資源簡介

10．1 兩角和與差的三角函數
課程標準 學習目標
（1）了解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的推導過程. （1）理解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式間的關系，熟記兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的形式及符號特征，并能利用公式進行化簡求值．
知識點01 兩角和的余弦函數
兩角和的余弦公式：
知識點詮釋：
（1）公式中的都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；
（3）公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題．
（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反．
【即學即練1】（2024·高一課時練習）cos 255°的值是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為.
故選：C.
知識點02 兩角和與差的正弦函數
兩角和正弦函數
在公式中用代替，就得到：
兩角差的正弦函數
知識點詮釋：
（1）公式中的都是任意角；
（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即；
（3）和差公式是誘導公式的推廣，誘導公式是和差公式的特例．如
當或中有一個角是的整數倍時，通常使用誘導公式較為方便；
（4）使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時，不要將和展開，而應采用整體思想，進行如下變形：
這也體現了數學中的整體原則．
（5）記憶時要與兩角和與差的余弦公式區別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同．
【即學即練2】（2024·全國·高一課堂例題）求75°，15°角的正弦值．
【解析】．
．
知識點03 兩角和與差的正切函數
知識點詮釋：
（1）公式成立的條件是：，或，其中；
（2）公式的變形：
（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時要注意觀察式子的特點，巧妙運用公式或其變形，使變換過程簡單明了．
（4）公式對分配律不成立，即．
【即學即練3】（2024·全國·高一專題練習）的值為 ．
【答案】/
【解析】
.
故答案為：.
知識點04 理解并運用和角公式、差角公式需注意的幾個問題
1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內在聯系
（1）掌握好表中公式的內在聯系及其推導線索，能幫助學生理解和記憶公式，是學好本部分的關鍵．
（2）誘導公式是兩角和、差的三角函數公式的特殊情況．，中若有為的整數倍的角時，使用誘導公式更靈活、簡便，不需要再用兩角和、差公式展開．
2、重視角的變換
三角變換是三角函數的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現，必須引起足夠的重視．常見的角的變換有：
；；；等，常見的三角變換有：切化弦、等．
【即學即練4】（2024·重慶·高一統考期末）已知滿足，則 ．
【答案】
【解析】因為，
所以，
又因為，
所以，
所以
.
故答案為：.
題型一：兩角和與差的余弦公式
【例1】（2024·全國·高一課堂例題）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式．
（2）原式．
【變式1-1】（2024·高一課時練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式.
（2）原式.
【變式1-2】（2024·全國·高一專題練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
【變式1-3】（2024·全國·高一隨堂練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）
.
（2）
.
【方法技巧與總結】
已知，的某種三角函數值，求的余弦，先要根據平方關系求出、的另一種三角函數值．求解過程中要注意先根據角的范圍判斷所求三角函數值的符號，然后再將求得的函數值和已知函數值代入和角或差角的三角函數公式中求值．
題型二：兩角和與差的正弦公式
【例2】（2024·全國·高一課堂例題）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式．
（2）原式．
【變式2-1】（2024·甘肅蘭州·高一校考期末）化簡：
(1)；
(2)．
【解析】（1）由題意，由兩角和的正弦公式逆用可得.
（2）由題意，由兩角和的正弦公式、切弦互化商數關系可得
.
【變式2-2】（2024·高一課時練習）化簡求值：
(1)；
(2).
【解析】（1）
（2）
【方法技巧與總結】
已知，的某種三角函數值，求的正弦，先要根據平方關系求出、的另一種三角函數值．求解過程中要注意先根據角的范圍判斷所求三角函數值的符號，然后再將求得的函數值和已知函數值代入和角或差角的三角函數公式中求值．
題型三：兩角和與差的正切公式
【例3】（2024·廣東肇慶·高一校考期末）計算：＝ .
【答案】
【解析】由題意．
故答案為：．
【變式3-1】（2024·天津河西·高一天津市第四十二中學校考階段練習）已知，，那么 ．
【答案】
【解析】，，所以.
故答案為：
【變式3-2】（2024·全國·高一假期作業）若，則 ．
【答案】
【解析】由，
得，即．
．
．
答案：
【變式3-3】（2024·高一課時練習）已知都是銳角，且，則 .
