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重難點專題05 三角形中的范圍與最值問題
【題型歸納目錄】
題型一：周長問題
題型二：面積問題
題型三：長度問題
題型四：轉化為角范圍問題
題型五： 倍角問題
題型六：與正切有關的最值問題
題型七：最大角問題
題型八：三角形中的平方問題
題型九：等面積法、張角定理
【方法技巧與總結】
1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:
(1)利用基本不等式求范圍或最值；
(2)利用三角函數求范圍或最值；
(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；
(4)根據三角形解的個數求范圍或最值；
(5)利用二次函數求范圍或最值.
要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.
2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：
(1)求角的最值；
(2)求邊和周長的最值及范圍；
(3)求面積的最值和范圍.
【典例例題】
題型一：周長問題
【例1】（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的值；
(2)若，求的周長最小值.
【解析】（1）由題意可得，即，得，
由正弦定理得，因為，所以.
（2）由（1）知，
由余弦定理得,
當且僅當時取等號，所以，又因為，所以.
所以，所以的周長最小值為.
故的周長最小值為.
【變式1-1】（2024·江蘇南京·高二校考階段練習）在銳角中，， ，
（1）求角；
（2）求的周長l的范圍.
注：在①，且，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并對其進行求解.
【解析】（1）若選①，因為，且，
所以，即，
因為，所以.
若選②，因為，，
所以，
因為，所以.
又因為，所以.
若選③，
.
因為，所以.
又因為，，
所以，.
（2）因為，所以，.
因為，所以，.
.
.
因為銳角且，所以
所以，，
故.
【變式1-2】（2024·山西運城·高二校考階段練習）在銳角中，內角A、B、C，的對邊分別是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，求周長的范圍.
【解析】（1）由，可得，
即，
，
解得或，
，則，
故，
.
（2）由正弦定理可得，
則，，
，
因為為銳角三角形，則，可得，
所以，，則，
故，
周長的范圍為.
【變式1-3】（2024·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）在銳角中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周長的范圍.
【解析】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，則，，
，，
周長為
，
又銳角，，結合
，，，，即周長的范圍是.
題型二：面積問題
【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學校考開學考試）在中，角所對的邊分別為，且滿足.
(1)已知為線段上一點，且滿足，若，求的長；
(2)若為銳角三角形，求面積的范圍.
【解析】（1）由題設，則，故，
又，則，又，則為等邊三角形，故，
由，則，
所以（負值舍），故.
（2）由題意，則，又，則，
所以，
由，而，
所以.
【變式2-1】（2024·河南開封·高二校聯考期中）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，．且滿足：．
(1)求角的大小；
(2)若時，求面積的范圍．
【解析】（1），即，
整理得到：，故，，故.
（2）根據正弦定理：，故，，
，，故，，
故面積范圍為：.
【變式2-2】（2024·湖南長沙·高二長沙市明德中學校考階段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若角的平分線交于點，且，求面積的最小值．
【解析】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因為是角的平分線，則，
又，
又，所以，得到，
又因為，得到，解得，即，
當且僅當時等號成立，所以，
即面積的最小值是．
【變式2-3】（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
【解析】（1）∵，
∴由正弦定理得，
∴．∵，
∴，
又∵，∴，∴．
（2）由余弦定理得，則
由基本不等式可得，所以，故當時等號成立，∴，
∴的面積，
∴面積的最大值為．
題型三：長度問題
【例3】（2024·江西宜春·高二校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有兩解，求的范圍.
【解析】（1）因為，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因為，
所以；
（2）將代入正弦定理，得，
所以，
因為，角的解有兩個，所以角的解也有兩個，
所以，
即，
又，
所以，
解得.
所以的范圍為.
【變式3-1】（2024·江西宜春·高二上高二中校考階段練習）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D為AB的中點，求中線CD的范圍．
【解析】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因為為銳角三角形，所以且，
則，,則，．
【變式3-2】（2024·河南濮陽·高二校聯考期末）已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范圍．
【解析】(1)∵＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．
∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．
(2)由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2-＝ (a＋c)2，
當且僅當a＝c時取等號．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．
又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范圍是(，2]．
【變式3-3】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學校考開學考試）在中，角所對的邊分別是，且滿足，則的最大值為 .
