資源簡介

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第四章 圖形與變換
第六節 解直角三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 銳角三角函數 ☆☆☆ 銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點,其考察內容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數值，③解直角三角形與其應用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型.預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.
考點2 解直角三角形 ☆☆
考點3 解直角三角形的應用 ☆☆
1．銳角三角函數的意義：
如圖，在Rt△ABC中，設∠C＝90°，∠α為Rt△ABC的一個銳角，則：
∠α的正弦sinα＝；
∠α的余弦cosα＝；
∠α的正切tanα＝
2．同角三角函數之間的關系：
sin2A＋cos2A＝ 1 ，tanA＝．
3．互余兩角三角函數之間的關系：
(1)sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．
(2)tanα·tan(90°－α)＝1.
(3)銳角的正弦值或正切值隨著角度的增大而增大，銳角的余弦值隨著角度的增大而減小．
(4)對于銳角A有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
4．特殊的三角函數值：
三角函數 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
5．如圖，直角三角形的三條邊與三個角這六個元素中，有如下的關系：
(1)三邊的關系(勾股定理)：a2＋b2＝c2．
(2)兩銳角間的關系：∠A＋∠B＝90°．
(3)邊與角的關系：sinA＝cosB＝，
cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．
6．直角三角形的邊角關系在現實生活中有著廣泛的應用，它經常涉及測量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根據題意理解其中的含義才能正確解題．
(1)仰角：向上看時，視線與水平線的夾角，如圖．
(2)俯角：向下看時，視線與水平線的夾角，
(3)坡角：坡面與水平面的夾角．
(4)坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，一般情況下，我們用h表示坡的鉛直高度，用l表示坡的水平寬度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如圖．
(5)方向角：指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的銳角叫做方向角．
■考點一　銳角三角函數
◇典例1：（2023 淳安縣一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】C
【點撥】根據銳角三角函數的定義進行計算，即可解答．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c，
∴sinA＝＝，
故選：C．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 蕭山區校級一模）cos45°＝（　　）
A． B． C． D．
【考點】特殊角的三角函數值．
【答案】D
【點撥】根據特殊角的三角函數值可得答案．
【解析】解：cos45°＝．
故選：D．
【點睛】此題考查的是特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解決此題的關鍵．
2．（2022 長興縣模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，則cosB的值為（　　）
A． B． C． D．
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】D
【點撥】根據勾股定理計算出BC長，再根據余弦定義可得答案．
【解析】解：∵AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝＝，
∴cosB＝＝．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了銳角三角函數，關鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．
3．（2022 錢塘區一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若3AB＝5AC，則tanA＝　　．
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】．
【點撥】根據3AB＝5AC，可得＝，根據勾股定理求出BC，再根據銳角三角函數的定義進行計算即可．
【解析】解：∵3AB＝5AC，
∴＝，
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
設AC＝3k，則AB＝5k，由勾股定理得，
BC＝＝4k，
∴tanA＝＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查銳角三角函數，掌握銳角三角函數的定義以及勾股定理是正確解答的前提．
4．（2023 杭州一模）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，則tanA＝（　　）
A． B． C． D．
【考點】互余兩角三角函數的關系．
【答案】B
【點撥】由銳角的正弦、正切定義即可計算．
【解析】解：∵∠C＝90°，sinB＝＝，
∴令AC＝4x，則AB＝5x，
∴BC＝＝3x，
∴tanA＝＝＝．
故選：B．
【點睛】本題考查解直角三角形，關鍵是掌握銳角的正弦、正切定義．
■考點二 解直角三角形
◇典例2：（2023 南潯區一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC的長和cosA的值．
【考點】解直角三角形；勾股定理．
【答案】BC＝5，cosA＝．
【點撥】根據勾股定理以及銳角三角函數的定義即可求出答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理可知：BC＝＝＝5，
cosA＝＝．
【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及銳角三角函數的定義，本題屬于基礎題型．
◆變式訓練
1．（2023 東陽市三模）如圖，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，則點A到BC的距離為（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【考點】解直角三角形；點到直線的距離．
【答案】A
【點撥】過點A作AD⊥BC，通過三角形內角和定理求出∠B的度數，再在直角三角形中利用正弦求出點A到BC的距離．
【解析】解：過點作AD⊥BC，垂足為D，
在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ADB中，sin50°＝，
∴AD＝60sin50°，
∴點A到BC的距離為60sin50°．
故選：A．
【點睛】本題考查了解直角三角形和點到直線的距離，解題的關鍵是掌握解直角三角形和點到直線的距離定義．
2．（2022 西湖區校級一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C為銳角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面積；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
【考點】解直角三角形；勾股定理．
【答案】（1）12；（2）2；（3）．
【點撥】（1）過點A作AD⊥BC，根據∠C的正切值確定∠C的度數，再利用直角三角形的邊角間關系求出AD、CD，最后利用三角形的面積公式算出△ABC的面積；
（2）先利用線段的和差關系求出BD，再利用勾股定理求出AB；
（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的邊角間關系求出∠B的余弦值．
【解析】解：（1）過點A作AD⊥BC，垂足為D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C為銳角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、特殊角的三角函數值、三角形的面積公式及勾股定理是解決本題的關鍵．
■考點三 解直角三角形的應用
◇典例3：（2022 紹興）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米．
（1）求∠BAD的度數．
（2）求表AC的長（最后結果精確到0.1米）．
（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【考點】解直角三角形的應用．
【答案】（1）47°；
（2）3.3米．
【點撥】（1）根據三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角的和解答即可；
