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第六章 圖形與變換
第四節 尺規作圖與定義、命題、定理
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 尺規作圖 ☆☆☆ 本考點內容以考查尺規作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為6分左右．預計2024年中考還將繼續考查這兩個知識點. 中考對尺規作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對作圖技法操作進行考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數學思維活動有效融合，既體現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力，為避免丟分，學生應扎實掌握．
考點2 定義、命題、定理 ☆☆
1.尺規作圖
（1）尺規作圖的定義：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規來畫圖稱為尺規作圖．
（2）五種基本作圖：
類型 圖示 作圖依據
作一條線段等于已知線段 圓上的點到圓心的距離等于半徑.
作一個角等于已知角 1)三邊分別相等的兩個三角形全等； 2)全等三角形的對應角相等； 3)兩點確定一條直線.
作一個角的平分線
作一條線段的垂直平分線 1)到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上； 2)兩點確定一條直線.
過一點作已知直線的垂線 1)等腰三角形“三線合一”；
2)兩點確定一條直線.
（3）根據基本作圖作三角形
①已知三角形的三邊，求作三角形；②已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；③已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；④已知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形；⑤已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形。
（4）與圓有關的尺規作圖
①過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓；②作三角形的內切圓。
(5)作圖題的一般步驟
①已知；②求作；③分析；④作法；⑤證明；⑥討論。其中步驟③④⑤⑥一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡
(6)尺規作圖的關鍵:①先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；②讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題。
(7)根據已知條件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的關鍵是確定三角形的三個頂點，作圖依據是三角形全等的判定，常借助基本作圖來完成，如作直角三角形就先作一個直角。
2.定義、命題、定理
（1）定義與命題
①一般地，對某一名稱或術語進行描述或作出規定就叫做該名稱或術語的定義．
②判斷一件事情的語句叫做命題．
③命題的組成：命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．
④命題的表達形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論．
（2）真命題與假命題
①正確的命題叫做真命題．錯誤的命題叫做假命題
②要說明一個命題是正確的，需要根據命題的題設和已學的有關公理、定理進行說明（推理、證明）．
③要說明一個命題是假命題，只需舉一個反例即可．
（3）逆命題
①把原命題的結論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結論，所組成的命題叫做原命題的逆命題．
②在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題．
③正確寫出一個命題的逆命題的關鍵是能夠正確區分這個命題的題設和結論．
④每個命題都有逆命題，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題．
（4）公理與定理
①如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理．
②如果一個命題可以從公理或其他命題出發，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的命題叫做定理．
③公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據．
④由定理直接推出的結論，并且和定理一樣可作為進一步推理依據的真命題叫做推論．
（5）逆定理
①如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．
②任何一個命題都有逆命題，而一個定理并不一定有逆定理．
③角平分線性質定理及其逆定理、線段的垂直平分線性質定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
（6）反證法
①定義：假設命題的結論不成立，即命題結論的反面成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法．
②反證法的步驟：①假設命題結論的反面正確；②從假設出發，經過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結論；③說明假設不成立，從而得出原命題正確．
■考點一　尺規作圖
◇典例1：（2023 衢州）如圖，在△ABC中，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E．分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于∠BAC內一點F．連結AF并延長，交BC于點G．連結DG，EG．添加下列條件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
◆變式訓練
1．（2022 舟山）用尺規作一個角的角平分線，下列作法中錯誤的是（　　）
A．B． C．D．
2．（2023 湖州）如圖，已知∠AOB，以點O為圓心，適當長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點，分別以點C，D為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠AOB內一點P，連結OP，過點P作直線PE∥OA，交OB于點E，過點P作直線PF∥OB，交OA于點F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，則四邊形PFOE的面積是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．（2023 臨沂一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，連接CD，下列結論錯誤的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
■考點二 定義、命題、定理
◇典例2：（2023 浙江模擬）下列命題中：①若a＞b，則a2＞b2 ②若|a|＝b，則a＝b；③對頂角相等；④兩邊一角對應相等的兩個三角形全等．是真命題的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
◆變式訓練
1．（2022 寧波模擬）下列命題：
①等腰三角形的角平分線、中線和高重合，②等腰三角形兩腰上的高相等；
③等腰三角形的最小邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；
⑤等腰三角形都是銳角三角形．其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2023 江北區一模）能說明命題“對于任意實數x，x2＞0”是假命題的一個反例可以是（　　）
A． B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣1
1．（2022 麗水二模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圓規和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 杭州）已知線段AB，按如下步驟作圖：①作射線AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分線AD；③以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交AD于點E；④過點E作EP⊥AB于點P，則AP：AB＝（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
3．（2022 金華模擬）下列選項中，可以用來證明命題“若a2＞b2，則a＞b“是假命題的反例是（　　）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1
4．（2022 定海區校級模擬）對于以下四個命題：①若直角三角形的兩條邊長為3與4，則第三邊的長是5；②；③若點P（a，b）在第三象限，則點Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④兩邊及其第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等，正確的說法是（　　）
A．只有①錯誤，其他正確 B．①②錯誤，③④正確
C．①④錯誤，②③正確 D．只有④錯誤，其他正確
5．（2023 義烏市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，現以A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點M，N．再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，射線AD交BC于點E，點F為AC的中點，連結EF．若AC＝4，BC＝6，則△CEF的面積為（　　）
A． B． C．7.5 D．7
6．（2023 臺州）如圖，銳角三角形ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD．下列命題中，假命題是（　　）
A．若CD＝BE，則∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，則CD＝BE
C．若BD＝CE，則∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，則BD＝CE
7．（2021 濱江區一模）下列命題中（　　）
①底邊和頂角對應相等的兩個等腰三角形全等；
②對角線相等的四邊形是矩形．
A．①正確②正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①錯誤②錯誤
