資源簡介

10.2 二倍角的三角函數
課程標準 學習目標
（1）會用兩角和(差)的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）能熟練運用二倍角的公式進行簡單的三角恒等變換并能靈活地將公式變形運用．
知識點01 二倍角公式的逆用及變形
1、公式的逆用
；．
．
．
2、公式的變形
；
降冪公式：
升冪公式：
【即學即練1】（2024·全國·高一專題練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故選：B
知識點02 升（降）冪縮（擴）角公式
升冪公式：，
降冪公式：，
知識點詮釋：
利用二倍角公式的等價變形：，進行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．
【即學即練2】（2024·全國·高一專題練習）證明：．
【解析】.
知識點03 輔助角公式
1、形如的三角函數式的變形：
令，，則
（其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．）
2、輔助角公式在解題中的應用
通過應用公式（或），將形如（不同時為零）收縮為一個三角函數（或）．這種恒等變形實質上是將同角的正弦和余弦函數值與其他常數積的和變形為一個三角函數，這樣做有利于函數式的化簡、求值等．
【即學即練3】（2024·上海·高一假期作業）把下列各式化為的形式：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）.
題型一：二倍角公式的簡單應用
【例1】（2024·新疆巴音郭楞·高一新疆兵團第二師華山中學校考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意結合二倍角公式可得，故B正確.
故選：B
【變式1-1】（2024·云南·高一統考期末）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，所以.
故選：B
【變式1-2】（2024·新疆烏魯木齊·高一新疆實驗校考期末）已知，，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】，即，
因為，所以，
故，即，
則.
故選：D
【變式1-3】（2024·四川雅安·高一校考期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，由，得，
整理得，則有，
所以.
故選：C
【方法技巧與總結】
應用二倍角公式化簡（求值）的策略：化簡求值關注四個方向：分別從“角”“函數名”“冪”“形”著手分析，消除差異．
題型二：給角求值
【例2】（2024·全國·高一假期作業） ．
【答案】
【解析】原式，
故答案為：.
【變式2-1】（2024·全國·高一專題練習）的值是 .
【答案】
【解析】，
所以的值是.
故答案為：
【變式2-2】（2024·四川南充·高一四川省南充高級中學校考期末）______.
【答案】1
【解析】
故答案為：1
【變式2-3】（2024·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習） .
【答案】
【解析】
.
故答案為：.
【變式2-4】（2024·河南鄭州·高一鄭州外國語中學校考期末） .
【答案】
【解析】由題意得
．
故答案為．
【方法技巧與總結】
對于給角求值問題，一般有兩類
(1)直接正用、逆用二倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化，一般可以化為特殊角．
(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式．
題型三：給值求角
【例3】（2024·全國·高一專題練習）已知，均為銳角，，，則 ， .
【答案】
【解析】因為，
所以，
又因，均為銳角，所以，則，
所以，所以，，
又因，所以，
則，
所以.
故答案為：；.
【變式3-1】（2024·高一課時練習）設，均為鈍角，且，，則的值為 .
【答案】
【解析】∵ ， ，且，，，
∴.
∵ ，∴ ；
故答案為：.
【變式3-2】（2024·福建泉州·高一福建省德化第一中學校考階段練習）已知是方程的兩個根，且，則的值是 ．
【答案】
【解析】因為是方程的兩個根，
所以，
所以
又因，所以，所以，
則，
所以.
故答案為：.
【變式3-3】（2024·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）若，且，，則 .
【答案】
【解析】因為，所以，
，所以，所以，
所以，，
所以，
因為，，則，
，，所以
所以
，
所以.
故答案為：.
【變式3-4】（2024·高一課時練習）已知，，，則 ．
【答案】/
【解析】依題意，，，
所以，
所以，
所以
，
由于，所以.
故答案為：
【方法技巧與總結】
解決三角函數給值求角問題的方法步驟
（1）給值求角問題的步驟．
①求所求角的某個三角函數值．
②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解），根據范圍找出角．
（2）選取函數的原則．
①已知正切函數值，選正切函數．
②已知正余弦函數值，選正弦或余弦函數，若角的范圍是，選正弦或余弦函數均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．
題型四：給值求值
【例4】（2024·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期末）已知函數．
(1)求的值；
(2)設，求的值．
【解析】（1）函數.