【答案】2
【解析】因為，
由正弦定理可得：，
注意到，
即，
整理得，
且，則，
可得，即，
又因為，則，可得，所以，
由余弦定理可得，
即，當且僅當時，等號成立，
且，可得，所以的最大值為2.
故答案為：2.
【變式3-4】（2024·貴州黔東南·高二統考期末）在中，角的對邊分別為，若，且，則的最大值為 .
【答案】
【解析】因為，，即，
所以，
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理，所以（負值舍去），
根據正弦定理，
可得，，
所以
，其中，
因為，當時，的最大值為.
故答案為：
題型四：轉化為角范圍問題
【例4】（2024·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學校考階段練習）在，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等差數列.
(1)證明：成等差數列；
(2)求角B的范圍.
【解析】（1）證明：已知a，b，c成等差數列，則，
由正弦定理得：，
則成等差數列；
（2）由（1）得：，由余弦定理得：
因為，所以，當且僅當時等號成立，則
又，所以角B的范圍.
【變式4-1】（2024·浙江嘉興·高二校考期中）在中，內角、、所對的邊分別為、、.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求角的大小；
（3）求的范圍.
【解析】（1） 因為，，所以；
（2）由正弦定理有：，即, 所以，
又因為，所以，所以；
（3）由題意得
因為，所以，則，
所以，故的取值范圍是.
【變式4-2】（2024·浙江臺州·高一校聯考期中）已知在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿足．
(1)判斷角B與角C的關系，并說明理由；
(2)若，求的范圍．
【解析】（1）∵，，∴或，
∴，
∴，
∴.
∵，
，
∴.
∵，
∴或，
∵，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
【變式4-3】（2024·山東臨沂·高一校考期末）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的范圍.
【解析】（1）由得：，
，
即，
，，
，，，解得：.
（2）由（1）知：，
，，，
或，即或；
，當時，，不合題意，，
，
，，.
題型五： 倍角問題
【例5】（2024·安徽·高三校聯考階段練習）在銳角中，內角所對的邊分別為，且.
(1)證明：；
(2)若，求的周長的取值范圍.
【解析】（1）由余弦定理可得，.
又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理邊化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.
因為為銳角三角形，
所以，，，
所以，，.
（2）由（1）知，，則.
因為為銳角三角形，
所以，，解得.
根據正弦定理可得，
，.
因為
，
所以，，
，
所以，.
因為，
所以，，
，
所以，，
所以，.
所以，的周長的取值范圍為.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）由，結合正弦定理得，
即，
所以，
所以或（舍去），所以.
（2）在銳角中，，，，
即，所以.
.
令，，，
因為在上單調遞增，
所以，，
所以.
【變式5-2】（2024·重慶·高三西南大學附中校聯考階段練習）在中，內角所對的邊分別為，滿足
(1)求證：；
(2)若為銳角三角形，求的最大值．
【解析】（1）由題，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,
.
（2）為銳角三角形,
解得：,所以，
且
由（1）問，，
令，
則，
所以
因為,
當時，所求的最大值為.
題型六：與正切有關的最值問題
【例6】（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校聯考階段練習）在中，為邊上的高，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值及取最小值時k的值.
【解析】（1）設a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，則.
在中，由余弦定理得.
由，得，所以.
因為，所以，于是，
而.
（2）法一：由（1）知，.
如圖，在中，過B作的垂線，且使，
則，則，
即，所以.
于是，即
令函數，，則在上單調遞增，
所以，此時.
故所求的最小值為，此時k的值為.
法二：由，
得，即，
化簡得，即，
因為，，所以，
于是，即
令函數，，則在上單調遞增，
所以，此時.
故所求的最小值為，此時k的值為.
【變式6-1】銳角是單位圓的內接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，
所以，所以.
又，
所以，所以.
又，且，故，
所以.
又，所以，得，
所以，
故選：C.
題型七：最大角問題
【例7】（2024·山東濱州·統考二模）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為 米時看A，B的視角最大.
【答案】
【解析】過C作，交AB于D，如圖所示：
則，
設，
在中，，
在中，，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以取最大值時，最大，
所以當離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.
故答案為：
【變式7-1】（2024·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面12米，樹上另一點離地面8米，若在離地面2米的處看此樹，則的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，過點作，交于點，則．
設，在中，．
在中，，
所以，
當且僅當，即時取等號．
故選：C.