（2）分別求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一個只含有AC的關系式，再解答即可．
【解析】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度數是47°．
（2）在Rt△ABC中，，
∴．
在Rt△ADC中，，
∵BD＝4，
∴，
∴，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的長是3.3米．
【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質和三角函數，熟練掌握建模思想是解決本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 麗水）如圖，某工廠為了提升生產過程中所產生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設備上增加一條管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的總長．
【考點】解直角三角形的應用．
【答案】18m．
【點撥】過點D作DE⊥AB于點E，則∠AED＝90°，四邊形BCDE是矩形，得BE＝CD＝4m，則AE＝7m，再由銳角三角函數定義求出AD＝14m，即可解決問題．
【解析】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，
則∠AED＝90°，四邊形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4m，
∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），
∵∠A＝60°，
∴cosA＝＝cos60°＝，
∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），
∴AD+CD＝14+4＝18（m），
即管道A﹣D﹣C的總長為18m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用以及銳角三角函數定義等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
1．（2023 金華模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，則AB的值為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7.5
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】C
【點撥】根據正弦函數的定義即可直接求解．
【解析】解：∵sinA＝＝，
設BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴3x＝6，
解得x＝2，
∴AB＝10．
故選：C．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，解決本題的關鍵是掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
2．（2021 長興縣模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（　　）
A． B． C． D．
【考點】同角三角函數的關系．
【答案】D
【點撥】根據tanA＝求出第三邊長的表達式，求出cosA即可．
【解析】解：如圖：
設BC＝5x，
∵tanA＝，
∴AC＝12x，AB＝＝13x，
∴cosA＝＝＝．
故選：D．
【點睛】本題利用了勾股定理和銳角三角函數的定義．解題的關鍵是掌握勾股定理和銳角三角函數的定義．
3．（2001 湖州）sin230°+cos230°的值為（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考點】同角三角函數的關系；特殊角的三角函數值．
【答案】A
【點撥】根據特殊角的三角函數值計算即可．
【解析】解：因為sin30°＝，cos30°＝，
所以sin230°+cos230°＝+＝1，
所以sin230°+cos230°＝1．
故選：A．
【點睛】本題考查特殊角三角函數值的計算，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，要掌握特殊角度的三角函數值．
4．（2022 寧波三模）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（　　）
A． B． C．2 D．
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】D
【點撥】首先構造以A為銳角的直角三角形，然后利用正切的定義即可求解．
【解析】解：連接BD．
則BD＝，AD＝2，
則tanA＝＝＝．
故選：D．
【點睛】本題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，構造直角三角形是本題的關鍵．
5．（2023 臨平區二模）如圖，在△ABC中，∠B和∠C都是銳角，若∠B＝α，∠C＝β，則（　　）
A．AB cosβ＝AC cosα B．AB sinα＝AC cosβ C．AB sinα＝AC sinβ D．AB sinβ＝AC sinα
【考點】解直角三角形．
【答案】C
【點撥】過點A作AD⊥BC于D，則sinB＝，sinC＝，∠B＝α，∠C＝β，于是AB sinα＝AC sinβ，得到答案．
【解析】解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，
則∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sinB＝，sinC＝，∠B＝α，∠C＝β，
∴AD＝AB sinα，AD＝AC sinβ，
∴AB sinα＝AC sinβ，
故選：C．
【點睛】本題考查了解直角三角形，合理添加輔助線構造直角三角形，熟練運用三角函數的定義是解題的關鍵．
6．（2022 金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（　　）
A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m
【考點】解直角三角形的應用．
【答案】B
【點撥】過點A作AD⊥BC于點D，利用直角三角形的邊角關系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房頂A離地面EF的高度．
【解析】解：過點A作AD⊥BC于點D，如圖，
∵它是一個軸對稱圖形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC＝，
∴AD＝BD tanα＝3tanα m．
∴房頂A離地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的意義，軸對稱的性質，等腰三角形的三線合一，利用直角三角形的邊角關系定理求得AD的長是解題的關鍵．
7．（2021 金華）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為α，則兩梯腳之間的距離BC為（　　）
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．
【答案】A
【點撥】直接利用等腰三角形的性質得出BD＝DC，再利用銳角三角函數關系得出DC的長，即可得出答案．
【解析】解：過點A作AD⊥BC于點D，
∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴cosα＝＝，
∴DC＝2cosα（米），
∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用以及等腰三角形的性質，正確表示出DC的長是解題關鍵．
8．（2023 衢州）如圖，一款可調節的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調節桿，AB＝b，AB的最大仰角為α．當∠C＝45°時，則點A到桌面的最大高度是（　　）
A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα
【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．
【答案】D
【點撥】過點A作AF⊥BE于F，過點B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsinα，BG＝a，根據點A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案
【解析】解：如圖，過點A作AF⊥BE于F，過點B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF＝AB sinα＝bsinα，
在Rt△BCG中，BG＝BC sin45°＝a×＝a，
∴點A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，
故選：D．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題關鍵是添加輔助線，構造直角三角形，利用解直角三角形解決問題．
