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微考點(diǎn)4-2 2024新高考新試卷結(jié)構(gòu)數(shù)列的通項(xiàng)公式的9種題型總結(jié)
考點(diǎn)一：已知，求
利用，注意一定要驗(yàn)證當(dāng)時(shí)是否成立
【精選例題】
【例1】
1．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B． C． D．
【例2】
2．定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，則等于（ ）
A．85 B．90 C．95 D．100
【例3】
3．定義為數(shù)列的“優(yōu)值”．已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，前n項(xiàng)和為，下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
C．
D．，，成等差數(shù)列
【例4】
4．設(shè)數(shù)列滿足，則的前n項(xiàng)和（ ）
A． B．
C． D．
【跟蹤訓(xùn)練】
5．無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．為等比數(shù)列 B．為遞增數(shù)列
C．中存在三項(xiàng)成等差數(shù)列 D．中偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列
6．對(duì)于數(shù)列，定義為的“伴生數(shù)列”，已知某數(shù)列的“伴生數(shù)列”為，則 ；記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
考點(diǎn)二：疊加法（累加法）求通項(xiàng)
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法.
【精選例題】
【例1】
7．?dāng)?shù)列滿足，且對(duì)任意的都有，則（ ）
A． B． C． D．
【例2】
8．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.若對(duì)于任意的正整數(shù)，存在，使得恒成立，則的最小值是 .
【例3】
9．?dāng)?shù)列滿足，，則的最小值是
【跟蹤訓(xùn)練】
10．已知數(shù)列，，且，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；
11．設(shè)數(shù)列滿足，且.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
考點(diǎn)三：疊乘法（累乘法）求通項(xiàng)
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“類比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用累乘法.
具體步驟：，，，，
將上述個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
【精選例題】
【例1】
12．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和（，n為正整數(shù)），且，則 ．
【例2】
13．?dāng)?shù)列滿足：，，則通項(xiàng) ．
【跟蹤訓(xùn)練】
14．設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且 ，求通項(xiàng)公式=
15．?dāng)?shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為 .
16．已知數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若滿足，.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
考點(diǎn)四：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列
形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【精選例題】
【例1】
17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)且，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【例2】
18．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為1，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C． D．
【例3】
19．已知數(shù)列滿足遞推公式.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 ，的最小值是 .
【跟蹤訓(xùn)練】
20．已知數(shù)列滿足：①；②.則的通項(xiàng)公式 ；設(shè)為的前項(xiàng)和，則 .（結(jié)果用指數(shù)冪表示）
21．已知數(shù)列滿足，.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
考點(diǎn)五：用“同除指數(shù)法”構(gòu)造等差數(shù)列
形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式
【精選例題】
【例1】
22．已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【精選例題】
23．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
考點(diǎn)六：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列
形如，的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式
形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.
【精選例題】
【例1】
24．已知數(shù)列滿足，，，則滿足的n的最大取值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例2】
25．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
【跟蹤訓(xùn)練】
26．已知數(shù)列{}滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為等比數(shù)列 B．{}的通項(xiàng)公式為
C．{}為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和
27．已知數(shù)列滿足，，若，，，則的值可能為（ ）
A．－1 B．2 C． D．－2
考點(diǎn)七：取對(duì)數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)
形如的遞推公式，則常常兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．
【精選例題】
【例1】
28．已知數(shù)列滿足，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【跟蹤訓(xùn)練】
29．已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．
C． D．
30．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且，則使得的最小正整數(shù)n的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考點(diǎn)八：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題
解題思路：遇到與關(guān)系，要么把換為，要么把換為，利用
【精選例題】
【例1】
31．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an＋，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an= .
【例2】
32．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列
33．記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和是，已知，n為正整數(shù)，
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
34．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
考點(diǎn)九：已知數(shù)列前n項(xiàng)積型求通項(xiàng)
【例1】
35．記為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則= （ ）
A． B． C． D．
【例2】
36．已知數(shù)列中，，且
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求證：對(duì)于任意的正整數(shù)是與的等比中項(xiàng)．
【題型專練】
37．已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，若對(duì)，，都有成立，且，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 ．
38．已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求證：．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】當(dāng)時(shí)，由求出；當(dāng)時(shí)，由求出；即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，不符合，則.
故選：B.
2．C
【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合數(shù)列前項(xiàng)的和與第項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，
所以，
于是有，，
兩式相減，得，
故選：C
3．ABC
【分析】由新定義可得，利用該遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．
【詳解】由已知可得，
所以，
所以時(shí)，，
得時(shí)，，
即時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由知，滿足．
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B正確，
所以，所以
故，故C正確．
，，，，，不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC．
4．C
【分析】當(dāng)時(shí)，求，當(dāng)時(shí)，由題意得，可求得，即可求解.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由得
，兩式相減得，，即，
綜上，
所以的前n項(xiàng)和為，
故選：C.
