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重難點(diǎn)專題04 妙用等和線解決平面向量系數(shù)和、差、商問題
【題型歸納目錄】
題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）
題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）
題型三：?jiǎn)栴}
題型四：?jiǎn)栴}
題型五：?jiǎn)栴}
題型六：?jiǎn)栴}
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
（1）平面向量共線定理
已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然。
（2）等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；
②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；
③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；
④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；
⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；
【典型例題】
題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）
【例1】在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，從而有；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋ǎ?br/>所以，即，
因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，即.
綜上，的取值范圍是.
故選：C.
【變式1-1】（2024·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，為邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，若，則的值為　　
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】設(shè)，將用、表示出來，即可找到和的關(guān)系，從而求出的值．設(shè)，，
所以
，
又，
所以．
故選：．
【變式1-2】（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，，且，
而，
所以，
即，
由已知，則，選項(xiàng)D正確.
故選：D
題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）
【例2】（2024·山東濰坊·高一統(tǒng)考期中）已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點(diǎn)M在內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重合時(shí)，最小；當(dāng)M與C重合時(shí)，的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即可．因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn)，且
所以O(shè)為的重心
在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，最小，此時(shí)
所以，即
當(dāng)M與C重合時(shí)，最大，此時(shí)
所以，即
因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界
所以取開區(qū)間，即
所以選B
【變式2-1】（2024·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，
設(shè)，則，
∵BC//EF，∴設(shè)，則
∴，
∴
∴
故選：A.
【變式2-2】（2024·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）在扇形中，，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
令，則，
因?yàn)椋瑒t，,，
又，
則，
則，
則，
又，
易知為減函數(shù)，
由單調(diào)性易得其值域?yàn)?
故選：B.
題型三：?jiǎn)栴}
【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如圖,，點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng),且.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，，
點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，
且.，
由向量加法的平行四邊形法則，
為平行四邊形的對(duì)角線，
該四邊形應(yīng)是以與的反向延長(zhǎng)線為兩鄰邊，
當(dāng)時(shí)，要使點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)應(yīng)落在上，
，
的取值范圍為.
故選：B
【變式3-1】（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)P在由線段AB，AC的延長(zhǎng)線及線段BC圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），則下列說法中正確的是 ．（填寫所有正確說法的序號(hào)）
①存在點(diǎn)P，使得；
②存在點(diǎn)P，使得；
③存在點(diǎn)P，使得；
④存在點(diǎn)P，使得．
【答案】①④
【解析】設(shè)，由圖可知：
且，
∴①④正確，
故答案為：①④
【變式3-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知△ABC中，，若點(diǎn)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 .
【答案】
【解析】如圖所示，在線段BD上取一點(diǎn)G，使得，
設(shè)DC=3a，則DG=a，BC=5a，BG=a；
過點(diǎn)G作GH∥DE，分別交DF AE于K H，
連接FH，則點(diǎn)K H為臨界點(diǎn)；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，
，
所以FH∥BC；
所以FHBC，
所以，
所以KGHK，
KGHGDE.
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是().
故答案為：().
題型四：?jiǎn)栴}
【例4】（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，若的最小值為，則正數(shù)的值為
【答案】
【解析】
因?yàn)辄c(diǎn)是的三等分點(diǎn)，則
，
又由點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，
所以 ，可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即的最小值為，則有，
即，所以，因?yàn)椋?br/>所以，
故答案為：.
【變式4-1】（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，其中且，若的最小值為 .
【答案】
【解析】依題意，作出圖形如下，
因?yàn)椋瑒t，
所以 ，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：.
【變式4-2】（2024·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為( )
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】，
∵E、O、F三點(diǎn)共線，∴，
∵m>0，n>0，t>0，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴．
故選：B．
題型五：?jiǎn)栴}
【例5】（2024·山西·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段(不含端點(diǎn)，)上移動(dòng)，若，則 .
【答案】3
【解析】如圖，由題意得存在實(shí)數(shù)，使得.
又，
所以，
又∵，且不共線，
故由平面向量的分解的唯一性得
所以.
故答案為：3.
【變式5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期末）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，
△ABC中，，
∴（），
又點(diǎn)E在線段AD（不含端點(diǎn)）上移動(dòng)，
設(shè)k，0＜k＜1，
∴，
又，
∴，
∴．
∵在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴λ的取值范圍為（，+∞），
故選C．
【變式5-2】（2024·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則 ，的最小值為 .
【答案】 2
【解析】因?yàn)樵谥校?br/>所以,
即.
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），所以設(shè).
所以，對(duì)比可得.
代入，得；
代入可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)時(shí)，.
故答案為：
題型六：?jiǎn)栴}
【例6】（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則 的 取值范圍為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上，設(shè)，又，
所以，
所以 ，，故的取值范圍.
【變式6-1】（2024·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，點(diǎn)D滿足BD＝BC，當(dāng)E點(diǎn)在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，
存在實(shí)數(shù)使得 ，，
所以，
所以 ，
原式 ，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
故選：C
【變式6-2】（2024·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，則，
于是得，而，且與不共線，
則，即有，因此，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)M為BC中點(diǎn)，
所以的最小值為.
