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微考點3-2 新高考新試卷結構立體幾何解答題中與旋轉體有關的問題
考點一：求直線和平面所成的角
如圖，設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有.（易錯點）
考點二：求二面角
如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面的法向量，，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角.
①當法向量與的方向分別指向二面角的內側與外側時，二面角的大小等于的夾角的大小.
②當法向量的方向同時指向二面角的內側或外側時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小.
③已知和分別是二面角的半平面的法向量，記二面角的大小為，若半平面，半平面（），則當與同號時，二面角的大小等于的夾角的大小.當與異號時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小.
【精選例題】
【例1】
1．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，圓柱的側面積為，點在圓柱的底面圓周上，且是邊長為的等邊三角形，點是的中點.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【例2】
2．如圖，已知的直角邊，點是從左到右的四等分點（非中點）.已知橢圓所在的平面⊥平面，且其左右頂點為，左右焦點為，點在上.
(1)求三棱錐體積的最大值；
(2)證明：二面角不小于60°.
【例3】
3．如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為和，為圓臺的兩條不同的母線.
(1)求證：；
(2)截面與下底面所成的夾角大小為，且截面截得圓臺上底面圓的劣弧的長度為，求截面的面積.
【例4】
4．已知橢圓C：（，）的左、右焦點分別為、，離心率為，經過點且傾斜角為（）的直線l與橢圓交于A、B兩點（其中點A在x軸上方），的周長為8．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱錐的體積，
②若，異面直線和所成角的余弦值；
③是否存在（），使得折疊后的周長為與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【例5】
5．如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點.
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【例6】
6．如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個三等分點，P是半球面上一點，且．
(1)證明：；
(2)若點在底面圓上的射影為中點，求直線與平面所成的角的正弦值．
【跟蹤訓練】
7．如圖所示，用平面 表示圓柱的軸截面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為母線 的中點，已知 為一條母線，且 ．

(1)求證：平面 平面 ；
(2)求平面 與平面 夾角的余弦值．
8．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，圓柱的側面積為，點在圓柱的底面圓周上，且是邊長為的等邊三角形，點是的中點.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值.
9．如圖所示的幾何體是由一個直三棱柱和半個圓柱拼接而成.其中，，點為弧的中點，且四點共面.
(1)證明：四點共面；
(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求長.
10．如圖，矩形是圓柱的一個軸截面，、分別為上下底面的圓心，為的中點，，．

(1)當點為弧的中點時，求證：平面；
(2)若點為弧的靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值．
11．如圖所示，圓臺的上 下底面圓半徑分別為和為圓臺的兩條不同的母線.分別為圓臺的上 下底面圓的圓心，且為等邊三角形.
(1)求證：；
(2)截面與下底面所成的夾角大小為，求異面直線與所成角的余弦值.
12．如圖，線段是圓柱的母線，BC是圓柱下底面圓的直徑．
(1)弦AB上是否存在點，使得平面，請說明理由；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
13．如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形為底面圓周上異于的點
(1)若是線段的中點，求證：平面
(2)若，設直線為平面與平面的交線，點與平面所成角為，求的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）要證平面，需證①和②，而證明①，只需證明，可計算得到；要證②，需證平面，此結論易得；
（2）借助于過點的母線和建系，求出各相關點坐標和向量，由兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計算即得.
【詳解】（1）點在圓柱的底面圓周上，，
四邊形是圓柱的軸截面，平面，
因平面
平面，平面，
而平面①.
是邊長為的等邊三角形，，
.
圓柱的側面積為，即，
則，又點是的中點，②.
又平面，由① ② 可得平面.
（2）
以為坐標原點，以及過點與平行的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
則，.
設平面的法向量為，則
令，得.
由（1）知，平面，故是平面的一個法向量.
由圖知二面角為銳角，設為，則，
，即二面角的正弦值為.
2．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據題中條件求得橢圓的方程，表示出三棱錐的體積，利于點橫坐標的范圍即可求解；
（2）建立空間直角坐標系，設點，利于空間向量求得兩個平面法向量夾角的余弦值，利于導數考查范圍即可求解.
【詳解】（1）因為橢圓所在的平面⊥平面,且交線為,
又平面,,則平面,
取中點，以為坐標原點，
建立如圖所以空間直角坐標系．
設點．橢圓的方程為，
由題意，易知，
，,
則，，
解得，所以．
故三棱錐體積的最大值是．
（2）易知，，，
設，
則，，
,，
設平面的一個法向量，則
,
令，則，，
所以平面的一個法向量，
設平面的一個法向量，
則
令，則，
，
令，
則
，
當時，則，
所以，
令，
，
因為，所以，
令得，當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．
,
當時，
令，
，
設，
則，
所以單調遞減，所以，
即單調遞減，，
綜上，對成立，
即，
即，故二面角不小于60°得證．
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵一是設把三角函數轉化為關于的函數；二是利于導數分類討論考查函數的單調性，從而求得范圍.
3．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）根據臺體的結構特征可知四點共面，結合面面平行的性質定理分析證明；
（2）解法一：建系，利用空間向量結合面面夾角可得，進而求截面面積；解法二：分別取的中點為，分析可知為截面與底面所成夾角，可得，進而求截面面積.
【詳解】（1）因為圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.
可知母線與母線的延長線必交于一點，即四點共面，
又因為圓面∥圓面，且平面圓面，平面圓面，
所以∥.
（2）解法一：因為劣弧的長度為，則
由，可得.
如圖，建立空間直角坐標系，設，