【答案】
【解析】因為，
所以，
因為，
所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
所以，
故答案為：
【方法技巧與總結】
公式的變形應予以靈活運用．
題型四：給角求值
【例4】（2024·北京密云·高一統考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故選：A.
【變式4-1】（2024·重慶·高一西南大學附中校考期末）（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
.
故選：A.
【變式4-2】（2024·全國·高一隨堂練習）若，則的值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以.
故選：D
【變式4-3】（2024·天津紅橋·高一統考期末） ．
【答案】/
【解析】
.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
在利用公式解含有非特殊角的三角函數式的求值問題時，要先把非特殊角轉化為特殊角的差（或同一個非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡求值，在轉化過程中，充分利用誘導公式，構造出兩角差的余弦公式的結構形式，正確地順用公式或逆用公式求值．
題型五：給值求值
【例5】（2024·河北邯鄲·高一校考期末）若，則＝ ．
【答案】0
【解析】因為，
所以，
可得，可得即，
則.
故答案為：0．
【變式5-1】（2024·內蒙古·高一校聯考期末）若，則 .
【答案】
【解析】.
故答案為：.
【變式5-2】（2024·上海·高一假期作業）求值：已知為銳角，且, ，則的值為 ，的值為 .
【答案】
【解析】因為都是銳角，且,，
所以,，，
所以，
，
故答案為：，
【變式5-3】（2024·新疆烏魯木齊·高一新疆實驗校考期末）已知，是方程的兩根，則 .
【答案】
【解析】由解得，
所以，
.
故答案為：
【變式5-4】（2024·浙江嘉興·高一海寧市高級中學校考階段練習）已知，，，，則 ．
【答案】
【解析】，，，
由，，
得，
所以
.
故答案為：
【變式5-5】（2024·全國·高一專題練習）已知，，，，則 .
【答案】/
【解析】因為且，則，
又，所以，且，
所以，則，
，
所以
.
故答案為：
【方法技巧與總結】
給值求值的解題策略
（1）已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，適當地拆角與湊角．
（2）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：
①；②；③；④．
題型六：給值求角
【例6】（2024·全國·高一課堂例題）已知，，且和均為鈍角，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】∵和均為鈍角，
∴，．
∴．
由和均為鈍角，得，∴．
故選：D
【變式6-1】（2024·河北保定·高一定州市第二中學校考開學考試）已知，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
而，
從而或，
當時，只有B符合；當時，四個選項均不符合.
故答案為：B．
【變式6-2】（2024·全國·高一專題練習）已知，，且，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
，
又，.
故選：B.
【變式6-3】（2024·陜西西安·高一西安中學校考期末）若，則角的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
，
由，，得，，
若，
則
，
與矛盾，故舍去，
若，
則
，
又，
.
故選：A.
【變式6-4】（2024·江蘇南京·高一金陵中學校考期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，
所以或；
若，則，
此時（舍）；
若，則，
此時（符合題意），
所以，
即；
因為且，
所以且，
解得，，
則，
所以.
故選：C.
【方法技巧與總結】
解決三角函數給值求角問題的方法步驟
（1）給值求角問題的步驟．
①求所求角的某個三角函數值．
②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解），根據范圍找出角．
（2）選取函數的原則．
①已知正切函數值，選正切函數．
②已知正余弦函數值，選正弦或余弦函數，若角的范圍是，選正弦或余弦函數均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．
題型七：兩角和與差的正切公式的綜合應用
【例7】（2024·江蘇徐州·高一統考期末）計算： ．
【答案】
【解析】因為，
整理得，
則，
所以
，
即.
故答案為：
【變式7-1】（2024·安徽滁州·高一安徽省滁州中學校考階段練習）在△ABC中，若，則 ．
【答案】
【解析】因為，
所以設，
則
解得，即，
由題意可知，所以，
則.
故答案為：
【變式7-2】（2024·高一課時練習）可以驗證；
不論取何值，；
請推廣到一般的結論： ．
【答案】
【解析】，
，
所以
，
，
所以
，
可推廣到一般結論：
.
【變式7-3】（2024·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區第一中學校考期末）化簡： ．
【答案】/
【解析】因為，故，所以
故答案為：
【變式7-4】（2024·高一課時練習）觀察下列幾個三角恒等式：
①；
②；
③；
④；
一般地，若、、都有意義，你從這四個恒等式中猜想得到的一個結論為 .
