資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題02 函數實際綜合應用問題-利潤最值問題
中考數學中，函數最值利潤問題，一直備受出題人的青睞，是考試的熱點。函數最值利潤問題是指在一個經濟模型中，根據題意確定函數關系，結合自變量的范圍來最大化利潤或最小化成本的問題。本專題將通過介紹函數利潤問題的基本概念、解決方法和實際應用，深入探討這一問題。希望同學們認真理解掌握，關于利潤（費用）最值問題，同學們一定要多下功夫研究學習，總結出解決這類問題的思路方法，考試中得心應手。
對于這類問題，要審清題意，記住利潤問題中的幾個公式，便可解決此類問題。常用公式有：利潤=售價-成本價，總利潤=單個商品的利潤×銷售量，利潤率=利潤/進價×100%，通過公式建立函數模型，把利潤問題轉化為函數的最值問題，從而使問題得到解決。
特別需要注意，解答此類型題要抓住關鍵的詞和字，將實際問題轉化為求函數最值問題。既要看到銷售價格對銷售量的影響，也要看到銷售價格對單件商品利潤產生的影響，兩者結合起來，銷售價格就會對銷售總利潤產生影響。在求二次函數最值時，要注意實際問題中自變量的取值的限制對最值的影響。
求解最大利潤問題的一般步驟
（1）建立利潤（費用）與價格之間的函數關系式：運用“總利潤=單件利潤×總銷量”或“總利潤=總售價-總成本”，再化簡求得相應的函數關系；
（2）結合實際意義或題設條件，確定自變量的取值范圍；
（3）在自變量的取值范圍內確定求出最大利潤：若函數為一次函數，則利用一次函數的增減性求出最大利潤；若函數為二次函數可以利用配方法或公式求出最大利潤；當然也可以畫出相應函數的簡圖，利用簡圖和性質求出最大利潤。
考向一　利潤最值問題（一次函數型）
例1．（2023年山東青島中考數學真題）某服裝店經銷A，B兩種T恤衫，進價和售價如下表所示：
品名 A B
進價（元/件） 45 60
售價（元/件） 66 90
(1)第一次進貨時，服裝店用6000元購進A，B兩種T恤衫共120件，全部售完獲利多少元？
(2)受市場因素影響，第二次進貨時，A種T恤衫進價每件上漲了5元，B種T恤衫進價每件上漲了10元，但兩種T恤衫的售價不變．服裝店計劃購進A，B兩種T恤衫共150件，且B種T恤衫的購進量不超過A種T恤衫購進量的2倍．設此次購進A種T恤衫m件，兩種T恤衫全部售完可獲利W元．①請求出W與m的函數關系式；②服裝店第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．
【答案】(1)2880元
(2)①；②服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利，理由見解析
【分析】（1）根據條件，購進恤衫件，購進恤衫件，列出方程組解出、值，最后求出獲利數；（2）①根據條件，可列，整理即可；
②由①可知，，一次函數隨的增大而減小，當時，取最大值計算出來和第一次獲利比較即可．
【詳解】（1）解：設購進A種T恤衫件，購進B種T恤衫件，根據題意列出方程組為：
，解得，全部售完獲利（元）．
（2）①設第二次購進種恤衫件，則購進種恤衫件，
根據題意，即，
，
②服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利，理由如下：由①可知，，
，一次函數隨的增大而減小，當時，取最大值，（元），
，服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利．
【點睛】本題考查了一元二次方程組的應用，讀懂題意列出函數解析式是解本題的關鍵．
例2．（2023年內蒙古呼和浩特市中考數學真題）學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發展，計劃組織八年級學生到“開心”農場開展勞動實踐活動．到達農場后分組進行勞動，若每位老師帶38名學生，則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生．勞動實踐結束后，學校在租車總費用2300元的限額內，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示
甲型客車 乙型客車
載客量/（人/輛） 45 30
租金/（元/輛） 400 280
(1)參加本次實踐活動的老師和學生各有多少名？(2)租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；(3)學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？
【答案】(1)參加本次實踐活動的老師有6名，學生有234名 (2)6
(3)學校共有兩套租車方案，最少租車費用是2160元
【分析】（1）設參加本次實踐活動的老師有x名，根據“若每位老師帶38名學生，則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生”列出方程求解即可；
（2）根據每輛車上至少有1名老師，參加本次實踐活動的老師有6名，得出汽車總數不超過6輛，根據要保證所有師生都有車坐，得出汽車總數不少于輛，即可解答；
（3）設租用甲客車a輛，則租用乙客車輛，列出不等式組，解得，設租車費用為y元，得出，根據一次函數增減性得出y隨a的增大而增大，即可解答．
【詳解】（1）解：設參加本次實踐活動的老師有x名，
，解得：，∴，
答：參加本次實踐活動的老師有6名，學生有234名；
（2）解：∵每輛車上至少有1名老師，參加本次實踐活動的老師有6名，∴汽車總數不超過6輛，
∵要保證所有師生都有車坐，∴汽車總數不少于（輛），則汽車總數最少為6輛，
∴共需租車6輛，故答案為：6．
（3）解：設租用甲客車a輛，則租用乙客車輛，
