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第9章 平面向量 章末題型歸納總結(jié)
目錄
模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖
模塊二：典型例題
經(jīng)典題型一：向量的線性運(yùn)算
經(jīng)典題型二：三點(diǎn)共線定理（雞爪定理）的應(yīng)用
經(jīng)典題型三：向量的數(shù)乘運(yùn)算
經(jīng)典題型四：向量的數(shù)量積運(yùn)算
經(jīng)典題型五：向量的模、向量的夾角
經(jīng)典題型六：向量的投影、投影向量
經(jīng)典題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用
經(jīng)典題型八：平面向量范圍與最值問題
模塊三：數(shù)學(xué)思想方法
①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想
模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖
模塊二：典型例題
經(jīng)典題型一：向量的線性運(yùn)算
例1．（2024·山東青島·高一校聯(lián)考期末）在中，為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：
在中，為線段上一點(diǎn)，且，則，
即，所以，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
因此，.
故選：D.
例2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（ ）

A．＋ B．＋
C． D．＋
【答案】B
【解析】分別為的邊上的中線,
則,
,
由于，，所以,
故解得
故選：B
例3．（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期末）平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
，
即①，
，
，
即②，
由①②得，，
故選：A．
例4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
.
故選：B
例5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】,
故選：B.
經(jīng)典題型二：三點(diǎn)共線定理（雞爪定理）的應(yīng)用
例6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，中為重心，過點(diǎn)，，，則 ．

【答案】3
【解析】設(shè)
根據(jù)題意，；
，，，三點(diǎn)共線，則存在，使得，
即，即，
，整理得，所以；
故答案為：3
例7．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考階段練習(xí)）在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)且滿足，若P為 BD上一點(diǎn)，且滿足（為正實(shí)數(shù)），則的最小值為 .
【答案】4
【解析】
∵B、P、D三點(diǎn)共線，∴設(shè)
∵，∴，
∴，
由和平面向量基本定理得：，∴，
∵為正實(shí)數(shù)，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
∴的最小值為4．
故答案為：4．
例8．（2024·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋O(shè)，則有，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，即，
所以．
（2）因?yàn)椋?，
由（1）可知，，所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
例9．（2024·遼寧大連·高一期末）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）①因?yàn)椋裕?br/>故在中，
；
②因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因?yàn)椋秩c(diǎn)共線，設(shè)，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，
所以的最小值為.
例10．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對稱，點(diǎn)D在線段OB上，，DC和OA交于點(diǎn)E.設(shè)，，用和表示向量，.

【解析】∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，
∴是的中點(diǎn)，，
，
，
，
且，
.
綜上：， .
經(jīng)典題型三：向量的數(shù)乘運(yùn)算
例11．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校校考期末）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑸橹悬c(diǎn)，
所以，
所以.
故選：B
例12．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
設(shè)，則，，
設(shè)，，
則，，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
所以，即.
故選：C.
例13．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】,
,
即,
.
故選：D.
例14．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】不妨設(shè)，如圖所示，
根據(jù)題意則，即點(diǎn)O是的重心，
取的中點(diǎn)，連接，則三點(diǎn)共線，且，
所以邊上的高是邊上的高的倍，
，即，
同理可得：，，
所以有，
又因?yàn)椋?br/>那么，
故的面積與的面積的比值為.
故選：A.
例15．（2024·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)校考期末）已知是的重心，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】連接并延長交于，如圖，
因?yàn)槭堑闹匦模瑒t是的中點(diǎn)，
所以
，
又，所以，，
所以.
故選：B.
例16．（2024·河北石家莊·高一校考期末）已知平行四邊形中，，若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】在中，，即是的中點(diǎn)，則，
又，即，
因此，
而，不共線，
所以，.
故選：D
經(jīng)典題型四：向量的數(shù)量積運(yùn)算
例17．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一校考階段練習(xí)）在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】∵，向量與的夾角為120°，
∴.
故選：D
例18．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）在中，滿足，，，則（ ）
A． B．0 C．25 D．65
【答案】C
【解析】如圖所示，
因?yàn)樵谥校瑵M足，，，
所以，即，
所以.
故選：C
例19．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在三角形中，，，，則（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】A
【解析】記，則，，
，
．
故選：A.
例20．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【解析】依題意，，
所以.
故選：A
例21．（2024·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（ ）

A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)镃，P，D三點(diǎn)共線，所以，即，
所以，又，
所以
.
故選：C
例22．（2024·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考期末）設(shè)平面向量，，且，則=（ ）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋杂郑?br/>則
所以，
則
，
故選：
例23．（2024·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知為的外接圓圓心，且，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由可知為中點(diǎn)，則為直徑，
所以；
在等腰中，由，得，
所以，
所以是為直角的等腰三角形，
所以
故選：A.
經(jīng)典題型五：向量的模、向量的夾角
例24．（2024·北京順義·高一牛欄山一中校考期末）如圖，在中，，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br/>由余弦定理得，，
得到，又，所以為直角三角形，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則有，又分別為中點(diǎn)，
所以，故，
所以，
故選：D.
例25．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（ ）