9．（2023 杭州）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考點】解直角三角形的應用；勾股定理的證明．
【答案】C
【點撥】設AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化簡可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，結合勾股定理及正方形的面積公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，進而可求解n的值．
【解析】解：設AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故選：C．
【點睛】本題主要考查勾股定理的證明，解直角三角形的應用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解題的關鍵．
10．（2023 杭州二模）計算：tan60°﹣sin60°＝　　．
【考點】特殊角的三角函數值．
【答案】
【點撥】代入特殊角的三角函數值進行計算即可．
【解析】解：原式＝﹣＝（1﹣）＝，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，關鍵是熟練掌握30°、45°、60°角的各種三角函數值．
11．（2021 湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，則sinB的值是 　　．
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】容
【點撥】根據在直角三角形中sinB＝，代值計算即可得出答案．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，
∴sinB＝＝．
故答案為：．
【點睛】此題考查了銳角三角函數的定義，熟練掌握在直角三角形中，正弦＝是解題的關鍵．
12．（2022 嘉興二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，則sinB的值為 　　．
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】．
【點撥】根據勾股定理，可得AB，根據銳角三角函數的正弦等于對邊比斜邊，可得答案．
【解析】解：設AC＝x，BC＝2x，由勾股定理，得
AB＝，
由三角函數的正弦等于對邊比斜邊，得
sinB＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
13．（2021 上城區二模）比較sin30°和cos30°的大小，用“＜”連接　sin30°＜cos30°　．
【考點】銳角三角函數的增減性；特殊角的三角函數值．
【答案】sin30°＜cos30°．
【點撥】將余弦轉化為正弦，根據正弦的銳角三角函數的增減性比較大小即可．
【解析】解：∵cos30°＝sin60°，正弦的銳角三角函數值隨角度的增大而增大，
∴sin30°＜sin60°，
故答案為：sin30°＜cos30°．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的增減性，將余弦轉化為正弦是解題的關鍵．
14．（2022 蕭山區校級一模）如圖，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，則AC的長為 　　．
【考點】解直角三角形．
【答案】．
【點撥】過點A作AD⊥BC，垂足為D，先在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義求出AD的長，再在Rt△ADC中，利用銳角三角函數的定義求出CD的長，然后根據勾股定理求出AC的長即可解答．
【解析】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，
在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝4，
∴AD＝AB sinB＝4×＝1，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴DC＝＝＝2，
∴AC＝＝＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
15．（2020 鹿城區校級二模）如圖，一輛小車沿傾斜角為α的斜坡向上行駛26米，已知cosα＝，則小車上升的高度是 　10　米．
【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．
【答案】10．
【點撥】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
【解析】解：如圖，當AC＝26米，CB⊥AB，
∵cosα＝＝，
∴AB＝24米，
∴BC＝＝＝10（米），
∴小車上升的高度是10m．
故答案為：10．
【點睛】此題主要考查解直角三角形，銳角三角函數，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．
16．（2023 拱墅區二模）如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上，且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是　　．
【考點】解直角三角形．
【答案】．
【點撥】如圖以O為圓心，1為半徑作⊙O，首先算出∠ABD的正切值，根據圓周角定理可得∠AED＝∠ABD，進而得到∠AED的正切值．
【解析】解：如圖以O為圓心，1為半徑作⊙O，
∵AB＝2，AC＝1．
∴∠ABD的正切值＝＝，
∵∠AED＝∠ABD，
∴∠AED的正切值是，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了圓周角定理以及銳角三角函數，關鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
17．（2023 金東區二模）如圖，一個立方體有蓋盒子，棱長為8cm，當正方形PDCS合上時，點A與點P重合，點B與點S重合，此時，兩個全等的長方形ADFE與長方形BCHG向內合上，且頂點E，G都落在AB邊上，點E在點G的右側，EG＝2cm．
（1）AE的長度是 　5　cm．
（2）長方形ADFE和長方形BCHG，從底面ABCD翻開的過程中，當EG＝1cm且∠EAB最大時，∠EAB的余弦值為 　　．
【考點】解直角三角形；認識立體圖形．
【答案】（1）5；
（2）．
【點撥】（1）由兩個全等的長方ADFE與長方BCHG向內合上，且頂點E，G都落AB邊上，點E在點G的右側．EG＝2cm可得AE＝BG，AG＝BE，2AG+2＝8，解得：AG＝3，可得AE＝3+2＝5（cm）；
（2）從底ABCD翻開的過程中，EG＝1cm且∠EAB最大時，如圖示：過E作EM⊥AB于M，過G作GN⊥AB于N，由題意可得：EG∥，AE＝BG＝5，可得EM＝GN，EG＝MN＝1，證明Rt△AEM≌Rt△BGN，AM＝BN＝，可得∠EAB的余弦值為＝．
【解析】解：（1）∵兩個全等的長方形ADFE與長方形BCHG向內合上，且頂點E，G都落在AB邊上，
點E在點G的右側，EG＝2cm．
∴AE＝BG，
∴AG＝BE，
∴2AG+2＝8，解得：AG＝3，
∴AE＝3+2＝5（cm），
故答案為：5；
（2）從底面ABCD翻開的過程中，當EG＝1cm且∠EAB最大時，如圖：
過E作EM⊥AB于M，
由題意可得AE2﹣AM2＝BE2﹣BM2，
∴52﹣AM2＝62﹣（8﹣AM）2，
∴AM＝，
∴AM＝BN＝，
∴∠EAB的余弦值為＝．
答案為：．
【點睛】本題考查的是線段的和差運算，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，求解銳角的余弦，理解題意，利用數形結合的方法解題是關鍵．
18．（2022 金華）計算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
【考點】特殊角的三角函數值；絕對值；算術平方根；實數的運算；零指數冪．
【答案】見試題解答內容
【點撥】直接利用零指數冪的性質以及特殊角的三角函數值、絕對值的性質、算術平方根分別化簡，進而計算得出答案．
【解析】解：原式＝1﹣2×1+2+3
＝1﹣2+2+3
＝4．
【點睛】此題主要考查了零指數冪的性質以及特殊角的三角函數值、絕對值的性質、算術平方根，正確化簡各數是解題關鍵．
19．（2022 寧波）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災減災意識，某消防大隊進行了消防演習．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點B轉動，其底部B離地面的距離BC為2m，當云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時，底部B到EF的距離BD為9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此時云梯AB的長．
（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸到險情處？請說明理由．
（參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【考點】解直角三角形的應用．
【答案】（1）此時云梯AB的長為15m；
（2）在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處，理由見解答．