【答案】當時，
【解析】對于①式，；對于②式，；
對于③式，；對于④式，.
觀察①②③④中等式的結構，可得出以下結論：
當時，.
理由如下：
①當且時，
若、、都有意義時，由兩角和的正切公式可得，
所以，，
，
因此，
；
②若且時，則，
可得，此時，.
綜上所述，當且、、都有意義，則.
故答案為：當時，.
【方法技巧與總結】
當化簡的式子中出現“”與“”形式時，要把它們看成兩個整體，這兩個整體一是與兩角和與差的正切公式有關，通過公式能相互轉換，二是這兩個整體還與根與系數的關系相似，在應用時要注意隱含的條件，能縮小角的范圍．
一、單選題
1．（2024·廣東·高一校聯考期末）（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】.
故選：C
2．（2024·廣東廣州·高一統考期末）已知點在角的終邊上，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由已知，.
故選：A.
3．（2024·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學校考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得：.
故選：B.
4．（2024·北京豐臺·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】，
故選：A
5．（2024·全國·高一專題練習）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．
故選：D
6．（2024·全國·高一期末）已知,,則= (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為,所以.
又,
所以,
則
，
故選：C.
7．（2024·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）已知，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，，
，，
，.
.
故選：A.
8．（2024·全國·高一專題練習）已知，，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，
所以，所以．
因為，所以，
因為，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，
所以．
又，所以．
故選：C
二、多選題
9．（2024·貴州黔西·高一校考階段練習）下列化簡結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】，所以A正確；，所以B正確；
，所以C錯誤；
，所以D錯誤．
故選：AB．
10．（2024·高一課時練習）（多選）下列四個選項，化簡正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】對于A項，，故A項錯誤；
對于B項，，故B項正確；
對于C項，，故C項正確；
對于D項，，故D項正確.
故選：BCD.
11．（2024·遼寧朝陽·高一朝陽市第一高級中學校考期末）下列四個式子中，計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】對于A：，故A錯誤；
對于B：，故B正確；
對于C：，故C正確；
對于D：，故D正確；
故選：BCD
12．（2024·江蘇南京·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由，得，即，A選項正確，C選項錯誤；
，兩邊同時平方，得，即，化簡得，
由，則，，所以，B選項正確，D選項錯誤.
故選：AB
三、填空題
13．（2024·上海·高一假期作業）已知角 角的頂點均為坐標原點，始邊均與軸的非負半軸重合，角的終邊在第四象限，角的終邊繞原點順時針旋轉后與重合，，則
【答案】
【解析】因為繞原點順時針旋轉后與重合，所以可令，
因為且的終邊在第四象限，所以為第一象限角，所以，
所以.
故答案為：.
14．（2024·上海·高一上海市建平中學校考期末）已知為銳角，，則 .
【答案】/
【解析】因為為銳角，所以，所以，
所以，
又因為，所以，
所以
.
故答案為：
15．（2024·上海·高一假期作業）已知，，，則 .
【答案】/
【解析】由，得，
由，故，
，故，
故
.
故答案為：.
16．（2024·廣東廣州·高一廣東實驗中學校考期末）已知，則 ．
【答案】
【解析】由可得，
，
所以，
化簡得，
故
故答案為：.
四、解答題
17．（2024·廣東清遠·高一統考期末）已知為銳角，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【解析】（1），
.
.
又為銳角，
，
；
（2）由（1）可知.
，且為銳角，
，
18．（2024·重慶·高一重慶八中校考期末）已知
(1)化簡；
(2)若，，且，，求.
【解析】（1）；
（2），因為，所以
所以，
，
因為，，所以，
因為，所以，
于是
所以
.
19．（2024·福建三明·高一三明一中校考階段練習）已知，，，.
(1)求；
(2)求角.
【解析】（1）①，兩邊平方得，
所以，
從而，
因為，所以，
故，，，
所以，②
聯立①②解得，，
故；
（2）因為，，，
所以，
由于在上單調遞減，
所以，
其中，
由（1）知，，
而，與矛盾，舍去，
，滿足要求，
故，
所以
，
因為，
所以.
20．（2024·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學校考期末）求下列各式的值.
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值.
【解析】（1）因為，
所以.
（2）因為，
則，，
又，
所以，，
則
.