8．（2021 寧波模擬）在下列命題中：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊三角形．正確的命題有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
9．（2023 錢塘區三模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10．以A為圓心，AM的長為半徑作弧，分別交AC，AB于點M、N．再分別以M、N為圓心，適當長度為半徑畫弧，兩弧交于點P．連接AP，并延長AP交BC于D．過D作DE⊥AC于點E，垂足為E，則DE的長度為（　　）
A． B． C．2 D．1
10．（2021 湖州）如圖，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC邊上的中線．按下列步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑作弧，相交于點M，N；②過點M，N作直線MN，分別交BC，BE于點D，O；③連接CO，DE．則下列結論錯誤的是（　　）
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE
11．（2022 湖州）命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命題是 　 　．
12．（2023 仙居縣一模）關于某個四邊形的三個特征描述：①對角線互相垂直；②對角線互相平分；③一組鄰邊相等．選擇其中兩個作為條件，另一個作為結論．若該命題是假命題，則選擇的條件是 　 　．（填序號）
13．（2022 紹興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線BA于點D，連結CD，則∠BCD的度數是 　．
14．（2023 諸暨市模擬）已知半徑為5的圓O中有一條長度為8的弦AB，分別以A，B為圓心，長度大于4為半徑作圓弧交于點M，N，連接MN，點C為直線MN與圓O的交點，點D為直線MN與弦AB的交點，則CD的長度為 　 　．
15．（2021 臺州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點，直線DE交BC于點F，連接AF．以點A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC延長線于點H，連接AH．若BC＝3，則△AFH的周長為 　 　．
16．（2023 婺城區模擬）如圖，點A、B、C在⊙O上且AB＝AC，AB⊥AC，請你利用直尺和圓規，用三種不同的方法，找到圓心O．（保留作圖痕跡）
17．（2022 寧波）圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構成的網格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，分別按要求畫出圖形．
（1）在圖1中畫出等腰三角形ABC，且點C在格點上．（畫出一個即可）
（2）在圖2中畫出以AB為邊的菱形ABDE，且點D，E均在格點上．
18．（2023 臺州）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD為對角線．
（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）已知AD＞AB，請用無刻度的直尺和圓規作菱形BEDF，頂點E，F分別在邊BC，AD上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
1．（2021 溫州模擬）下列命題是真命題的是（　　）
A．兩個銳角的和是銳角 B．對頂角相等 C．＝a D．若x2﹣x＝0，則x＝0
2．（2023 鄞州區校級一模）下列選項中，可以用來說明命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的例子是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝20° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90° D．∠A＝40°，∠B＝120°
3．（2023 上城區二模）如圖，分別以A、B為圓心，大于的長度為半徑作弧，交點分別為M、N，連接MN交AC于點D，下列說法一定正確的是（　　）
A．△ABD是直角三角形 B．△BCD是等腰三角形
C．△ABD是等腰三角形 D．△ABC是等腰三角形
4．（2023 舟山三模）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA、OB，使OA＝OB；分別以點A、B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四邊形AOBC的面積為8cm2．則OC的長為（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm
5．（2022 江北區模擬）下列命題為真命題的是（　　）
A．若|x|＝|y|，則x＝y B．若a＞b，則ac＞bc
C．任何一個角都比它的補角小 D．三角形的三條中線相交于一點
6．（2023 拱墅區三模）從下列四個命題中任選一個，是真命題的概率是（　　）
①同角的補角相等：
②一條直線截另外兩條直線所得到的同位角相等：
③有公共頂點且相等的兩個角是對頂角；
④兩個無理數之和仍為無理數
A．0 B． C． D．1
7．（2022 臺州）如圖，點D在△ABC的邊BC上，點P在射線AD上（不與點A，D重合），連接PB，PC．下列命題中，假命題是（　　）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，則PB＝PC B．若PB＝PC，AD⊥BC，則AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，則PB＝PC D．若PB＝PC，∠1＝∠2，則AB＝AC
8．（2022 衢州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，E，作直線DE分別交AC，BC于點F，G．以G為圓心，GC長為半徑畫弧，交BC于點H，連結AG，AH．則下列說法錯誤的是（　　）
A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG CB
9．（2023 浙江模擬）如圖，依據尺規作圖的痕跡，計算∠α＝（　　）
A．56° B．68° C．28° D．34°
10．（2023 南潯區二模）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，按下列步驟作圖：
①以點C為圓心，適當長度為半徑作圓弧，與CA，BC延長線分別交于M，N兩點；
②分別以M，N為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點D；
③過點C，D作射線CD．則∠DCN的度數為（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
11．（2023 平湖市一模）尺規作圖：過直線AB外一點P作直線AB的平行線．下列作法錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2023 嘉善縣一模）如圖，已知平行四邊形ABCD，AB＜BC，用尺規作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PC＝BC，則下列做法正確的是（　　）
A．B．C．D．
13．（2023 蕭山區二模）能說明命題“若X2＞16，則X＞4是假命題的一個反例可以是 　 .
14.（2022 長春模擬）用反證方法證明“在△ABC中，AB＝AC，則∠B必為銳角”的第一步是假設　　．
15．（2023 越城區模擬）如圖，Rt△ABC中∠ACB＝90°，線段CO為斜邊AB的中線．分別以點A和點O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于P，Q兩點，作過P、Q兩點的直線恰過點C，交AB于點D，若AD＝1，則BC的長是 　　．
16．（2023 紹興模擬）已知 Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點D，E，以C為圓心，AC長為半徑作弧，與直線DE交于點F，則∠FCB為 　　°．
17．（2023 桐鄉市一模）如圖，已知△ABC的面積為12，結合尺規作圖痕跡所提供的條件可知，△APC的面積為 　4　．
18．（2022 麗水）如圖，在6×6的方格紙中，點A，B，C均在格點上，試按要求畫出相應格點圖形．
（1）如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；
（2）如圖2，作一個軸對稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；
（3）如圖3，作一個與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
19．（2022 衢州）如圖，在4×4的方格紙中，點A，B在格點上．請按要求畫出格點線段（線段的端點在格點上），并寫出結論．
（1）在圖1中畫一條線段垂直AB．
（2）在圖2中畫一條線段平分AB．
20．（2022 上城區一模）如圖，將Rt△ABC的直角邊AC沿過點A的直線折疊，使點C恰好落在斜邊AB上．
（1）請用直尺和圓規作出折痕（只要求作出圖形，并保留作圖痕跡）．
（2）若∠B＝50°，求折痕與直角邊BC所形成的銳角度數．
21．（2023 杭州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的長；
（2）用尺規作三角形ABC的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．
22．（2023 東陽市三模）已知點M，N在矩形的邊上，利用直尺和圓規，按要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）如圖1，在矩形邊上找點E，F，使得MNEF為平行四邊形；
（2）如圖2，在矩形邊上找P，G，H三點，使得四邊形MPGH為菱形．
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第六章 圖形與變換
第四節 尺規作圖與定義、命題、定理
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 尺規作圖 ☆☆☆ 本考點內容以考查尺規作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為6分左右．預計2024年中考還將繼續考查這兩個知識點. 中考對尺規作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對作圖技法操作進行考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數學思維活動有效融合，既體現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力，為避免丟分，學生應扎實掌握．
考點2 定義、命題、定理 ☆☆
1.尺規作圖
（1）尺規作圖的定義：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規來畫圖稱為尺規作圖．
（2）五種基本作圖：
類型 圖示 作圖依據
作一條線段等于已知線段 圓上的點到圓心的距離等于半徑.