【點撥】（1）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義求出AB的長，即可解答；
（2）根據題意可得DE＝BC＝2m，從而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義求出AB的長，進行比較即可解答．
【解析】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此時云梯AB的長為15m；
（2）在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處，
理由：由題意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
20．（2023 舟山）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識別的最遠水平距離OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別？
（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別，社區及時將攝像頭的仰角、俯角都調整為20°（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．
（精確到0.1cm，參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；視點、視角和盲區；全等三角形的判定與性質．
【答案】（1）小杜最少需要下蹲12.9厘米才能被識別；
（2）踮起腳尖小若能被識別．
【點撥】（1）過C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點E，D，交水平線于點F，在Rt△AEF中，根據三角函數的定義得到EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根據全等三角形的性質得到結論；
（2）如圖2，過B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P，根據三角函數的定義得到MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根據全等三角形的性質得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到結論．
【解析】解：（1）過C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點E，D，交水平線于點F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（ASA），
∴EF＝DF＝35.1cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被識別；
（2）如圖2，過B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），
∴小若踮起腳尖后頭頂的高度為120+3＝123（cm），
∴小若頭頂超出點N的高度為：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起腳尖小若能被識別．
【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，正確作出輔助線是解題關鍵．
21．（2023 紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點A，支架CG⊥CD交OA于點G，支架DE平行地面OB，籃筐EF與支架DE在同一直線上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度數；
（2）某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在凳子上，最高可以把籃網掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．（參考數據：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【考點】解直角三角形的應用．
【答案】（1）∠GAC的度數為58°；
（2）該運動員能掛上籃網，理由見解答．
【點撥】（1）根據垂直定義可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算，即可解答；
（2）延長OA，ED交于點M，根據垂直定義可得∠AOB＝90°，從而利用平行線的性質可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根據對頂角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用銳角三角函數的定義求出AM的長，從而利用線段的和差關系求出MO的長，比較即可解答．
【解析】解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度數為58°；
（2）該運動員能掛上籃網，
理由如下：延長OA，ED交于點M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），
∵2.924米＜3米，
∴該運動員能掛上籃網．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
1．（2023 西湖區一模）cos30°等于（　　）
A． B． C． D．
【考點】特殊角的三角函數值．
【答案】D
【點撥】根據特殊角的三角函數值即可直接求解．
【解析】解：cos30°＝．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，是基礎題目，比較簡單，熟練記憶特殊角的三角函數值是解題關鍵．
2．（2022 拱墅區模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，則sinB的值為（　　）
A． B． C． D．2
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】A
【點撥】先設BC＝a，AC＝2a，利用勾股定理求出AB的長，然后根據銳角三角函數的定義判斷即可．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，
∴設BC＝a，AC＝2a，
∴AB＝＝＝a，
∴sinB＝＝＝，
故選：A．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，熟練掌握銳角三角函數的正弦，余弦，正切是解題的關鍵．
3．（2021 余杭區一模）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，則tanA的值為（　　）
A． B． C． D．
【考點】互余兩角三角函數的關系．
【答案】C
【點撥】利用余弦的定義得到cosB＝＝，設BC＝x，AB＝3x，則可求出AC＝2x，然后根據正切的定義求解．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴cosB＝＝，
設BC＝x，AB＝3x，則AC＝2x，
∴tanA＝＝＝．
故選：C．
【點睛】本題考查了互余兩角三角函數的關系：若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．也考查了銳角三角函數的定義．
4．（2023 西湖區模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，定義：斜邊與∠A的對邊的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如設該直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，那么下列說法正確的是（　　）
A．cscB sinA＝1 B． C．cscA cosB＝1 D．csc2A+csc2B＝1
【考點】同角三角函數的關系．
【答案】C
【點撥】根據余割的定義：斜邊與∠A的對邊的比進行計算，再選擇即可．
【解析】解：根據定義得，cscB＝，故B不符合題意；
cscB sinA＝ ＝，故A不符合題意；
cscA cosB＝ ＝1，故C符合題意；
csc2A+csc2B＝+＝，故D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，同角三角函數的關系，掌握余割的定義：斜邊與∠A的對邊的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示，是解題的關鍵
5．（2023 拱墅區二模）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，D是BC上一點，連接AD，若∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，則CD的長可表示為（　　）
A．acosβ B．asinα C． D．
【考點】解直角三角形．
【答案】C
【點撥】在Rt△ACD中，先用CD表示出AC，然后在Rt△ACB中用sinα表示即可．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ADC＝β，
在Rt△ACD中，AC＝tanβ CD，
∵∠B＝α，AB＝a，
在Rt△ACB中，sinα＝，