A． B．3 C．9 D．13
【答案】C
【解析】
由題意易知，則，
過作于，
所以，
，
所以，不妨設(shè)，則
，故.
故選：C
例26．（2024·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）在中，為上一點(diǎn)，且滿足．若，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由題意可得：，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，且，
又因?yàn)椋?br/>則，可得，解得，
可得，
所以，即.
故選：C.
例27．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知平面向量與的夾角為，若，，則（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【解析】由平方可得，
因?yàn)椋矫嫦蛄颗c的夾角為，
所以即，
解得或（舍去），
故選：D
例28．（2024·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期末）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】與的夾角為鈍角，
，
又與的夾角為，
所以，即，解得，
又與不共線，所以，
所以取值范圍為.
故選：D
例29．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知非零向量與滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以，而，所以，
所以.
故選：B
例30．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故選：D
例31．（2024·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)向量的夾角為，因?yàn)椋傻茫?br/>又因?yàn)椋?br/>可得
，解得，
因?yàn)椋傻?
故選：B.
例32．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由題意，得，
所以，
．
而，
所以．
整理，得，解得或（舍去）．
故選：C．
經(jīng)典題型六：向量的投影、投影向量
例33．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>所以向量在上的投影向量為.
故答案為：.
例34．（2024·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】向量，則，
所以向量在方向上的投影向量為
故答案為：
例35．（2024·云南昆明·高一昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校校考階段練習(xí)）已知非零向量滿足，，則在方向上的投影向量的模為 ．
【答案】
【解析】在方向上的投影向量為，為與同向的單位向量，
在方向上的投影向量的模長為；
，，，
，即所求模長為.
故答案為：.
例36．（2024·浙江金華·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則在上投影向量為，則 ．
【答案】
【解析】在上投影向量為，即，
故.
故答案為: .
例37．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期末）已知，，與的夾角為，則在方向上的投影向量是 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋c的夾角為，
所以在方向上的投影向量是.
故答案為：.
例38．（2024·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>所以向量在向量上的投影數(shù)量為，
故答案為：.
經(jīng)典題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用
例39．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知船在靜水中的速度大小為，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為，船垂直到達(dá)對岸用的時(shí)間為，則水流的速度大小為 .
【答案】3
【解析】設(shè)船在靜水中的速度為，船的實(shí)際速度為，水流速度為，如圖所示，
∵，
∴，即水流的速度大小為.
故答案為：3.
例40．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為 .（注：重力加速度取，精確到0.01N）

【答案】N
【解析】
如圖，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，
因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛椋?br/>所以8根繩子拉力的合力為，
又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣洌裕赜校?br/>所以，，所以
故答案為：N
例41．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生大小為100m的位移s，且力F與s的夾角為，則力F所做的功 J．
【答案】300
【解析】J.
故答案為：300
例42．（2024·高一單元測試）長江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則 .

【答案】/
【解析】由題意知，
則
，因?yàn)椋?br/>即，所以.
故答案為：
例43．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知力與水平方向的夾角為（斜向上），大小為.一個(gè)質(zhì)量為的木塊受力的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)的水平平面上運(yùn)動(dòng)了，則力和摩擦力所做的功分別為 .（）

【答案】，
【解析】由題可知，以木塊運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较颍?br/>則力在水平方向的分量為：，
在豎直方向的分量為：，
則摩擦力為：，
則力做功為,摩擦力做功.
故答案為：，
經(jīng)典題型八：平面向量范圍與最值問題
例44．（2024·云南昆明·高一校考期末）已知AD是的中線，若，，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】，
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：
例45．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則的最小值為 ．

【答案】
【解析】在中，，，，
所以，又，
所以，
以所在直線為軸，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，，
所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值.
故答案為：.
例46．（2024·安徽滁州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，與的交點(diǎn)為為邊上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為 .