，解得：，∵a為整數，∴或，
方案一：租用甲客車4輛，則租用乙客車2輛；方案二：租用甲客車5輛，則租用乙客車1輛；
設租車費用為y元，，
∵，∴y隨a的增大而增大，∴當時，y最小，，
綜上：學校共有兩套租車方案，最少租車費用是2160元．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，一元一次不等式組的實際應用，一次函數的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意找出數量關系，列出方程、不等式組、一次函數表達式．
例3．（2023年江蘇省南通市中考數學真題）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息—
工程隊 每天施工面積（單位：） 每天施工費用（單位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二：甲工程隊施工所需天數與乙工程隊施工所需天數相等．
(1)求x的值；(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于．該段時間內體育中心至少需要支付多少施工費用
【答案】(1)x的值為600(2)該段時間內體育中心至少需要支付施工費用56800元
【分析】（1）根據題意甲工程隊施工所需天數與乙工程隊施工所需天數相等列出分式方程解方程即可；（2）設甲工程隊先單獨施工天，體育中心共支付施工費用元，根據先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于列出不等式即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意列方程，得．
方程兩邊乘，得．解得．
檢驗：當時，．所以，原分式方程的解為．答：x的值為600．
（2）解：設甲工程隊先單獨施工天，體育中心共支付施工費用元．
則．，．
1400>0，隨的增大而增大．當時，取得最小值，最小值為56800．
答：該段時間內體育中心至少需要支付施工費用56800元．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
例4．（2023年山東省濟南市中考數學真題）某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同．(1)求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元 (2)學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少 最少花費是多少元
【答案】(1)A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元
(2)購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元
【分析】（1）設A型編程機器人模型單價是元，B型編程機器人模型單價是元，根據：用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同即可列出關于x的分式方程，解方程并檢驗后即可求解；
（2）設購買A型編程機器人模型臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費元，根據題意可求出m的范圍和W關于m的函數關系式，再結合一次函數的性質即可求出最小值
【詳解】（1）解：設A型編程機器人模型單價是元，B型編程機器人模型單價是元．
根據題意，得解這個方程，得
經檢驗，是原方程的根．
答：A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元．
（2）設購買A型編程機器人模型臺，購買B型編程機器人模型臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費元，由題意得：，解得．
∴即，
∵，∴隨的增大而增大．∴當時，取得最小值11200，此時；
答：購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用和一次函數的性質，正確理解題意、找準相等與不等關系、得出分式方程與不等式是解題的關鍵．
考向二　最大利潤問題（二次函數型）
例1．（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）網絡銷售已經成為一種熱門的銷售方式，某果園在網絡平臺上直播銷售荔枝．已知該荔枝的成本為6元/kg，銷售價格不高于18元/kg，且每售賣1kg需向網絡平臺支付2元的相關費用，經過一段時間的直播銷售發現，每日銷售量y（kg）與銷售價格x（元/kg）之間滿足如圖所示的一次函數關系．

(1)求與的函數解析式．(2)當每千克荔枝的銷售價格定為多少元時，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤為多少元？
【答案】(1)
(2)當銷售單價定為元時，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤為元
【分析】（1）根據函數圖象，待定系數法求解析式即可求解；
（2）設銷售這種荔枝日獲利元，由二次函數的性質求出的最大利潤，即可求解．
【詳解】（1）解：設與的函數解析式為，
∵該函數圖象經過點和點
∴解得：∴與的函數解析式為；
（2）解：設銷售這種荔枝日獲利元，
根據題意，得，
，對稱軸為直線，∴在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，