∴tanβ CD＝sinα AB，
即CD＝．
故選：C．
【點睛】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數的定義并靈活運用是解題的關鍵．
6．（2021 紹興模擬）已知△ABC是銳角三角形，若AB＞AC，則（　　）
A．sinA＜sinB B．sinB＜sinC C．sinA＜sinC D．sinC＜sinA
【考點】銳角三角函數的增減性．
【答案】B
【點撥】大邊對大角，可得∠C＞∠B，當角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）；依此即可求解．
【解析】解：△ABC是銳角三角形，若AB＞AC，
則∠C＞∠B，
則sinB＜sinC．
故選：B．
【點睛】考查了銳角三角函數的增減性，當角度在0°～90°間變化時，①正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）；②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）；③正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）．
7．（2021 溫州）圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，則OC2的值為（　　）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
【考點】解直角三角形的應用；勾股定理．
【答案】A
【點撥】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的長度，在Rt△OBC中，根據勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案．
【解析】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴OC2＝（）2+12＝．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的方法進行計算是解決本題的關鍵．
8．（2022 鹿城區校級三模）“兒童放學歸來早，忙趁東風放紙鳶”，小明周末在龍潭公園草坪上放風箏，已知風箏拉線長100米且拉線與地面夾角為65°（如圖所示，假設拉線是直的，小明身高忽略不計），則風箏離地面的高度可以表示為（　　）
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．
【答案】A
【點撥】過點A作AC⊥BC于C，根據正弦的定義解答即可．
【解析】解：如圖，過點A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB＝，
則AC＝AB sinB＝100sin65°（米），
故選：A．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
9．（2023 龍港市一模）圖1是一地鐵站入口的雙翼閘機，雙翼展開時示意圖如圖2所示，它是一個軸對稱圖形，AC＝40cm，則雙翼邊緣端點C與D之間的距離為（　　）
A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm
【考點】解直角三角形的應用；軸對稱圖形．
【答案】D
【點撥】作輔助線如圖，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，解直角三角形ACE求出CE＝40sinα cm，然后根據CD＝EF﹣2CE即可得出答案．
【解析】解：如圖，作直線CD，交雙翼閘機于點E、F，則CE⊥AE，DF⊥BF，
由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，
在直角三角形ACE中，
CE＝AC sinα＝40sinα，
∴CD＝EF﹣2CE＝（60﹣80sinα）cm．
故選：D．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，正確理解題意、熟練掌握銳角三角函數的知識是解題的關鍵．
10．（2023 金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E為AB上一點且AE＝4EB，EF⊥AC于F，連結FB，則tan∠CFB＝（　　）
A． B． C． D．
【考點】解直角三角形；含30度角的直角三角形．
【答案】D
【點撥】先根據EF⊥AC及∠C＝90°得到EF∥BC，從而得到，再在Rt△ABC中，∠A＝30°，設AB＝2x，則BC＝x，AC＝，從而表示出CF，最后根據銳角三角函數的定義求出tan∠CFB．
【解析】解：∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
設AB＝2x，則CB＝x，
∴AC＝，
∴CF＝AC＝，
∴tan∠CFB＝＝．
故選：D．
【點睛】本題主要考查解直角三角形，涉及到平行線的判定，平行線分線段成比例，勾股定理，銳角三角函數的定義等，解題關鍵是熟練使用相關概念進行推理．
11．（2020 拱墅區二模）若sinα＝cos60°，則銳角α＝　45°　．
【考點】特殊角的三角函數值．
【答案】45°
【點撥】根據30°，45°，60°角的三角函數值解答即可．
【解析】解：∵sinα＝cos60°＝×＝，
∴α＝45°．
故答案為：45°．
【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．
12．（2023 杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，sinB＝　　．
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】．
【點撥】根據題意畫出圖形，由勾股定理求出BC的長，再由銳角三角函數的定義進行解答即可．
【解析】解：如圖所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，
∴AC＝
＝
＝6，
∴sinB＝＝＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是銳角三角函數的定義，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．
13．（2022 龍泉市一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，則BC＝　4　．
【考點】銳角三角函數的定義．
【答案】4．
【點撥】在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義，進行計算即可解答．
【解析】解：∵∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，
∴BC＝AB sinA＝12×＝4，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
14．（2023 西湖區模擬）如圖，CD⊥AD于點D，若，，則tan∠ABC＝　　．
【考點】解直角三角形．
【答案】．
【點撥】由題意可得：，可求得，，則可求解．
【解析】解：∵CD⊥AD，，
∴，
∴，AD＝，
∵，
∴，
∴，
∴tan∠ABC＝＝．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查解直角三角形，解答的關鍵是由已知條件求得．
15．（2023 鄞州區校級模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝5，CD＝3，，則線段AD的長 　2+3　．
【考點】解直角三角形；勾股定理．
【答案】2+3．
【點撥】過B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，證明△AFE∽△BCE，推出，可得AF＝6，由△BDF∽△ADC推出FD：DC＝BD：AD，設FD長為x，由此構建方程求解x，進一步求得結果；
【解析】解：過B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，如圖，
過B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，
∵tan∠BAE＝，
∵∠C+∠EBC＝90°，∠C+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠EBC，
∵∠AEF＝∠BEC＝90°
∴△AFE∽△BCE，
∴，
∵BC＝BD+CD＝8，
∴AF＝6，
又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BDF∽△ADC，
∴FD：DC＝BD：AD，
設FD長為x，則：
x：3＝5：（x+6），
解得：x＝2﹣3或﹣2﹣3（舍去），
∴AD＝AF+FD＝6+2﹣3＝2+3．
故答案為：2+3．
【點睛】本題考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形．
16．（2022 衢州二模）如圖1是一臺手機支架，圖2是其側面示意圖，線段AB，BC可分別繞點A，B轉動，已知AB＝18cm．當AB轉動到∠BAD＝30°，BC轉動到與AD垂直時，點C恰好落在AD上；當AB轉動到∠BAD＝60°，BC轉動到∠ABC＝50°時，點C到AD的距離為 　7.1　cm．（結果保留小數點后一位，參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，）