作一個角等于已知角 1)三邊分別相等的兩個三角形全等； 2)全等三角形的對應角相等； 3)兩點確定一條直線.
作一個角的平分線
作一條線段的垂直平分線 1)到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上； 2)兩點確定一條直線.
過一點作已知直線的垂線 1)等腰三角形“三線合一”；
2)兩點確定一條直線.
（3）根據基本作圖作三角形
①已知三角形的三邊，求作三角形；②已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；③已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；④已知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形；⑤已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形。
（4）與圓有關的尺規作圖
①過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓；②作三角形的內切圓。
(5)作圖題的一般步驟
①已知；②求作；③分析；④作法；⑤證明；⑥討論。其中步驟③④⑤⑥一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡
(6)尺規作圖的關鍵:①先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；②讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題。
(7)根據已知條件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的關鍵是確定三角形的三個頂點，作圖依據是三角形全等的判定，常借助基本作圖來完成，如作直角三角形就先作一個直角。
2.定義、命題、定理
（1）定義與命題
①一般地，對某一名稱或術語進行描述或作出規定就叫做該名稱或術語的定義．
②判斷一件事情的語句叫做命題．
③命題的組成：命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．
④命題的表達形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論．
（2）真命題與假命題
①正確的命題叫做真命題．錯誤的命題叫做假命題
②要說明一個命題是正確的，需要根據命題的題設和已學的有關公理、定理進行說明（推理、證明）．
③要說明一個命題是假命題，只需舉一個反例即可．
（3）逆命題
①把原命題的結論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結論，所組成的命題叫做原命題的逆命題．
②在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題．
③正確寫出一個命題的逆命題的關鍵是能夠正確區分這個命題的題設和結論．
④每個命題都有逆命題，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題．
（4）公理與定理
①如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理．
②如果一個命題可以從公理或其他命題出發，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的命題叫做定理．
③公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據．
④由定理直接推出的結論，并且和定理一樣可作為進一步推理依據的真命題叫做推論．
（5）逆定理
①如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．
②任何一個命題都有逆命題，而一個定理并不一定有逆定理．
③角平分線性質定理及其逆定理、線段的垂直平分線性質定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
（6）反證法
①定義：假設命題的結論不成立，即命題結論的反面成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法．
②反證法的步驟：①假設命題結論的反面正確；②從假設出發，經過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結論；③說明假設不成立，從而得出原命題正確．
■考點一　尺規作圖
◇典例1：（2023 衢州）如圖，在△ABC中，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E．分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于∠BAC內一點F．連結AF并延長，交BC于點G．連結DG，EG．添加下列條件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．
【答案】D
【點撥】根據題意可知AG是三角形的角平分線，再結合選項所給的條件逐次判斷能否得出BG＝CG即可．
【解析】解：根據題中所給的作圖步驟可知，
AB是△ABC的角平分線，即∠BAG＝∠CAG．
當AB＝AC時，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A選項不符合題意．
當AG⊥BC時，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B選項不符合題意．
當∠DGB＝∠EGC時，
因為∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
則方法同（2）可得出BG＝CG，
故C選項不符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 舟山）用尺規作一個角的角平分線，下列作法中錯誤的是（　　）
A．B． C．D．
【考點】作圖—基本作圖．
【答案】D
【點撥】根據各個選項中的作圖，可以判斷哪個選項符合題意．
【解析】解：由圖可知，選項A、B、C中的線都可以作為角平分線；
選項D中的圖作出的是平行四邊形，不能保證角中間的線是角平分線，
故選：D．
【點睛】本題考查作圖—基本作圖，解答本題的關鍵是明確角平分線的做法，利用數形結合的思想解答．
2．（2023 湖州）如圖，已知∠AOB，以點O為圓心，適當長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點，分別以點C，D為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠AOB內一點P，連結OP，過點P作直線PE∥OA，交OB于點E，過點P作直線PF∥OB，交OA于點F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，則四邊形PFOE的面積是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【考點】作圖—基本作圖；平行線的性質；角平分線的性質．
【答案】B
【點撥】過P作PE⊥OB于E，再判定四邊形OEPF為平行四邊形，再根據勾股定理求出邊和高，最后求出面積．
【解析】解：過P作PB⊥OB于B，
由作圖得：OP平分∠AOB，
∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴PB＝＝3cm，
∴OB＝＝3cm，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四邊形OEPF為平行四邊形，∠EPO＝∠POA＝30°，
∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，
設OE＝PE＝x cm，
在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，
即：x2﹣32＝（3﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S四邊形OEPF＝OE PB＝2×3＝6（cm）．
故選：B．
【點睛】本題考查了基本作圖，掌握平行四邊形的判定定理，勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的關鍵．
3．（2023 臨沂一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，連接CD，下列結論錯誤的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質．
【答案】D
【點撥】由題意可知：MN為AB的垂直平分線，可以得出AD＝BD；CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，得出CD＝BD；利用三角形的內角和得出∠A＝∠BED；因為∠A≠60°，得不出AC＝AD，無法得出EC＝ED，則∠ECD＝∠EDC不成立；由此選擇答案即可．
【解析】解：∵MN為AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，∠BDE＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD；
∵∠A+∠B＝∠B+∠BED＝90°，
∴∠A＝∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故選：D．