（2）．
．
．
．
【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校校考階段練習）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）∵，∴，
又，，
∴，
∴
.
（2）∵，，
∴，，，
∴，
∴
.
【變式4-2】（2024·重慶北碚·高一西南大學附中校考期末）已知，，
(1)求的值；
(2)若，，求的值；
(3)若，求的值．
【解析】（1），故，
，
所以；
（2），，，故，
故，
又，，，
；
（3）
，
，
故，
，
，故，，，
，
.
【變式4-3】（2024·山東泰安·高一新泰市第一中學校考階段練習）已知，．
(1)求的值．
(2)求的值．
【解析】（1）∵，∴，
又∵，∴，∴
∴，
∴
.
∴.
（2）由第（1）問，，，∴
所以，.
所以.
【變式4-4】（2024·全國·高一專題練習）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）因為，，則，
所以.
（2）由（1）可知：，，
可得，，
且，
所以.
【方法技巧與總結】
(1)條件求值問題常有兩種解題途徑
①對題設條件變形，把條件中的角、函數名向結論中的角、函數名靠攏；
②對結論變形，將結論中的角、函數名向題設條件中的角、函數名靠攏，以便將題設條件代入結論．
(2)一個重要結論：.
題型五：利用倍角公式化簡及證明
【例5】（2024·高一課時練習）證明：.
【解析】.
【變式5-1】（2024·四川眉山·高一校考期末）化簡求值：
(1)；
(2)化簡證明：
【解析】（1）因為，
所以，
所以.
（2）證明：因為
，
所以
【變式5-2】（2024·上海靜安·高一校考期末）已知下列是兩個等式：
①；
②；
(1)請寫出一個更具一般性的關于三角的等式，使上述兩個等式是它的特例；
(2)請證明你的結論；
【解析】（1）由題意可得出具一般性的關于三角的等式為：；
（2）證明：因為，，
故
，
即.
【變式5-3】（2024·高一課時練習）證明下列等式：
(1)；
(2).
【解析】（1）
（2）
【方法技巧與總結】
三角函數式化簡、證明的常用技巧
(1)特殊角的三角函數與特殊值的互化．
(2)對于分式形式，應分別對分子、分母進行變形處理，有公因式的提取公因式后進行約分．
(3)對于二次根式，注意二倍角公式的逆用．
(4)利用角與角之間的隱含關系，如互余、互補等．
(5)利用“1”的恒等變形，如，等．
題型六：輔助角公式的應用
【例6】（2024·全國·高一專題練習）已知，則 ．
【答案】/0.875
【解析】由，得，
即，令，則，
，
所以
故答案為：.
【變式6-1】（2024·全國·高一專題練習）函數在上的最大值是 ．
【答案】
【解析】；
當時，，
當，即時，，則取得最大值.
故答案為：.
【變式6-2】（2024·全國·高一專題練習）函數y＝sin x＋cos x－sin xcos x的值域為 ．
【答案】[－，1]
【解析】，
令，則，，
因為函數在上單調遞增，上單調遞減，
所以當時取得最大值，，
當時取得最小值，，
所以函數的值域為.
故答案為：.
【變式6-3】（2024·廣東珠海·高一統考期末）函數的最大值為 .
【答案】
【解析】由
，其中，
當時，即，
函數取得最大值.
故答案為：.
【變式6-4】（2024·高一課時練習）關于點對稱，則a的值為 .
【答案】
【解析】由題設()的對稱中心為，
則，即，所以.
故答案為：
【變式6-5】（2024·高一課時練習）若方程有解，則m的取值范圍是 .
【答案】
【解析】
故，
∵，
∴，
解得.
故答案為：
【變式6-6】（2024·廣東湛江·高一統考期末）已知，的最大值為 ，若時，取到最大值，則 .
【答案】
【解析】，
其中，
則當時，有最大值；
當時，取到最大值，則，.
故答案為：；.
【方法技巧與總結】
輔助角公式的應用策略
（1）進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用．
（2）把形如化為，可進一步研究函數的周期、單調性．
題型七：三角函數的實際應用
【例7】（2024·河北滄州·高一泊頭市第一中學校考階段練習）如圖所示，某小區中心有一塊圓心角為，半徑為的扇形空地，現計劃將該區域設計成親子室外游樂區域，根據設計要求，需要鋪設一塊平行四邊形的塑膠地面EFPQ（其中點E，F在邊OA上，點在邊OB上，點在AB上），其他區域地面鋪設綠地，設.
