資源簡介

微考點2-2 2024新高考新試卷結構二輪復習利用導數研究
恒成立能成立整數點問題
考點一：利用導數研究函數恒成立問題
【精選例題】
【例1】
1．已知函數 ， 若對任意恒成立， 則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例2】
2．已知函數，若恒成立，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例3】
3．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例4】
4．若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】
5．若存在實數使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例6】
6．若存在實數，使不等式對一切正數都成立（其中為自然對數的底數），則實數的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例7】
7．已知關于不等式對任意和正數恒成立，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【跟蹤訓練】
8．已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．已知不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．已知對任意恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
11．若恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B．2 C．1 D．
12．若對任意正實數都有，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函數，若恒成立，則實數a的最大值為（ ）
A． B． C．2e D．
考點二：利用導數研究函數能成立問題
【精選例題】
【例1】
14．已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍 ．
【跟蹤訓練】
15．已知函數，若存在，使得成立，則實數的取值范圍 ．
考點三：利用導數研究函數的最值問題
【精選例題】
【例1】
16．若函數在上有最大值，則的取值不可能為（ ）
A． B． C． D．
【跟蹤訓練】
17．函數在內有最小值，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
18．若函數在區間(,)內存在最小值，則實數的取值范圍是（ ）
A．[－5,1) B．(－5,1)
C．[－2,1) D．(－2,1)
考點四：利用導數處理雙函數恒能成立問題
【精選例題】
【例1】
19．設函數，其中.若對，都，使得不等式成立，則的最大值為（ ）
A．0 B． C．1 D．
【例2】
20．已知函數，，若，使得成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例3】
21．已知函數，，若存在，使得成立，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【跟蹤訓練】
22．已知函數，．若對任意，總存在，使得成立，則實數的最大值為（ ）
A．7 B．5 C． D．3
23．已知，，若存在，，使得成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
24．已知函數若對任意的，存在，使，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
考點五：利用導數處理整數點個數問題
【精選例題】
【例1】
25．已知關于的不等式恰有3個不同的正整數解，則實數的取值范圍是 ．
【例2】
26．已知函數，對任意的，關于的方程有兩個不同實根，則整數的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【精選例題】
27．若關于的不等式的解集中恰有個整數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
28．設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．D
【分析】求函數的導函數，利用導數求得函數的最小值，由最小值大于0，即得．
【詳解】因為
所以，
當時，，函數在上為減函數，
又當時，，不滿足在定義域內恒成立；
當時，由，解得，
當時，，當時，，
所以當時，函數為減函數，當時，函數為增函數，
所以=＝
由，得，即，
所以k的取值范圍是.
故選：D．
2．B
【分析】求導后分析函數的單調性，令，然后設，構造函數然后求最值.
【詳解】解：由題意得：
當時，，函數在上單調遞增，無最大值，不符合題意；
當時，令，解得，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，所以.
令，則，所以，設，則
若，即，則，此時單調遞減，符合題意；
若，由，得，此時，解得，所以的最小值為.
故選：B
3．C
【分析】根據題意，當時，通過分離參數得，換元，令，則，則，構造函數并通過導數研究函數的單調性和最值，從而得出；同理當時，得出；當時，可知恒成立；綜合三種情況即可求出實數的取值范圍.
【詳解】解：由題可知，時，不等式恒成立，
當時，得，
令，則，，
令，，
則，顯然在上，，
所以單調遞減，，因此；
當時，得，
令，則，，
令，，
則，顯然在上，，
所以單調遞減，，因此；
由以上兩種情況得：.
顯然當時，得恒成立，
綜上得：實數的取值范圍為.
故選：C.
4．C
【分析】問題可轉化為不等式恒成立求參數問題.根據底數分類討論，當時不成立；當時，分離參數轉化為函數最值問題求解.
【詳解】當時，，則，不符合題意；

當時，，
恒成立，
即恒成立，
設，
令，得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減.
