0的解集為(　　)
A.{x|－1}
C.{x|－2＜x＜1} D.{x|x＜－2或x＞1}
解析：由題意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根.
由根與系數的關系得
所以不等式2x2＋bx＋a＜0可化為2x2＋x－1＜0.
解得－1＜x＜.
答案：A
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