則，
可得，
設平面的一個法向量為，則，
令，則，可得，
由題意可知：底面的一個法向量，
因為截面與下底面所成的夾角大小為，
則，
解得，即，可得，
在等腰梯形中，，
可得等腰梯形的高，
所以.
解法二：如圖，分別取的中點為，連結，，
由題意可得：，
所以為截面與底面所成夾角，即，

過點作于點，由，得，
則（即梯形的高），
所以.
4．(1)
(2)①；②；③存在，
【分析】
（1）由橢圓定義求得，結合離心率求得，再求出后即得橢圓標準方程；
（2）①求得點坐標，確定折疊后新坐標，然后由體積公式計算體積；②建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求異面直線所成的角；③建立解析中所示空間直角坐標系，設折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對應點記為，，，由三角形周長求得，設方程為，代入橢圓方程應用韋達定理得，，用坐標表示變形后代入，求出值，從而可得結論．
【詳解】（1）
由橢圓的定義知：，，
所以的周長，所以，
又橢圓離心率為，所以，所以，，
由題意，橢圓的焦點在x軸上，
所以橢圓的標準方程為；
（2）
①由直線l：與，
由得或，
所以（因為點A在x軸上方）以及，
，，
②O為坐標原點，折疊后原y軸負半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則

，，，，
，．
記異面直線和所成角為，則；
③設折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對應點記為，，，
折疊前周長是8，則折疊后周長是，
由，，故，
設方程為，
由，得，
，，
在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標系（原x軸仍然為x軸，原y軸正半軸為y軸，原y軸負半軸為z軸）；

，，
所以，（?。?br/>又，
所以，（ⅱ）
由（?。áⅲ┛傻?，
因為，
所以，
即，
所以，解得，
因為，所以．
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明：取的中點，連接，由題意可證得，再由線面平行的判定定理證明即可；
（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【詳解】（1）證明：取的中點，連接.
因為為圓弧的兩個三等分點，所以.
因為分別為的中點，所以，
則，從而四邊形為平行四邊形，
故.因為平面平面，所以平面.
（2）解：以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為，所以，，
則.
設平面的法向量為，
則令，得.
設平面的法向量為，
則令，得.
設平面與平面所成銳二面角為，
則.
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
6．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）根據題意證明面，得到，再結合線面垂直的判定定理得證；
（2）根據題意建立空間直角坐標系，結合線面角的空間向量計算公式進行求解即可.
【詳解】（1）連接，
因為依次是底面上的兩個三等分點，
所以四邊形是菱形，設，則為中點，且，
又因為，故是等邊三角形，
連接，則，
又因為面，，所以面，
因為面，所以，
因為依次是底面上的兩個三等分點，所以，所以，
又因為AB是半球O的直徑， P是半球面上一點，所以，
因為面，，所以面，
又因為面，所以
（2）因為點在底面圓上的射影為中點，
所以面，
因為面，所以，
又因為，
所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，
所以，
所以，
設平面的法向量，
則，令，則，
設直線與平面所成角為，
則
所以直線與平面所成角的正弦值為
7．(1)證明見解析；
(2).
【分析】
（1）根據圖形特征結合勾股逆定理先證，由線線垂直得線面垂直，根據線面垂直的性質可得面面垂直；
（2）建立合適的空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.
【詳解】（1）依題意可知，則是等腰直角三角形，故，
由圓柱的特征可知平面，又平面，，
因為平面，則平面，
而平面，則，
因為，則，
，
所以，
因為，，平面，
所以平面，
因為平面，所以平面平面；
（2）
由題意及（1）知易知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系