故當時，取得最大值，
所以，解得，
故選：C．
5．A
【分析】不等式可化為，即表示曲線上一點與直線上一點的距離的平方不超過，然后確定當且僅當為平行于直線與相切時的切點時，不等式成立，從而求出實數的取值范圍.
【詳解】不等式成立，
即，即，
其幾何意義表示點與的距離的平方不超過，即最大值為．
∵為直線：即上一點，
∴設與平行，且與相切于點，
∴，由導數的幾何意義，在點處切線的斜率，
∴解得，∴，
∴直線：上的點與曲線的距離的最小值即點到直線的距離，
∴當且僅當時，，
∴解得，
綜上所述，的取值集合為．
故選：A．
【點睛】關鍵點點睛：將不等式化為，根據兩點間距離公式確定不等式的幾何意義是求解本題的關鍵.
6．C
【分析】臨界條件即為直線恰為函數的公切線. 設的切點為，設的切點為，得到
，再求出方程小的零點為，方程另外一個零點一定大于,即得解.
【詳解】存在實數，使不等式對一切正數都成立，要求的最大值，
臨界條件即為直線恰為函數的公切線.
設的切點為，.
設的切點為，,
所以.
由題得.
設，
所以，
所以函數在上單調遞減，在單調遞增.
又，
當時，，
所以方程另外一個零點一定大于.
所以方程小的零點為，
所以.
故選：C
【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的公切線問題，考查利用導數研究函數的單調區間和零點問題，考查利用導數研究不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
7．B
【分析】討論的取值范圍，利用函數圖象，構造新函數，結合導數求出，的取值范圍，可得的最小值.
【詳解】設，，
若，對任意和正數恒成立，
則，對任意和正數恒成立，
如圖，
時，，對任意和正數不恒成立；
如圖，
時，
，則，
設，解得，且，
∴當的切線斜率為1時，切點坐標為，
由直線的點斜式方程可得切線方程為，
即，
若，對任意和正數恒成立，則
∴
∴，
設，
，
∴，，，
∴，
∴
故選：B.
【點睛】本題考查不等式恒成立求參數取值范圍問題，需要結合圖象分類討論，構造函數將問題轉化，考查數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想和運算求解能力，是難題.
8．B
【分析】通過參變分離可得，構造函數，只需求出即可，利用求導數，判斷單調區間，得出，進而求出的取值范圍.
【詳解】恒成立，
則，只需
設

當，；
當，；
所以，
故選：B
【點睛】本題考查了含參不等式恒成立求參數取值范圍問題，構造函數，求函數最值等基本知識，考查數學運算能力和邏輯推理能力，轉化的數學思維，屬于中檔題.
9．B
【解析】根據不等式恒成立，轉化成求新函數的最小值大于，即可求解.
【詳解】令，
則，，
故可知在上，在上，
在上
又不等式恒成立，
.
故選：B
【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，導數與最值的關系，考查理解辨析能力與運算求解能力.
10．A
【分析】令，由題意可知：對任意恒成立，且，可得，解得，并代入檢驗即可.
【詳解】令，則，
由題意可知：對任意恒成立，且，
可得，解得，
若，令，
則，
則在上遞增，可得，
即對任意恒成立，
則在上遞增，可得，
綜上所述：符合題意，即實數的取值范圍為.
故選：A.
11．D
【分析】先確定時的情況，在當時，參變分離可得，構造函數，求出函數的最小值即可.
【詳解】當時，，不等式成立；
當時，恒成立，即，
令，則，
因為時，（后證）
所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，
故，
所以，即實數的最大值為.
證明當時，，
令，，則，
則在上單調遞增，所以，即.
故選：D.
12．A
【分析】運用分離參數求最值，即將原不等式化為，再構造函數（），求其最大值，進而求得結果.
【詳解】化簡不等式可得，即：，
令（），則對任意的，，
所以，設，，
則，令，
所以，所以在上單調遞減，
又因為，
所以，，
所以當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
所以，解得：，即：的取值范圍為.
故選：A.
