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重難點專題06 解三角形圖形類問題
【題型歸納目錄】
題型一：妙用兩次正弦定理
題型二：兩角使用余弦定理
題型三：張角定理與等面積法
題型四：角平分線問題
題型五：中線問題
題型六：高問題
【方法技巧與總結】
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
【典型例題】
題型一：妙用兩次正弦定理
【典例7-1】（2024·山西太原·高二校聯考期末）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答問題：在中，內角所對的邊分別為，且___________.
(1)求角；
(2)若是內一點，，，，，求.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【解析】（1）若選條件①，由正弦定理得：，
，
即，
，，，即，
，，，解得：；
若選條件②，由正弦定理得：；
，，，則.
（2）
，，；
在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：；
，
即，.
【典例7-2】（2024·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習）在平面四邊形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面積為，求AC；
(2)若，，求.
【解析】（1）在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，
.
（2）設，則，
在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.
【變式7-1】（2024·四川綿陽·高一統考期末）在平面四邊形中，，，．
(1)若的面積為，求；
(2)記，若，，求．
【解析】（1），解得，
由余弦定理得，因此，.
（2）在中，，
在中，，
由正弦定理得，即，
所以，，即，故.
題型二：兩角使用余弦定理
【典例8-1】（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點D.
(1)證明：，；
(2)若，，求的最小值.
【解析】（1）在和中，可得，，
所以，，
由正弦定理，得，，
兩式相除得，可得，，
又由，根據余弦定理得
所以
代入可得
.
（2）由，及，可得
根據基本不等式得，解得，當且僅當時等號成立，
又由，，可得，
所以的最小值是3.
【典例8-2】（2024·廣東深圳·校考一模）記的內角A B C的對邊分別為a b c，已知.
(1)證明：；
(2)若角B的平分線交AC于點D，且，，求的面積.
【解析】（1）由正弦定理得：
所以可化為,
因為,
，所以
所以，
所以，即，
所以；
（2）角B的平分線交AC于點D，且，,
由角平分線定理可得，,
,又，
由余弦定理得：，，
在中，由余弦定理得：，
所以.
所以.
【變式8-1】（2024·四川攀枝花·高三統考階段練習）的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足．
(1)求角B的大小；
(2)若，點D在邊AC上，______，求BD的長．
請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答．
注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
【解析】（1）法一:由及正弦定理得．
從而，即．
又△ABC中，∴．
又，所以．
法二：由及余弦定理得．
化簡得．則．
又，所以．
（2）若選①．
法一：在中，由余弦定理，
得，
所以，所以．
在中，由余弦定理，得，
即．
同理可得：在中，由余弦定理，得，
即．
又，所以．
所以．所以．
法二：因為，所以D為AC的中點．所以．
所以．
所以，即．
若選②．
在中，．
因為BD為的角平分線，
所以．
即．
解得．
若選③．
在中，由余弦定理，
得，
所以．
因為．
又．
所以，解得．
【變式8-2】（2021·全國·統考高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【解析】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因為，所以，即．
又因為，所以．
（2）[方法一]【最優解】：兩次應用余弦定理
因為，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因為，所以，解得或，
當時，（舍去）．
當時，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構造輔助線利用相似的性質
如圖，作，交于點E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因為，
所以，
整理得．
又因為，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因為，所以．
以向量為基底，有．
所以，
即，
又因為，所以．③
由余弦定理得，
所以④
聯立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，
長為單位長度建立直角坐標系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．
設，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點評】(2)方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
【變式8-3】（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學校考期末）記的三邊a，b，c所對的三個內角的大小分別為A，B，C，點D在邊AC上.已知，.

(1)證明：；
(2)若，求.
【解析】（1）因為，
所以，
所以，
由正弦定理可得，即
因為，所以，
因為，所以；
（2）因為，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
設的外接圓半徑為，
由正弦定理可得，
又，所以
所以，解得或，
當時，（舍去）．
當時，．
所以．
題型三：張角定理與等面積法
【典例9-1】（2024·湖北武漢·統考一模）在中，設角，，所對的邊分別為，，，且
(1)求；
(2)若為上的點，平分角，且，，求.
【解析】（1）因為，
所以由正弦定理可得：，整理得.
由余弦定理得：
又因為所以
（2）由（1）知.
又因為平分角，所以.
由得.
即.
又因為，，所以.
