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微考點(diǎn)4-1 2024新高考新試卷結(jié)構(gòu)壓軸題新定義數(shù)列試題分類匯編
【精選例題】
【例1】
1．對于，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“數(shù)列”.
（1）已知數(shù)列1，，是“數(shù)列”，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）是否存在首項為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，且其前n項和使得恒成立？若存在，求出的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由.
【例2】
2．已知是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個數(shù)，若時，規(guī)定.
(1)若，寫出及的值；
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；
(3)設(shè)集合，求證：且.
【例3】
3．已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意，與兩數(shù)中至少有一個屬于．
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)；
(2)求證：；
(3)給定正整數(shù)，求證：，，，組成等差數(shù)列．
【例4】
4．設(shè)集合，其中.若集合滿足對于任意的兩個非空集合，都有集合的所有元素之和與集合的元素之和不相等，則稱集合具有性質(zhì).
(1)判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；
(2)若集合具有性質(zhì)，求證：；
(3)若集合具有性質(zhì)，求的最大值.
【例5】
5．已知無窮數(shù)列（）的前n項和為，記，，…，中奇數(shù)的個數(shù)為．
(1)若，請寫出數(shù)列的前5項；
(2)求證：“為奇數(shù)，，3，4，為偶數(shù)”是“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列的充分不必要條件；
(3)若，2，3，，求數(shù)列的通項公式．
【例6】
6．若數(shù)列滿足：，且，則稱為一個X數(shù)列. 對于一個X數(shù)列，若數(shù)列滿足：，且，則稱為的伴隨數(shù)列.
(1)若X數(shù)列中，，，，寫出其伴隨數(shù)列中的值；
(2)若為一個X數(shù)列，為的伴隨數(shù)列.
①證明：“為常數(shù)列”是“為等比數(shù)列”的充要條件；
②求的最大值.
【例7】
7．?dāng)?shù)列的前n項組成集合，從集合中任取個數(shù)，其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），例如：對于數(shù)列，當(dāng)時，時，；
(1)若集合，求當(dāng)時，的值；
(2)若集合，證明：時集合的與時集合的（為了以示區(qū)別，用表示）有關(guān)系式，其中；
(3)對于（2）中集合．定義，求（用n表示）．
【例8】
8．若正整數(shù)的二進(jìn)制表示是，這里()，稱有窮數(shù)列1，，，，為的生成數(shù)列，設(shè)是一個給定的實數(shù)，稱為的生成數(shù).
（1）求的生成數(shù)列的項數(shù)；
（2）求由的生成數(shù)列，，，的前項的和(用 表示)；
（3）若實數(shù)滿足，證明：存在無窮多個正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)滿足.
【例9】
9．已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，其中為正實數(shù)．
(1)用表示；
(2)求證：對一切正整數(shù)n，的充要條件是；
(3)若，記證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．
【例10】
10．已知數(shù)列，，…，的各項均為正整數(shù)．設(shè)集合，記的元素個數(shù)為．
(1)若數(shù)列1，1，3，2，求集合，并寫出的值；
(2)若是遞增數(shù)列，求證：“”的充要條件是“為等差數(shù)列”；
(3)若，數(shù)列由1，2，3，…，11，22這12個數(shù)組成，且這12個數(shù)在數(shù)列中每個至少出現(xiàn)一次，求的最大值．
【跟蹤訓(xùn)練】
11．已知數(shù)列：1，，，3，3，3，，，，，，，即當(dāng)（）時，，記（）.
(1)求的值；
(2)求當(dāng)（），試用、的代數(shù)式表示()；
(3)對于，定義集合是的整數(shù)倍，，且，求集合中元素的個數(shù).
12．對于無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立，則稱無窮數(shù)列是周期為的周期數(shù)列.
(1)已知無窮數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且，，是數(shù)列的前項和，若對一切正整數(shù)恒成立，求常數(shù)的取值范圍；
(2)若無窮數(shù)列和滿足，求證：“是周期為的周期數(shù)列”的充要條件是“是周期為的周期數(shù)列，且”；
(3)若無窮數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請說明理由.
13．若實數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列.