13．C
【分析】根據題意轉化為函數與直線的位置關系，以相切為臨界，利用導數求過點的切線斜率，結合圖象即可得結果.
【詳解】由題意可得：，則，
當時，則；當時，則；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
若與直線相切時，設切點為，則切線斜率，
所以該切線方程為，
注意到切線過點，則，
整理得，解得或，
當時，；當時，；
結合圖象可得實數a的取值范圍為，即實數a的最大值為2e．
故選：C．
【點睛】方法定睛：根據過某點切線方程(斜率)或其與某線平行、垂直等求參數問題的解法：利用導數的幾何意義、切點坐標、切線斜率之間的關系構建方程(組)或函數求解．
14．
【分析】由題意，即，構造函數，利用導數求出最大值即可.
【詳解】存在，使得可得，
構造函數，其中，則，
當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，
則，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.
故答案為：.
15．
【分析】分離參數得，設，利用導數求出其最小值即可.
【詳解】因為，由，即，
即，設，
根據題意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
所以當時，函數取得最小值，最小值為，所以，
即實數的取值范圍是.
故答案為：.
16．D
【分析】先求出的單調性，可得極大值，根據單調性可知，在上有最大值即為，只需令即可，故可求出的解或，則，解之即可求得結果.
【詳解】令，得，.
當，；當或時，.
從而在處取得極大值.
根據單調性可知，在上有最大值即為，
由，得，解得或.
在上有最大值，即，
，.
故選D.
【點睛】本題考查根據函數的最值求參數的范圍，要求學生會利用導數研究函數的最值，本題關鍵在于得出函數極大值即為最大值的結論，由此可列不等式求解，屬中檔題.
17．A
【分析】求出，設，得出有一正根一負根，因此題意說明正根在區間內，從而由得參數范圍．
【詳解】，
設，因為，因此有兩個不同實根，
又，因此兩根一正一負，
由題意正根在內，
所以，解得，
故選：A．
18．C
【分析】先求出函數的極值點，要使函數在區(,)內存在最小值，只需極小值點在該區間內，且在端點處的函數值不能超過極小值．
【詳解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數在處取得極小值，
令，解得或，
若函數在(,)內存在最小值，則，得．
故選：C
19．C
【分析】由題意易知恒成立，則可等價為對，恒成立，利用參變分離，可變形為恒成立，易證，則可得，即可選出答案.
【詳解】對，都，使得不等式成立，
等價于,
當時，，所以，
當時，，所以，
所以恒成立，當且僅當時，，
所以對，恒成立，即，
當，成立，
當時，恒成立.
記,
因為恒成立，
所以在上單調遞增，且，
所以恒成立，即
所以.
所以的最大值為1.
故選：C.
【點睛】本題考查導數在不等式的恒成立與有解問題的應用，屬于難題，
此類問題可按如下規則轉化：
一般地，已知函數，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，則的值域是值域的子集．
20．A
【分析】將問題轉化為使得成立，通過求得導數和單調性，可得最值，再根據不等式成立，結合參數分離可得的范圍．
【詳解】，使得成立，等價為使得成立，
由得，當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，，故
在成立，
當時，，
設，，則，
由，得，
所以在遞減，所以，
則在遞減，所以，
則，所以．
故選：A
21．C
【分析】根據題意可得的值域與 的值域有交集即可，先求導分析的值域，再求導分情況討論的單調性與值域，結合解集區間的端點關系列式求解即可
【詳解】①當時，，則在上恒成立，
所以函數在區間上單調遞減，則，即，
②當時，，函數在區間上單調遞增，
所以，即，
綜上，函數f（x）的值域為；
由題意，的值域與的值域有交集，故分析的值域.
又，，
若時，則，函數在上單調遞增，所以，即，
此時若要滿足題意，只需，當時恒成立；
當時，令，解得，，.
