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微考點2-4 導數與三角函數結合問題的研究
有關導數與三角函數交匯的試題在高考與模擬試題中頻頻出現.在函數與導數試題中加入三角函數，由于三角函數具有周期性，無法通過多次求導使三角函數消失，使得后續問題的處理比較困難，從而造成學生思維上的難度.我們可從以下幾個角度來突破此類問題的難點.
1.分段討論
①以為端點分區間討論; ②以三角函數的最值點為端點分段討論.
2.巧用放縮，消去三角函數
①正弦函數:當時，. ②余弦函數:.
③正切函數:當時，. ④數值域:.
3.分離函數:將含有三角函數的式子放到一起.
4.分離參數:轉化為函數值域問題.
5.半分離參數:將不等式等價轉化，化為左右兩邊函數是一直線與一曲線，考慮端點處的切線斜率.
【精選例題】
【例1】
1．已知函數，，是的導數.
(1)討論的單調性，并證明：；
(2)若函數在區間內有唯一的零點，求a的取值范圍.
【例2】
2．已知函數，其中為實數，是自然對數的底數.
(1)若，證明：；
(2)若在上有唯一的極值點，求實數a的取值范圍.
【例3】
3．已知函數，.
(1)求證：；
(2)若，問是否恒成立 若恒成立，求a的取值范圍；若不恒成立，請說明理由
【例4】
4．已知函數．
(1)討論在上的單調性；
(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．
【例5】
5．已知函數，其中.
(1)若在上恒成立，求的取值范圍；
(2)證明：，有.
【例6】
6．已知函數.
(1)若，判斷在上的單調性；
(2)設函數，若關于的方程有唯一的實根，求a的取值范圍.
【例7】
7．已知函數，．
(1)求證：當，；
(2)若，恒成立，求實數的取值范圍．
【例8】
8．已知函數．
(1)若，求證：；
(2)當時，對任意，都有，求整數的最大值．
【例9】
9．已知函數．
(1)若有兩個極值點，求的取值范圍；
(2)若，，求的取值范圍．
【例10】
10．已知函數為其極小值點．
(1)求實數的值；
(2)若存在，使得，求證：．
【例11】（2023全國新高考2卷）
11．（1）證明：當時，；
（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．
【跟蹤訓練】
12．已知函數，e是自然對數的底數，若恰為的極值點.
(1)求實數a的值；
(2)求在區間上零點的個數.
13．已知函數．
(1)判斷函數在區間上零點和極值點的個數，并給出證明；
(2)若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
14．已知函數，且恒成立.
(1)求的值；
(2)證明：.
（注：其中為自然對數的底數）
15．已知函數，.
(1)設，求函數的極大值點；
(2)若對，不等式恒成立，求m的取值范圍.
16．已知函數．
(1)當時，
（I）求處的切線方程；
（II）判斷的單調性，并給出證明；
(2)若恒成立，求的取值范圍．
17．已知.
(1)當時，求在內的單調區間；
(2)若對任意的時，恒成立，求實數的取值范圍.
18．已知函數，其中為自然對數的底數．
(1)當時，證明：;
(2)當時，求函數零點個數．
19．已知函數.
(1)若，求的極值；
(2)若，，求的取值范圍.
20．已知函數．
(1)證明：函數有唯一的極值點，及唯一的零點；
(2)對于（1）問中，，比較與的大小，并證明你的結論．
21．已知函數．
(1)若在上單調遞增，求a的取值范圍；
(2)若函數在上存在零點，求a的取值范圍．
22．已知函數.
(1)求函數在區間上的最小值；
(2)判斷函數的零點個數，并證明.
23．已知函數.
(1)當時，證明：.
(2)討論的單調性.