5．D
【分析】利用與的關(guān)系，求通項(xiàng)公式，從而判斷各選項(xiàng)正誤.
【詳解】解：無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足
，
當(dāng)時(shí)，，不符合上式，
所以不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
又，所以不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，由于，則，所以得：
，則，又
且恒成立，故式子無解，中找不到三項(xiàng)成等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
，
是等比數(shù)列，即中偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，故D正確.
故選：D．
6． ##1+3n； .
【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義可得，據(jù)此得當(dāng)時(shí)，，兩式相減即可求出通項(xiàng)公式，令，根據(jù)等差數(shù)列和的最大值的性質(zhì)可得求解即可.
【詳解】因?yàn)椋寓伲?br/>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，① ②：，所以，綜上：，，
令，則，可知為等差數(shù)列，
又因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以
則有 解得．
故答案為：；
7．A
【分析】令得，由累加法求得，則，再由裂項(xiàng)相消求和即可.
【詳解】已知，令可得，則時(shí)，，
，，將以上式子累加可得，則，時(shí)也符合，
則，，則
.
故選：A.
8．3
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，運(yùn)用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，經(jīng)分析得到，若對(duì)于任意的正整數(shù)，存在，使得恒成立，則有，進(jìn)而求出的最小值.
【詳解】數(shù)列滿足，且，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
以上各式相加，得
又，，
，，
若對(duì)于任意的正整數(shù)，存在，使得恒成立，則有，
的最小值是3.
故答案為：.
9．8
【分析】根據(jù)累加法求出，從而求出，再根據(jù)基本不等式即可求出最值．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
，
……
，
又∵，
上述個(gè)式子相加得，
，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
10．.
【分析】由得，利用累加法求即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，，……，，相加得，所以，
當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
故答案為：.
11．(1)證明見解析，;
(2) .
【分析】（1）根據(jù)遞推式，變形為，由等差數(shù)列定義可證明結(jié)論；利用累加法求得；
（2）根據(jù)，討論n的奇偶性，分類求解，利用并項(xiàng)求和法，可得答案.
【詳解】（1）由已知得， 即，
是以 4 為首項(xiàng)， 2 為公差的等差數(shù)列.
，
當(dāng)時(shí)，,
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以;
（2）,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
,
所以 .
12．
【分析】由的關(guān)系可得，由迭代累乘法即可求解.
【詳解】由得：
當(dāng)時(shí),進(jìn)而得，因?yàn)椋裕?br/>故，
故答案為：
13．
【分析】當(dāng)時(shí)，與兩式相減，可得出，再由累乘法計(jì)算即可得出答案.
【詳解】由題意得：①，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，②，
①②得：，
所以，，，，…，，
累乘得，當(dāng)時(shí)，不滿足，
則．
故答案為：.
14．
【分析】由條件可得，化簡得，再由遞推即可得到所求通項(xiàng).
【詳解】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又滿足上式，∴.
故答案為：.
15．
【分析】先由條件得，再結(jié)合累乘法求得的通項(xiàng)公式即可.
【詳解】由得，，
則，
即，又，所以.
故答案為：.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用累乘法即可求解；
（2）由（1）代入可得，利用并項(xiàng)法求和即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，則，即，
當(dāng)時(shí)，也成立，所以.
（2）由（1），，，
則，
則
.
17．
【分析】由題設(shè)知是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得，結(jié)合其單調(diào)性求最小值，即可得的范圍.
【詳解】由題設(shè)，，則是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，
所以，則，
，則在上遞增，
所以，要使恒成立，則.
故答案為：
18．AB
【分析】根據(jù)題意可得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，再根據(jù)分組求和法即可求出，即可得出答案.
【詳解】解：∵，可得，
又
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；
則，∴，故C錯(cuò)誤；
則，故A正確；
∴，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
19． ；
【分析】由題意可得，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得；利用分組求和法可得，進(jìn)而可得，再由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以；
所以，
所以，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；
所以的最小值是.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的應(yīng)用，考查了分組求和法求數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用及對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.
20．
【分析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)令可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)令，可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式，再利用分組求和法計(jì)算可得.
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則，
則，
當(dāng)時(shí)，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以，則，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，則，所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，則，所以，
所以，
所以
故答案為：，
21．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）利用數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出.
【詳解】（1），，
因此，數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）由于，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，因此，.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明，同時(shí)也考查了數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.
22．.
【分析】由待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列后求解
【詳解】由兩邊同除以得，令，
則，設(shè)，解得，
，而，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，得
23．
【分析】首先將遞推公式化簡為，從而得到，即可得到.
【詳解】由，可得.
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
則，即.
24．C
【分析】將遞推公式兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，再解不等式即可．
【詳解】解：因?yàn)椋裕裕郑?br/>數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
所以，所以，由，即，即，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最大值為；
故選：C
25．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先利用題給條件求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用得到，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)而得到.