(1)表示綠地的面積；
(2)若鋪設綠地每平方米100元，要使得鋪設綠地的出用最低，應取何值，并求出此時的值．
【解析】（1）
如圖，分別過P，Q作于點，于點，則四邊形MNPQ為矩形．
因為，則，，
，
由于，所以，
則，
設四邊形EFPQ的面積為，
所以，
所以，．
（2）要使鋪設綠地的費用最低，即綠地面積最小，所以只需求出綠地面積的最小值，
因為，則，所以，則，
因此，即，此時，即，
，
所以當時，取得最小值元．
【變式7-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高一統考期末）如圖，在扇形中，半徑，圓心角.是扇形圓弧上的動點，矩形內接于扇形，記.
(1)將矩形的面積表示成關于的函數的形式；
(2)求的最大值，及此時的角.
【解析】（1）在中，，，
，，
，
，
（）；
（2），
，
，
因為，
，
當，即時，
取得最大值.
【變式7-2】（2024·山東聊城·高一山東聊城一中校考期末）在校園美化 改造活動中，要在半徑為，圓心角為的扇形空地的內部修建一矩形觀賽場地，如圖所示.取的中點，記.
(1)寫出矩形的面積與角的函數關系式；
(2)求當角為何值時，矩形的面積最大？并求出最大面積.
【解析】（1）由題可知，
在中，，
，
在中，，
（2）
當，即時，
故當時，矩形的面積最大，最大值為
【變式7-3】（2024·上海閔行·高一校考期末）某地為慶祝中華人民共和國成立七十周年，在一個半徑為米、圓心角為60°的扇形草坪上，由數千人的表演團隊手持光影屏組成紅旗圖案，已知紅旗圖案為矩形，其四個頂點中有兩個頂點、在線段上，另兩個頂點、分別在弧、線段上.

(1)若，求此紅旗圖案的面積；（精確到）
(2)求組成的紅旗圖案的最大面積.（精確到）
【解析】（1）由題意，則，，，
，
；
（2）設，則，，
，
，
，
故當時，即時，取得最大值．
【方法技巧與總結】
三角函數與平面幾何有著密切聯系，幾何中的角度、長度、面積等問題，常借助三角變換來解決；實際問題的意義常反映在三角形的邊、角關系上，故常用建立三角函數模型解決實際的優化問題．
題型八：三角恒等變換與三角函數圖象性質的綜合
【例8】（2024·貴州黔西·高一統考期末）已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)若將函數的圖象上各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，得到函數，當時，求的解集.
【解析】（1）由題意可得：，
所以函數的最小正周期.
（2）將函數的圖象上各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，得到函數，
因為，則，
若，即，可得，解得，
所以的解集為.
【變式8-1】（2024·天津和平·高一統考期末）已知函數，
(1)求函數的最小正周期和對稱軸方程；
(2)求函數的單調遞減區間；
(3)若函數在上最大值與最小值的和為，求實數的值.
【解析】（1）函數
，
函數的最小正周期為：，
令，，解得，，
則對稱軸方程為，.
（2）令，，
解得：，，
函數的單調遞減區間為：，；
（3）當時， ，
令或，解得：或，
此時函數取得最小值為：，
令，解得：，
此時函數取得最大值為：，
又的最大值與最小值的和為，所以有：
，解之得：.
【變式8-2】（2024·河南鄭州·高一統考期末）設函數．
(1)求函數的最小正周期及其圖象的對稱軸；
(2)將函數的圖象先向右平移個單位，再向上平移1個單位得到函數的圖象，求函數在上的值域．
【解析】（1）由題可得：
，
所以的最小正周期為：．
由得：，
所以該函數圖象的對稱軸方程為：
（2）由題可得
．
因為，所以，
得：，
所以的值域為.
【變式8-3】（2024·北京朝陽·高一統考期末）設函數，且．
(1)求的值；
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值及的零點．
條件①：是奇函數；
條件②：圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是；
條件③：在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】（1）
，
又，所以.
（2）由（1）知，，
選擇①：因為是奇函數，
所以與已知矛盾，所以不存在.