24．（1）證明：當時，；
（2）是否存在正數，使得在上單調遞增，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求出導函數，根據，分類討論即可，構造函數，利用導數法求解最值即可證明；
（2）把問題轉化為方程在區間內有唯一解，構造函數，利用導數研究單調性，數形結合即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
當時，，則在上單調遞增，
當時，令得，令得，
所以函數的增區間為，減區間為，
令，則，令得，
令得，所以函數的增區間為，減區間為，
所以當時，取得最小值為，
所以，得證；
（2）由（1）知，，
因為函數在區間內有唯一的零點，所以方程在區間內有唯一解，
令，則函數與在上只有一個交點，
記，則，所以在上單調遞增，
所以，即，
故，
所以在上單調遞增，又，
如圖：

要使方程在區間內有唯一解，則.
所以a的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：
一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；
二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極（最）值問題處理.
2．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）構造函數，利用導數知，又，所以，即.
（2）由已知得在上有唯一的變號零點，利用參數分離法得，構造函數，，利用導數求得的最小值，又，，知方程在上有唯一的變號零點，即可求解.
【詳解】（1）證明：當時，，
令，求導，令，得
當時，，在上為減函數，當時，，在上為增函數，
所以當時，函數取得極小值也是最小值為，即
而，所以，即.
（2）在上有唯一的極值點，等價于在上有唯一的變號零點，
令
設，，求導，
，，令，得
當時，，，，在上為減函數；
當時，，，，在上為增函數，
所以當時，函數取得極小值也是最小值為，
又，，
所以當時，方程在上有唯一的變號零點，，
所以a的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：本題考查利用導數求函數的單調區間與極值，求函數極值的步驟
（1）確定函數的定義域；
（2）求導數；
（3）解方程，求出函數定義域內的所有根；
（4）列表檢驗在的根左右兩側值的符號，如果左正右負，那么在處取極大值，如果左負右正，那么在處取極小值．
3．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）直接作差令，求導判定差函數單調性及最小值即可得出結論；
（2）令，利用端點效應即得出時恒成立，再證明充分性即可.
【詳解】（1）令，，
當，，所以此時單調遞減；
當，，所以此時單調遞增；
即當時，取得極小值也是最小值，所以，得證；
（2）設，
即證在上恒成立，
易得，
當時，若，
下面證明：當時，，在上恒成立，
因為，設，
令，
所以在上是單調遞增函，所以，
又因為，則
所以在上是單調遞增函數，
所以，所以在上是嚴格增函數，
若時，，即在右側附近單調遞減，此時必存在，
不滿足恒成立，
故當時，不等式恒成立.
【點睛】方法點睛：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
（3）根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
4．(1)在上的單調遞增
(2)
【分析】（1）求導得，分，分別確定導數的符號，從而得函數單調性；
（2）方法一：轉化不等式，構造函數令，，求導，對函數進行單調性討論，即可求得函數最值，從而得a的取值范圍；方法二：令，，，將不等式轉化為函數凸凹性應用，求導結合圖象分析即可求得a的取值范圍.
【詳解】（1）
當時，，，
當時，，，
即：在上恒成立
所以在上的單調遞增.
（2）方法一：
由得：
當時，恒成立，符合題意
令，
由（1）得：在上的單調遞增，
①當時，
所以在上的單調遞增
所以，符合題意
②當時，，
∴存在，使得
當時，；
所以在上的單調遞減，
當時，，這不符合題意
綜上，a的取值范圍是.
方法二：
令，，
則，符合題意
，
由（1）得：在上恒成立，在上單調遞增
所以，
所以在上單調遞增，其圖象是下凸的，如圖：

所以，曲線在點處的切線方程為：
要使得在上恒成立
只需
所以，a的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：已知函數不等式恒成立求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）構造差函數：設差函數，求導轉化為函數最值問題，從而確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
5．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）令，，求出函數的導函數，分、兩種情況討論，結合函數的單調性，即可得解；
（2）由（1）知，當時，，，再證明，則問題轉化為證明，令，，利用導數說明函數的單調性，即可證明.