∵銷售價格不高于18元/kg，當時，有最大值為元，
當銷售單價定為時，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤為元．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，二次函數的性質，求出函數關系式是本題的關鍵．
例2．（2023年浙江省湖州市中考數學真題）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數關系，部分數據如下表所示：
銷售價格x（元/千克） 50 40
日銷售量y（千克） 100 200
(1)試求出y關于x的函數表達式．(2)設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？
【答案】(1)
(2)銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元
【分析】（1）設y與x之間的函數關系式為，由表中數據即可得出結論；
（2）根據每日總利潤=每千克利潤×銷售量列出函數解析式，根據函數的性質求最值即可．
【詳解】（1）解：設y關于x的函數表達式為．
將和分別代入，得：
，解得：，∴y關于x的函數表達式是：；
（2）解：，
∵，∴當時，在的范圍內，W取到最大值，最大值是2250．
答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．
【點睛】本題考查一次函數、二次函數的應用，關鍵是根據等量關系寫出函數解析式．
例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）某工廠生產一種產品，經市場調查發現，該產品每月的銷售量y（件）與售價x（萬元/件）之間滿足一次函數關系．部分數據如下表：
每件售價x/萬元 … 24 26 28 30 32 …
月銷售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
(1)求y與x的函數關系式（不寫自變量的取值范圍）．
(2)該產品今年三月份的售價為35萬元/件，利潤為450萬元．①求：三月份每件產品的成本是多少萬元？②四月份工廠為了降低成本，提高產品質量，投資了450萬元改進設備和革新技術，使每件產品的成本比三月份下降了14萬元．若四月份每件產品的售價至少為25萬元，且不高于30萬元，求這個月獲得的利潤（萬元）關于售價x（萬元/件）的函數關系式，并求最少利潤是多少萬元？
【答案】(1)(2)①20萬元；②，950萬元
【分析】（1）從表格中任選兩組數據，利用待定系數法求解；
（2）利用（1）中結論求出3月份銷量，根據利潤、銷量、成本、售價之間的關系列方程即可；②列關于x的二次函數關系式，結合自變量的取值范圍求出函數的最值即可．
【詳解】（1）解：設y與x的函數關系式為，將，代入，得：
，解得， y與x的函數關系式為；
（2）解：①將代入，得（件），
設三月份每件產品的成本是a萬元，
由題意得，解得，即三月份每件產品的成本是20萬元；
②四月份每件產品的成本比三月份下降了14萬元，四月份每件產品的成本為萬元，
由題意得：，
，拋物線的圖象開口向下，拋物線的對稱軸為，，
時，取最小值，此時，
綜上可知，關于售價x的函數關系式是，最少利潤是950萬元．
【點睛】本題考查一次函數、二次函數的實際應用，解題的關鍵是根據利潤、銷量、成本、售價之間的關系正確列出函數關系式．
例4．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）某工廠計劃從現在開始，在每個生產周期內生產并銷售完某型號設備，該設備的生產成本為萬元/件．設第個生產周期設備的售價為萬元/件，售價與之間的函數解析式是，其中是正整數．當時，；當時，．(1)求，的值；(2)設第個生產周期生產并銷售完設備的數量為件，且y與x滿足關系式．當時，工廠第幾個生產周期獲得的利潤最大 最大的利潤是多少萬元
當時，若有且只有個生產周期的利潤不小于萬元，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，；(2)，；．
【分析】（）用待定系數法求出，的值即可；（）當，根據利潤(售價成本)設備的數量，可得出關于的二次函數，由函數的性質求出最值；
當時，關于的函數解析式，再畫出關于的函數圖象的簡圖，由題意可得結論．
【詳解】（1）把時，；時，代入得：
，解得：，；
（2）設第個生產周期創造的利潤為萬元，由（）知，當時，，
∴，，，
∵，，∴當時，取得最大值，最大值為，
∴工廠第個生產周期獲得的利潤最大，最大的利潤是萬元；
當時，，∴，
∴，則與的函數圖象如圖所示：

由圖象可知，若有且只有個生產周期的利潤不小于萬元，
∴當，時，，當，時，，∴的取值范圍．
【點睛】此題考查了一次函數與二次函數在銷售問題中的應用，明確一次函數與二次函數的性質并分類討論是解題的關鍵．
考向三　最低成本問題（二次函數型）
例1．（2023·遼寧·一模）國家推行“節能減排，低碳經濟”政策后，某環保節能設備生產企業的產品供不應求．若該企業的某種環保設備每月的產量保持在一定的范圍，每套產品的生產成本不高于50萬元，每套產品的售價不低于90萬元．已知這種設備的月產量x（套）與每套的售價（萬元）之間滿足關系式，月產量x（套）與生產總成本（萬元）存在如圖所示的函數關系．（1）求月產量x的范圍；（2）如果想要每月利潤為1750萬元，那么當月產量應為多少套？（3）如果每月獲利潤不低于1900萬元，當月產量x（套）為多少時，生產總成本最低？并求出此時的最低成本．
【答案】（1）25≤x≤40；（2）x=25；(3)當x=30時，成本最低，最低成本為1400萬元.