【變式7-2】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預測）1471年米勒提出了一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長即可見角最大后人稱其為“米勒問題”.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為直線l上兩點A，，則上述問題可以轉化為如下模型：如圖1，直線l垂直于平面，l上的兩點A，B位于平面同側，求平面上一點C，使得最大.建立圖2所示的平面直角坐標系.設，當最大時，（ ）
A．2ab B． C． D．ab
【答案】B
【解析】有題意可知，是銳角且，
因為，
所以，
且，當且僅當，即時，等號成立，
故當，，此時最大.
故選:B
【變式7-3】（2024·安徽·高三校聯考階段練習）1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由米勒問題的解答可知，此人應站在離塔水平距離為處觀察，
設此時視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，
則，則，
故.
故選：B
題型八：三角形中的平方問題
【例8】（2024·浙江湖州·高三統考期末）已知實數，，滿足，則的最小值是
A． B． C．-1 D．
【答案】B
【解析】根據題意利用與的基本不等式,再轉換為含的二次不等式求解即可.若取最小值,顯然異號且.故,
即,故,
當且僅當分別取時等號成立.
故選：B
【變式8-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習）在中，，，所對的邊長為，，，的面積為，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，，
，
，
因為，
所以當時，取得最大值，
故選：C
【變式8-2】（2024·全國·高三專題練習）設為的三邊，為的面積，若，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】解法一：直接套用（12）式：，有
，，
當且僅當，
即時，取最大值．
解法二：
解法三：消元：
基本不等式放縮：，
移項配湊目標：，
萬能代換：令，則
，
當且僅當，即，時，取最大值．
【變式8-3】（2024·四川成都·高一成都外國語學校校考階段練習）在中，a，b，c為三邊，若，則面積的最大值為 .
【答案】
【解析】由三角形面積公式可得，
可得，
∵，∴，
∴
，
當且僅當時等號成立，
結合二次函數的性質可知：當時，
取得最大值，所以S的最大值為.
故答案為：
【變式8-4】（2024·河南鄭州·校聯考模擬預測）在中，角、、的對邊分別為、、，設的面積為，若，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】由題知，
則
，當且僅當時取等號.
，
而，
.
故答案為：
【變式8-5】（2024·安徽·南陵中學校聯考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由得： ，
故 ，
當且僅當 時取等號，
由于 ,故 ，
則 ，則 ，
故答案為：
題型九：等面積法、張角定理
【例9】（2024·湖北·高一校聯考階段練習）在中，角 所對的邊分別為 ，，的平分線交于點，且，則的最小值為 .
【答案】9
【解析】由題意可知，,由角平分線性質和三角形面積公式得，
化簡得，即，
因此
當且僅當，即時取等號，即的最小值為.
故答案為：9
【變式9-1】（2024·新疆伊犁·高一奎屯市第一高級中學統考期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， ，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則 的最小值為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7
【答案】B
【解析】由題意得 ，
即 ，得，
得 ，
當且僅當，即時，取等號，
故選：B．
【變式9-2】（2024·云南大理·統考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線交于點D，且，則的最小值為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．14
【答案】B
【解析】由題意得：
，即，得
所以
當且僅當，即時，取等號.
故選：B．
【變式9-3】（2024·重慶云陽·高三校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，．，的平分線交于點，且，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，
所以，可得，
所以，
當且僅當，即時取等號，
故選：A.重難點專題05 三角形中的范圍與最值問題
【題型歸納目錄】
題型一：周長問題
題型二：面積問題
題型三：長度問題
題型四：轉化為角范圍問題
題型五： 倍角問題
題型六：與正切有關的最值問題
題型七：最大角問題
題型八：三角形中的平方問題
題型九：等面積法、張角定理
【方法技巧與總結】
1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:
(1)利用基本不等式求范圍或最值；
(2)利用三角函數求范圍或最值；
(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；
(4)根據三角形解的個數求范圍或最值；
(5)利用二次函數求范圍或最值.
要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.
2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：
(1)求角的最值；
(2)求邊和周長的最值及范圍；
(3)求面積的最值和范圍.
【典例例題】
題型一：周長問題
【例1】（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的值；
(2)若，求的周長最小值.
【變式1-1】（2024·江蘇南京·高二校考階段練習）在銳角中，， ，
（1）求角；
（2）求的周長l的范圍.
注：在①，且，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并對其進行求解.