【詳解】（1）令，，則，
當時，，單調遞增，所以，
當時，令，則，
所以對，，則在上單調遞增，
又因為，，
所以由零點存在定理可知，使得，
所以當時，，單調遞減，，與題意矛盾，
綜上所述，.
（2）由（1）知，當時，，.
先證，，
令，則，
所以單調遞增，，即.
所以當時，，.
要證，有，只需證.
令，，則.
所以在上單調遞減，所以，即.
綜上可得，有.
【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
6．(1)函數在上單調遞增.
(2)或
【分析】（1）通過構造函數，求導判斷函數單調性；
（2）將方程根的個數轉化為函數圖象的交點個數，分離參數后，構造函數，用導數判斷函數的單調性，描出函數草圖，可解.
【詳解】（1）當時，
令則.
當時，（時等號成立）； （時等號成立），
所以，即函數在上遞增，
所以，即函數在上單調遞增.
（2）方程即有唯一的實根，
則只有一個解，等價于直線與函數的圖象只有一個交點.
令，則，
因為，所以的符號由分子決定，
令，則.
所以在上遞減，
因為，所以當時，；當時，.
即當時，；當時，.
所以函數在上遞增，在上遞減，
當趨于時，趨于0且大于0，分子趨于，則趨于；
當時，；
當趨于時，趨于，分子也趨于，
令，則，
當時，，
則趨于時，增長速率大于的增長速率，
故趨于時，趨于0.
畫出函數的草圖，并畫出直線，

要使直線與函數的圖象只有一個交點.
則或.
所以當或時，方程有唯一的實根.
【點睛】第二問，在判斷完函數單調性后，要分析函數具體的圖象特征，可結合函數增長差異來判斷函數值的變化趨勢.
7．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，構造函數，，求導，根據其單調性即可證明；
（2）根據題意，構造函數，將不等式轉化為求函數的最小值，然后利用導數研究討論，即可得到結果.
【詳解】（1）證明：設，，則，
所以在區間上單調遞增，
所以，即.
（2）由在區間上恒成立，
即在區間上恒成立，
設，則在區間上恒成立，
而，令，則，
設，則，當時，，
所以函數在區間上單調遞增，故在區間上，，
即在區間上，，
由（1）知：在區間上，，
即，所以在區間上函數單調遞增，
當時，，故在區間上函數，
所以函數在區間上單調遞增，
又，故，即函數在區間上恒成立.
當時，，
，
故在區間上函數存在零點，即，
又在區間上函數單調遞增，
故在區間上函數，所以在區間上函數單調遞減，
由，所以在區間上，與題設矛盾.
綜上，的取值范圍為.
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數證明不等式問題以及利用導數研究不等式恒成立問題，難度較大，解答本題的關鍵在于得到不等關系，在區間上，，然后通過函數的單調性，即可得到結果.
8．(1)證明見解析
(2)3
【分析】（1）將恒成立問題轉化為最值問題，利用導數判斷函數單調性進而即得；
（2）選特值，時，舉反例驗證結論不成立，從而得出，賦值，通過參數放縮與導數，來證明結論成立，即找到了整數的最大值.
【詳解】（1）時，設，則，，
即在上恒成立，
在上單調增， 又，
即；
（2）時，當時，，所以．
下證符合．
時，當時，，所以當時，．
記，則只需證對恒成立．
，令，則在遞減，
又，所以存在，使得，
則在遞增，在遞減；
又，所以存在使得，且，
所以在遞增，在遞減，又，所以對恒成立，
因為，所以符合．
綜上，整數的最大值為3．
【點睛】當出現兩個參數時，盡可能通過討論或參數放縮來減少參數的個數，降低解題難度.