故選：C
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由題可設(shè)，
則，
N為AM中點(diǎn)，,
又，，.
故選：A.
2．（2024·四川成都·高三階段練習(xí)）在中，為邊上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則的值為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
考點(diǎn)：平面向量.
3．（2024·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）如圖，在中，為線段上異于，的任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，不共線，點(diǎn)D在BC上，則，
存在唯一實(shí)數(shù)t使，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，而，
所以，所以.
故選：B
4．（2024·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)P在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根據(jù)向量加法的幾何意義可知，
當(dāng)時(shí)，由可知，點(diǎn)應(yīng)落在區(qū)域1，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可知，點(diǎn)應(yīng)落在區(qū)域2，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可知，點(diǎn)應(yīng)落在區(qū)域3，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由可知，點(diǎn)應(yīng)落在區(qū)域4，符合題意.
又當(dāng)時(shí)，根據(jù)向量加法的幾何意義可知，此時(shí)點(diǎn)應(yīng)落在陰影區(qū)域之外，所以.
故選：D.
二、填空題
5．（2024·福建三明·高二三明一中校考開學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則根據(jù)題意可知，，，設(shè)，．
由，得，，
，
點(diǎn)在弧上由運(yùn)動(dòng)，在，上逐漸變大，變小，逐漸變大，
當(dāng)時(shí)取得最大值4，當(dāng)時(shí)取得最小值．
的取值范圍是，．
故答案為：．
6．（2024·江西上饒·統(tǒng)考三模）在扇形中，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意可知，在扇形中，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
不妨設(shè)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
令，則，，,，
又，
則，則，
則，
又，
則，
則，
即，
故答案為：.
7．（2024·江西南昌·統(tǒng)考二模）如圖,在扇形OAB中,,C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】如圖，過C分別作OB,OA的平行線，交OA,OB與M,N，不妨設(shè)圓半徑為1.
則，∵，
，由圖可知.
將兩邊平方得
1
所以,顯然
得:,（負(fù)值舍去),
故.
不妨令
顯然在上單調(diào)遞減,,得.
故答案為：[1,3].
8．（2024·四川綿陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）在扇形中，，為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.
則.不妨設(shè).
因?yàn)椋裕獾茫海?br/>所以.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)最大；當(dāng)時(shí)最小.
所以的取值范圍是.
故答案為：.
9．（2024·吉林·高一階段練習(xí)）如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】
【解析】取BD中點(diǎn)M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,如圖：
則由可知,P點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)）
當(dāng)與重合時(shí)，根據(jù),可知，當(dāng)與重合時(shí),由共線可知，即，結(jié)合圖形可知.
10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，經(jīng)過的重心G的直線與分別交于點(diǎn)，，設(shè)，，則的值為 ．
【答案】3
【解析】設(shè)，由題意知，
，
由P，G，Q三點(diǎn)共線，得存在實(shí)數(shù)使得，
即，
從而消去，得．
故答案為：3
11．（2024·山東濰坊·高三開學(xué)考試）在中，點(diǎn)D滿足，當(dāng)點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】由，得，即，
因?yàn)辄c(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動(dòng)，所以，
又因?yàn)椋裕?br/>則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
所以的最小值為.
故答案為：．
12．（2024·重慶萬州·高一萬州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校天子湖校區(qū)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題可知，，設(shè)，
則，
所以，
而，
可得：，
所以，
設(shè)，
由雙鉤函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，
則，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
13．（2024·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）半徑為1的扇形的圓心角為，點(diǎn)在弧上，，若，則 .
【答案】
【解析】建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，，
，即
，
，即
，
，解得．
．
故答案為：
14．（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，半徑為1的扇形AOB的圓心角為，點(diǎn)C在AB上，且，若，則 ．
【答案】
【解析】建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，，，即
，，即
，
，解得．．
故答案為：
三、解答題
15．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）小郭是一位熱愛臨睡前探究數(shù)學(xué)問題的同學(xué)，在學(xué)習(xí)向量三點(diǎn)共線定理時(shí)，我們知道當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且時(shí)，x+y=1（如圖1)第二天，小郭提出了如下三個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)幫助小郭解答.

（1）當(dāng)x+y>1或x+y<1時(shí)，O、P兩點(diǎn)的位置與AB所在直線之間存在什么關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由
（2）如圖2，射線OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OA及BA的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，求實(shí)數(shù)x的取值范圍，并求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)y的取值范圍.