21．（2024·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學校考期末）已知函數的最小正周期為，且．
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)設，，，求的值．
【解析】（1）依題意得，
，
由得，即，
，，
由得：，
所以函數的單調遞增區間為：.
（2）由，
得，即，
，又，，
由，
得，即，
，又，，
.10．1 兩角和與差的三角函數
課程標準 學習目標
（1）了解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的推導過程. （1）理解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式間的關系，熟記兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的形式及符號特征，并能利用公式進行化簡求值．
知識點01 兩角和的余弦函數
兩角和的余弦公式：
知識點詮釋：
（1）公式中的都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；
（3）公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題．
（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反．
【即學即練1】（2024·高一課時練習）cos 255°的值是 （ ）
A． B．
C． D．
知識點02 兩角和與差的正弦函數
兩角和正弦函數
在公式中用代替，就得到：
兩角差的正弦函數
知識點詮釋：
（1）公式中的都是任意角；
（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即；
（3）和差公式是誘導公式的推廣，誘導公式是和差公式的特例．如
當或中有一個角是的整數倍時，通常使用誘導公式較為方便；
（4）使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時，不要將和展開，而應采用整體思想，進行如下變形：
這也體現了數學中的整體原則．
（5）記憶時要與兩角和與差的余弦公式區別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同．
【即學即練2】（2024·全國·高一課堂例題）求75°，15°角的正弦值．
知識點03 兩角和與差的正切函數
知識點詮釋：
（1）公式成立的條件是：，或，其中；
（2）公式的變形：
（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時要注意觀察式子的特點，巧妙運用公式或其變形，使變換過程簡單明了．
（4）公式對分配律不成立，即．
【即學即練3】（2024·全國·高一專題練習）的值為 ．
知識點04 理解并運用和角公式、差角公式需注意的幾個問題
1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內在聯系
（1）掌握好表中公式的內在聯系及其推導線索，能幫助學生理解和記憶公式，是學好本部分的關鍵．
（2）誘導公式是兩角和、差的三角函數公式的特殊情況．，中若有為的整數倍的角時，使用誘導公式更靈活、簡便，不需要再用兩角和、差公式展開．
2、重視角的變換
三角變換是三角函數的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現，必須引起足夠的重視．常見的角的變換有：
；；；等，常見的三角變換有：切化弦、等．
【即學即練4】（2024·重慶·高一統考期末）已知滿足，則 ．
題型一：兩角和與差的余弦公式
【例1】（2024·全國·高一課堂例題）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【變式1-1】（2024·高一課時練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【變式1-2】（2024·全國·高一專題練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【變式1-3】（2024·全國·高一隨堂練習）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【方法技巧與總結】
已知，的某種三角函數值，求的余弦，先要根據平方關系求出、的另一種三角函數值．求解過程中要注意先根據角的范圍判斷所求三角函數值的符號，然后再將求得的函數值和已知函數值代入和角或差角的三角函數公式中求值．
題型二：兩角和與差的正弦公式
【例2】（2024·全國·高一課堂例題）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【變式2-1】（2024·甘肅蘭州·高一校考期末）化簡：
(1)；
(2)．
【變式2-2】（2024·高一課時練習）化簡求值：
(1)；
(2).
【方法技巧與總結】
已知，的某種三角函數值，求的正弦，先要根據平方關系求出、的另一種三角函數值．求解過程中要注意先根據角的范圍判斷所求三角函數值的符號，然后再將求得的函數值和已知函數值代入和角或差角的三角函數公式中求值．
題型三：兩角和與差的正切公式
【例3】（2024·廣東肇慶·高一校考期末）計算：＝ .
【變式3-1】（2024·天津河西·高一天津市第四十二中學校考階段練習）已知，，那么 ．
【變式3-2】（2024·全國·高一假期作業）若，則 ．
【變式3-3】（2024·高一課時練習）已知都是銳角，且，則 .