【詳解】解：（1）設函數關系式為y2=kx+b，把坐標（30，1400）（40，1700）代入，
得 ，解得： ，∴函數關系式y2=30x+500，
由 ，解得：25≤x≤40；
（2）1750=y1-y2 ， (170-2x)x-(30x+500)=1750， ∴x1=45 ，x2=25 ，
∵25≤x≤40 ，∴x=25．答：想要每月利潤為1750萬元，那么當月產量應為25套；
（3）設利潤為w萬元，由題意得=-2x2+40x-500=-2（x-35）2+1950
當時，即-2（x-35）2+1950，解得30x40，
∵y2=30x+500，k=20>0，∴當x=30時，y2最小，最小值為
答：如果每月獲利潤不低于1900萬元，當x=30時，成本最低，最低成本為1400萬元．
例2．（2023·江蘇揚州·二模）我市某企業安排20名工人生產甲、乙兩種產品，根據生產經驗，每人每天生產2件甲產品或1件乙產品（每人每天只能生產一種產品）．甲產品生產成本為每件10元；若安排1人生產一件乙產品，則成本為38元，以后每增加1人，平均每件乙產品成本降低2元．規定甲產品每天至少生產20件．設每天安排人生產乙產品．
(1)根據信息填表：
產品種類 每天工作人數（人） 每天產量（件） 每件產品生產成本（元）
甲 10
乙 x
(2)為了增加利潤，企業須降低成本，該企業如何安排工人生產才能使得每天的生產總成本最低？最低成本是多少？(3)該企業準備通過對外招工，增加工人數量的方式降低每天的生產總成本，那么至少招多少名工人才能實現每天的生產總成本不高于350元？
【答案】(1)見解析(2)當安排10名工人生產甲產品，10名工人生產乙產品時才能使得每天的生產總成本最低，最低成本是400元(3)至少招5名工人才能實現每天的生產總成本不高于350元
【分析】（1）先求出每天安排人生產甲產品，再根據每人每天生產2件甲產品求出每天生產甲產品的數量，據此填表即可；（2）設每天的生產總成本為W元，根據成本生產數量每件的生產成本列出W關于x的二次函數關系式，利用二次函數的性質求解即可；（3）設對外招工a人，列出W關于x的二次函數關系式，利用二次函數的性質求出W的最小值，再根據每天的生產總成本不高于350元列出不等式組求解即可．
【詳解】（1）解；設每天安排人生產乙產品，∴每天安排人生產甲產品，
∵每人每天生產2件甲產品，∴每天生產甲產品件，
填表如下：
產品種類 每天工作人數（人） 每天產量（件） 每件產品生產成本（元）
甲 10
乙 x
（2）解：設每天的生產總成本為W元，
由題意得
∵，∴當時，W隨x增大而增大，當時，W隨x增大而減小，
∵甲產品每天至少生產20件，∴，∴，
當時，，當時，，
∵，∴當時，W最小，最小為400，∴，∴當安排10名工人生產甲產品，10名工人生產乙產品時才能使得每天的生產總成本最低，最低成本是400元；
（3）解：設對外招工a人，由題意得，
，∵，∵甲產品每天至少生產20件，
∴，∴，同理可得當時，W最小，
，
∵每天的生產總成本不高于350元，∴，∴，∴或（舍去），
∴至少招5名工人才能實現每天的生產總成本不高于350元．
【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，一元一次不等式組的實際應用，列代數式，正確理解題意列出W關于x的二次函數關系式是解題的關鍵．
例3．（2023年湖北省黃岡市中考數學真題）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地．2023年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數關系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元/．

(1)當___________時，元/；
(2)設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？
(3)學校計劃今后每年在這土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降，若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2025年的總種植成本為元？
【答案】(1)
(2)當甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，W最小；
(3)當a為時，2025年的總種植成本為元．
【分析】（1）求出當時，設甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數關系式為，當時，，求出當時的x的值即可；
（2）當時，，由二次函數性質得到當時，有最小值，最小值為，當時，由一次函數性質得到當時，有最小值，最小值為，比較后即可得到方案；
（3）根據2025年的總種植成本為元列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：當時，設甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數關系式為，把點代入得，
，解得，∴當時，，
當時，，∴當時，，解得，