【考點】解直角三角形的應用．
【答案】7.1．
【點撥】當AB轉動到∠BAD＝30°，BC轉動到與AD垂直時，點C恰好落在AD上，先在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義求出BC的長，當AB轉動到∠BAD＝60°，BC轉動到∠ABC＝50°時，過點B作BF⊥AD，垂足為F，過點C作CG⊥BF，垂足為G，過點C作CE⊥AD，垂足為E，根據題意可得FG＝CE，∠BGC＝90°，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數的定義求出BF的長，再在Rt△BCG中，利用銳角三角函數的定義求出BG的長，進行計算即可解答．
【解析】解：當AB轉動到∠BAD＝30°，BC轉動到與AD垂直時，點C恰好落在AD上，如圖：
在Rt△ABC中，BC＝AB＝×18＝9（cm），
當AB轉動到∠BAD＝60°，BC轉動到∠ABC＝50°時，如圖：
過點B作BF⊥AD，垂足為F，過點C作CG⊥BF，垂足為G，過點C作CE⊥AD，垂足為E，
則FG＝CE，∠BGC＝90°，
在Rt△ABF中，AB＝18cm，∠BAD＝60°，
∴BF＝AB sin60°＝18×＝9（cm），
∠ABF＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABF＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝70°，
在Rt△BCG中，BC＝9cm，
∴BG＝BC sin70°≈9×0.94＝8.46（cm），
∴CE＝FG＝BF﹣BG＝9﹣8.46≈7.1（cm），
∴點C到AD的距離為7.1cm，
故答案為：7.1．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
17．（2023 婺城區模擬）計算：．
【考點】特殊角的三角函數值；實數的運算．
【答案】0．
【點撥】根據特殊角的三角函數值解決此題即可．
【解析】解：原式＝+﹣×
＝1﹣1
＝0．
【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的三角函數值是解決本題的關鍵．
18．（2022 湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．
【考點】銳角三角函數的定義；勾股定理．
【答案】4，．
【點撥】根據勾股定理求AC的長，根據正弦的定義求sinA的值．
【解析】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4，
sinA＝＝．
答：AC的長為4，sinA的值為．
【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數的定義，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．
19．（2022 臺州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結果精確到0.1m；參考數據：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．
【答案】2.9m．
【點撥】在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，解方程即可．
【解析】解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，
解得BC≈2.9．
答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵．
20．（2021 寧波模擬）已知：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）線段DC的長；
（2）tan∠ACB的值．
【考點】解直角三角形．
【答案】（1）5；（2）．
【點撥】（1）根據sinB＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，從而計算出CD；
（2）再利用三角函數，求出tan∠ACB的值即可．
【解析】解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴tan∠ACB＝＝．
【點睛】本題考查了解直角三角形中三角函數的應用，熟練掌握好三角形邊角之間的關系是解題的關鍵．
21．（2021 下城區一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25．AD是BC邊上的高，點E在邊AC上，EF⊥BC于點F．
（1）求證：sinB＝sin∠CEF．
（2）若AE＝5，求證：△ABD≌△CEF．
【考點】解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理．
【答案】（1）sinB＝sin∠CEF；
（2）△ABD≌△CEF．
【點撥】（1）首先根據AD是BC邊上的高，EF⊥BC于點F得出AD∥EF，然后根據等量代換得出∠B＝∠CEF，即可得到結果；
（2）首先根據勾股定理得出AC，進而得出CE＝AB，再根據第（1）問的結論就可以證明△ABD≌△CEF．
【解析】解：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠CEF＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝∠CEF，
∴sinB＝sin∠CEF；
（2）∵AB＝15，BC＝25，
在Rt△ABC中，AC＝＝20，
∴CE＝AC﹣AE＝15，
在△ABD和△CEF中，
，
∴△ABD≌△CEF（AAS）．
【點睛】本題考查解直角三角形，全等三角形的判定，勾股定理，利用相等的角三角函數值相等是解第（1）問的關鍵，通過勾股定理得出線段長度是解第（2）問的關鍵．
22．（2023 衢州二模）如圖，準備在寬24米的迎賓大道AB路邊安裝路燈，設計要求：路燈的燈臂CD長4米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，燈柱BC與大道路面AB垂直，此時O恰好為AB中點．
（1）∠DOB的度數為 　60　°．
（2）現在由于道路兩邊都要裝路燈，要求，且燈臂CD縮短為1米，其它的位置關系不變．則現在路燈的燈柱BC高度應該比原設計高度縮短了 　　米．
【考點】解直角三角形的應用．
【答案】（1）60．
（2）．
【點撥】（1）利用四邊形的內角和即可求出∠DOB；
（2）延長OD，BC交于E，由直角三角形的性質求出BE，CE的長，即可求出BC的長，即可解答．
【解析】解：（1）∵OD⊥DC，BC⊥AB，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠DOB＝360°﹣∠ODC﹣∠DCB﹣∠ABC＝60°，
故答案為：60．
（2）如圖，延長OD，BC交于點E，
在Rt△OBE中，∠E＝90°﹣∠EOB＝90°﹣60°＝30°，
當DC＝4米時，點O為AB的中點，
∴（米），
∴OE＝2OB＝24（米），
∴（米），
在Rt△DCE中，∠EDC＝90°，CE＝2DC＝2×4＝8（米），
∴ 米，
當DC＝1 米時，在Rt△DCE中，∠EDC＝90°，
∴CE＝2DC＝2×1＝2（米），
∵AB＝24 米，，
∴（米），
∴OE＝2OB＝2×6＝12（米），
∴（米），
∴ 米，
∴BC高度應該比原設計高度縮短了： 米，
故答案為：．
【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是延長OD，BC交于E，構造直角三角形．
23．（2023 溫州）根據背景素材，探索解決問題．
測算發射塔的高度
背景素材 某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠處小山坡上發射塔的高度MN（如圖1），他們通過自制的測傾儀（如圖2）在A，B，C三個位置觀測，測傾儀上的示數如圖3所示．
經討論，只需選擇其中兩個合適的位置，通過測量、換算就能計算發射塔的高度
問題解決
任務1 分析規劃 選擇兩個觀測位置：點 　A　和點 　B（答案不唯一）　．
獲取數據 寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點之間的圖上距離．
任務2 推理計算 計算發射塔的圖上高度MN．
任務3 換算高度 樓房實際寬度DE為12米，請通過測量換算發射塔的實際高度．
注：測量時，以答題紙上的圖上距離為準，并精確到1mm．
【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．
【答案】任務1：A、B；tan∠MBG＝，tan∠MAF＝，tan∠MBG＝，測得圖上AB＝4mm；
任務2：MN＝18mm；
任務3：43.2m．
【點撥】通過作垂線，構造直角三角形，依據直角三角形的邊角關系進行計算即可．
【解析】解：任務1：【分析規劃】選擇點A和點B（答案不唯一），
故答案為：A、B（答案不唯一）；
【獲取數據】tan∠MBG＝，tan∠MAF＝，tan∠MBG＝，測得圖上AB＝4mm；
任務2：如圖1，過點A作AF⊥MN于點F，過點B作BG⊥MN于點G，則FG＝AB＝4mm，
設MF＝x mm，則MG＝（x+4）mm，
∵tan∠MAF＝＝，
tan∠MBG＝＝，
∴AF＝4x，BG＝3x+12，
∵AF＝BG，即4x＝3x+12，
∴x＝12，
即MF＝12mm，
∴AF＝BG＝4x＝48（mm），