當時，，故函數在上單調遞增，故，所以，所以，解得，
當時，，故函數在上單調遞減，在上單調遞增；因為，，
故若值域滿足與有交集，則只能，解得，此時
當時，，在上單調遞減，所以，，此時，不滿足題意
綜上，實數a的取值范圍為
故選：C．
22．D
【分析】分別求出兩個函數在對應區間上的最大值，然后可得答案.
【詳解】因為，所以，
所以當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
因為，，，，
所以當時，，
因為，所以在區間上單調遞減，
所以當時，，
因為對任意，總存在，使得成立，所以，即，
所以實數的最大值為3，
故選：D
23．B
【分析】原命題等價于，再求和解不等式即得解.
【詳解】，使得成立，則，
由題得，
當時，，當時，，
所以函數在（-∞，0）單調遞增，在（0，+∞）單調遞減，
所以，
由題得，
∴
故選：B.
24．C
【分析】根據題意可將問題轉化成，求出函數的最小值，對實數分類討論解不等式即可求出答案.
【詳解】根據題意“對任意的，存在，使”,轉化成；
易知，又，令，可得；
所以時，，即在上單調遞減，
時，，即在上單調遞增；
因此時，取到在上的極小值，也是最小值，；
易得，，易知二次函數開口向上，對稱軸；
①當時，在上單調遞增，，
所以，解得，不合題意，此時無解；
②當時，在處取得最小值，，
所以，解得或，所以可得
③當時，在上單調遞減，，
所以，解得，所以可得；
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：C
25．
【分析】
由題意知，關于x的不等式恰有3個不同的正整數解．設函數，，作出函數圖象，由圖象觀察，可得實數的k取值范圍．
【詳解】
當時，不等式有無數個正整數解，不滿足題意；
當時，當時，不等式恒成立，有無數個不同的正整數解，不滿足題意；
當時，不等式等價于，
令，所以，
當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，
又，結合單調性可知，當時，恒成立，
而表示經過點的直線，
由圖像可知，關于的不等式恰有3個不同的正整數解，故只需滿足以下條件：
解得．則實數的取值范圍是，
故答案為：．

【點睛】
用數形結合思想解決不等式解的問題一般有以下幾類：
（1）解含參不等式：在解決含有參數不等式時，由于涉及參數，往往需要討論，導致演算過程復雜，若利用數形結合的方法，問題將簡單化；
（2）確定參數范圍：在確定不等式參數的范圍時，幾何圖形更能使問題直觀；
（3）證明不等式：把證明的不等式賦予一定的幾何意義，將復雜的證明問題明快解決.
26．A
【分析】根據已知條件化為，構造函數，對函數求導判斷函數的單調性，得到存在使得，即，因為方程有兩個不同實根，則，求出且為整數即可得.
【詳解】由，即，得，
設，則，
顯然是上的增函數.因為，
所以存在，使得，即；
當時，，當時，0，
則；
令，則，當時，，在上單調遞減，
因為，所以，則，又為整數，所以.
故選：A
27．C
【分析】將不等式轉化為，構建，利用導數判斷其單調性和最值，根據題意利用數形結合，列式求解即可.
【詳解】因為，且，可得，
構建，則，
令，解得；令，解得；
則在上單調遞增，在上單調遞減，可得，
且，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：C.

28．D
【分析】根據給定條件，構造函數，將問題轉化為存在唯一的整數使得
在直線下方，再借助導數探討求解作答.
【詳解】令，，顯然直線恒過點，
則“存在唯一的整數，使得”等價于“存在唯一的整數使得點在直線下方”，
，當時，，當時，，即在上遞減，在上遞增，
則當時，，當時，，而，
即當時，不存在整數使得點在直線下方，
當時，過點作函數圖象的切線，設切點為，則切線方程為：，
而切線過點，即有，整理得：，而，解得，
因，又存在唯一整數使得點在直線下方，則此整數必為2，
即存在唯一整數2使得點在直線下方，
因此有，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
【點睛】思路點睛：解決過某點的函數f(x)的切線問題，先設出切點坐標，求導并求出切線
方程，然后將給定點代入切線方程轉化為方程根的問題求解.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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