即當時，元/；故答案為：；
（2）當時，
∵，∴拋物線開口向上，∴當時，有最小值，最小值為，
當時，，
∵，∴隨著x的增大而減小，
∴當時，有最小值，最小值為，
綜上可知，當甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，W最小；
（3）由題意可得，
解得（不合題意，舍去），∴當a為時，2025年的總種植成本為元．
【點睛】此題考查了二次函數的應用、一元二次方程的應用、一次函數的應用等知識，讀懂題意，正確列出函數解析式和方程是解題的關鍵．
一、選擇題
1．（2023·廣東佛山·一模）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價元，銷售期間發現，當銷售單價定為元時，每天可售出個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據“銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個”結合“當銷售單價定為元時，每天可售出個”；即可表示出與之間的函數關系式，再表示出每天銷售紀念品獲得的利潤等于單件利潤乘以銷量即可求解．
【詳解】解：由題可得：，
．故選：D．
【點睛】此題考查了一次函數與二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確分析題目中的等量關系并表示出來．
2．（2023·四川綿陽·三模）2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產銷一種消毒液，設每天產銷量為x瓶，每日產銷這種消毒液的有關信息如下表：（產銷量指生產并銷售的數量，生產多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產銷利潤y元，當銷量x為多少時，該消毒液的單日產銷利潤最大．（ ）
消毒液 每瓶售價（元） 每瓶成本（元） 每日其他費用（元） 每日最大產銷量（瓶）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
【答案】D
【分析】根據單日利潤=單日的銷售量×每瓶的利潤－每日其他費用即可列出函數關系式，然后利用函數的最值問題即可求解 ．
【詳解】解：根據題意，得
∴，∴，
∵，∴拋物線的開口向下，有最大值，
又∵，∴當時，，故選：D
【點睛】本題考查了二次函數的應用，根據題意正確列出函數關系式是解題的關鍵．
3．（2023·湖北武漢·模擬預測）某超市對進貨價為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進行統計，發現每天銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）存在一次函數關系，如圖所示．則最大利潤是（　　）

A．180 B．220 C．190 D．200
【答案】D
【分析】由圖象過點（20，20）和（30，0），利用待定系數法求直線解析式，然后根據每天利潤=每千克的利潤×銷售量．據此列出表達式，運用函數性質解答．
【詳解】設y=kx+b，由圖象可知，，解得：，∴y=﹣2x+60；
設銷售利潤為p，根據題意得，p=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，∴p有最大值，當x=﹣=20時，p最大值=200．
即當銷售單價為20元/千克時，每天可獲得最大利潤200元，故選：D．
【點睛】此題考查了二次函數的應用，待定系數法求一次函數解析式以及求二次函數最值等知識，解題的關鍵是理解題意，根據題意求得函數解析式，注意待定系數法的應用，注意數形結合思想的應用．
4．（2023·山東臨沂·二模）為了環保，某工廠在一段時間內限產并投入資金進行治污改造，如圖描述的是月利潤（萬元）關于月份之間的變化關系，治污改造完成前是反比例函數圖象的一部分，治污改造完成后是一次函數圖象的一部分，則下列說法：①5月份該廠的月利潤最低；②治污改造完成后，每月利潤比前一個月增加30萬元；③該廠8月份的月利潤與2月份相同；④治污改造前后，共有6個月的月利潤不超過120萬元．其中正確的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】直接利用已知點求出一次函數與反比例函數的解析式，進而分別分析得出答案．
【詳解】解：由函數圖象可得，5月份該廠的月利潤最低為60萬，故①正確，符合題意；
治污改造完成后，從5月到7月，利潤從60萬到120萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，故②正確，符合題意；
設反比例函數解析式為：，代入得，故，當，解得： ，
則只有3月，4月，5月，6月，7月共5個月的利潤不超過120萬元，故此④錯誤，不符合題意．
設一次函數解析式為：，則，解得，
故一次函數解析式為：，把代入，解得，
則治污改造完成后的第8個月，該廠月利潤達到150萬，把代入，得，
故該廠8月份的月利潤與2月份相同，此選項③正確，符合題意．故選：C．
【點睛】此題主要考查了一次函數與反比函數的應用，正確得出函數解析是解題關鍵．
