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八年級數學下冊 16.1 二次根式 導學案
一、二次根式
1.二次根式：一般地，我們把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根號，叫作被開方數。
2.是二次根式有意義的條件。
二、二次根式的性質：
（1）是一個非負數；既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以一定是非負數。即為二次根式的非負性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提條件是，而中的為一切實數；，，是三個重要的非負數。
選擇題
1.二次根式的化簡結果正確的是（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次根式的性質，解題的關鍵是熟練掌握根據二次根式的性質．
【詳解】解：．
故選：B．
2．下列式子中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質和化簡是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，錯誤；
B、，錯誤；
C、，錯誤；
D 、，正確．
故選：D．
3．下列四個命題中，真命題是（ ）
A．若有意義，則 B．兩個無理數的和還是無理數
C．體積為8的正方體，邊長是無理數 D．兩直線被第三條直線所截，內錯角相等
【答案】A
【分析】本題考查了命題與定理的知識，利用二次根式有意義的條件、無理數的定義、無理數的應用，平行四邊形的性質分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A．若有意義，則，正確，是真命題；
B．兩個無理數的和不一定是無理數，故原說法錯誤，是假命題；
C．體積為8的正方體，邊長是2，故原說法錯誤，是假命題；
D．兩條平行線直線被第三條直線所截，內錯角相等，故原說法錯誤，是假命題；
故選：A．
4．下列根式中，化簡后能與進行合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是同類二次根式的概念，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
根據二次根式的性質把各個二次根式化簡，再根據同類二次根式的概念判斷即可．
【詳解】解：A、不能與進行合并，不符合題意；
B、,不能與進行合并，不符合題意；
C、,不能與進行合并，不符合題意；
D、,能與進行合并，符合題意；
故選：D．
5．若有意義，則x、y的取值范圍不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，由題意知，異號或其中至少一個為0，由此即可作出判斷．
【詳解】解：由題意知，，
則，
即異號或其中至少一個為0，故是不可能的；
故選：C．
6．下列運算結果中正確的是（ ）
A． B．
C． D．的平方根是
【答案】C
【分析】題目主要考查整式得乘法運算及二次根式的化簡，因式分解、算術平方根你的運算，熟練掌握各個運算法則是解題關鍵．
【詳解】解：A、，選項錯誤，不符合題意；
B、，選項錯誤，不符合題意；
C、∵，
∴，
∴，選項正確，符合題意；
D、的平方根是，選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
7．若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數大于等于0是關鍵．
先根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
【詳解】解：∵二次根式在實數范圍內有意義，
∴，
解得．
故選：C．
8.當有意義時，a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查分式和二次根式有意義的條件，根據分式的分母不為0，二次根式的被開方數為非負數進行求解即可．
【詳解】∵要使式子有意義，則，
∴．
故選：B
填空題
1.函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，根據二次根式的被開方數是非負數，分式的分母不等于0即可得出答案．
【詳解】解：由題意得，，
解得．
故答案為：．
2．化簡： ．
【答案】
【分析】本題主要考查二次根式的化簡，根據二次根式的性質進行化簡根式即可，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
3.若，，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查了完全平方公式的應用，二次根式的化簡，靈活運用完全平方公式進行變形是解題的關鍵．先求解，再由可得答案．
【詳解】解：∵，，
∴
，
∴；
故答案為：1．
4.已知數，，在數軸上的位置如圖所示，化簡： ．
【答案】
【分析】本題考查了絕對值的化簡，先根據數軸上，，的位置確定的符號，再根據絕對值的性質化簡即可，解題的關鍵是要能根據數軸上點的位置確定各式子的符號．
【詳解】解：由數軸可得：，，
∴
∴
，
故答案為：．
5.在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是
【答案】且
【分析】本題考查了二次根式有意義，被開方數為非負數，分母不為0，據此即可作答．
【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，
∴且
故答案為：且
解答題
1.計算下列各題
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式的計算：
（1）利用平方差公式和二次根式化簡計算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式化簡計算即可；