9．(1)
(2)．
【分析】（1）先將有兩個極值點轉化為有兩個不同實根，分離參數得，根據
函數的性質，可得的取值范圍；
（2）先將問題轉化為在恒成立，再轉化為函數的最小值大于或等于0，進而求的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
因為有兩個極值點，則，即方程有兩個不等實數根，
令，則，
知時，，單調遞減，
時，，單調遞增，
則時，取得極小值，也即為最小值，
且時，，時，，
時，，時，，
故，即時，
方程有兩個實數根，不妨設為，．
可知時，，時，，時，，
即，分別為的極大值和極小值點．
所以有兩個極值點時，的取值范圍是．
（2）令，原不等式即為，
可得，，，
令，則，
又設，則，
時，，可知在單調遞增，
若，有，，則；
若，有，則，
所以，，，則即單調遞增，
①當即時，，則單調遞增，
所以，恒成立，則符合題意．
②當即時，
，，
存在，使得，
當時，，則單調遞減，所以，與題意不符，
綜上所述，a的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：
若恒成立，則；
若恒成立，則.
10．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據求出，再根據極小值點的定義加以驗證即可；
（2）分類討論和，轉化為證明當，時，，繼續轉化為證明當時，，構造函數，利用導數判斷單調性可證不等式成立.
【詳解】（1）的定義域為，
，依題意得，得，
此時，
當時，，，，故，在內單調遞減，
當時，，，，故，在內單調遞增，
故在處取得極小值，符合題意.
綜上所述：.
（2）由（1）知，，
不妨設，
當時，不等式顯然成立；
當，時，不等式顯然成立；
當，時，由（1）知在內單調遞減，因為存在，使得，所以，
要證，只要證，
因為，所以，又在內單調遞減，
所以只要證，又，所以只要證，
設，
則
，
令，則，
因為，所以，在上為減函數，所以，
即，
所以在上為減函數，
所以，即.
綜上所述：.
【點睛】方法點睛：對于含雙變量的不等式的證明一般采用以下兩種方法：
①比值代換：設，將不等式化為關于的不等式，再構造函數，利用導數證明即可；
②構造函數，其中為極值點，利用導數判斷單調性，根據單調性證明即可.
11．（1）證明見詳解（2）
【分析】（1）分別構建，，求導，利用導數判斷原函數的單調性，進而可得結果；
（2）根據題意結合偶函數的性質可知只需要研究在上的單調性，求導，分類討論和，結合（1）中的結論放縮，根據極大值的定義分析求解.
【詳解】（1）構建，則對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
所以；
構建，
則，
構建，則對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數的定義域為，
若，則，
因為在定義域內單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當時，令
因為，
且，
所以函數在定義域內為偶函數，
由題意可得：，
（i）當時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當時，，則在上單調遞增，
結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當時，取，則，
由（1）可得，
構建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調遞增，且，
所以在內存在唯一的零點，
當時，則，且，
則，
即當時，，則在上單調遞減，
結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
【點睛】關鍵點睛：
1.當時，利用，換元放縮；
2.當時，利用，換元放縮.
12．(1)
(2)1
【分析】（1）求出函數的導數，令起等于0，即可求得a的值，結合極值點定義進行驗證即可；
（2）對于分段討論，判斷的單調性，結合函數值情況，即可判斷其零點個數.
【詳解】（1）由題意得，
因為為的極值點，故，
此時，則時，，故，
則在上單調遞增；
由，
令，
當時，，則，
則在上單調遞減，故，即，
故在上單調遞減，
則為的極大值點，符合題意，
故.
（2）由（1）知，，
時，，在上單調遞增，則，
故在上不存在零點；
當時，，故在上單調遞減，則，
故在上不存在零點；
當時，，即為的零點，
綜合上述，在區間上零點的個數為1.
【點睛】方法點睛：（1）根據極值點求參數時，利用導數等于0求得參數值之后，要注意驗證；（2）判斷函數零點個數，要注意對區間分段討論，結合函數的單調性進行判斷.