【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質以及直角三角形的性質．注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
■考點二 定義、命題、定理
◇典例2：（2023 浙江模擬）下列命題中：①若a＞b，則a2＞b2 ②若|a|＝b，則a＝b；③對頂角相等；④兩邊一角對應相等的兩個三角形全等．是真命題的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】命題與定理；全等三角形的判定．
【答案】A
【點撥】根據不等式的性質、絕對值的性質、對頂角的性質以及全等三角形的判定定理判斷即可．
【解析】解：①若a＞b，則a2＞b2或a2＝b2或a2＜b2，原命題是假命題；
②若|a|＝b，則a＝±b，原命題是假命題；
③對頂角相等，原命題是真命題；
④兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等，原命題是假命題；
故選：A．
【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
◆變式訓練
1．（2022 寧波模擬）下列命題：
①等腰三角形的角平分線、中線和高重合，②等腰三角形兩腰上的高相等；
③等腰三角形的最小邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；
⑤等腰三角形都是銳角三角形．其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】命題與定理；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質．
【答案】B
【點撥】根據等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的性質分別對每一項進行分析即可．
【解析】解：①等腰三角形的頂角的角平分線、底邊上的中線和高重合，故本選項錯誤，
②等腰三角形兩腰上的高相等，正確；
③等腰三角形的最小邊不一定是底邊，故本選項錯誤；
④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等，正確；
⑤等腰三角形不一定是銳角三角形，故本選項錯誤；
其中正確的有2個，
故選：B．
【點睛】此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
2．（2023 江北區一模）能說明命題“對于任意實數x，x2＞0”是假命題的一個反例可以是（　　）
A． B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣1
【考點】命題與定理；非負數的性質：偶次方；算術平方根．
【答案】C
【點撥】根據題意，只要舉例說明0的平方等于0即可．
【解析】解：∵02＝0，
∴當x＝0時，該命題是假命題，
故選：C．
【點睛】本題考查了舉反例說明命題是假命題，掌握以上知識是解題的關鍵．
1．（2022 麗水二模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圓規和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】作圖—尺規作圖的定義．
【答案】B
【點撥】A．由作法知AD＝AC，可判斷A；B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，可判斷B；C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，可判斷C；D．由作法知AD是∠BAC的平分線，根據角平分線的定義和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判斷D．
【解析】解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故選項A不符合題意；
B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故選項B符合題意；
C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故選項C不符合題意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故選項D不符合題意；
故選B．
【點睛】本題主要考查了尺規作圖，熟練掌握尺規作圖的五個基本圖形是解決問題的關鍵．
2．（2021 杭州）已知線段AB，按如下步驟作圖：①作射線AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分線AD；③以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交AD于點E；④過點E作EP⊥AB于點P，則AP：AB＝（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【考點】作圖—基本作圖；角平分線的性質；勾股定理．
【答案】D
【點撥】直接利用基本作圖方法得出AP＝PE，再結合等腰直角三角形的性質表示出AE，AP的長，即可得出答案．
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAB＝×90°＝45°，
∵EP⊥AB，
∴∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠AEP＝45°，
∴AP＝PE，
∴設AP＝PE＝x，
故AE＝AB＝x，
∴AP：AB＝x：x＝1：．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了基本作圖以及等腰直角三角形的性質，正確掌握基本作圖方法得出線段之間關系是解題關鍵．
3．（2022 金華模擬）下列選項中，可以用來證明命題“若a2＞b2，則a＞b“是假命題的反例是（　　）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1
【考點】命題與定理．
【答案】A
【點撥】據要證明一個結論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題．
【解析】解：∵當a＝﹣2，b＝1時，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，
∴a＝﹣2，b＝1是假命題的反例．
故選：A．
【點睛】此題考查的是命題與定理，要說明數學命題的錯誤，只需舉出一個反例即可這是數學中常用的一種方法．
4．（2022 定海區校級模擬）對于以下四個命題：①若直角三角形的兩條邊長為3與4，則第三邊的長是5；②；③若點P（a，b）在第三象限，則點Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④兩邊及其第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等，正確的說法是（　　）
A．只有①錯誤，其他正確 B．①②錯誤，③④正確
C．①④錯誤，②③正確 D．只有④錯誤，其他正確
【考點】命題與定理．
【答案】A
【點撥】根據勾股定理，平方根的運算，平面直角坐標系上點的特征，三角形全等的判定等知識逐項判定即可．
【解析】解：①錯誤，應該說明兩直角邊的長為3和4，則第三邊的長是5；
②正確，根據平方根的定義，；
③正確，若點P（a，b）在第三象限，則點Q（﹣a，﹣b）在第一象限；
④正確，作輔助線，倍長中線，可證明兩個三角形全等；
故選：A．
【點睛】本題主要考查命題與定理知識，熟練掌握勾股定理，平方根的運算，平面直角坐標系上點的特征，三角形全等的判定等知識是解答此題的關鍵．
5．（2023 義烏市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，現以A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點M，N．再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，射線AD交BC于點E，點F為AC的中點，連結EF．若AC＝4，BC＝6，則△CEF的面積為（　　）
A． B． C．7.5 D．7
【考點】作圖—基本作圖；角平分線的性質；等腰三角形的性質；勾股定理．
【答案】B
【點撥】利用等腰三角形的性質，求出AE，△CEF的面積，可得結論．
【解析】解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE＝EC＝3，
∴AE＝＝＝，
∴S△AEC＝×EC×AE＝×3×＝，
∵AF＝FC，
∴S△CEF＝S△CEF＝×＝．
故選：B．
【點睛】本題考查作圖﹣基本作圖，解直角三角形等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．
6．（2023 臺州）如圖，銳角三角形ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD．下列命題中，假命題是（　　）
A．若CD＝BE，則∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，則CD＝BE
C．若BD＝CE，則∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，則BD＝CE
【考點】命題與定理；等腰三角形的性質．
【答案】A