選擇②：因為圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是，
所以，，，
則，
令，
解得.
即零點為.
選擇③：
對于，，
令，，
解得，，
即增區間為，
減區間為，
因為在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以時符合，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
所以且，
解得，則，
所以令，
解得，
即零點為.
【變式8-4】（2024·湖南張家界·高一慈利縣第一中學期末）設函數，其中，已知．
(1)求的值；
(2)將函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求在上的最值并寫出取最值時的值.
【解析】（1）
，
，，，
由于，所以.
（2）由（1）得，
函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），
得到，再將得到的圖象向左平移個單位，
得到，
若，則，
所以當時，取得最大值為；
當時，取得最小值為.
所以時取得最大值為；時取得最小值為.
【方法技巧與總結】
應用公式解決三角函數綜合問題的三個步驟：（1）運用和、差、倍角公式化簡；（2）統一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質．
一、單選題
1．（2024·廣東清遠·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．-2
【答案】B
【解析】解法一：.
解法二：.
故選：B.
2．（2024·全國·高一隨堂練習）已知向量，，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，，
所以，得，
所以.
故選：A.
3．（2024·全國·高一專題練習）化簡的結果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】原式化簡為
.
故選：D.
4．（2024·全國·高一專題練習）在銳角中，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在銳角中，由，可得，于是，
解得，所以，則．
故選：A.
5．（2024·河北邯鄲·高一校考期末）若，則等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】因為，則，
所以．
故選：D．
6．（2024·上海·高一假期作業）將cos 2x－sin2y化為積的形式，結果是（　　）
A．－sin（x＋y）sin（x－y） B．cos（x＋y）cos（x－y）
C．sin（x＋y）cos（x－y） D．－cos（x＋y）sin（x－y）
【答案】B
【解析】cos2x－sin2y＝＝cos（x＋y）cos（x－y）.
故選：B.
7．（2024·重慶·高一校聯考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故選：C
8．（2024·全國·高一假期作業）已知是三角形的一個內角，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，兩邊平方得，
即，可得，
因為是三角形的一個內角，且，所以，
所以，得，
又因為，，
聯立解得：，，故有：，
從而有．
故選：B．
二、多選題
9．（2024·河南焦作·高一校考階段練習）下列式子中，運算結果為1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】對A，，A正確；
對B，，B錯誤；
對C，，C錯誤；
對D，，D正確．
故選：AD.
10．（2024·全國·高一專題練習）已知函數的圖象為C，以下說法中正確的是（ ）
A．函數的最大值為
B．圖象C關于中心對稱
C．函數在區間內是增函數
D．函數圖象上，橫坐標伸長到原來的2倍，向左平移可得到
【答案】CD
【解析】.
A：函數的最大值為，因此本選項不正確；
B：因為，所以圖象C不關于中心對稱，因此本選項不正確；
C：當時，，所以函數在區間內是增函數，因此本選項正確；
D：函數圖象上，橫坐標伸長到原來的2倍，得到，再向左平移可得到，所以本選項正確，
故選：CD
11．（2024·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】對于選項A，由兩邊平方得：，故得，即A項正確；
對于選項B，由，可得：故，
由可得：，故B項錯誤；
對于選項C，，故C項錯誤；
對于選項D，由可解得：故得：.故D項正確.
故選：AD.
12．（2024·云南昆明·高一云南師大附中校考階段練習）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的單調遞增區間為
C．的圖象關于點對稱
D．要得到的圖象，只需把的圖象向左平移個單位
【答案】AB
【解析】
，
對于A，的最小正周期為，故A正確；
對于B，令，解得，
的單調遞增區間為，故B正確；
對于C，當時，，
的圖象不關于點對稱，故C錯誤；
對于D，的圖象向左平移個單位后，
解析式為，故D錯誤.
故選:AB.
三、填空題
13．（2024·全國·高一專題練習）已知，，則 .
【答案】0
【解析】易知，
因為，
若，顯然，上式恒成立，
若，則，
所以，無解，
綜上可知.
故答案為：0
14．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考階段練習）已知，則 ．
【答案】/
【解析】已知，則，
得.
故答案為：
15．（2024·廣東廣州·高一廣東實驗中學校考期末）函數在區間上的值域是 ．
【答案】
【解析】令，
因為，，所以，
，
設，
顯然一元二次函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，
所以函數的值域為.