13．(1)函數在區間上只有一個極值點和一個零點，證明見解析
(2)實數的取值范圍是
【分析】（1）首先求函數的導數，并利用二階導數判斷導數的單調性，并結合零點存在性定理證明極值點個數，并結合函數單調性，以及端點值判斷函數零點個數；
（2）首先由不等式構造函數，，并求函數的導數，根據，以及，分，，三種情況討論不等式恒成立的條件.
【詳解】（1）函數在區間上只有一個極值點和一個零點，
證明如下，，設，
，
當時，，所以單調遞減，又，，
所以存在唯一的，使得，
所以當時，，當時，，
所以在單調遞增，在單調遞減，
所以是的一個極大值點，
因為，，，
所以在無零點，在上有唯一零點，
所以函數在區間上只有一個極值點和一個零點；
（2）由，得，
令，，則，
，，
①若，則，當時，，
令，則，
當時，，所以在上單調遞減，又，
所以，所以，即
又，所以，
即當時，恒成立，
②若，因為當時，單調遞減，
且，，
所以存在唯一的，使得，
當時，，在上單調遞增，不滿足恒成立，
③若，
因為
不滿足恒成立，
綜上所述，實數的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數解決函數零點，不等式恒成立問題，本題第一問需要求函數的二階導數，利用二階導數分析一階導數的單調性，結合零點存在性定理判斷零點問題，第二問的關鍵是這個條件，再根據，討論的取值.
14．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）將問題轉化為恒成立，令，求導后，分三種情況討論函數的單調性和最小值，只需即可，
（2）由（1）可知，所以只需證，設，利用導數可得，所以只需證，即，令，利用導數即可得答案.
【詳解】（1）因為恒成立，所以恒成立，
令，則（），
當時，，所以在上遞增，當時，，所以，不合題意，
當時，，不合題意，
當時，令，得，
令，則，
所以在上遞增，且，
所以有唯一實根，即有唯一實根，設為，即，
且時，，時，
所以在上為減函數，在上為增函數，
所以，
所以只需，
令，則上式轉化為，
設，則，
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，所以，
所以，得，
所以，得，
（2）證明：由（1）知，當時，對任意恒成立，
所以，（當且僅當時取等號），
則，
所以要證明，
只需證明，
即證，
設，則由（1）可知，
在上恒成立，所以在上遞減，
所以，，所以，
所以要證，只要證，
即，令，
則，
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以當時，，
即恒成立，
所以原命題成立.
【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的綜合應用，考查利用導數解決不等式恒成立問題，考查利用導數證明不等式，第（2）問解題的關鍵是將問題轉化為證恒成立，再利用導數證明得，，再次將問題轉化為恒成立，構造函數，利用導數證明其最小值大于等于零即可，考查數學轉化思想和計算能力，屬于難題.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）求出函數及其導數，再探討導數值為正為負的取值區間作答.
（2）驗證時，不等式成立，當時，變形給定不等式，構造函數，利用導數分類討論求解作答.
【詳解】（1）函數，求導得，由，得，
當時，，即，函數單調遞增；
當時，，即，函數單調遞減，
因此函數在處有極大值，
所以函數的極大值點為.
（2）依題意，，，不等式，
當時，成立，則，
當時，，，
令，，求導得，
令，，求導得，
因此在上單調遞增，即有，而，
又函數在上的值域是，則函數，即在上的值域是,
當時，，當且僅當時取等號，于是函數在上單調遞增，
對，，因此，
當時，存在，使得，當時，，函數在上單調遞減，
當時，，不符合題意，
所以m的取值范圍為.
【點睛】思路點睛：涉及函數不等式恒成立問題，可以借助分段討論函數的導函數，結合函數零點探討函數值正負，以確定單調性推理作答.
16．(1)（I）；（II）單調遞增，證明見解析
(2)
【分析】（1）由導數的幾何意義可求得切線的斜率，從而可求切線方程；由，令，求導判斷單調性得，即可求解；
（2）當，取判斷不成立；當時，三次求導結合隱零點進行判斷不成立；當時，，可得，即.
【詳解】（1）當時，，可得.