【點撥】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，可得△DCB≌△EBC（ASA），故CD＝BE，判斷選項B是真命題；BD＝CE，判斷選項D是真命題；根據BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，得△DCB≌△EBC（SAS），有∠DCB＝∠EBC，判斷選項C是真命題；不能證明CD＝BE時，∠DCB＝∠EBC，可判斷選項A是假命題．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，
∴△DCB≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE，故選項B是真命題，不符合題意；
BD＝CE，故選項D是真命題，不符合題意；
∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DCB＝∠EBC，故選項C是真命題，不符合題意；
不能證明CD＝BE時，∠DCB＝∠EBC，故選項A是假命題，符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查命題與定理，涉及全等三角形的判定與性質，等腰三角形性質及應用，解題的關鍵是掌握全等三角形判定定理．
7．（2021 濱江區一模）下列命題中（　　）
①底邊和頂角對應相等的兩個等腰三角形全等；
②對角線相等的四邊形是矩形．
A．①正確②正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①錯誤②錯誤
【考點】命題與定理．
【答案】B
【點撥】根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理、三角形全等的判定定理判斷①；
根據矩形的判定定理判斷②．
【解析】解：①當兩個等腰三角形的頂角對應相等時，它們的底角也對應相等，
∴這兩個等腰三角形全等，
∴底邊和頂角對應相等的兩個等腰三角形全等，說法正確；
②對角線相等的平行四邊形是矩形，故本小題說法錯誤；
故選：B．
【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握全等三角形的判定定理、三角形內角和定理、等腰三角形的性質、矩形的判定定理是解題的關鍵．
8．（2021 寧波模擬）在下列命題中：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊三角形．正確的命題有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【考點】命題與定理．
【答案】C
【點撥】根據有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，三個角相等的三角形是等邊三角形進行分析即可．
【解析】解：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形，命題正確；
②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形，命題錯誤；
③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形，命題錯誤；
④三個外角都相等的三角形是等邊三角形，命題正確，
正確的命題有2個，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了命題與定理，關鍵是掌握等邊三角形的判定方法．
9．（2023 錢塘區三模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10．以A為圓心，AM的長為半徑作弧，分別交AC，AB于點M、N．再分別以M、N為圓心，適當長度為半徑畫弧，兩弧交于點P．連接AP，并延長AP交BC于D．過D作DE⊥AC于點E，垂足為E，則DE的長度為（　　）
A． B． C．2 D．1
【考點】作圖—基本作圖；角平分線的性質；勾股定理．
【答案】A
【點撥】直接利用基本作圖方法得出：∠CAD＝∠BAD，再利用全等三角形的判定與性質得出AE＝AB，BD＝DE，結合勾股定理得出答案．
【解析】解：如圖所示：由題意可得：∠CAD＝∠BAD，
在△AED和△ABD中，
，
∴△AED≌△ABD（AAS），
∴AE＝AB，BD＝DE，
∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，
∴BC＝＝6，
設DE＝BD＝x，
則DC＝6﹣x，EC＝AC﹣AE＝10﹣8＝2，
故（6﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確應用勾股定理是解題關鍵．
10．（2021 湖州）如圖，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC邊上的中線．按下列步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑作弧，相交于點M，N；②過點M，N作直線MN，分別交BC，BE于點D，O；③連接CO，DE．則下列結論錯誤的是（　　）
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE
【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質；三角形中位線定理．
【答案】D
【點撥】利用基本作圖得到MN垂直平分BC，根據線段垂直平分線的性質得到OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，則可對A選項進行判斷，根據等腰三角形的“三線合一”可對B選項進行判斷；根據三角形中位線的性質對C選項進行判斷；由于DE＝AB，BD＝BC，AB≠BC，則可對D選項進行判斷．
【解析】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，所以A選項不符合題意；
∴OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD，所以B選項不符合題意；
∵AE＝CE，DB＝DC，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AB，所以C選項不符合題意；
DE＝AB，
而BD＝BC，
∵AB≠BC，
∴BD≠DE，所以D選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了三角形中位線性質．
11．（2022 湖州）命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命題是 　如果a＝b，那么|a|＝|b|　．
【考點】命題與定理．
【答案】如果a＝b，那么|a|＝|b|．
【點撥】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．
【解析】解：命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命題是如果a＝b，那么|a|＝|b|，
故答案為：如果a＝b，那么|a|＝|b|．
【點睛】本題考查的是逆命題的概念，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．
12．（2023 仙居縣一模）關于某個四邊形的三個特征描述：①對角線互相垂直；②對角線互相平分；③一組鄰邊相等．選擇其中兩個作為條件，另一個作為結論．若該命題是假命題，則選擇的條件是 　①③　．（填序號）
【考點】命題與定理；多邊形．
【答案】①③．
【點撥】根據平行四邊形的判定及性質、菱形的判定及性質逐一判定即可．
【解析】解：①②為條件，③為結論時為真命題：
對角線互相垂直且對角線互相平分的四邊形是菱形，菱形的鄰邊相等；
②③為條件，①為結論時為真命題：
對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，菱形的對角線互相垂直；
①③為條件，②為結論時為假命題：
由對角線互相垂直及一組鄰邊相等不能推出對角線互相平分；
故答案為：①③．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質、菱形的判定及性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．
13．（2022 紹興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線BA于點D，連結CD，則∠BCD的度數是 　10°或100°　．
【考點】作圖—基本作圖；三角形內角和定理；等腰三角形的判定與性質．
【答案】10°或100°．
【點撥】分兩種情況畫圖，由作圖可知得AC＝AD，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理解答即可．
【解析】解：如圖，點D即為所求；
在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
由作圖可知：AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；
由作圖可知：AC＝AD′，
∴∠ACD′＝∠AD′C，
∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，
∴∠AD′C＝40°，
∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
綜上所述：∠BCD的度數是10°或100°．
故答案為：10°或100°．
【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖，三角形內角和定理，等腰三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．