【方法技巧與總結】
公式的變形應予以靈活運用．
題型四：給角求值
【例4】（2024·北京密云·高一統考期末）（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·重慶·高一西南大學附中校考期末）（ ）
A． B． C． D．2
【變式4-2】（2024·全國·高一隨堂練習）若，則的值為（ ）．
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·天津紅橋·高一統考期末） ．
【方法技巧與總結】
在利用公式解含有非特殊角的三角函數式的求值問題時，要先把非特殊角轉化為特殊角的差（或同一個非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡求值，在轉化過程中，充分利用誘導公式，構造出兩角差的余弦公式的結構形式，正確地順用公式或逆用公式求值．
題型五：給值求值
【例5】（2024·河北邯鄲·高一校考期末）若，則＝ ．
【變式5-1】（2024·內蒙古·高一校聯考期末）若，則 .
【變式5-2】（2024·上海·高一假期作業）求值：已知為銳角，且, ，則的值為 ，的值為 .
【變式5-3】（2024·新疆烏魯木齊·高一新疆實驗校考期末）已知，是方程的兩根，則 .
【變式5-4】（2024·浙江嘉興·高一海寧市高級中學校考階段練習）已知，，，，則 ．
【變式5-5】（2024·全國·高一專題練習）已知，，，，則 .
【方法技巧與總結】
給值求值的解題策略
（1）已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，適當地拆角與湊角．
（2）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：
①；②；③；④．
題型六：給值求角
【例6】（2024·全國·高一課堂例題）已知，，且和均為鈍角，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
【變式6-1】（2024·河北保定·高一定州市第二中學校考開學考試）已知，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·全國·高一專題練習）已知，，且，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2024·陜西西安·高一西安中學校考期末）若，則角的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】（2024·江蘇南京·高一金陵中學校考期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
解決三角函數給值求角問題的方法步驟
（1）給值求角問題的步驟．
①求所求角的某個三角函數值．
②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解），根據范圍找出角．
（2）選取函數的原則．
①已知正切函數值，選正切函數．
②已知正余弦函數值，選正弦或余弦函數，若角的范圍是，選正弦或余弦函數均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．
題型七：兩角和與差的正切公式的綜合應用
【例7】（2024·江蘇徐州·高一統考期末）計算： ．
【變式7-1】（2024·安徽滁州·高一安徽省滁州中學校考階段練習）在△ABC中，若，則 ．
【變式7-2】（2024·高一課時練習）可以驗證；
不論取何值，；
請推廣到一般的結論： ．
【變式7-3】（2024·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區第一中學校考期末）化簡： ．
【變式7-4】（2024·高一課時練習）觀察下列幾個三角恒等式：
①；
②；
③；
④；
一般地，若、、都有意義，你從這四個恒等式中猜想得到的一個結論為 .
【方法技巧與總結】
當化簡的式子中出現“”與“”形式時，要把它們看成兩個整體，這兩個整體一是與兩角和與差的正切公式有關，通過公式能相互轉換，二是這兩個整體還與根與系數的關系相似，在應用時要注意隱含的條件，能縮小角的范圍．
一、單選題
1．（2024·廣東·高一校聯考期末）（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（2024·廣東廣州·高一統考期末）已知點在角的終邊上，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
3．（2024·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學校考期末）（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京豐臺·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．1
5．（2024·全國·高一專題練習）的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全國·高一期末）已知,,則= (　　)
A． B． C． D．
7．（2024·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）已知，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全國·高一專題練習）已知，，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·貴州黔西·高一校考階段練習）下列化簡結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·高一課時練習）（多選）下列四個選項，化簡正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·遼寧朝陽·高一朝陽市第一高級中學校考期末）下列四個式子中，計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·江蘇南京·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
13．（2024·上海·高一假期作業）已知角 角的頂點均為坐標原點，始邊均與軸的非負半軸重合，角的終邊在第四象限，角的終邊繞原點順時針旋轉后與重合，，則
14．（2024·上海·高一上海市建平中學校考期末）已知為銳角，，則 .
15．（2024·上海·高一假期作業）已知，，，則 .
16．（2024·廣東廣州·高一廣東實驗中學校考期末）已知，則 ．
四、解答題
17．（2024·廣東清遠·高一統考期末）已知為銳角，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
18．（2024·重慶·高一重慶八中校考期末）已知
(1)化簡；
(2)若，，且，，求.
19．（2024·福建三明·高一三明一中校考階段練習）已知，，，.
(1)求；
(2)求角.
20．（2024·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學校考期末）求下列各式的值.
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值.
21．（2024·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學校考期末）已知函數的最小正周期為，且．
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)設，，，求的值．

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