(1)請寫出一個5項的數(shù)列，滿足，且各項和大于零；
(2)如果一個數(shù)列滿足：存在正整數(shù)使得組成首項為1，公比為的等比數(shù)列，求的最小值；
(3)已知為數(shù)列，求證：為數(shù)列且為數(shù)列”的充要條件是“是單調(diào)數(shù)列”.
14．若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足（，），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列：1，2，3，8，49是否為“數(shù)列”，并說明理由；
(2)若數(shù)列是首項為的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項公式；
(3)若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項和，，，試比較與的大小，并證明.
15．設(shè)為正整數(shù)，如果表達(dá)式同時滿足下列性質(zhì)，則稱之為“交錯和”.①，；②；③當(dāng)時，（）；④規(guī)定：當(dāng)時，也是“交錯和”.
（1）請將7和10表示為“交錯和”；
（2）若正整數(shù)可以表示為“交錯和”，求證：；
（3）對于任意正整數(shù)，判斷一共有幾種“交錯和”的表示方法，并證明你的結(jié)論.
16．設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足.
(1)若，請寫出所有可能的的取值；
(2)求證：中一定有一項的值為1或3；
(3)若正整數(shù)m滿足當(dāng)時，中存在一項值為1，則稱m為“歸一數(shù)”，是否存在正整數(shù)m，使得m與都不是“歸一數(shù)”？若存在，請求出m的最小值；若不存在，請說明理由.
17．約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個正約數(shù)，即為.
(1)當(dāng)時，若正整數(shù)的個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個的值；
(2)當(dāng)時，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；
(3)記，求證：.
18．正實數(shù)構(gòu)成的集合，定義.當(dāng)集合中恰有個元素時，稱集合A具有性質(zhì).
(1)判斷集合，是否具有性質(zhì)；
(2)若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個數(shù)的最大值：
(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問：集合A中的元素個數(shù)是否存在最大值 若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
19．對于數(shù)集（為給定的正整數(shù)），其中，如果對任意，都存在，使得，則稱具有性質(zhì)．
(1)若，且集合具有性質(zhì)，求的值；
(2)若具有性質(zhì)，求證：；且若成立，則；
(3)若具有性質(zhì)，且為常數(shù)，求數(shù)列的通項公式．
20．若對，，當(dāng)時，都有，則稱數(shù)列受集合制約.
(1)若，判斷是否受制約，是否受區(qū)間制約；
(2)若，受集合制約，求數(shù)列的通項公式；
(3)若記：“受區(qū)間制約”，：“受集合制約”，判斷是否是的充分條件，是否是的必要條件，并證明你的結(jié)論.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）答案見解析.
【解析】（1）根據(jù)題意得到，，再解不等式組即可；
（2）首先假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，從而得到成立，再分類討論和的情況，即可得到答案.
（3）首先設(shè)數(shù)列的公比為q，則，根據(jù)題意得到，從而得到為最小項，同理得到為最小項，再利用“數(shù)列”的定義得到，或，，再分類討論即可得到答案.
【詳解】（1）由題意得，，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為d，則，
由，得，
由題意，得對均成立，即.
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，，
因為，
所以，與矛盾，所以這樣的等差數(shù)列不存在.
（3）設(shè)數(shù)列的公比為q，則，
因為的每一項均為正整數(shù)，且，
所以在中，為最小項.
同理，中，為最小項.
由為“數(shù)列”，只需，即，
又因為不是“數(shù)列”，且為最小項，
所以，即，
由數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，可得，
所以，或，.
①當(dāng)，時，，則，
令，則，
又，
所以為遞增數(shù)列，即，
所以，
所以對于任意的，都有，即數(shù)列為“數(shù)列”.
②當(dāng)，時，，則.
因為，
所以數(shù)列不是“數(shù)列”.
綜上：當(dāng)，時，，數(shù)列為“數(shù)列”，
當(dāng)，時，，數(shù)列不是“數(shù)列”.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，同時考查了分類討論的思想，屬于難題.
2．(1)，，，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)集合新定義求出前幾項判斷即可；
（2）通過集合新定義結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出，然后利用反證法結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求得，利用等差數(shù)列定義求解通項公式即可；
（3）先利用集合性質(zhì)得數(shù)列是遞增數(shù)列，然后利用反證法結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明，由集合新定義及集合相等證明．
【詳解】（1）因為，所以，
則，所以，，
又，所以，，所以；
（2）由題可知，所以，所以.