14．（2023 諸暨市模擬）已知半徑為5的圓O中有一條長度為8的弦AB，分別以A，B為圓心，長度大于4為半徑作圓弧交于點M，N，連接MN，點C為直線MN與圓O的交點，點D為直線MN與弦AB的交點，則CD的長度為 　8或2　．
【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質．
【答案】8或2．
【點撥】如圖，連接OA，由作圖知，直線MN垂直平分AB，求得∠ADO＝90°，AD＝AB＝，根據勾股定理即可得到結論．
【解析】解：如圖，連接OA，
由作圖知，直線MN垂直平分AB，
∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝，
∴OD＝＝＝3，
∴CD＝OC+OD＝5+3＝8，C′D＝OC′﹣OD＝5﹣3＝2，
∴CD的長度為8或2，
故答案為：8或2．
【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
15．（2021 臺州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點，直線DE交BC于點F，連接AF．以點A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC延長線于點H，連接AH．若BC＝3，則△AFH的周長為 　6　．
【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質．
【答案】見解析
【點撥】直接利用基本作圖方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案．
【解析】解：由基本作圖方法得出：DE垂直平分AB，
則AF＝BF，
可得AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3，
∴△AFH的周長為：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．
故答案為：6．
【點睛】此題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質等知識，正確得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC是解題關鍵．
16．（2023 婺城區模擬）如圖，點A、B、C在⊙O上且AB＝AC，AB⊥AC，請你利用直尺和圓規，用三種不同的方法，找到圓心O．（保留作圖痕跡）
【考點】作圖—復雜作圖；等腰直角三角形；圓周角定理．
【答案】解析
【點撥】根據三角形外心的定義畫出圖形即可．
【解析】解：如圖，點O即為所求．
【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖，等腰直角三角形的性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
17．（2022 寧波）圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構成的網格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，分別按要求畫出圖形．
（1）在圖1中畫出等腰三角形ABC，且點C在格點上．（畫出一個即可）
（2）在圖2中畫出以AB為邊的菱形ABDE，且點D，E均在格點上．
【考點】作圖—復雜作圖．
【答案】（1）見解析．
（2）見解答．
【點撥】（1）結合等腰三角形的性質，找出點C的位置，再連線即可．
（2）結合菱形的性質，找出點D，E的位置，再連線即可．
【解析】解：（1）如圖所示：（答案不唯一）．
（2）如圖所示：
【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖，熟練掌握等腰三角形和菱形的性質是解題的關鍵．
18．（2023 臺州）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD為對角線．
（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）已知AD＞AB，請用無刻度的直尺和圓規作菱形BEDF，頂點E，F分別在邊BC，AD上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
【考點】作圖—復雜作圖；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定．
【答案】（1）證明見解析部分；
（2）作圖見解析部分．
【點撥】（1）證明AB∥CD，可得結論；
（2）作線段BD的垂直平分線交AD與點F交BC與點E即可．
【解析】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠A＝∠C，
∴180°﹣（∠ADB+∠A）＝180°﹣（∠CBD+∠C），
即∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：如圖，四邊形BEDF就是所求作的菱形．
【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
1．（2021 溫州模擬）下列命題是真命題的是（　　）
A．兩個銳角的和是銳角 B．對頂角相等 C．＝a D．若x2﹣x＝0，則x＝0
【考點】命題與定理．
【答案】B
【點撥】對各個命題逐一判斷后找到正確的即可確定真命題．
【解析】解：A、兩個銳角的和不一定是銳角，原命題是假命題；
B、對頂角相等，是真命題；
C、，原命題是假命題；
D、若x2﹣x＝0，則x＝0或1，原命題是假命題；
故選：B．
【點睛】此題主要考查了命題與定理，熟練利用相關定理以及性質進而判定舉出反例即可判定出命題正確性．
2．（2023 鄞州區校級一模）下列選項中，可以用來說明命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的例子是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝20° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90° D．∠A＝40°，∠B＝120°
【考點】命題與定理．
【答案】A
【點撥】說明命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的反例為兩個銳角的和小于90°即可．
【解析】解：利用∠A＝40°，∠B＝20°可判斷“兩個銳角的和是鈍角”是假命題．
故選：A．
【點睛】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
3．（2023 上城區二模）如圖，分別以A、B為圓心，大于的長度為半徑作弧，交點分別為M、N，連接MN交AC于點D，下列說法一定正確的是（　　）
A．△ABD是直角三角形 B．△BCD是等腰三角形
C．△ABD是等腰三角形 D．△ABC是等腰三角形
【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定．
【答案】C
【點撥】由作圖得：MN垂直平分AB，根據垂直平分線的性質判斷求解．
【解析】解：由作圖得：MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
故選：C．
【點睛】本題考查了基本作圖，掌握線段的垂直平分線的新知識解題的關鍵．
4．（2023 舟山三模）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA、OB，使OA＝OB；分別以點A、B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四邊形AOBC的面積為8cm2．則OC的長為（　　）
A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm
【考點】作圖—基本作圖；角平分線的性質．
【答案】B
【點撥】根據作圖得，四邊形AOBC是菱形，再根據菱形的面積公式求解．
【解析】解：由作圖得：OA＝OB＝AC＝BC，
∴四邊形AOBC是菱形，
∴×AB×OC＝8，
解得：OC＝8，
故選：B．
【點睛】本題考查了基本作圖，掌握信息的判斷和性質是解題的關鍵．
5．（2022 江北區模擬）下列命題為真命題的是（　　）
A．若|x|＝|y|，則x＝y B．若a＞b，則ac＞bc
C．任何一個角都比它的補角小 D．三角形的三條中線相交于一點
【考點】命題與定理．
【答案】D
【點撥】利用絕對值的性質，不等式的性質，三角形的中線的性質、補角等知識分別判斷后即可確定正確的選項．
【解析】解：A、若|x|＝|y|，則x＝y或x＝﹣y，是假命題，不符合題意；
B、若a＞b，當c＝0時，ac＝bc，所以則ac＞bc，是假命題，不符合題意；
C、任何一個銳角都比它的補角小，是假命題，不符合題意；
D、三角形的三條中線相交于一點，是真命題，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解絕對值的性質，不等式的性質，三角形的中線的性質、補角等知識，難度不大．
6．（2023 拱墅區三模）從下列四個命題中任選一個，是真命題的概率是（　　）
①同角的補角相等：
②一條直線截另外兩條直線所得到的同位角相等：
③有公共頂點且相等的兩個角是對頂角；
④兩個無理數之和仍為無理數
A．0 B． C． D．1
【考點】命題與定理；概率公式；列表法與樹狀圖法；實數的運算；余角和補角；對頂角、鄰補角．
【答案】C
【點撥】直接利用實數的運算法則、對頂角的定義、補角的定義、平行線的性質分別判斷，進而得出答案．
【解析】解：①同角的補角相等，是真命題：
②一條直線截另外兩條直線所得到的同位角相等，是假命題：