5．（2023·北京·二模）某公司新產品上市30天全部售完．圖1表示產品的市場日銷售量與上市時間之間的關系，圖2表示單件產品的銷售利潤與上市時間之間的關系，下列四個結論中錯誤的是（　　）
A．第30天該產品的市場日銷售量最大 B．第20天至30天該產品的單件產品的銷售利潤最大
C．第20天該產品的日銷售總利潤最大 D．第20天至30天該產品的日銷售總利潤逐日增多
【答案】C
【分析】從圖1和圖2中可知，當時，日銷售量達到最大，所以根據日銷售利潤=日銷售量每件產品的銷售利潤即可求解．
【詳解】由圖1知，當天數時，市場日銷售量達到60件：從圖2知，當天數時，每件產品銷售利潤達到最大30元．銷售總利潤為：（元）．
A：從圖1，可以看出當時，市場日銷售量最大，選項正確，不符合題意；
B：從圖2，可以看出第20天至30天該產品單件銷售利潤相同，都達到最大值30元，選項正確，不符合題意；C：當時，日銷售量低于時的日銷售量，但單件銷售利潤相同，所以當天數為30時，銷售利潤最大，選項錯誤，符合題意；
D：從圖2中可以看出，第20天至30天該產品單件銷售利潤相同，從圖一看出，日銷售量逐日增加，成正比例函數關系，所以日銷售利潤逐日增加，選項正確，不符合題意；故答案為：C
【點睛】本題考查的一次函數變量之間的實際應用，通過觀察圖形，結合相關數據處理實際問題，利用數形結合是解決問題的關鍵．
二、填空題
6．（2023·四川宜賓·二模）在“抗疫”期間，某藥店計劃一次購進兩種型號的口罩共200盒，每盒A型口罩的銷售利潤為7.5元，每盒B型口罩的銷售利潤為10元，若要求B型口罩的進貨量不超過A型口罩的3倍，且完全售出后利潤不少于1870元，則該藥店在此次進貨中獲得的最大利潤是 元．
【答案】1875
【分析】設A型口罩購買m盒，則B型口罩購買（200-m）盒，根據“B型口罩的進貨量不超過A型口罩的3倍，且完全售出后利潤不少于1870元”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，設銷售總利潤為w元，根據總利潤=每盒利潤×銷售數量（購買數量），即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質即可解決最值問題．
【詳解】解：A型口罩購買m盒，則B型口罩購買（200-m）盒，
依題意，得：，解得：50≤m≤52．
設銷售總利潤為w元，則w=7.5m+10(200-m)=-2.5m+2000，
∵k=-2.5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m=50時，w取得最大值，
∴購買A型口罩50盒，B型口罩150盒時，完全售出后獲得的利潤最大，最大值為w=-2.5+2000=1875(元)．故答案為：1875．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用以及一次函數的性質，解題的關鍵是根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組和一次函數關系式．
7．（2023·山東聊城·二模）某超市購進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發現，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數關系，則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為 元（利潤＝總銷售額－總成本）．

【答案】800
【分析】根據函數圖象中的數據，可以求得日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，設每天的銷售利潤為w（元），利用利潤＝總銷售額－總成本求出w關于x的函數關系式，最后利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：設日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為，
∵點，在該函數圖象上，∴，解得，
即日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為，
設每天的銷售利潤為w（元），
則，
∵，開口向下，∴當時，有最大值為800，
即該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為800元，故答案為：800．
【點睛】本題考查一次函數、二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的函數解析式．
8．（2023·河北石家莊·模擬預測）某市政府加大各部門和單位對口扶貧力度．某單位的幫扶對象種植的農產品在某月，（按天計）的第天（為正整數）的銷售價格（元千克）關于的函數關系式為銷售量y（千克）與之間的關系如圖所示．
（1）求與之間的函數關系式為 ；（2）若該農產品當月的銷售額最大，最大銷售額是 .（銷售額=銷售量×銷售價格）。
【答案】
【分析】根據函數圖象中的數據，可以得到與之間的函數關系式，并寫出的取值范圍；