若，則，，所以，，與是等差數(shù)列矛盾.
所以.設(shè)，因為是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以.
假設(shè)存在使得.設(shè)，由得.
由得，，與是等差數(shù)列矛盾.
所以對任意都有.所以數(shù)列是等差數(shù)列，.
（3）因為對于，，所以.
所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
先證明.假設(shè)，設(shè)正整數(shù).
由于，故存在正整數(shù)使得，所以.
因為是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以.所以，.
所以，.
又因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，矛盾.所以.
再證明.由題可知.
設(shè)且，因為數(shù)列是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，
所以存在正整數(shù)，使得.令.
若，則，即，所以.所以，所以.
若，則，所以.
所以，所以.
因為，所以.所以.
綜上，且.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解新定義運(yùn)算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.
3．(1)見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列：，，，時具有性質(zhì)，對任意，，與兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，逐一驗證；
（2）令，，可得屬于，證明，倒序相加即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)數(shù)集，具有性質(zhì)，可得，，由此可知，即，從而得到，，構(gòu)成等查數(shù)列．
【詳解】（1）由于和都不屬于集合，所以不具有性質(zhì)；
由于、、、、、、、、、都屬于集合，2，4，，所以具有性質(zhì)．
（2）令，，則 “與兩數(shù)中至少有一個屬于”，
不屬于，屬于
令，那么是集合中某項，不行，是0，可以．
如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．
所以令可以得到，
同理，令、，，2，可以得到，
倒序相加即可得到．
（3），，，具有性質(zhì)，，，，
，則，
所以與中至少有一個屬于，
由，有，故，，故．
，，故，3，，．
由具有性質(zhì)知，，3，，．
又，
，，，，，即，2，，．（1）
由知，，，，均不屬于，
由具有性質(zhì)，，，，均屬于，
，
，，，，，即．（2）
由（1）（2）可知，，，
即，3，，．
故，，構(gòu)成等差數(shù)列．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解新定義運(yùn)算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.
對于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識求解.
4．(1)不具有，具有.
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)集合S具有性質(zhì)P的定義結(jié)合反例可判斷兩個集合是否具有性質(zhì).
（2）根據(jù)也具有性質(zhì)及其子集的個數(shù)可證；
（3）不妨設(shè)，利用（2）的結(jié)論可證，從而可求最大值，再代入即可.
【詳解】（1）對于集合，因為，故集合的元素和相等，
故不具有性質(zhì).
對于，其共有15個非空子集：
，
，
各集合的和分別為：，它們彼此相異，
故具有性質(zhì).
（2）因為具有性質(zhì)，故對于任意的，也具有性質(zhì)，
否則有兩個非空子集，它們的元素和相等，
而也是的子集，故不具有性質(zhì)，矛盾.
注意到共有個非空子集，每個子集的元素和相異，
且子集的和最大為，最小為，故.
（3）假設(shè)集合具有性質(zhì)，
不妨設(shè)，
設(shè)，則，由（2）可得，且.
而
，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
即此時任意的正整數(shù)，即，
故此時時等號成立，故的最大值為.
則當(dāng)時，即對集合具有性質(zhì)，
則的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用集合非空真子集的個數(shù)公式即可證明，第三問的關(guān)鍵是利用第二問的結(jié)論得到，再對賦值即可.