故答案為：.
16．（2024·天津河北·高一統考期末）已知函數，將化成的形式為 ；函數在區間上的最小值是 ．
【答案】
【解析】
.
當時，，
所以當或，
即或時，取得最小值為.
故答案為：；
四、解答題
17．（2024·全國·高一專題練習）已知
(1)化簡；
(2)若且求的值；
(3)求滿足的的取值集合.
【解析】（1）由誘導公式可得；
（2）由（1）得，則，
由，則，即，
故；
（3）由題意得，則，
，即，
所以的取值集合為.
18．（2024·上海·高一上海市育才中學校考期末）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值.
【解析】（1）因為且，所以，則，
又由.
（2）由，
可得，
又由.
19．（2024·云南昆明·高一期末）已知為銳角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）∵為銳角，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵為銳角，，，
∴，又∵，
∴，
由和得
，，
又∵，，
∴，，
∴
.
20．（2024·重慶黔江·高一重慶市黔江中學校校考階段練習）已知函數.
(1)若且，求的值
(2)令，求的值域
【解析】（1）由
因為，則，
則即，
則，則，
則
（2）
因為定義域為，則的值域為
21．（2024·廣東·高一校聯考期末）已知，其中.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）因為，所以，
，
，
.
（2），
.
22．（2024·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考階段練習）如圖，在直角坐標系中，作射線，分別交單位圓于點，，且在第一象限，在第二象限，且．記．
(1)若，求；
(2)分別過，作軸的垂線，垂足依次為，，求梯形面積的取值范圍．
【解析】（1）設銳角的頂點是原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊為射線，
則，點在第一象限，所以，
又因為，
所以.
（2）由（1）知，
，，
即，，，，
，
因為在第一象限，在第二象限，，所以角，
，
，
，，
即.10.2 二倍角的三角函數
課程標準 學習目標
（1）會用兩角和(差)的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）能熟練運用二倍角的公式進行簡單的三角恒等變換并能靈活地將公式變形運用．
知識點01 二倍角公式的逆用及變形
1、公式的逆用
；．
．
．
2、公式的變形
；
降冪公式：
升冪公式：
【即學即練1】（2024·全國·高一專題練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
知識點02 升（降）冪縮（擴）角公式
升冪公式：，
降冪公式：，
知識點詮釋：
利用二倍角公式的等價變形：，進行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．
【即學即練2】（2024·全國·高一專題練習）證明：．
知識點03 輔助角公式
1、形如的三角函數式的變形：
令，，則
（其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．）
2、輔助角公式在解題中的應用
通過應用公式（或），將形如（不同時為零）收縮為一個三角函數（或）．這種恒等變形實質上是將同角的正弦和余弦函數值與其他常數積的和變形為一個三角函數，這樣做有利于函數式的化簡、求值等．
【即學即練3】（2024·上海·高一假期作業）把下列各式化為的形式：
(1)；
(2)；
(3).
題型一：二倍角公式的簡單應用
【例1】（2024·新疆巴音郭楞·高一新疆兵團第二師華山中學校考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·云南·高一統考期末）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·新疆烏魯木齊·高一新疆實驗校考期末）已知，，則（ ）
A． B． C．1 D．
【變式1-3】（2024·四川雅安·高一校考期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
應用二倍角公式化簡（求值）的策略：化簡求值關注四個方向：分別從“角”“函數名”“冪”“形”著手分析，消除差異．
題型二：給角求值
【例2】（2024·全國·高一假期作業） ．
【變式2-1】（2024·全國·高一專題練習）的值是 .
【變式2-2】（2024·四川南充·高一四川省南充高級中學校考期末）______.
【變式2-3】（2024·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習） .
【變式2-4】（2024·河南鄭州·高一鄭州外國語中學校考期末） .
【方法技巧與總結】
對于給角求值問題，一般有兩類
(1)直接正用、逆用二倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化，一般可以化為特殊角．
(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式．
題型三：給值求角
【例3】（2024·全國·高一專題練習）已知，均為銳角，，，則 ， .
【變式3-1】（2024·高一課時練習）設，均為鈍角，且，，則的值為 .
【變式3-2】（2024·福建泉州·高一福建省德化第一中學校考階段練習）已知是方程的兩個根，且，則的值是 ．
【變式3-3】（2024·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）若，且，，則 .