③有公共頂點且相等的兩個角是對頂角，是假命題；
④兩個無理數之和仍為無理數，是假命題，
故是真命題的概率是．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了命題與定理，正確掌握相關定義是解題關鍵．
7．（2022 臺州）如圖，點D在△ABC的邊BC上，點P在射線AD上（不與點A，D重合），連接PB，PC．下列命題中，假命題是（　　）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，則PB＝PC B．若PB＝PC，AD⊥BC，則AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，則PB＝PC D．若PB＝PC，∠1＝∠2，則AB＝AC
【考點】命題與定理．
【答案】D
【點撥】根據等腰三角形性質逐項判斷即可．
【解析】解：若AB＝AC，AD⊥BC，則D是BC中點，
∴AP是BC的垂直平分線，
∴BP＝PC，
∴故選項A是真命題，不符合題意；
AD⊥BC，即PD⊥BC，
又PB＝PC，
∴AP是BC的垂直平分線，
∴AB＝AC，
∴故選項B是真命題，不符合題意；
若AB＝AC，∠1＝∠2，則AD⊥BC，D是BC中點，
∴AP是BC的垂直平分線，
∴BP＝PC，
∴故選項C是真命題，不符合題意；
若PB＝PC，∠1＝∠2，不能得到AB＝AC，故選項D是假命題，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是掌握等腰三角形的“三線合一”定理．
8．（2022 衢州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，E，作直線DE分別交AC，BC于點F，G．以G為圓心，GC長為半徑畫弧，交BC于點H，連結AG，AH．則下列說法錯誤的是（　　）
A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG CB
【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．
【答案】C
【點撥】根據基本作圖得到DE垂直平分AC，GH＝GC，再根據線段垂直平分線的性質得到AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，于是可對A選項進行判斷；通過證明FG為△ACH的中位線得到FG∥AH，所以AH⊥AC，則可計算出∠HAB＝18°，則∠B＝2∠HAB，于是可對B選項進行判斷；計算出∠BAG＝72°，∠AGB＝72°，而△ACH為直角三角形，則根據全等三角形的判定方法可對C選項進行判斷；通過證明△CAG∽△CBA，利用相似比得到CA2＝CG CB，然后利用AB＝GB＝AC可對D選項進行判斷．
【解析】解：由作法得DE垂直平分AC，GH＝GC，
∴AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，所以A選項不符合題意；
∵CG＝GH，CF＝AF，
∴FG為△ACH的中位線，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∴∠HAB＝108°﹣∠CAH＝18°，
∴∠B＝2∠HAB，所以B選項不符合題意；
∵GC＝GA，
∴∠GAC＝∠C＝36°，
∴∠BAG＝108°﹣∠GAC＝72°，∠AGB＝∠C+∠GAC＝72°，
∵△ACH為直角三角形，
∴△CAH與△BAG不全等，所以C選項符合題意；
∵∠GCA＝∠ACB，∠CAG＝∠B，
∴△CAG∽△CBA，
∴CG：CA＝CA：CB，
∴CA2＝CG CB，
∵∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝GB，
而AB＝AC，
∴AC＝GB，
∴BG2＝CG CB，所以D選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了全等三角形的判定、線段垂直平分線的性質和相似三角形的判定與性質．
9．（2023 浙江模擬）如圖，依據尺規作圖的痕跡，計算∠α＝（　　）
A．56° B．68° C．28° D．34°
【考點】作圖—基本作圖．
【答案】A
【點撥】先根據矩形的性質得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度數，由角平分線的定義求出∠EAF的度數，再由EF是線段AC的垂直平分線得出∠AEF的度數，根據三角形內角和定理得出∠AFE的度數，進而可得出結論．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分線，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°．
∵由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故選：A．
【點睛】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知角平分線及線段垂直平分線的作法是解答此題的關鍵．
10．（2023 南潯區二模）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，按下列步驟作圖：
①以點C為圓心，適當長度為半徑作圓弧，與CA，BC延長線分別交于M，N兩點；
②分別以M，N為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點D；
③過點C，D作射線CD．則∠DCN的度數為（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【考點】作圖—基本作圖；等腰三角形的性質．
【答案】B
【點撥】根據等腰三角形的性質可得∠ACB的度數，觀察作圖過程可得，進而可得∠DCN的度數．
【解析】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，
∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝130°，
觀察作圖過程可知：
CD平分∠ACN，
∴∠DCN＝ACD＝65°，
∴∠DCN的度數為65°，
故選：B．
【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖、等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是掌握等腰三角形的性質．
11．（2023 平湖市一模）尺規作圖：過直線AB外一點P作直線AB的平行線．下列作法錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】作圖—復雜作圖；平行線的判定．
【答案】D
【點撥】利用根據作圖痕跡，作同位角相等，則根據平行線的判定方法可對A選項進行判斷；利用作圖痕跡，作了平行四邊形，則根據平行四邊形的性質可對B選項進行判斷；利用作圖痕跡，作等腰三角形和等腰三角形的外角平分線，則可證明同位角相等，于是根據平行線的判定方法可對C選項進行判斷；利用根據作圖痕跡，作線段的垂直平分線，由于不能確定內錯角相等，從而可對D選項進行判斷．
【解析】解：A．根據作圖痕跡，作同位角相等，則過P點的直線與AB平行，所以A選項不符合題意；
B．根據作圖痕跡，作平行四邊形，則過P點的直線與AB平行，所以B選項不符合題意；
C．根據作圖痕跡，作等腰三角形和等腰三角形的外角平分線，則同位角相等，所以過P點的直線與AB平行，所以C選項不符合題意；
D．根據作圖痕跡，作線段的垂直平分線，不能確定內錯角相等，則不能判斷過P點的直線與AB平行，所以D選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行的判定．
12．（2023 嘉善縣一模）如圖，已知平行四邊形ABCD，AB＜BC，用尺規作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PC＝BC，則下列做法正確的是（　　）
A．B．C．D．
【考點】作圖—復雜作圖；平行四邊形的性質．
【答案】D
【點撥】證明PA＝PB，則可知點P在線段AB的垂直平分線上，由此求解即可．
【解析】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴點P在線段AB的垂直平分線上，
∴只有選項D中的作圖方法符合題意，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和線段垂直平分線的尺規作圖，推出PA＝PB是解題的關鍵．
13．（2023 蕭山區二模）能說明命題“若X2＞16，則X＞4是假命題的一個反例可以是 　X＝﹣5　．
【考點】命題與定理．
【答案】X＝﹣5．
【點撥】當X＝﹣5時，滿足X2＞16，但不能得到X＞4，于是X＝﹣5可作為說明命題“若X2＞16，則X＞4”是假命題的一個反例．
【解析】解：說明命題“若X2＞16，則X＞4”是假命題的一個反例可以是X＝﹣5．
故答案為：X＝﹣5．
【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
14.（2022 長春模擬）用反證方法證明“在△ABC中，AB＝AC，則∠B必為銳角”的第一步是假設　　．
【考點】反證法．
【答案】見試題解答內容
【點撥】熟記反證法的步驟，直接填空即可．
【解析】解：∠B與90°的大小關系有∠B＞90°，∠B＝90°，∠B＜90°三種情況，
因而∠B＜90°的反面是∠B＞90°或∠B＝90°．
因此用反證法證明“∠B＜90°”時，應先假設∠B＞90°或∠B＝90°．
即∠B一定不是銳角（是直角或鈍角）．
【點睛】本題結合角的比較考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．