（I），
所以在處的切線方程為，即.
（II），
設，則單調遞增，
所以，即，
所以當時，單調遞增.
（2）設，
由題意恒成立.
①當時，不恒成立，不合題意；
②當時，設，，
，，，
設，，，單調遞增，
由零點存在定理得，使得.
在上，，即，
所以在上單調遞減，，不恒成立，不合題意；
③當時， ，
則，
當時，，即，則，
所以當時，單調遞增.
可得：，即，所以.
綜上，的取值范圍為．
【點睛】不等式恒成立問題常見方法：
①分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②數形結合( 圖象在 上方即可)；
③分類討論參數.
17．(1)單調增區間為：，；單調減區間為：，；
(2).
【分析】（1）把代入，求出函數的導數，分段討論求解、作答.
（2）探討函數的奇偶性，把問題轉化為時，恒成立求解.
【詳解】（1）當時，，求導得，
而，由，得，
當時， ，當時，，
則當時，若，則；若，則，
當時，若，則；若，則，
所以函數在內的單調增區間為：，；
單調減區間為：，.
（2）因為，
于是函數為偶函數，
則對任意恒成立，等價于對任意的，恒有成立，
求導得，
當時，當，成立時，恒成立，
即恒成立，函數在內單調遞增，則有，
因此，解得，則；
當，時，函數在上單調遞減，且，
因此存在，使得當時，，，函數在上遞減，
此時，，不符合題意，
所以實數的取值范圍為.
【點睛】關鍵點睛：探討函數是偶函數，把在實數集上恒成立問題轉化為時，不等式恒成立求解是關鍵.
18．(1)證明見解析；
(2)2.
【分析】（1）把代入，利用導數探討函數單調性，借助函數最小值0推理作答.
（2）把代入，利用導數探討函數單調性，求出函數最小值，再借助零點存在性定理求解作答.
【詳解】（1）當時，，，求導得，
顯然，當時，，則，
當時，，則，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，
則當時，，
所以.
（2）當時，，，求導得，
當時，，則，當時，，則，
當時，函數都遞增，即函數在上單調遞增，
而，因此存在，使得，
當時，，當時，，
從而當時，，當時，，
即有函數在上單調遞減，在上單調遞增，，
而，于是函數在，各存在一個零點，
所以函數零點個數是2.
【點睛】思路點睛：涉及函數零點個數問題，可以利用導數分段討論函數的單調性，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.
19．(1)，無極大值.
(2)
【分析】（1）求出函數的導函數，即可得到函數的單調性，從而求出函數的極值；
（2）令，，則原不等式即為，求出函數的導函數，再分和兩種情況討論，即可得到函數的單調性，從而求出參數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，則，
令，則，，
所以當時，單調遞減且，當時，單調遞增，
所以當時，即，當時，即，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在處取得極小值，即，無極大值.
（2）令，，則原不等式即為，
可得，，，
令，則，
令，，則，所以在上單調遞增，則，
則時，，所以，
當時，所以，
所以在上恒成立，
所以即在上單調遞增，
當，即時，所以單調遞增，
所以恒成立，所以符合題意，
當，即時，，
所以存在使得，
當時，則單調遞減，所以，與題意不符，
綜上所述，的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
20．(1)證明見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）確定函數的單調性，然后結合零點存在定理即可解決；
（2）要比較與的大小，只要比較與0的大小即可，然后根據函數的單調性即可證明.
【詳解】（1）當時，由于單調遞減，單調遞增，所以單調遞減，
又，
所以只有一個零點（設為），無極值點；
當時，由得，
設，則，
由于和在上均單調遞減，所以單調遞減，
又，所以存在，使得，
當時，，單調遞增，即單調遞增，
當時，，單調遞減，即單調遞減，
又，
所以當時，恒成立，且存在，使得，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以是的極值點，
又，
所以當時，恒成立，即函數無零點；
綜上，函數有唯一的極值點，及唯一的零點.