5．(1)1，2，2，2，3
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）推導(dǎo)出，．由此能寫出數(shù)列的前5項．
（2）先證充分性，推導(dǎo)出，從而數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；再證不必要性，當(dāng)數(shù)列中只有是奇數(shù)，其余項都是偶數(shù)時，為偶數(shù)，，3，均為奇數(shù)，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，由此能證明：“為奇數(shù)，，3，4，為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件．
（3）當(dāng)為奇數(shù)時，推導(dǎo)出不能為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)，推導(dǎo)出不能是奇數(shù)，從而與同奇偶，由此得到．
【詳解】（1）解：因為，故當(dāng)時，，則是第二項起的等差數(shù)列，
所以
所以
則，即數(shù)列的前5項為：1，2，2，2，3；
（2）證明：（充分性）
是奇數(shù)，，3，為偶數(shù)，
對于任意，都是奇數(shù)，
，
數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．
（不必要性）
當(dāng)數(shù)列中只有是奇數(shù)，其余項都是偶數(shù)時，為偶數(shù)，，3，均為奇數(shù)，
，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，
“為奇數(shù)，，3，4，為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的不必要條件．
綜上，：“為奇數(shù)，，3，4，為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件．
（3）解：①當(dāng)為奇數(shù)時，若為偶數(shù)，
若是奇數(shù)，則為奇數(shù)，為偶數(shù)，與矛盾；
若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，與矛盾．
當(dāng)為奇數(shù)時，不能為偶數(shù)；
②當(dāng)為偶數(shù)，若為奇數(shù)，
若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為偶數(shù)，與矛盾，
若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，與矛盾，
當(dāng)為偶數(shù)時，不能是奇數(shù)．
綜上，與同奇偶，
若為奇數(shù)，則，若與同為奇數(shù)，則此時，與為奇數(shù)矛盾，
若與同為偶數(shù)，則此時，與為偶數(shù)矛盾，
所以為偶數(shù)，則，若與同為奇數(shù)，則此時，
若與同為奇數(shù)，則此時，與為奇數(shù)矛盾，若與同為偶數(shù)，則此時，與為偶數(shù)矛盾，
所以與同為偶數(shù)，則，
以此類推，，2，3，...
得到當(dāng)時，，當(dāng)時，為偶數(shù)即可滿足.
所以.
6．(1)，，；
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）利用題中定義，利用代入法進(jìn)行求解即可；
（2）①根據(jù)充要條件的定義，結(jié)合反證法進(jìn)行證明即可；②根據(jù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1），，；
（2）①充分性：若數(shù)列為常數(shù)列，∵，∴，
∴，又，
∴其伴隨數(shù)列是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列；
必要性：假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，而數(shù)列不為常數(shù)列，
∴數(shù)列中存在等于0的項，設(shè)第一個等于0的項為，其中，
∴，得等比數(shù)列的公比．
又，得等比數(shù)列的公比，與矛盾．∴假設(shè)不成立．
∴當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，數(shù)列為常數(shù)列．
綜上“為常數(shù)列”是“為等比數(shù)列”的充要條件；
②當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
綜上，結(jié)合可得：，，，
由題意知，所以，
于是有，
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分類討論法，結(jié)合題中定義是解題的關(guān)鍵.
7．(1)，，；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）利用的定義可得的值；
（2）時，集合的中乘積由兩部分構(gòu)成，一部分是乘積中含，另一部分不含，從而可得之間的關(guān)系；
（3）可先證明所有非空子集中各元素的乘積和為，從而可得．
【詳解】（1）時，，
∴，，．
（2）時，集合的中各乘積由兩部分構(gòu)成，
一部分是乘積中含因數(shù)，乘積的其他因數(shù)來自集合，故諸乘積和為；
另一部分不含，乘積的所有因數(shù)來自集合，故諸乘積的和為．
故．
（3）我們先證明一個性質(zhì)：
所有非空子集中各元素的乘積和為．
證明：考慮的展開式，該展開式共有項，
每一項均為各因式中選取或后的乘積（除去各項均選1）．
對于的任意非空子集，
該集合中各元素的乘積為的展開式中的某一項：即第個因式選擇， ，其余的因式選擇1，
注意到非空子集的個數(shù)為，
故的所有非空子集中各元素的乘積均在的展開式中恰好出現(xiàn)一次，
∴所有非空子集中各元素的乘積和為．
故對于，
.
8．（1）；（2）；（3）證明見解析.
【解析】（1）由題意知，求出m,可知的生成數(shù)列的項數(shù)，故解即可求解；
（2）可先歸納猜想，再由數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）對，設(shè)二進(jìn)制表示下，證明不存在，使得，利用反證法證明.