【變式3-4】（2024·高一課時練習）已知，，，則 ．
【方法技巧與總結】
解決三角函數給值求角問題的方法步驟
（1）給值求角問題的步驟．
①求所求角的某個三角函數值．
②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解），根據范圍找出角．
（2）選取函數的原則．
①已知正切函數值，選正切函數．
②已知正余弦函數值，選正弦或余弦函數，若角的范圍是，選正弦或余弦函數均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．
題型四：給值求值
【例4】（2024·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期末）已知函數．
(1)求的值；
(2)設，求的值．
【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校校考階段練習）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【變式4-2】（2024·重慶北碚·高一西南大學附中校考期末）已知，，
(1)求的值；
(2)若，，求的值；
(3)若，求的值．
【變式4-3】（2024·山東泰安·高一新泰市第一中學校考階段練習）已知，．
(1)求的值．
(2)求的值．
【變式4-4】（2024·全國·高一專題練習）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【方法技巧與總結】
(1)條件求值問題常有兩種解題途徑
①對題設條件變形，把條件中的角、函數名向結論中的角、函數名靠攏；
②對結論變形，將結論中的角、函數名向題設條件中的角、函數名靠攏，以便將題設條件代入結論．
(2)一個重要結論：.
題型五：利用倍角公式化簡及證明
【例5】（2024·高一課時練習）證明：.
【變式5-1】（2024·四川眉山·高一校考期末）化簡求值：
(1)；
(2)化簡證明：
【變式5-2】（2024·上海靜安·高一校考期末）已知下列是兩個等式：
①；
②；
(1)請寫出一個更具一般性的關于三角的等式，使上述兩個等式是它的特例；
(2)請證明你的結論；
【變式5-3】（2024·高一課時練習）證明下列等式：
(1)；
(2).
【方法技巧與總結】
三角函數式化簡、證明的常用技巧
(1)特殊角的三角函數與特殊值的互化．
(2)對于分式形式，應分別對分子、分母進行變形處理，有公因式的提取公因式后進行約分．
(3)對于二次根式，注意二倍角公式的逆用．
(4)利用角與角之間的隱含關系，如互余、互補等．
(5)利用“1”的恒等變形，如，等．
題型六：輔助角公式的應用
【例6】（2024·全國·高一專題練習）已知，則 ．
【變式6-1】（2024·全國·高一專題練習）函數在上的最大值是 ．
【變式6-2】（2024·全國·高一專題練習）函數y＝sin x＋cos x－sin xcos x的值域為 ．
【變式6-3】（2024·廣東珠海·高一統考期末）函數的最大值為 .
【變式6-4】（2024·高一課時練習）關于點對稱，則a的值為 .
【變式6-5】（2024·高一課時練習）若方程有解，則m的取值范圍是 .
【變式6-6】（2024·廣東湛江·高一統考期末）已知，的最大值為 ，若時，取到最大值，則 .
【方法技巧與總結】
輔助角公式的應用策略
（1）進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用．
（2）把形如化為，可進一步研究函數的周期、單調性．
題型七：三角函數的實際應用
【例7】（2024·河北滄州·高一泊頭市第一中學校考階段練習）如圖所示，某小區中心有一塊圓心角為，半徑為的扇形空地，現計劃將該區域設計成親子室外游樂區域，根據設計要求，需要鋪設一塊平行四邊形的塑膠地面EFPQ（其中點E，F在邊OA上，點在邊OB上，點在AB上），其他區域地面鋪設綠地，設.
(1)表示綠地的面積；
(2)若鋪設綠地每平方米100元，要使得鋪設綠地的出用最低，應取何值，并求出此時的值．
【變式7-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高一統考期末）如圖，在扇形中，半徑，圓心角.是扇形圓弧上的動點，矩形內接于扇形，記.
(1)將矩形的面積表示成關于的函數的形式；
(2)求的最大值，及此時的角.
【變式7-2】（2024·山東聊城·高一山東聊城一中校考期末）在校園美化 改造活動中，要在半徑為，圓心角為的扇形空地的內部修建一矩形觀賽場地，如圖所示.取的中點，記.
(1)寫出矩形的面積與角的函數關系式；
(2)求當角為何值時，矩形的面積最大？并求出最大面積.