則，
所以，
由（1）知是平面的一個法向量，設是平面的一個法向量，
則有，取，所以，
設平面 與平面 的夾角為，
所以.
即平面 與平面 夾角的余弦值為.
8．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）要證平面，需證①和②，而證明①，只需證明，可計算得到；要證②，需證平面，此結論易得；
（2）借助于過點的母線和建系，求出各相關點坐標和向量，由兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計算即得.
【詳解】（1）點在圓柱的底面圓周上，，
四邊形是圓柱的軸截面，平面，
因平面
平面，平面，
而平面①.
是邊長為的等邊三角形，，
.
圓柱的側面積為，即，
則，又點是的中點，②.
又平面，由① ② 可得平面.
（2）
以為坐標原點，以及過點與平行的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
則，.
設平面的法向量為，則
令，得.
由（1）知，平面，故是平面的一個法向量.
由圖知二面角為銳角，設為，則，
，即二面角的正弦值為.
9．(1)證明見解析；
(2).
【分析】
（1）連接，由題意可得，根據平行線性質有，即可證結論；
（2）法1：構建空間直角坐標系，應用向量法求面面角列方程求線段長；法2：取中點，連接，過作于，過作于，連接，利用線面垂直及面面角定義有是平面與平面所成的夾角，根據已知列方程求線段長.
【詳解】（1）連接，因為，
所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，，
在半圓上，是弧中點，所以，
所以，又，
所以，所以四點共面.
（2）法1：直棱柱中，以為原點，建立如圖空間直角坐標系，
設，則，
設面的法向量為，則，取，所以，
，
設面的法向量為，則，取，所以，
平面與平面所成夾角，即與夾角或其補角，
所以，解得，所以
法2：設，由（1）知四點共面，則面面.

取中點，連接，則，而面，面，
故，，面，則平面，
過作于，又平面，所以平面，
過作于，連接，則，又是銳角.
所以是平面與平面所成的夾角，則，
所以在Rt中，，
在中，根據等面積法，
在中，.
所以.
所以，解得，即，
所以.
10．(1)證明見解析；
(2).
【分析】
（1）只需證明，，再利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）結合（1）問，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即可.
【詳解】（1）結合題意:易知底面是以為圓心，以為直徑的半圓，
因為點為弧的中點，所以，
因為矩形是圓柱的一個軸截面，
所以面,
因為面,所以,
因為,且平面，
所以平面.
（2）取弧的中點連接,由（1）問可知：平面，
且易得，,,
故以坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示：
因為，，點為弧的靠近點的三等分點，
所以,
所以
因為為的中點，所以，所以,
設平面的法向量為，
則,即，令，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.

11．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）依題四點共面，利用面面平行的性質定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標系，利用截面與下底面所成的夾角可求得的大小，繼而利用向量夾角余弦值向量表示求解即可.
【詳解】（1）證明圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，
所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.
母線與母線的延長線必交于一點，
四點共面.
圓面圓面，
且平面圓面，平面圓面.
.
（2）為等邊三角形，
，如圖建立空間直角坐標系，
設.
.
設平面的一個法向量.則有：
令，則.
底面的一個法向量，
因為截面與下底面所成的夾角大小為，
所以，
，
，
又坐標為.
，
.
異面直線與所成角的余弦是.
12．(1)存在，當點為中點時，理由見解析.
(2)
【分析】
（1）先確定點為的中點，再證明平面平面，再根據面面平行的性質即可得出結論；
（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）當點為的中點時，平面，證明如下：
取的中點，連接，
∵分別為的中點，則，
又平面，平面，
∴平面，
又∵，
平面，平面，
∴平面，
，平面，
∴平面平面，
由于平面，故平面；

（2）∵是的直徑，可得，即，
且，，故，，
如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，
則，，，，
得，，
設為平面的一個法向量，
則，令，則，可得，
因為軸平面，
則可取平面的一個法向量為，
設二面角為，
則，
所以二面角的余弦值為.

13．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形得到，然后根據線面平行的判定定理完成證明；
（2）延長交于點，建立合適空間直角坐標系，然后利用向量法表示出，再根據二次函數的性質求解出最大值即可.
【詳解】（1）
取中點，連接，如圖，
因為為中點，所以，
在等腰梯形中，，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）延長交于點，作直線，則直線即為直線，
，則，
以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高為，
因為，所以為的中位線，
則，
所以，
設，則，
設平面的一個法向量為，
則，令，得，
則有：，
令，則，
當時，，此時，
當時，，
當且僅當，即時取等號，
綜上所述，的最大值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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