∵tan∠FAN＝＝，
∴FN＝6mm，
∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），
任務3：測得圖上DE＝5mm，設發射塔的實際高度為h m，由題意得，
＝，
解得h＝43.2（m），
∴發射塔的實際高度為43.2m．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．
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第四章 圖形與變換
第六節 解直角三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 銳角三角函數 ☆☆☆ 銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點,其考察內容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數值，③解直角三角形與其應用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型.預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.
考點2 解直角三角形 ☆☆
考點3 解直角三角形的應用 ☆☆
1．銳角三角函數的意義：
如圖，在Rt△ABC中，設∠C＝90°，∠α為Rt△ABC的一個銳角，則：
∠α的正弦sinα＝ ；
∠α的余弦cosα＝ ；
∠α的正切tanα＝ ；
2．同角三角函數之間的關系：
sin2A＋cos2A＝ ，tanA＝．
3．互余兩角三角函數之間的關系：
(1)sinα＝cos ，cosα＝sin ．
(2)tanα·tan ＝1.
(3)銳角的正弦值或正切值隨著角度的增大而 ，銳角的余弦值隨著角度的增大而 ．
(4)對于銳角A有0＜sinA＜1， ＜cosA＜ ，tanA＞0.
4．特殊的三角函數值：
三角函數 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
5．如圖，直角三角形的三條邊與三個角這六個元素中，有如下的關系：
(1)三邊的關系(勾股定理)：a2＋b2＝c2．
(2)兩銳角間的關系：∠A＋∠B＝90°．
(3)邊與角的關系：sinA＝cosB＝，
cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．
6．直角三角形的邊角關系在現實生活中有著廣泛的應用，它經常涉及測量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根據題意理解其中的含義才能正確解題．
(1)仰角：向上看時，視線與水平線的夾角，如圖．
(2)俯角：向下看時，視線與水平線的夾角，
(3)坡角：坡面與水平面的夾角．
(4)坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，一般情況下，我們用h表示坡的鉛直高度，用l表示坡的水平寬度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如圖．
(5)方向角：指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的銳角叫做方向角．
■考點一　銳角三角函數
◇典例1：（2023 淳安縣一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2022 蕭山區校級一模）cos45°＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 長興縣模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，則cosB的值為（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 錢塘區一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若3AB＝5AC，則tanA＝　　．
4．（2023 杭州一模）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，則tanA＝（　　）
A． B． C． D．
■考點二 解直角三角形
◇典例2：（2023 南潯區一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC的長和cosA的值．
◆變式訓練
1．（2023 東陽市三模）如圖，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，則點A到BC的距離為（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
2．（2022 西湖區校級一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C為銳角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面積；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
■考點三 解直角三角形的應用
◇典例3：（2022 紹興）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米．
（1）求∠BAD的度數．
（2）求表AC的長（最后結果精確到0.1米）．
（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
◆變式訓練
1．（2023 麗水）如圖，某工廠為了提升生產過程中所產生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設備上增加一條管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的總長．
1．（2023 金華模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，則AB的值為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7.5
2．（2021 長興縣模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2001 湖州）sin230°+cos230°的值為（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．（2022 寧波三模）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（　　）
A． B． C．2 D．
5．（2023 臨平區二模）如圖，在△ABC中，∠B和∠C都是銳角，若∠B＝α，∠C＝β，則（　　）
A．AB cosβ＝AC cosα B．AB sinα＝AC cosβ C．AB sinα＝AC sinβ D．AB sinβ＝AC sinα
6．（2022 金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（　　）
A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m
7．（2021 金華）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為α，則兩梯腳之間的距離BC為（　　）
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
8．（2023 衢州）如圖，一款可調節的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調節桿，AB＝b，AB的最大仰角為α．當∠C＝45°時，則點A到桌面的最大高度是（　　）
A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα
9．（2023 杭州）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2023 杭州二模）計算：tan60°﹣sin60°＝　　．
11．（2021 湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，則sinB的值是 　　．
12．（2022 嘉興二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，則sinB的值為 　　．
13．（2021 上城區二模）比較sin30°和cos30°的大小，用“＜”連接　 　．
14．（2022 蕭山區校級一模）如圖，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，則AC的長為 　　．
15．（2020 鹿城區校級二模）如圖，一輛小車沿傾斜角為α的斜坡向上行駛26米，已知cosα＝，則小車上升的高度是 　　米．
16．（2023 拱墅區二模）如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上，且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是　　．
17．（2023 金東區二模）如圖，一個立方體有蓋盒子，棱長為8cm，當正方形PDCS合上時，點A與點P重合，點B與點S重合，此時，兩個全等的長方形ADFE與長方形BCHG向內合上，且頂點E，G都落在AB邊上，點E在點G的右側，EG＝2cm．