【詳解】因為，
所以
且，
，
故確定即可確定的生成數(shù)列的項數(shù)，
令，解得，
因為，所以，
所以的生成數(shù)列的項數(shù)為；
（2）法一：(數(shù)學(xué)歸納法)
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，
猜想：，接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明，
當(dāng)時，已證，
假設(shè)結(jié)論對成立，則對有
，
故結(jié)論對也成立，
所以；
（3）對，設(shè)二進(jìn)制表示下，我們證明不存在，
使得，
事實上，對這樣的，有，
如果存在，使得，
設(shè)的二進(jìn)制表示為，則，
①若，則，這時，如果，
那么(因為，所以)，矛盾，
如果，那么或，也矛盾，
②設(shè)時可以推出矛盾，考慮的情形，
若，則
，矛盾，
若，則
，矛盾，
上述推導(dǎo)中都用到了，
所以，這時，記，
進(jìn)而，有，
于是，由得，
與歸納假設(shè)不符.
綜上所述，存在無窮多個正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)，滿足.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于創(chuàng)新型題目，難度很大，推理要求很高，涉及到了數(shù)學(xué)歸納法，反證法，難度太大，屬于難題.
9．(1).
(2)證明見解析.
(3)證明見解析，.
【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，得切線的斜率，寫出切線方程并計算其與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可寫出.
（2）先證充分性，即由，作差證明；再證必要性，由得，推導(dǎo)出.
（3）由與的關(guān)系，得與的關(guān)系，證明數(shù)列成等比，先寫出的通項公式，再利用寫出的通項公式.
【詳解】（1），所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，
將點(diǎn)代入方程，得，
因為為正實數(shù)，所以為正實數(shù)，.
（2）證明：
充分性：由為正實數(shù)易得為正實數(shù)，，
又因為，所以，
，
所以對一切正整數(shù)n，.
必要性：因為，則，即，因為，解得.
（3）證明：
因為，所以，，
所以，
所以為等比數(shù)列.
，所以，即，
，解得.
10．(1)，；
(2)證明見解析
(3)43
【分析】（1）利用列舉法寫出符合題意的所有的的取值可能，得出的值；
（2）利用已知的定義及性質(zhì)，分別證明充分性和必要性成立即可；
（3）根據(jù)新定義分析差值可能出現(xiàn)的情況數(shù)，對其進(jìn)行分析即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）因為，，，，則的可能情況有：
，，，，，，
所以，．
（2）充分性：若是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以．
則當(dāng)時，，
所以，．
必要性：若．
因為是遞增數(shù)列，所以，
所以，且互不相等，
所以．
又，
所以，且互不相等．
所以，
所以，
所以為等差數(shù)列．
（3）因為數(shù)列A由1，2，3，…，11，22這12個數(shù)組成，任意兩個不同的數(shù)作差，
差值只可能為和，共42個不同的值；
∵這12個數(shù)在數(shù)列中每個至少出現(xiàn)一次，
∴當(dāng)時，和這兩個數(shù)中至少有一個在集合中，
∵這12個數(shù)在數(shù)列中共出現(xiàn)23次，所以數(shù)列中存在，
∴，
當(dāng)數(shù)列：1，2，3，…，11，22，11，10，…，2，1．
有，．
則的最大值為43．
11．(1)；
(2)，()；
(3)1024.
【分析】（1）由得，然后根據(jù)求和公式結(jié)合條件即得；
（2）分別求出為奇數(shù)時和為偶數(shù)時的表達(dá)式，最后用n、k的代數(shù)式表示即可；
（3）由題可得為整數(shù)，然后結(jié)合條件及等差數(shù)列求和公式即得.
【詳解】（1）依題意：（），
由得，
所以
；
（2）① 當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，
；
②當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，
；
綜上：，()；
（3）由（2）知，當(dāng)時，
，，
因為是的整數(shù)倍，
所以為整數(shù)，
所以為奇數(shù)，由得，
所以滿足條件的的個數(shù)為，
所以集合中元素的個數(shù)為.
【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.
12．(1)
(2)證明見解析；
(3)不存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，分為偶數(shù)和為奇數(shù)時兩種情況討論求解即可；
（2）根據(jù)周期性，結(jié)合累加法分別證明充分性與必要性即可；
（3）由題知數(shù)列是周期為，再結(jié)合（2）的結(jié)論求解即可.