【答案】
【解析】令，則，，
所以，
所以時(shí)，的最大值為.
故答案為：
例47．（2024·福建漳州·高一校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)M是矩形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，則的最大值為 .
【答案】5
【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
則=
．
∵點(diǎn)點(diǎn)M是矩形內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且,
∴，則，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值5.
故答案為：5．
例48．（2024·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，是正方形的外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的范圍是 .
【答案】,
【解析】根據(jù)條件，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則，.
設(shè)，.
,,，
，的范圍是，.
故答案為：,.
例49．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，在直角三角形中，，，則實(shí)數(shù)的值是 .
【答案】或
【解析】由已知可得，.
若為直角，則有，解得，舍去；
若為直角，則有，解得；
若為直角，則有，解得（舍去負(fù)值），所以.
綜上所述，或.
故答案為：或.
模塊三：數(shù)學(xué)思想方法
① 分類討論思想
例50．（2024·河北廊坊·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 .
【答案】，且.
【解析】由得，又當(dāng)時(shí)，，同向，
故的取值范圍是，且.
故答案為：，且.
例51．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，若對任意共面的單位向量，記的最大值為，則的最小值等于 ．
【答案】
【解析】記，不難發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)為銳角時(shí)，；如圖2，當(dāng)為鈍角時(shí)，；如圖3，當(dāng)為直角時(shí)，，由上述三種情形可知，，由平行四邊形法則可知，當(dāng)時(shí)，．
例52．（2024·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考期末）平面上三個(gè)力作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為45°，則的大小為 N．
【答案】
【解析】由題意得：，
所以
，
故答案為：.
例53．（2024·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由題意原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)在圓外，
圓的圓心，半徑，
，
的人，即，
所以，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
②轉(zhuǎn)化與化歸思想
例54．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知平面向量的夾角為，且.若向量在向量上的投影向量為，則的值為 .
【答案】/0.25
【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄康膴A角為，，
所以，
又，所以，
即，
即，
所以或（舍去），
所以，
所以向量在向量上的投影向量為：
，
又向量在向量上的投影向量為，
所以，
故答案為：.
例55．（2024·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）．
①動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
②動(dòng)點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
③動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
④動(dòng)點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
⑤動(dòng)點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】對于①，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，
，
則點(diǎn)是的重心，故①正確；
對于②，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，
，
又在的平分線上，
與的平分線所在向量共線，
所以的內(nèi)心在滿足條件的點(diǎn)集合中，②正確；
對于③，動(dòng)點(diǎn)滿足，
，，
過點(diǎn)作，垂足為，則，
，向量與邊的中線共線，
因此的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，③正確；
對于④，動(dòng)點(diǎn)滿足，
，
，
，
所以的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，④正確；
對于⑤，動(dòng)點(diǎn)滿足，
設(shè)，
則，
由④知，
，
，
點(diǎn)的軌跡為過的的垂線，即的中垂線；
所以的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合，⑤正確．
故正確的命題是①②③④⑤．
故答案為：①②③④⑤．
例56．（2024·江西南昌·高三江西師大附中校考期末）圓的直徑，弦，點(diǎn)在弦上，則的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由題意可得，，
要使取得最小值，則要最小，
根據(jù)圓的性質(zhì)，只需，此時(shí)為中點(diǎn)，
又，則，
所以，
則的最小值為.
故答案為：.
例57．（2024·云南保山·高一統(tǒng)考期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”. 數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透. 而向量正是數(shù)與形“溝通的橋梁”. 如圖，在中，，若為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且， .

【答案】
【解析】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)楹头謩e共線，
所以存在使得，，
所以
，
所以，解得，
所以，
所以，，，
故答案為：
③數(shù)形結(jié)合思想
例58．（2024·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知力，，滿足，且，則 .
【答案】
【解析】由題意，如圖，
在等邊三角形中，可令，，,
所以.
故答案為：.
例59．（2024·江蘇南京·高一校考期末）如圖在直角梯形中，已知，，，，，則 .
【答案】22
【解析】因?yàn)椋?br/>所以
，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)橹苯翘菪危?br/>所以，故，
所以原等式
.
故答案為：22.
例60．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知在中，為的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為 .
【答案】8
【解析】如圖，
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為8.
故答案為：8第9章 平面向量 章末題型歸納總結(jié)
目錄
模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖
模塊二：典型例題
經(jīng)典題型一：向量的線性運(yùn)算
經(jīng)典題型二：三點(diǎn)共線定理（雞爪定理）的應(yīng)用
經(jīng)典題型三：向量的數(shù)乘運(yùn)算
經(jīng)典題型四：向量的數(shù)量積運(yùn)算
經(jīng)典題型五：向量的模、向量的夾角
經(jīng)典題型六：向量的投影、投影向量
經(jīng)典題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用
經(jīng)典題型八：平面向量范圍與最值問題
模塊三：數(shù)學(xué)思想方法
①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想
模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖
模塊二：典型例題
經(jīng)典題型一：向量的線性運(yùn)算
例1．（2024·山東青島·高一校聯(lián)考期末）在中，為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記，，則（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（ ）

A．＋ B．＋
C． D．＋
例3．（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期末）平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則=（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（ ）
A． B．
C． D．
經(jīng)典題型二：三點(diǎn)共線定理（雞爪定理）的應(yīng)用
例6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，中為重心，過點(diǎn)，，，則 ．

例7．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考階段練習(xí)）在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)且滿足，若P為 BD上一點(diǎn)，且滿足（為正實(shí)數(shù)），則的最小值為 .
例8．（2024·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
例9．（2024·遼寧大連·高一期末）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
例10．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對稱，點(diǎn)D在線段OB上，，DC和OA交于點(diǎn)E.設(shè)，，用和表示向量，.