（1）AE的長度是 　 　cm．
（2）長方形ADFE和長方形BCHG，從底面ABCD翻開的過程中，當EG＝1cm且∠EAB最大時，∠EAB的余弦值為 　　．
18．（2022 金華）計算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
19．（2022 寧波）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災減災意識，某消防大隊進行了消防演習．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點B轉動，其底部B離地面的距離BC為2m，當云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時，底部B到EF的距離BD為9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此時云梯AB的長．
（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸到險情處？請說明理由．
（參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
20．（2023 舟山）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識別的最遠水平距離OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別？
（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別，社區及時將攝像頭的仰角、俯角都調整為20°（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．
（精確到0.1cm，參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
21．（2023 紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點A，支架CG⊥CD交OA于點G，支架DE平行地面OB，籃筐EF與支架DE在同一直線上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度數；
（2）某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在凳子上，最高可以把籃網掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．（參考數據：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
1．（2023 西湖區一模）cos30°等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 拱墅區模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，則sinB的值為（　　）
A． B． C． D．2
3．（2021 余杭區一模）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，則tanA的值為（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 西湖區模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，定義：斜邊與∠A的對邊的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如設該直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，那么下列說法正確的是（　　）
A．cscB sinA＝1 B． C．cscA cosB＝1 D．csc2A+csc2B＝1
5．（2023 拱墅區二模）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，D是BC上一點，連接AD，若∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，則CD的長可表示為（　　）
A．acosβ B．asinα C． D．
6．（2021 紹興模擬）已知△ABC是銳角三角形，若AB＞AC，則（　　）
A．sinA＜sinB B．sinB＜sinC C．sinA＜sinC D．sinC＜sinA
7．（2021 溫州）圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，則OC2的值為（　　）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
8．（2022 鹿城區校級三模）“兒童放學歸來早，忙趁東風放紙鳶”，小明周末在龍潭公園草坪上放風箏，已知風箏拉線長100米且拉線與地面夾角為65°（如圖所示，假設拉線是直的，小明身高忽略不計），則風箏離地面的高度可以表示為（　　）
A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．
9．（2023 龍港市一模）圖1是一地鐵站入口的雙翼閘機，雙翼展開時示意圖如圖2所示，它是一個軸對稱圖形，AC＝40cm，則雙翼邊緣端點C與D之間的距離為（　　）
A．（60﹣40cosα）cm B．（60﹣40sinα）cm C．（60﹣80cosα）cm D．（60﹣80sinα）cm
10．（2023 金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E為AB上一點且AE＝4EB，EF⊥AC于F，連結FB，則tan∠CFB＝（　　）
A． B． C． D．
11．（2020 拱墅區二模）若sinα＝cos60°，則銳角α＝　　．
12．（2023 杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，sinB＝　　．
13．（2022 龍泉市一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，則BC＝　　．
14．（2023 西湖區模擬）如圖，CD⊥AD于點D，若，，則tan∠ABC＝　　．
15．（2023 鄞州區校級模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝5，CD＝3，，則線段AD的長 　　．
16．（2022 衢州二模）如圖1是一臺手機支架，圖2是其側面示意圖，線段AB，BC可分別繞點A，B轉動，已知AB＝18cm．當AB轉動到∠BAD＝30°，BC轉動到與AD垂直時，點C恰好落在AD上；當AB轉動到∠BAD＝60°，BC轉動到∠ABC＝50°時，點C到AD的距離為 　 　cm．（結果保留小數點后一位，參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，）
17．（2023 婺城區模擬）計算：．
18．（2022 湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．
19．（2022 臺州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結果精確到0.1m；參考數據：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
20．（2021 寧波模擬）已知：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）線段DC的長；
（2）tan∠ACB的值．
21．（2021 下城區一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25．AD是BC邊上的高，點E在邊AC上，EF⊥BC于點F．
（1）求證：sinB＝sin∠CEF．
（2）若AE＝5，求證：△ABD≌△CEF．
22．（2023 衢州二模）如圖，準備在寬24米的迎賓大道AB路邊安裝路燈，設計要求：路燈的燈臂CD長4米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，燈柱BC與大道路面AB垂直，此時O恰好為AB中點．
（1）∠DOB的度數為 　 　°．
（2）現在由于道路兩邊都要裝路燈，要求，且燈臂CD縮短為1米，其它的位置關系不變．則現在路燈的燈柱BC高度應該比原設計高度縮短了 　米．
23．（2023 溫州）根據背景素材，探索解決問題．
測算發射塔的高度
背景素材 某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠處小山坡上發射塔的高度MN（如圖1），他們通過自制的測傾儀（如圖2）在A，B，C三個位置觀測，測傾儀上的示數如圖3所示．
經討論，只需選擇其中兩個合適的位置，通過測量、換算就能計算發射塔的高度
問題解決
任務1 分析規劃 選擇兩個觀測位置：點 　 　和點 　 　．
獲取數據 寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點之間的圖上距離．
任務2 推理計算 計算發射塔的圖上高度MN．
任務3 換算高度 樓房實際寬度DE為12米，請通過測量換算發射塔的實際高度．
注：測量時，以答題紙上的圖上距離為準，并精確到1mm．
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