【詳解】（1）解：因為無窮數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且，，
所以，當(dāng)為偶數(shù)時，；
當(dāng)為奇數(shù)時，，
因為對一切正整數(shù)恒成立，
所以，當(dāng)為偶數(shù)時，，故只需即可；
當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，故只需即可；
綜上，對一切正整數(shù)恒成立，常數(shù)的取值范圍為
（2）證明：先證充分性：
因為是周期為的周期數(shù)列，，
所以，，即，
所以，即
所以，是周期為的周期數(shù)列，即充分性成立.
下面證明必要性：
因為是周期為的周期數(shù)列，
所以，即
所以，，即
所以，，即，
所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，
因為，即
所以，必要性成立.
綜上，“是周期為的周期數(shù)列”的充要條件是“是周期為的周期數(shù)列，且”
（3）解：假設(shè)存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列，
所以，由（2）知，數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且，
因為，
所以，，
所以數(shù)列是周期為，
所以，即，顯然方程無解，
所以，不存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)遞推關(guān)系得數(shù)列是周期為，再結(jié)合和（2）中的充要條件，求解方程即可.
13．(1)(答案不唯一)；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義寫出一個滿足條件的數(shù)列即可.
（2）由數(shù)列的定義，只需讓正整數(shù)且間的間隔盡量小，結(jié)合題設(shè)找到后續(xù)各項數(shù)字出現(xiàn)規(guī)律，找到對應(yīng)的最小位置，即可得的最小值.
（3）由數(shù)列的定義，分別從充分性、必要性兩方面證明結(jié)論，注意反證法的應(yīng)用.
【詳解】（1）由題設(shè)，，又，
所以，存在滿足條件，
又，則，
綜上，滿足題設(shè)的數(shù)列有.
（2）由題設(shè)，為，
所以數(shù)列從開始依次往后各項可能出現(xiàn)的數(shù)字如下：
，，，，
，，，
，…，
要使的最小即正整數(shù)且間的間隔盡量小，又，則，
綜上，的最小值為.
（3）由為數(shù)列，則，由為數(shù)列，則，
又為數(shù)列，即，
若不是單調(diào)數(shù)列，
則存在，即，顯然與矛盾；
或存在，即，顯然與矛盾；
綜上，是單調(diào)數(shù)列，充分性得證；
由是單調(diào)數(shù)列且為數(shù)列，
所以，則，
則，即，
所以、均為數(shù)列，必要性得證；
綜上，為數(shù)列且為數(shù)列”的充要條件是“是單調(diào)數(shù)列”.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，根據(jù)等比數(shù)列寫出的各項，結(jié)合及數(shù)列的定義，有必是最靠前的項，再依次項判斷后續(xù)各項數(shù)字出現(xiàn)規(guī)律，找到對應(yīng)的最小位置.
14．(1)不是“”數(shù)列
(2)，
(3)，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷，說明理由；
（2）根據(jù)是首項為2的“數(shù)列”，求出，由是等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，可得，作差可得，利用前三項數(shù)列，可以求解和，進(jìn)而求解等比數(shù)列的通項公式；
（3）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并判斷在上單調(diào)遞增，由是 “數(shù)列”與，反復(fù)利用，可得對于任意的，,進(jìn)而得到，推出，再利用在上單調(diào)遞增，得到，通過已知條件變形推出.
【詳解】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義，則，故，
因為成立，成立，不成立，
所以不是“數(shù)列”.
（2）由是首項為的“數(shù)列”，則，，
由是等比數(shù)列，設(shè)公比為，
由，
則，
兩式作差可得，
即
由是 “數(shù)列”，則，對于恒成立，
所以，
即對于恒成立，
則，即，
解得，，，
又由，，則，即
故所求的，數(shù)列的通項公式
（3）設(shè)函數(shù)，則，令，
解得，當(dāng)時，，
則在區(qū)間單調(diào)遞減，
且，
又由是 “數(shù)列”，
即 ，對于恒成立，
因為，則，
再結(jié)合，
反復(fù)利用，
可得對于任意的，,
則，
即，則，
即，，，，
相加可得，
則,
又因為在上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以，
即，
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要數(shù)列的新定義題型，緊扣題意進(jìn)行求解，同時構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)是證明不等式的關(guān)鍵.
15．（1）或；或；（2）證明見解析；（3）兩種，證明見解析.
【分析】（1）按照交錯和定義列舉出來即可；
（2）假設(shè)，利用反證法證明；
（3）首先證明，再證明僅有或兩種交錯和表示，最后證明時，n均只有兩種交錯和表示.