【變式1-2】（2024·山西運城·高二校考階段練習）在銳角中，內角A、B、C，的對邊分別是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，求周長的范圍.
【變式1-3】（2024·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）在銳角中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周長的范圍.
題型二：面積問題
【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學校考開學考試）在中，角所對的邊分別為，且滿足.
(1)已知為線段上一點，且滿足，若，求的長；
(2)若為銳角三角形，求面積的范圍.
【變式2-1】（2024·河南開封·高二校聯考期中）在銳角中，內角，，的對邊分別為，，．且滿足：．
(1)求角的大小；
(2)若時，求面積的范圍．
【變式2-2】（2024·湖南長沙·高二長沙市明德中學校考階段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若角的平分線交于點，且，求面積的最小值．
【變式2-3】（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
題型三：長度問題
【例3】（2024·江西宜春·高二校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有兩解，求的范圍.
【變式3-1】（2024·江西宜春·高二上高二中校考階段練習）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D為AB的中點，求中線CD的范圍．
【變式3-2】（2024·河南濮陽·高二校聯考期末）已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范圍．
【變式3-3】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學校考開學考試）在中，角所對的邊分別是，且滿足，則的最大值為 .
【變式3-4】（2024·貴州黔東南·高二統考期末）在中，角的對邊分別為，若，且，則的最大值為 .
題型四：轉化為角范圍問題
【例4】（2024·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學校考階段練習）在，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等差數列.
(1)證明：成等差數列；
(2)求角B的范圍.
【變式4-1】（2024·浙江嘉興·高二校考期中）在中，內角、、所對的邊分別為、、.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求角的大小；
（3）求的范圍.
【變式4-2】（2024·浙江臺州·高一校聯考期中）已知在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿足．
(1)判斷角B與角C的關系，并說明理由；
(2)若，求的范圍．
【變式4-3】（2024·山東臨沂·高一校考期末）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的范圍.
題型五： 倍角問題
【例5】（2024·安徽·高三校聯考階段練習）在銳角中，內角所對的邊分別為，且.
(1)證明：；
(2)若，求的周長的取值范圍.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
【變式5-2】（2024·重慶·高三西南大學附中校聯考階段練習）在中，內角所對的邊分別為，滿足
(1)求證：；
(2)若為銳角三角形，求的最大值．
題型六：與正切有關的最值問題
【例6】（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校聯考階段練習）在中，為邊上的高，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值及取最小值時k的值.
【變式6-1】銳角是單位圓的內接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型七：最大角問題
【例7】（2024·山東濱州·統考二模）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為 米時看A，B的視角最大.
【變式7-1】（2024·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂離地面12米，樹上另一點離地面8米，若在離地面2米的處看此樹，則的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預測）1471年米勒提出了一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長即可見角最大后人稱其為“米勒問題”.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為直線l上兩點A，，則上述問題可以轉化為如下模型：如圖1，直線l垂直于平面，l上的兩點A，B位于平面同側，求平面上一點C，使得最大.建立圖2所示的平面直角坐標系.設，當最大時，（ ）
A．2ab B． C． D．ab
【變式7-3】（2024·安徽·高三校聯考階段練習）1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（ ）
A． B．
C． D．
題型八：三角形中的平方問題
【例8】（2024·浙江湖州·高三統考期末）已知實數，，滿足，則的最小值是
A． B． C．-1 D．
【變式8-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習）在中，，，所對的邊長為，，，的面積為，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2024·全國·高三專題練習）設為的三邊，為的面積，若，則的最大值為 ．
【變式8-3】（2024·四川成都·高一成都外國語學校校考階段練習）在中，a，b，c為三邊，若，則面積的最大值為 .
【變式8-4】（2024·河南鄭州·校聯考模擬預測）在中，角、、的對邊分別為、、，設的面積為，若，則的最大值為 ．
【變式8-5】（2024·安徽·南陵中學校聯考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是 .
題型九：等面積法、張角定理
【例9】（2024·湖北·高一校聯考階段練習）在中，角 所對的邊分別為 ，，的平分線交于點，且，則的最小值為 .
【變式9-1】（2024·新疆伊犁·高一奎屯市第一高級中學統考期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， ，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則 的最小值為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7
【變式9-2】（2024·云南大理·統考模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線交于點D，且，則的最小值為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．14
【變式9-3】（2024·重慶云陽·高三校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，．，的平分線交于點，且，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．

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