根據題意和中的結果，可以得到銷售額與之間的函數關系，然后根據二次函數的性質，即可得到當月第幾天，該農產品的銷售額最大，最大銷售額是多少．
【詳解】（1）解：當時，設與的函數關系式為，
則，解得，即當時，與的函數關系式為；
當時，設與的函數關系式為，
則，解得，即當時，與的函數關系式為，
由上可得，與的函數關系式為，故答案為：；
（2）設當月第天的銷售額為元，
當時，，
當時，取得最大值，此時，
當時，，
當時，取得最大值，此時，
由上可得，當時，取得最大值，此時，故答案為：
【點睛】本題考查一次函數的應用，二次函數的應用，解題關鍵是明確題意，正確列出函數關系式．
9．（2022·山東聊城·中考真題）某食品零售店新上架一款冷飲產品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關系如圖所示，當時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的最大利潤為 元（利潤=總銷售額-總成本）．

【答案】121
【分析】利用待定系數法求一次函數解析式，然后根據“利潤=單價商品利潤×銷售量”列出二次函數關系式，從而根據二次函數的性質分析其最值．
【詳解】解：當時，設，把（10，20），（20，10）代入可得：
，解得，∴每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的函數解析式為，
設該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的利潤為w元，
，
∵1<0，∴當時，w有最大值為121，故答案為：121．
【點睛】本題考查二次函數的應用，理解題意，掌握“利潤=單價商品利潤×銷售量”的等量關系及二次函數的性質是解題關鍵．
10．（2022·四川達州·一模）某企業研發出了一種新產品準備銷售，已知研發、生產這種產品的成本為30元/件，據調查年銷售量y（萬件）關于售價x（元/件）的函數解析式為： ，則當該產品的售價x為 ．（元/件）時，企業銷售該產品獲得的年利潤最大．
【答案】50
【分析】設企業銷售該產品獲得的年利潤為w元，根據題意分別列出當時和當時的函數關系式，再根據二次函數的性質，即可求解．
【詳解】解：設企業銷售該產品獲得的年利潤為w元，根據題意得：
當時，，
∵-2<0，∴當x=50時，w有最大值，最大值為800；
當時，，
∵-1<0，∴當x>55時，w隨x的增大而減小，∴當x=60時，w有最大值，最大值為600；
∵800>600，∴當x=50時，w有最大值，
即當該產品的售價x為50（元/件）時，企業銷售該產品獲得的年利潤最大．故答案為：50
【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，明確題意，準確得到函數關系式是解題的關鍵．
三、解答題
11．（2023年內蒙古包頭市中考數學真題）隨著科技的發展，掃地機器人已廣泛應用于生活中，某公司推出一款新型掃地機器人，經統計該產品2022年每個月的銷售情況發現，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化、設該產品2022年第（為整數）個月每臺的銷售價格為（單位：元），與的函數關系如圖所示（圖中為一折線）．

(1)當時，求每臺的銷售價格與之間的函數關系式；
(2)設該產品2022年第個月的銷售數量為（單位：萬臺），m與的關系可以用來描述，求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺的銷售價格銷售數量）
【答案】(1)(2)第5個月的銷售收入最多，最多為3375萬元
【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）根據銷售收入每臺的銷售價格銷售數量求得銷售收入為萬元與銷售月份之間的函數關系，再利用函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：當時，設每臺的銷售價格與之間的函數關系式為．
∵圖象過兩點，，解得
∴當時，每臺的銷售價格與之間的函數關系式為．
（2）設銷售收入為萬元，①當時，，
，當時，（萬元）．
②當時，，
，∴隨的增大而增大，∴當時，（萬元）．
，∴第5個月的銷售收入最多，最多為3375萬元．
【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式、二次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
12．（2023年山東省煙臺市中考數學真題）中華優秀傳統文化源遠流長、是中華文明的智慧結晶．《孫子算經》、《周髀算經》是我國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經》單價是《周髀算經》單價的，用600元購買《孫子算經》比購買《周髀算經》多買5本．
(1)求兩種圖書的單價分別為多少元？
(2)為籌備“3．14數學節”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經》數量不少于《孫子算經》數量的一半．由于購買量大，書店打折優惠，兩種圖書均按八折出售．求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？