結合完全平方公式和平方差公式計算是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
=．
2.計算：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)，．
(4)
【分析】本題主要考查了實數的混合計算，二次根式的混合計算，化簡絕對值，零指數冪，算術平方根，立方根，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
（1）根據零指數冪，化簡絕對值，二次根式的性質，實數的混合計算法則求解即可；
（2）根據二次根式的混合計算法則求解即可；
（3）利用平方根的含義把方程化為 再解方程即可；
（4）把原方程化為： 再利用立方根的含義解方程即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
，．
（4）解：
3.（1）已知和是某個正數a的平方根，求實數a的值：
（2）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡：．
【答案】（1）或；（2）
【分析】本題考查了平方根和立方根的概念，由點在數軸上的位置來判斷式的正負等知識點，
（1）根據平方根的概念得到或兩個數相同，解方程求出x的值，然后代入即可求出a的值；
（2）首先根據在數軸上的位置得到，然后化簡求解即可；
熟練掌握相應的知識點是解決此題的關鍵．
【詳解】（1）∵和是正數a的平方根，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或；
（2）由圖可知，，
∴，
∴
．
4.已知x，y滿足y＝，求xy的平方根．
【答案】±6
【詳解】由題意，得x＝3，y＝12，xy＝36，±＝±6，
所以xy的平方根是±6
5.閱讀材料：
和為整數，；
和為整數，；
和為整數，；
……
小明發現結論：若和為相鄰的兩個整數，其中，則有，
并給出了證明：根據題意，得
．
等式兩邊同時___________，得
____________．
整理得
．
請根據以上材料，解決以下問題：
(1)請補全小明的證明過程.
(2)若和為兩個相鄰整數，則____________.
(3)若和為相差4的兩個整數，求的值．
【答案】(1)平方，
(2)25
(3)
【分析】本題考查了完全平方公式，二次根式的性質化簡，熟練掌握二次根式的性質是解題關鍵．
（1）根據證明過程補全即可；
（2）根據已知結論，得出，求出的值即可；
（3）根據題意，得，將等式兩邊同時平方，整理后求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意，得，
等式兩邊同時平方，得，
整理得，
故答案為：平方，；
（2）解：由題意可知，，
，
即，
故答案為：25．
（3）解：根據題意，得，
等式兩邊同時平方，得，
整理得：，
，
，
．
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八年級數學下冊 16.1 二次根式 導學案
一、二次根式
1.二次根式：一般地，我們把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根號，叫作被開方數。
2.是二次根式有意義的條件。
二、二次根式的性質：
（1）是一個非負數；既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以一定是非負數。即為二次根式的非負性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提條件是，而中的為一切實數；，，是三個重要的非負數。
選擇題
1.二次根式的化簡結果正確的是（ ）
A． B．10 C． D．
2．下列式子中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列四個命題中，真命題是（ ）
A．若有意義，則 B．兩個無理數的和還是無理數
C．體積為8的正方體，邊長是無理數 D．兩直線被第三條直線所截，內錯角相等
4．下列根式中，化簡后能與進行合并的是（　　）
A． B． C． D．
5．若有意義，則x、y的取值范圍不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．下列運算結果中正確的是（ ）
A． B．
C． D．的平方根是
7．若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
8.當有意義時，a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
填空題
1.函數中，自變量x的取值范圍是 ．
2．化簡： ．
3.若，，則 ．
4.已知數，，在數軸上的位置如圖所示，化簡： ．
5.在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是
解答題
1.計算下列各題
(1)；
(2).
2.計算：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
3.（1）已知和是某個正數a的平方根，求實數a的值：
（2）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡：．
4.已知x，y滿足y＝，求xy的平方根．
5.閱讀材料：
和為整數，；
和為整數，；
和為整數，；
……
小明發現結論：若和為相鄰的兩個整數，其中，則有，
并給出了證明：根據題意，得
．
等式兩邊同時___________，得
____________．
整理得
．
請根據以上材料，解決以下問題：
(1)請補全小明的證明過程.
(2)若和為兩個相鄰整數，則____________.
(3)若和為相差4的兩個整數，求的值．
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