【詳解】（1）數(shù)列中，，由，可得
又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，則，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）由（1）知，則
則數(shù)列的前n項(xiàng)和
由，可得，即．
26．AB
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得，進(jìn)而可判斷A，由是等比數(shù)列即可求解的通項(xiàng)，進(jìn)而可判斷單調(diào)性，根據(jù)分組求和即可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋裕郑允且?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即，所以{}為遞減數(shù)列，的前n項(xiàng)和．
故選:AB．
27．BCD
【分析】由題意，結(jié)合選項(xiàng)根據(jù)的取值，得出對(duì)應(yīng)的遞推公式，利用歸納法求出對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，依次驗(yàn)證即可.
【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，
得，
所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，則，不符合題意，故A錯(cuò)誤；
B：當(dāng)時(shí)，，
得，
所以，符合題意，故B正確；
C：當(dāng)時(shí)，，
得，
所以，符合題意，故C正確；
D：當(dāng)時(shí)，，
得，
所以，符合題意，故D正確.
故選：BCD
28．C
【分析】變換得到，得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，計(jì)算得到答案.
【詳解】，，易知，故，
故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，
故.
故選：C.
29．ACD
【分析】作差法得到，即可判斷A項(xiàng)；求出前幾項(xiàng)，可得出，即可判斷B項(xiàng)；由已知推得，然后相加即可得到，即可得到C項(xiàng)；求出，可得出當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而推得，即，然后即可得到.相加根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得出D項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，，
所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由已知可得，，，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以時(shí)，有.
由已知可得，所以，
所以有.
當(dāng)時(shí)，有.
又，，所以，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋瑪?shù)列是遞增數(shù)列，
則當(dāng)時(shí)，有，則有.
所以，，所以有.
又，
所以.
當(dāng)時(shí)，有，
當(dāng)時(shí)，有.
綜上所述，，故D項(xiàng)正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：放縮法證明數(shù)列不等式.C項(xiàng)中，通過已知得到，推出.進(jìn)而各式相加得到證明結(jié)果.
30．C
【分析】由遞推關(guān)系可得，取對(duì)數(shù)并利用累乘法可求得的通項(xiàng)公式，再求出，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】由題，，又，
，，兩式相除可得，
上式兩邊取對(duì)數(shù)，可得，即，，
，
化簡得，解得，
又，即，
所以的通項(xiàng)公式為，
，
要使，即，解得，
且，所以滿足題意的最小正整數(shù)的值為6.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題要由遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)前項(xiàng)積求出.
31．；
【詳解】試題分析：解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=a1+，解得a1=1,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝ an 1，即=-2，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案為（-2）n-1．
考點(diǎn):等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
32．C
【分析】根據(jù)已知條件，令代入，求得，判斷A;結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與的關(guān)系式，求出時(shí)，結(jié)合，判斷C,求出，即可判斷B;利用可得，進(jìn)而推出，即可判斷D．
【詳解】由題意數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，
則，即，即選項(xiàng)A正確；
∵①，
∴當(dāng) 時(shí)，②，
①-②可得，，即，
，不滿足 ，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤，
由時(shí)，可得，，則，
故，故B正確；
由得：,
則，即，
故是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，D正確，
故選︰C．
33．(1)
(2)
【分析】（1）項(xiàng)和轉(zhuǎn)化可得，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即得解；
（2）由，裂項(xiàng)相消求和即可
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，相減得，
即，各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，
故是以首項(xiàng)為1，公差以1的等差數(shù)列，
所以；
（2），故，
，
．
34．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，進(jìn)而得，由累加法即可求解；
（2）根據(jù)分組求和，由等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，②
①-②得：，即，
所以，
所以，由，可得，
當(dāng)時(shí)，，符合上式，
所以．
（2）由題意得，
則
，
所以．
35．C
【分析】根據(jù)與的等式，求得的通項(xiàng)公式即得解.
【詳解】則，代入，
化簡得：，則.
故選:C.
36．(1)見解析；
(2)見解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，由可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷；
（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由退位相減法求得，再計(jì)算得到即可求證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，由可得，則，
則，即，即，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；
（2）由（1）知，，則，當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，，則；
綜上可得：對(duì)于任意的正整數(shù)是與的等比中項(xiàng)．
37．1023
【分析】把化成，結(jié)合可知為等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)與其前項(xiàng)和.
【詳解】因?yàn)椋始矗ǎ?br/>所以為等比數(shù)列，故，
所以，填.
【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果數(shù)列是等比數(shù)列或等差數(shù)列，則用公式直接計(jì)算；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.
38．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知得，，兩式相除整理得，從而可證得結(jié)論，
（2）由（1）可得，再利用累乘法求，從而，然后利用放縮法可證得結(jié)論
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>所以，
兩式相除，得，整理為，
再整理得，．
所以數(shù)列為以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．
（2）因?yàn)椋裕?br/>由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因?yàn)椋?br/>所以．
答案第1頁，共2頁
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