再由角平分線的性質可知：
【典例9-2】（2024·江蘇南通·高三海安高級中學校考階段練習）在中，設角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．
（1）求；
（2）若D為上點，平分角A，且，，求．
【解析】（1）因為，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理，可得，
又因為，可得．
（2）因為D為上點，平分角，則，
又由，
可得，
又因為，可得，解得，
因為，所以．
【變式9-1】（2024·江西·統考模擬預測）已知中，角的對邊分別為，且滿足.
（1）求的值；
（2）若點在邊上，平分角，且，求的值.
【解析】(1)由及正弦定理可得
，即，
因為，且，即，
所以.
（2）因為，所以，
因為平分角，所以，
由，可得，
，整理得，所以.
【變式9-2】（2024·山西晉中·統考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．
①BD是的平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）．
【解析】（1）由正弦定理知：
又：
代入上式可得：
，則
故有：
又，則
故的大小為：
（2）若選①：
由BD平分得：
則有：，即
在中，由余弦定理可得：
又，則有：
聯立
可得：
解得：（舍去）
故
若選②：
可得：，
，可得：
在中，由余弦定理可得：，即
聯立
解得：
故
題型四：角平分線問題
【典例10-1】（2024·全國·高一專題練習）已知函數，其圖像上相鄰的最高點和最低點間的距離為．
(1)求函數的解析式；
(2)記的內角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．
【解析】（1）因為，
設函數的周期為，由題意，即，解得，
所以.
（2）由得：，即，解得，
因為，所以，
因為的平分線交于，
所以，即，可得，
由余弦定理得：，，而，
得，因此.
【典例10-2】（2024·高一課時練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若D為的中點，E為的平分線與的交點，且，求的值．
【解析】（1）由題設及正弦定理得，
因為，所以．
由，可得
故．
因為，故
因此．
（2）因為，
又因為，所以，即，
解之得或（舍去）．
因為為的角平分線，所以，
所以
【變式10-1】（2024·高一課時練習）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）已知，，設為邊上一點，且為角的平分線，求的面積．
【解析】（1）由正弦定理得．
因為，則，所以，所以．
因為，所以；
（2）在中，由余弦定理得，即，
，解得，
由角平分線性質可得，所以．
過點作垂直于點，
則，．
所以．
題型五：中線問題
【典例11-1】（2024·吉林通化·高一梅河口市第五中學校考階段練習）如圖，在邊上的中線為3，且．
（1）求的值；
（2）求邊的長．
【解析】（1）因為，所以．
又，所以，
所以
．
即，
（2）在中，由，得，
解得,故，
在中，
由
，
得．
【典例11-2】（2024·江蘇無錫·高一統考期末）在中，已知，.
（1）若最小邊的長為5，求最大邊的長；
（2）若AC邊上的中線BD長為，求的面積.
【解析】（1），，，，，，，，，，
最大邊為b，最小邊為c,由正弦定理，得，
，即最大邊長為
（2）解法一：由正弦定理得：，設，則，，由余弦定理中線長定理：
得，解得，
得，，
解法二：見切作高：作CE垂直AB，設，，
由中線長公式得
，
【變式11-1】（2024·山西太原·高一太原市實驗中學校考期末）在中，是邊的中線，,且的面積為.
(1)求的大小及的值;
(2)若,求的長.
【解析】分析：(1)根據所給的式子，利用余弦定理可以求出，再根據三角形的面積公式即可求出的值．
(2) 根據,可求得，利用余弦定理可求得,中應用余弦定理即可求得AD的值．
(1)在中,由可得
,故
因為,
所以,解得.
所以.
(2) 由得
在中,出余弦定理得
得,
由正弦定理
得.
∵故
在中,
解得.
【變式11-2】（2024·浙江杭州·高二校聯考期末）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC邊中線AD長．
【解析】（1）因為，
由正弦定理得，
即，
即，
所以，
又，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理得，
即，所以，
因為為中BC邊的中線，
所以，
則
，
所以.
題型六：高問題
【典例12-1】（2024·全國·高三專題練習）已知△ABC中，AB邊上的高與AB邊的長相等，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】由三角形的面積公式得 ＝sinC，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝＋2cos C＝sin C＋2cos C，
所以＝2sin C＋2cos C＝sin，最大值是
故答案為：
【典例12-2】（2024·重慶·統考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．
(1)求；
(2)若，邊上的高線長，求．
【解析】（1）由已知得
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
.