【詳解】（1）或，或
（2）假設(shè)，
當(dāng)時，，這與“n是正整數(shù)”矛盾！
當(dāng)時，因為，
所以
，
這與“n是正整數(shù)”矛盾！
故.
(3)①首先使,若
必有，這是因為若，不論m為奇數(shù)或偶數(shù)，由正負(fù)交錯，
矛盾，
所以.
②時，僅有或兩種交錯和表示.
(i)當(dāng)n=1時，不難發(fā)現(xiàn)1=1, 均為交錯和表示，且由①知，所以1僅
有1=1或兩種交錯和表示.
(i)假設(shè)僅有或兩種交錯和表示，又因為或為的兩種交錯和表示，假設(shè)又不同于上述兩種交錯和的
新表示，因為為偶數(shù)，所以,
所以為的不同于或
的交錯和表示，與假設(shè)矛盾,
所以或為的唯二交錯和表示.
③時，n均只有兩種交錯和表示.
(i) 當(dāng)n=3時，3=-1+4或3=1- 2+4為3的兩種交錯和表示，又由①知，
且均不成立，所以3的交錯和僅上述兩種.
(ii) 假設(shè)對于，n均只有兩種交錯和表示，對于
，因為，其中,所以由歸納
假設(shè)及②知僅兩種交錯和交錯和表示，且的交錯和表示中相應(yīng)的
(由①可得)，所以此時已有兩種交錯和表示，若l還
有其他不同的交錯和表示，此表示對應(yīng),所以也有第三種交錯和表
示，與假設(shè)矛盾，所以， l僅有兩種交錯和表示.
綜上，有兩種交錯和表示.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題時要緊扣交錯和的定義，理解交錯和的表示，綜合運(yùn)用分類討論，反證法，遞推關(guān)系去證明，屬于困難題.
16．（1）可能取得值為：，，，（2）證明見解析，（3）不存在。
【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系，分類討論，即可得出可能取得的值.
（2）首先設(shè)中最小的奇數(shù)為，根據(jù)題意得到：，再對分奇數(shù)和偶數(shù)討論即可.
（3）由題知：中一定有，設(shè)，得到，，…….均為的倍數(shù).故不存在正整數(shù)m，使得m與都不是“歸一數(shù)”.
【詳解】（1）由題知：數(shù)列各項均為正整數(shù)，
或，解得：或（舍去）.
或，解得：或（舍去）.
或，解得：或.
當(dāng)時，或，解得：或.
當(dāng)時，或，解得：或（舍去）.
故可能取得值為：，，.
（2）因為為正整數(shù)數(shù)列，設(shè)中最小的奇數(shù)為，
所以為偶數(shù).
所以，此時可能為奇數(shù)或偶數(shù).
當(dāng)為奇數(shù)時，則，解得：.
所以或.
當(dāng)為偶數(shù)時，則，解得：.
所以或.
綜上所述：中一定有一項的值為或.
（3）由（2）知：中一定有，由題知：
因為，
所以或.
設(shè)，則，，…….均為的倍數(shù).
故不存在正整數(shù)m，使得m與都不是“歸一數(shù)”.
【點(diǎn)睛】本題第一問考查數(shù)列的遞推關(guān)系，第二問考查數(shù)列的證明，第三問考查數(shù)列的推理與歸納，屬于難題.
17．(1)8
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意可知時符合題意；
（2）由題意可得，，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得，進(jìn)而，則為，即可求出a；
（3）由題意可得，，則，結(jié)合放縮法和裂項求和法即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時,正整數(shù)的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，
比如為8的所有正約數(shù)，即.
（2）由題意可知，，
因為，題意可知，所以，
化簡可得，所以，
因為，所以，
因此可知是完全平方數(shù).
由于是整數(shù)的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以為，
所以.
（3）由題意知，，
所以，
因為，
所以
，
因為，，所以，
所以，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第二問的解答中，在得到后，要能根據(jù)，推得，繼而得出，這是解決問題的關(guān)鍵.第三問的證明中，難點(diǎn)在于要能注意到，，從而可得，然后采用裂項求和的方法進(jìn)行化簡進(jìn)而證明結(jié)論.