（2），證明如下：
由（1）知，，
由于為的極值點，所以，即，
所以，
設，則，所以單調遞增，
所以，即，
所以，
令，則，
所以在上單調遞減，所以，所以，又在遞減，
所以.
【點睛】方法點睛：
1.導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
2.證明不等式，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，求導列出不等式，即可得到結果；
（2）根據題意，分,,與討論，即可得到結果.
【詳解】（1）由題得，因為在上單調遞增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，因為，所以.
（2）因為，則，注意到：，，
若，則，所以在上單調遞增，
所以，在上不存在零點，
若，則，所以在上單調遞減，
所以，在上不存在零點，
若，顯然，在上不存在零點，
若，顯然存在，使得，且在上單調遞增，
注意到：，，
所以在上小于零，在上大于零，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
注意到：，，且，所以存在唯一使得，
綜上，所以.
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數研究函數零點問題，難度較難，解答本題的關鍵在于，，然后分的范圍進行討論，即可得到結果.
22．(1)
(2)有個零點，證明見解析
【分析】（1）對求導，令，，得出在的單調性，結合零點存在性定理可得在上單調遞增，在上單調遞減，再比較的大小，即可得出答案.
（2）利用導數判斷函數的單調性，借助零點存在性定理，討論，和時，的正負，即可得出證明.
【詳解】（1）的定義域為，故，
令，，
當時，，
所以在上單調遞減，且，
，
所以由零點存在定理可知，在區間存在唯一的，使
又當時，；當時，；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又因為，，
所以函數在區間上的最小值為.
（2）有個零點，證明如下：
因為，，
若，，
所以在區間上單調遞增，又，，
結合零點存在定理可知，在區間有且僅有一個零點，
若，則，則，
若，因為，所以，
綜上，函數在有且僅有一個零點.
23．(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）由導數求出的最小值，與的最大值比較可證不等式成立；
（2）求導后，分類討論，解導函數的不等式可得結果.
【詳解】（1）當時，，，
令，得，令，得，
所以在上為減函數，在上為增函數，
所以，當且僅當時，等號成立，
而當時，，當且時，，
所以.
（2）的定義域為，
，
當時，，令，得，令，得，
所以在上為減函數，在上為增函數.
當時，令，得或，
若，即時，令，得或；令，得，
所以在和上為減函數，在上為增函數；
若，即時，在上恒成立，所以在上為減函數；
若，即時，令，得或，令，得，所以在和上為減函數，在上為增函數.
綜上所述：當時，在上為減函數，在上為增函數；
當時，在和上為減函數，在上為增函數；
當時，在上為減函數；
當時，在和上為減函數，在上為增函數.
24．（1）證明見解析；（2）存在，
【分析】（1）構造函數，其中，利用導數分析函數在上的單調性，可證得，進而可得出，由此可證得結論成立；
（2）令，注意到，由此可得出結論成立的必要條件為，求出，然后利用導數分析出函數在上單調遞增，然后證明出當、時在不恒為增函數，即可得出實數的值.
【詳解】（1）設，其中，則，
由可得，由可得，
所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，當時，，即（*），
由（*）可知，當時，得，原不等式得證；
（2），則，
設，則，
在上單調遞增在上恒成立，
注意到，只需在處取得最小值，
易知其必要條件為，則，
下面證明充分性：
令，則且不恒為零，
所以，函數在上單調遞增，當時，，即，
當時，，即，
當時，，則，
故，
①當時，，
所以在上單調遞增，即在上單調遞增；
②當時，若，
則，
若，則，
所以在上單調遞減，即在上單調遞減.
由①②可知，，故當時，在上單調遞增.
當時，由（1）知當時，
，
當時，，單調遞減，不合題意；
當時，同理可得當時，，
當時，，單調遞減，不合題意.
綜上所述：當時，函數在上單調遞增.
【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
答案第1頁，共2頁
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