【變式12-1】（2024·福建·高一福建省福清第一中學校考階段練習）的內角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求邊上的高.
【解析】（1）因為，由正弦定理得，
所以，又，
所以，又，則.
因為，即，又，所以，
因為，所以.
（2）由（1）及余弦定理，得.
將，代入，得，
解得或（舍去），則.
因為，所以，
設邊上的高為，則.
【變式12-2】（2024·北京昌平·高一統考期末）在中，，，．
(1)求和的值；
(2)求BC邊上的高．
【解析】（1）因為，，，
所以由余弦定理得，所以，解得，
所以，所以由正弦定理可得，；
（2）BC邊上的高為.重難點專題06 解三角形圖形類問題
【題型歸納目錄】
題型一：妙用兩次正弦定理
題型二：兩角使用余弦定理
題型三：張角定理與等面積法
題型四：角平分線問題
題型五：中線問題
題型六：高問題
【方法技巧與總結】
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
【典型例題】
題型一：妙用兩次正弦定理
【典例7-1】（2024·山西太原·高二校聯考期末）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答問題：在中，內角所對的邊分別為，且___________.
(1)求角；
(2)若是內一點，，，，，求.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【典例7-2】（2024·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習）在平面四邊形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面積為，求AC；
(2)若，，求.
【變式7-1】（2024·四川綿陽·高一統考期末）在平面四邊形中，，，．
(1)若的面積為，求；
(2)記，若，，求．
題型二：兩角使用余弦定理
【典例8-1】（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點D.
(1)證明：，；
(2)若，，求的最小值.
【典例8-2】（2024·廣東深圳·校考一模）記的內角A B C的對邊分別為a b c，已知.
(1)證明：；
(2)若角B的平分線交AC于點D，且，，求的面積.
【變式8-1】（2024·四川攀枝花·高三統考階段練習）的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足．
(1)求角B的大小；
(2)若，點D在邊AC上，______，求BD的長．
請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答．
注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
【變式8-2】（2021·全國·統考高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【變式8-3】（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學校考期末）記的三邊a，b，c所對的三個內角的大小分別為A，B，C，點D在邊AC上.已知，.

(1)證明：；
(2)若，求.
題型三：張角定理與等面積法
【典例9-1】（2024·湖北武漢·統考一模）在中，設角，，所對的邊分別為，，，且
(1)求；
(2)若為上的點，平分角，且，，求.
【典例9-2】（2024·江蘇南通·高三海安高級中學校考階段練習）在中，設角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．
（1）求；
（2）若D為上點，平分角A，且，，求．
【變式9-1】（2024·江西·統考模擬預測）已知中，角的對邊分別為，且滿足.
（1）求的值；
（2）若點在邊上，平分角，且，求的值.
【變式9-2】（2024·山西晉中·統考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．
①BD是的平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）．
題型四：角平分線問題
【典例10-1】（2024·全國·高一專題練習）已知函數，其圖像上相鄰的最高點和最低點間的距離為．
(1)求函數的解析式；
(2)記的內角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．
【典例10-2】（2024·高一課時練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若D為的中點，E為的平分線與的交點，且，求的值．
【變式10-1】（2024·高一課時練習）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）已知，，設為邊上一點，且為角的平分線，求的面積．
題型五：中線問題
【典例11-1】（2024·吉林通化·高一梅河口市第五中學校考階段練習）如圖，在邊上的中線為3，且．
（1）求的值；
（2）求邊的長．
【典例11-2】（2024·江蘇無錫·高一統考期末）在中，已知，.
（1）若最小邊的長為5，求最大邊的長；
（2）若AC邊上的中線BD長為，求的面積.
【變式11-1】（2024·山西太原·高一太原市實驗中學校考期末）在中，是邊的中線，,且的面積為.
(1)求的大小及的值;
(2)若,求的長.
【變式11-2】（2024·浙江杭州·高二校聯考期末）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC邊中線AD長．
題型六：高問題
【典例12-1】（2024·全國·高三專題練習）已知△ABC中，AB邊上的高與AB邊的長相等，則的最大值為 ．
【典例12-2】（2024·重慶·統考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．
(1)求；
(2)若，邊上的高線長，求．
【變式12-1】（2024·福建·高一福建省福清第一中學校考階段練習）的內角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求邊上的高.
【變式12-2】（2024·北京昌平·高一統考期末）在中，，，．
(1)求和的值；
(2)求BC邊上的高．

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