18．(1)具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
(2)3
(3)存在，4
【分析】（1）將集合，進(jìn)行計算，得出集合中的元素個數(shù)即可知具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
（2）利用等比數(shù)列性質(zhì)和集合性質(zhì)的定義，即可得集合中的元素個數(shù)最大值為3；
（3）根據(jù)集合具有的性質(zhì)的定義，對集合中的元素個數(shù)進(jìn)行分類討論，再由集合元素的互異性得出矛盾即可求出中的元素個數(shù)最大值是4.
【詳解】（1）具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
若，則，恰有個元素，所以具有性質(zhì)；
若，，有5個元素，，不具有性質(zhì).
（2）當(dāng)中的元素個數(shù)時，因為中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，
不妨設(shè)元素依次為構(gòu)成等比數(shù)列，則，其中互不相同.
于是這與具有性質(zhì)，中恰有個元素，即任取中兩個不同元素組成組合的兩個數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.
當(dāng)中的元素個數(shù)恰有3個時，取時滿足條件，
所以集合中的元素個數(shù)最大值為3.
（3）因為，不妨設(shè)，
所以.
（1）當(dāng)時，構(gòu)成等比數(shù)列，
所以，即，其中互不相同.
這與中恰有個元素，即任取中兩個不同元素組成組合的兩個數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.
（2）當(dāng)時，構(gòu)成等比數(shù)列，第3項是或.
① 若第3項是，則，即，
所以，與題意矛盾.
② 若第3項是，則，即，
所以成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則中等比數(shù)列的前三項為：
，其公比為，第四項為，第十項為.
(ⅰ)若第四項為，則，得，
又，得，此時中依次為
顯然，不合題意.
(ⅱ)若第四項為，則，得，又，得，
此時中依次為，顯然，不合題意.
因此，.
取滿足條件.
所以中的元素個數(shù)最大值是4.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于“新定義”的題目關(guān)鍵在于充分理解定義的本質(zhì)，把新定義與高中已學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系，靈活運(yùn)用類比、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想才能將問題解決.
19．(1)
(2)證明見詳解；
(3)
【分析】（1），，利用性質(zhì)的定義，可得，即結(jié)合，即可判定的值，求出即可；
（2）取則，得，所以異號.所以中一個為，另一個為1，故，利用假設(shè)思想驗證，可得結(jié)果；
（3）取可得利用性質(zhì)，進(jìn)一步可得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可求出通項公式.
【詳解】（1）選取，則，
由得，所以，
又，所以，
故從而
（2）取
則，得，所以異號。
所以中一個為，另一個為1，故.
假設(shè)，其中則，
選取并設(shè)，
則，則異號，從而中恰好又一個為
若則矛盾；
若則矛盾。
所以
（3）因為，
具有性質(zhì)，取
設(shè)因為，且中的正數(shù)大于等于，
所以只能
所以
又中只有個大于的正數(shù)，
即，
且這個大于的正整數(shù)都屬于集合，
所以只能
即，
從而數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則
20．(1)受制約，不受制約，理由見解析
(2)且.
(3)是的充分不必要條件，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列新定義，判斷、且是否有成立即可判斷；
（2）由題設(shè)可得，利用等差數(shù)列的定義寫出的通項公式；
（3）由新定義判斷、的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性的定義得到結(jié)論.
【詳解】（1）由、且，則，而，
顯然，則，故受制約，
由、且，
當(dāng)，即，故；
當(dāng)，即，故.
故不受制約.
綜上，受制約，不受制約.
（2）由、且，有，
所以，又，，
故的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別為首項為1、3，且公差均為2的等差數(shù)列，
當(dāng)且，則，
當(dāng)且，則，
綜上，且.
（3）結(jié)論：是的充分不必要條件，證明如下：
為真：受集合制約，由、且，
當(dāng)，有成立，則，進(jìn)而可得：①；
當(dāng)，有成立，結(jié)合①有；
此時，受集合制約；
為真：受集合制約，由、且，有；
而，不一定有成立（反例：且，顯然，有），
故不一定受區(qū)間制約；
所以，受區(qū)間制約，必受集合制約，但受集合制約，不一定受區(qū)間制約；
綜上，是的充分不必要條件.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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