經(jīng)典題型三：向量的數(shù)乘運(yùn)算
例11．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校校考期末）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
例13．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
例14．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（ ）
A．2 B． C． D．3
例15．（2024·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)校考期末）已知是的重心，若，則（ ）
A．1 B． C． D．
例16．（2024·河北石家莊·高一校考期末）已知平行四邊形中，，若，則（ ）
A． B． C．2 D．
經(jīng)典題型四：向量的數(shù)量積運(yùn)算
例17．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一校考階段練習(xí)）在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
例18．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）在中，滿足，，，則（ ）
A． B．0 C．25 D．65
例19．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在三角形中，，，，則（ ）
A．10 B．12 C． D．
例20．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．12
例21．（2024·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（ ）

A． B．3 C． D．
例22．（2024·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考期末）設(shè)平面向量，，且，則=（ ）
A．1 B．14 C． D．
例23．（2024·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知為的外接圓圓心，且，則（ ）
A． B． C． D．2
經(jīng)典題型五：向量的模、向量的夾角
例24．（2024·北京順義·高一牛欄山一中校考期末）如圖，在中，，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
例25．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（ ）

A． B．3 C．9 D．13
例26．（2024·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）在中，為上一點(diǎn)，且滿足．若，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
例27．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知平面向量與的夾角為，若，，則（ ）
A．2 B．3 C． D．4
例28．（2024·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期末）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
例29．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知非零向量與滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
例31．（2024·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
例32．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
經(jīng)典題型六：向量的投影、投影向量
例33．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
例34．（2024·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
例35．（2024·云南昆明·高一昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校校考階段練習(xí)）已知非零向量滿足，，則在方向上的投影向量的模為 ．
例36．（2024·浙江金華·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則在上投影向量為，則 ．
例37．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期末）已知，，與的夾角為，則在方向上的投影向量是 .
例38．（2024·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為 .
經(jīng)典題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用
例39．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知船在靜水中的速度大小為，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為，船垂直到達(dá)對岸用的時(shí)間為，則水流的速度大小為 .
例40．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為 .（注：重力加速度取，精確到0.01N）

例41．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生大小為100m的位移s，且力F與s的夾角為，則力F所做的功 J．
例42．（2024·高一單元測試）長江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則 .

例43．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知力與水平方向的夾角為（斜向上），大小為.一個(gè)質(zhì)量為的木塊受力的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)的水平平面上運(yùn)動(dòng)了，則力和摩擦力所做的功分別為 .（）

經(jīng)典題型八：平面向量范圍與最值問題
例44．（2024·云南昆明·高一校考期末）已知AD是的中線，若，，則的最小值是 ．
例45．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則的最小值為 ．

例46．（2024·安徽滁州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，與的交點(diǎn)為為邊上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為 .

例47．（2024·福建漳州·高一校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)M是矩形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，則的最大值為 .
例48．（2024·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，是正方形的外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的范圍是 .
例49．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，在直角三角形中，，，則實(shí)數(shù)的值是 .
模塊三：數(shù)學(xué)思想方法
① 分類討論思想
例50．（2024·河北廊坊·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 .
例51．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，若對任意共面的單位向量，記的最大值為，則的最小值等于 ．
例52．（2024·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考期末）平面上三個(gè)力作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為45°，則的大小為 N．
例53．（2024·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，，則的取值范圍為 ．
②轉(zhuǎn)化與化歸思想
例54．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知平面向量的夾角為，且.若向量在向量上的投影向量為，則的值為 .
例55．（2024·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）．
①動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
②動(dòng)點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
③動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
④動(dòng)點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
⑤動(dòng)點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．
例56．（2024·江西南昌·高三江西師大附中校考期末）圓的直徑，弦，點(diǎn)在弦上，則的最小值是 ．
例57．（2024·云南保山·高一統(tǒng)考期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”. 數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透. 而向量正是數(shù)與形“溝通的橋梁”. 如圖，在中，，若為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且， .

③數(shù)形結(jié)合思想
例58．（2024·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知力，，滿足，且，則 .
例59．（2024·江蘇南京·高一校考期末）如圖在直角梯形中，已知，，，，，則 .
例60．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知在中，為的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為 .

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