資源簡介

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考點01 方程與不等式的解法
一、不等式的基本性質
1、不等式的基本性質
（1）不等式的基本性質1
如果，那么，此性質稱為不等式的傳遞性；
（2）不等式的基本性質2
如果，那么，此性質稱為不等式的加法性質；
（3）不等式的基本性質3
如果，那么，如果，那么.此性質稱為不等式的乘法性質．
2、其他性質
（4）（同向相加性）；
（5）（同向相乘性，特別注意符號限制，需滿足正號）；
（6）（可乘方性，特別注意符號限制，需滿足正號）；
（7）（可開方性，特別注意符號限制，需滿足正號）；
（8） （可倒性，特別注意符號性質，需滿足正號）．
3、不等式的證明方法：
（1）比較法
①求差比較法 要證，只需證；要證，只需證．
其步驟是：作差變形判斷（與零比較）．
②求商比較法 要證，而，只需證；要證，而，只需證．
其步驟是：作商（除式分母大于零）變形判斷（與1比較）
（2）綜合法
利用某些已經證明過的不等式作為基礎，再運用不等式的性質推導出所要求證的不等式，這種由因導果的證明方法叫做綜合法．
（3）分析法
肯定待證的不等式成立，逆推到與已知條件或基本不等式相符合，這一系列的不等式中后者總是前者的充分條件．這種由果索因的證明方法叫做分析法，又稱逆證法．
二．一元二次方程
1.概念：只含有一個未知數且未知數項的最高次數為2的整式方程 ( https: / / baike. / doc / 6829851-7047048.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )
其中ax 是二次項，a是二次項系數；bx是一次項；b是一次項系數 ( https: / / baike. / doc / 2880879-3040202.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )；c是常數項 ( https: / / baike. / doc / 6731475-6945776.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )
2.解一元二次方程的方法
（1）直接開方：
（2）提公因式：
（3）求根公式：
（4）十字相乘：
二、一元二次不等式的解集
1.一元二次不等式的解法
（1）根據解一元二次方程方法選擇方法求根
（2）看二次項系數大于0或小于0，選擇圖像
（3）根據圖像選擇取中間還是取兩邊
2.一元二次不等式（a>0）的圖像
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 有兩相異實根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1絕對值不等式
分式不等式
考向分析
考向一 一元二次不等式
【例1】1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集為________．
【解析】2x(x－7)>3(x－7) 2x(x－7)－3(x－7)>0 (x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以，原不等式的解集為.
答案：
2．不等式－x2－3x＋4>0的解集為________．(用區間表示)
【解析】由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0.
得－4答案：(－4，1)
【舉一反三】
解下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
（4）； （5）； （6）.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
（4）或；（5）；（6）或.
（7）或；（8）；（9）或；（10）；
【解析】（1）由題意，不等式，可化為，
所以不不等式的解集為；
（2）由題意，可得，所以不等式的解集為；
（3）由不等式，可化為，即，
所以不等式的解集為或.
（4）不等式即為，解得或，
因此，不等式的解集為或；
（5）不等式即為，解得，
因此，不等式的解集為；
不等式即為，即，解得或.因此，不等式的解集為或.
考向二 絕對值不等式
【例2】（1）（2）；（3）；
【答案】（1）(2)（3）
【解析】（1）因為所以或，或，所以不等式的解集為
（2）或，解得或，所以不等式的解集為；
（3），解得，所以不等式的解集為；
【舉一反三】解下列不等式
解下列不等式（組）：
（1） （2） （3）
（4）
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
考向三 分式不等式
【例3】不等式的解集為________.
【答案】
【詳解】原不等式可化為，
即，
即，即，
解得，
∴原不等式的解集為，
故答案為：
【典例2】已知全集，集合，，則______，______.
【答案】 或 或
【詳解】由 得 ,
整理得 ,
解得 或 , 即 或
因為或 或
所以或;
或.
故答案為：或;或.
【變式1】設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】由，得，
解得；
由，得，得
因為當時，一定可以推出，
而當時，不能推出。
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A．
【舉一反三】解下列不等式
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1） （2）{x|x≤－1或x>3} （3）（4）
(5) 或； (6) 或.
【解析】（1）由題意，原不等式可化為，解得，
所以不等式的解集為.
（2）不等式可轉化成不等式組，解得x≤－1或x>3，原不等式的解集為{x|x≤－1或x>3}．
（3）解得或
故不等式的解集為
（4） ，即 ，
解得： ，不等式的解集是.
考向四 含參不等式
【例4】 解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【解】　若a＝0，原不等式等價于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等價于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等價于(x－1)<0.
①當a＝1時，＝1，(x－1)<0無解；
②當a>1時，<1，解(x－1)<0，
得③當01，解(x－1)<0，
得1綜上所述，當a<0時，解集為；
當a＝0時，解集為{x|x>1}；
當0當a＝1時，解集為 ；
當a>1時，解集為.
【變式1】 已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，則不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
【解析】　由題意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的兩個根，且a<0，所以解得
即不等式x2－bx－a≥0為x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
【答案】　{x|x≥3或x≤2}
一、單選題
1．的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【詳解】解不等式可得或，
因為 或，
故只有C選項中的條件才是“”的充分不必要條件.
故選：C.
2．不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．或，
【答案】C
【詳解】不等式等價于，等價于，解集為．
故選：C
3．若不等式的解集為或，則（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【詳解】因為不等式的解集為或，
所以和時，，
即，，
解得,,
故選：D．
4．設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】由，得或，解得.
由，解得，
當時，一定成立，反之，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5．命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，為真命題，則或，解得，
對于A， ，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，A錯誤；
對于B，是命題“，”為真命題的充要條件，B錯誤；
對于C， ，是命題“，”為真命題的必要不充分條件，C正確；
對于D， ，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，D錯誤；
故選：C
二、填空題
6．若不等式的解集是，則的值等于_______．
【答案】
【詳解】因為不等式的解集是，
所以和時，，
即，，
解得，，
所以，
故答案為：．
7．關于的不等式恒成立，則的取值范圍為__________.
【答案】
【詳解】不等式恒成立,所以，解得，
故答案為：
三、解答題
8．解不等式(1) (2)
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由，得，
即，解得，
所以不等式的解集為；
（2）由，得，
即，解得或，
所以不等式得解集為或.
9．已知的解集為．
(1)求實數的值；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為的解集為，
所以而且的兩根為和1，
所以，所以．
（2）因為恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以實數b的取值范圍為．即.
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21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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