反證法的步驟是：
（1）假設結論不成立；
（2）從假設出發推出矛盾；
（3）假設不成立，則結論成立．
在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
15．（2023 越城區模擬）如圖，Rt△ABC中∠ACB＝90°，線段CO為斜邊AB的中線．分別以點A和點O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于P，Q兩點，作過P、Q兩點的直線恰過點C，交AB于點D，若AD＝1，則BC的長是 　2　．
【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質；直角三角形斜邊上的中線．
【答案】2．
【點撥】先利用基本作圖得到CD垂直平分AO，則根據線段垂直平分線的性質得到AD＝OD＝1，CA＝CO，再根據斜邊上的中線性質得到OA＝OB＝OC＝2，所以AC＝2，然后利用勾股定理計算BC的長．
【解析】解：由作法得CD垂直平分AO，
∴AD＝OD＝1，CA＝CO，
∵線段CO為斜邊AB的中線，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴AC＝CO＝2，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了線段垂直平分線的性質和直角三角形斜邊上的中線性質．
16．（2023 紹興模擬）已知 Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點D，E，以C為圓心，AC長為半徑作弧，與直線DE交于點F，則∠FCB為 　150或30　°．
【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質．
【答案】150或30．
【點撥】先根據題意畫出圖形，再根據線段的垂直平分線及垂徑定理求解．
【解析】解：由作圖得：DE垂直平分AC，
∴AC垂直平分FF′，
∴四邊形AFCF′是菱形，
∴AF＝CF＝AC＝CF′＝AF′，
∴∠ACF＝∠ACF′＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝150°，∠BCF′＝∠30°，
故答案為：150或30．
【點睛】本題考查了基本作圖，掌握據線段的垂直平分線及垂徑定理是解題的關鍵．
17．（2023 桐鄉市一模）如圖，已知△ABC的面積為12，結合尺規作圖痕跡所提供的條件可知，△APC的面積為 　4　．
【考點】作圖—復雜作圖；三角形的面積．
【答案】4．
【點撥】由作圖知M，N分別為AB，BC的中點，利用中位線定理得出，再利用等底同高三角形面積相等得S△ACM＝12，最后利用相似比得出面積比，即可得解；
【解析】解：連MN，由作圖知M，N分別為AB，BC的中點，
∴，
由等底同高三角形面積相等得，
∵MN∥AC，
∴∠PAC＝∠PNM，∠PCA＝∠PMN，
∴△ACP∽△NMP，
∴，
∴，
∴，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了尺規作圖，三角形的中位線，相似三角形的判定和性質，三角形中線的性質等知識點，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．
18．（2022 麗水）如圖，在6×6的方格紙中，點A，B，C均在格點上，試按要求畫出相應格點圖形．
（1）如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移一格后的圖形；
（2）如圖2，作一個軸對稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；
（3）如圖3，作一個與△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
【考點】作圖—復雜作圖；軸對稱圖形；作圖﹣平移變換；相似三角形的判定．
【答案】見解答．
【點撥】（1）把點B、A向右作平移1個單位得到CD；
（2）作A點關于BC的對稱點D即可；
（3）延長CB到D使CD＝2CB，延長CA到E點使CE＝2CA，則△EDC滿足條件．
【解析】解：（1）如圖1，CD為所作；
（2）如圖2，
（3）如圖3，△EDC為所作．
【點睛】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了相似三角形的判定與平移變換．
19．（2022 衢州）如圖，在4×4的方格紙中，點A，B在格點上．請按要求畫出格點線段（線段的端點在格點上），并寫出結論．
（1）在圖1中畫一條線段垂直AB．
（2）在圖2中畫一條線段平分AB．
【考點】作圖—應用與設計作圖；矩形的性質．
【答案】（1）（2）作圖見解析部分．
【點撥】（1）利用數形結合的思想作出圖形即可；
（2）利用矩形的對角線互相平分解決問題即可．
【解析】解：（1）如圖1中，線段EF即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖2中，線段EF即為所求（答案不唯一）．
【點睛】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，全等三角形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想思考問題，屬于中考常考題型．
20．（2022 上城區一模）如圖，將Rt△ABC的直角邊AC沿過點A的直線折疊，使點C恰好落在斜邊AB上．
（1）請用直尺和圓規作出折痕（只要求作出圖形，并保留作圖痕跡）．
（2）若∠B＝50°，求折痕與直角邊BC所形成的銳角度數．
【考點】作圖—復雜作圖；三角形內角和定理．
【答案】（1）見解答；
（2）70°．
【點撥】（1）作∠BAC的平分線即可；
（2）先求出∠BAC的度數，再由角平分線得出∠BAC度數，繼而根據三角形外角性質可得答案．
【解析】解：（1）如圖所示，AD即為所求；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝50°，
∴∠BAC＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°．
答：折痕與直角邊BC所形成的銳角度數為70°．
【點睛】本題主要考查作圖—復雜作圖，解題的關鍵是掌握角平分線的尺規作圖、三角形的內角和定理、三角形外角性質．
21．（2023 杭州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的長；
（2）用尺規作三角形ABC的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．
【考點】作圖—復雜作圖；解直角三角形；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．
【答案】（1）．
（2）畫圖見解答；2．
【點撥】（1）過點C作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，可得CD＝，AD＝，在Rt△BCD中，可得CD＝BD＝，則根據AB＝AD+BD可得答案．
（2）分別作線段AC，BC的垂直平分線，交于點O，再以點O為圓心，OC的長為半徑畫圓即可；連接OC，OB，過點C作CD⊥AB于點D，由圓周角定理可得∠COB＝2∠A＝60°，則△BOC為等邊三角形，可得OC＝BC，在Rt△BCD中，可得BC＝＝2，進而可得答案．
【解析】解：（1）過點C作CD⊥AB于點D，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝＝，AD＝AC cos30°＝＝，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝，
∴AB＝AD+BD＝．
（2）如圖，⊙O即為所求．
連接OC，OB，過點C作CD⊥AB于點D，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OC＝BC，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BC＝＝2，
∴OC＝2，
即此外接圓的半徑為2．
【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖、圓周角定理、解直角三角形、三角形的外接圓與外心，熟練掌握圓周角定理、解直角三角形、三角形的外接圓與外心是解答本題的關鍵．
22．（2023 東陽市三模）已知點M，N在矩形的邊上，利用直尺和圓規，按要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）如圖1，在矩形邊上找點E，F，使得MNEF為平行四邊形；
（2）如圖2，在矩形邊上找P，G，H三點，使得四邊形MPGH為菱形．
【考點】作圖—復雜作圖；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定；矩形的性質．
【答案】（1）（2）作圖見解析部分．
【點撥】（1）作出矩形的對角線的交點O，連接MO，延長MO交矩形的邊于點E，連接NO，延長NO交矩形的邊于F，連接MN，NE，EF，FM即可；
（2）作出矩形的對角線的交點O，連接MO，延長MO交矩形的邊于點G，作線段MG的垂直平分線交矩形的邊于點P，H，連接MP，PG，GH，HM即可．
【解析】解：（1）如圖1中，四邊形MNEF即為所求；
（2）如圖2中，四邊形MPGH即為所求．
【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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