【變式7-3】（2024·上海閔行·高一校考期末）某地為慶祝中華人民共和國成立七十周年，在一個半徑為米、圓心角為60°的扇形草坪上，由數千人的表演團隊手持光影屏組成紅旗圖案，已知紅旗圖案為矩形，其四個頂點中有兩個頂點、在線段上，另兩個頂點、分別在弧、線段上.

(1)若，求此紅旗圖案的面積；（精確到）
(2)求組成的紅旗圖案的最大面積.（精確到）
【方法技巧與總結】
三角函數與平面幾何有著密切聯系，幾何中的角度、長度、面積等問題，常借助三角變換來解決；實際問題的意義常反映在三角形的邊、角關系上，故常用建立三角函數模型解決實際的優化問題．
題型八：三角恒等變換與三角函數圖象性質的綜合
【例8】（2024·貴州黔西·高一統考期末）已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)若將函數的圖象上各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，得到函數，當時，求的解集.
【變式8-1】（2024·天津和平·高一統考期末）已知函數，
(1)求函數的最小正周期和對稱軸方程；
(2)求函數的單調遞減區間；
(3)若函數在上最大值與最小值的和為，求實數的值.
【變式8-2】（2024·河南鄭州·高一統考期末）設函數．
(1)求函數的最小正周期及其圖象的對稱軸；
(2)將函數的圖象先向右平移個單位，再向上平移1個單位得到函數的圖象，求函數在上的值域．
【變式8-3】（2024·北京朝陽·高一統考期末）設函數，且．
(1)求的值；
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值及的零點．
條件①：是奇函數；
條件②：圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是；
條件③：在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【變式8-4】（2024·湖南張家界·高一慈利縣第一中學期末）設函數，其中，已知．
(1)求的值；
(2)將函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求在上的最值并寫出取最值時的值.
【方法技巧與總結】
應用公式解決三角函數綜合問題的三個步驟：（1）運用和、差、倍角公式化簡；（2）統一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質．
一、單選題
1．（2024·廣東清遠·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．-2
2．（2024·全國·高一隨堂練習）已知向量，，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高一專題練習）化簡的結果是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國·高一專題練習）在銳角中，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北邯鄲·高一校考期末）若，則等于（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2024·上海·高一假期作業）將cos 2x－sin2y化為積的形式，結果是（　　）
A．－sin（x＋y）sin（x－y） B．cos（x＋y）cos（x－y）
C．sin（x＋y）cos（x－y） D．－cos（x＋y）sin（x－y）
7．（2024·重慶·高一校聯考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全國·高一假期作業）已知是三角形的一個內角，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·河南焦作·高一校考階段練習）下列式子中，運算結果為1的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·全國·高一專題練習）已知函數的圖象為C，以下說法中正確的是（ ）
A．函數的最大值為
B．圖象C關于中心對稱
C．函數在區間內是增函數
D．函數圖象上，橫坐標伸長到原來的2倍，向左平移可得到
11．（2024·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·云南昆明·高一云南師大附中校考階段練習）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的單調遞增區間為
C．的圖象關于點對稱
D．要得到的圖象，只需把的圖象向左平移個單位
三、填空題
13．（2024·全國·高一專題練習）已知，，則 .
14．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中校考階段練習）已知，則 ．
15．（2024·廣東廣州·高一廣東實驗中學校考期末）函數在區間上的值域是 ．
16．（2024·天津河北·高一統考期末）已知函數，將化成的形式為 ；函數在區間上的最小值是 ．
四、解答題
17．（2024·全國·高一專題練習）已知
(1)化簡；
(2)若且求的值；
(3)求滿足的的取值集合.
18．（2024·上海·高一上海市育才中學校考期末）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值.
19．（2024·云南昆明·高一期末）已知為銳角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．（2024·重慶黔江·高一重慶市黔江中學校校考階段練習）已知函數.
(1)若且，求的值
(2)令，求的值域
21．（2024·廣東·高一校聯考期末）已知，其中.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
22．（2024·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考階段練習）如圖，在直角坐標系中，作射線，分別交單位圓于點，，且在第一象限，在第二象限，且．記．
(1)若，求；
(2)分別過，作軸的垂線，垂足依次為，，求梯形面積的取值范圍．

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