（3）過O作AB的平行線，延長(zhǎng)AO、BO，將平面分成如圖3所示的六個(gè)區(qū)域，且，請(qǐng)分別寫出點(diǎn)P在每個(gè)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不含邊界）時(shí)，實(shí)數(shù)x，y應(yīng)滿足的條件.（不必證明）
【解析】（1）若，則O、P異側(cè)，若，則O、P同側(cè)；理由如下：
設(shè)，則由得，
，
當(dāng)時(shí)，與同向，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，O、P異側(cè)；
當(dāng)時(shí)，與反向，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，O、P同側(cè)；
（2）由圖及平面向量基本定理可知，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
當(dāng)時(shí)，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，；
（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．
16．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，點(diǎn)G是△OAB的重心，過點(diǎn)G的直線PQ與OA、OB分別交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）用、表示；
（2）若m，n，試問是否為定值，證明你的結(jié)論．
【解析】（1）點(diǎn)G是△OAB的重心，
延長(zhǎng)OG交AB于D，即有D為AB的中點(diǎn)，
可得（）（）；
（2）為定值3．
理由：由m，n，
可得，，
即有，
由三點(diǎn)P，G，Q共線，可得1，
即為3．
則為定值3．
17．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，是的重心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，分別是邊，上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）試用，，表示；
（2）設(shè)，，證明：是定值.
【解析】（1）.
（2）由（1）及，，得.①
∵是的重心，
∴.②
又，不共線，
由①②，得，解得，
∴，即是定值.重難點(diǎn)專題04 妙用等和線解決平面向量系數(shù)和、差、商問題
【題型歸納目錄】
題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）
題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）
題型三：?jiǎn)栴}
題型四：?jiǎn)栴}
題型五：?jiǎn)栴}
題型六：?jiǎn)栴}
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
（1）平面向量共線定理
已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然。
（2）等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；
②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；
③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；
④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；
⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；
【典型例題】
題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）
【例1】在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，為邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，若，則的值為　　
A． B． C．1 D．4
【變式1-2】（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（ ）
A． B． C． D．
題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）
【例2】（2024·山東濰坊·高一統(tǒng)考期中）已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【變式2-2】（2024·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）在扇形中，，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型三：?jiǎn)栴}
【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如圖,，點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng),且.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)P在由線段AB，AC的延長(zhǎng)線及線段BC圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），則下列說法中正確的是 ．（填寫所有正確說法的序號(hào)）
①存在點(diǎn)P，使得；
②存在點(diǎn)P，使得；
③存在點(diǎn)P，使得；
④存在點(diǎn)P，使得．
【變式3-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知△ABC中，，若點(diǎn)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 .
題型四：?jiǎn)栴}
【例4】（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，若的最小值為，則正數(shù)的值為
【變式4-1】（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，其中且，若的最小值為 .
【變式4-2】（2024·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為( )
A．2 B．3 C． D．
題型五：?jiǎn)栴}
【例5】（2024·山西·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段(不含端點(diǎn)，)上移動(dòng)，若，則 .
【變式5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期末）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則 ，的最小值為 .
題型六：?jiǎn)栴}
【例6】（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則 的 取值范圍為 ．
【變式6-1】（2024·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，點(diǎn)D滿足BD＝BC，當(dāng)E點(diǎn)在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值是(　　)
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·四川成都·高三階段練習(xí)）在中，為邊上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則的值為
A． B． C． D．
3．（2024·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）如圖，在中，為線段上異于，的任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則( )
A． B． C． D．
4．（2024·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)P在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
5．（2024·福建三明·高二三明一中校考開學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是 .
6．（2024·江西上饒·統(tǒng)考三模）在扇形中，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若，則的取值范圍是 .
7．（2024·江西南昌·統(tǒng)考二模）如圖,在扇形OAB中,,C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若，則的取值范圍是 ．
8．（2024·四川綿陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）在扇形中，，為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是 ．
9．（2024·吉林·高一階段練習(xí)）如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，經(jīng)過的重心G的直線與分別交于點(diǎn)，，設(shè)，，則的值為 ．
11．（2024·山東濰坊·高三開學(xué)考試）在中，點(diǎn)D滿足，當(dāng)點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值為 ．
12．（2024·重慶萬州·高一萬州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校天子湖校區(qū)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是 ．
13．（2024·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）半徑為1的扇形的圓心角為，點(diǎn)在弧上，，若，則 .
14．（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，半徑為1的扇形AOB的圓心角為，點(diǎn)C在AB上，且，若，則 ．
三、解答題
15．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）小郭是一位熱愛臨睡前探究數(shù)學(xué)問題的同學(xué)，在學(xué)習(xí)向量三點(diǎn)共線定理時(shí)，我們知道當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且時(shí)，x+y=1（如圖1)第二天，小郭提出了如下三個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)幫助小郭解答.

（1）當(dāng)x+y>1或x+y<1時(shí)，O、P兩點(diǎn)的位置與AB所在直線之間存在什么關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由
（2）如圖2，射線OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OA及BA的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，求實(shí)數(shù)x的取值范圍，并求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)y的取值范圍.
（3）過O作AB的平行線，延長(zhǎng)AO、BO，將平面分成如圖3所示的六個(gè)區(qū)域，且，請(qǐng)分別寫出點(diǎn)P在每個(gè)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不含邊界）時(shí)，實(shí)數(shù)x，y應(yīng)滿足的條件.（不必證明）
16．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，點(diǎn)G是△OAB的重心，過點(diǎn)G的直線PQ與OA、OB分別交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）用、表示；
（2）若m，n，試問是否為定值，證明你的結(jié)論．
17．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，是的重心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，分別是邊，上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）試用，，表示；
（2）設(shè)，，證明：是定值.

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