【答案】(1)《周髀算經》單價為40元，則《孫子算經》單價是30元；(2)當購買《周髀算經》27本，《孫子算經》53本時，購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2316元．
【分析】（1）設《周髀算經》單價為x元，則《孫子算經》單價是元，根據“用600元購買《孫子算經》比購買《周髀算經》多買5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根據購買的《周髀算經》數量不少于《孫子算經》數量的一半列出不等式求出m的取值范圍，根據m的取值范圍結合函數解析式解答即可．
【詳解】（1）解：設《周髀算經》單價為x元，則《孫子算經》單價是元，
依題意得，，解得，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，，
答：《周髀算經》單價為40元，則《孫子算經》單價是30元；
（2）解：設購買的《周髀算經》數量m本，則購買的《孫子算經》數量為本，
依題意得，，解得，
設購買《周髀算經》和《孫子算經》的總費用為y（元），
依題意得，，∵，∴y隨m的增大而增大，
∴當時，有最小值，此時（元），（本）
答：當購買《周髀算經》27本，《孫子算經》53本時，購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2136元．
【點睛】本題主要考查分式方程的實際應用，一次函數的實際應用以及一元一次不等式的實際應用，根據題意表示出y與x之間的函數關系式以及列出不等式是解題的關鍵．
13．（2023年江蘇省揚州市中考數學真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
【答案】(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是65元， 54元．
(2)購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．
【分析】（1）設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據題意，得，求解；（2）設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,則，解得，故最小整數解為，，根據一次函數增減性，求得最小值=．
【詳解】（1）解:設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據題意，得解得，，，
答：甲、乙兩種頭盔的單價各是65元， 54元．
（2）解：設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,
則，解得，故最小整數解為，，
∵，則w隨m的增大而增大，∴時，w取最小值，最小值．
答：購買14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，一次函數的性質，一次函數的應用、一元一次不等式的應用；根據題意列出函數解析式，確定自變量取值范圍是解題的關鍵．
14．（2023年四川省遂寧市中考數學真題）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解．每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同．(1)甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？
(2)該超市計劃購進這兩種粽子共200個（兩種都有），其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元．①求w與m的函數關系式，并求出m的取值范圍；
②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
【答案】(1)甲粽子每個的進價為10元，則乙粽子每個的進價為12元；(2)①w與m的函數關系式為；②購進甲粽子134個，乙粽子66個才能獲得最大利潤，最大利潤466元．
【分析】（1）設甲粽子每個的進價為x元，則乙粽子每個的進價為元，根據“用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①設購進甲粽子m個，則乙粽子個，，由題意得，再由甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，得；②由一次函數的性質即可得出結論．
【詳解】（1）解：設甲粽子每個的進價為x元，則乙粽子每個的進價為元，
由題意得：，解得：，經檢驗：是原方程的解，且符合題意，則，
答：甲粽子每個的進價為10元，則乙粽子每個的進價為12元；
（2）解：①設購進甲粽子m個，則乙粽子個，利潤為w元，
由題意得：，
∵甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，∴，解得：，
∴w與m的函數關系式為；
②∵，則w隨m的增大而減小，，即m的最小整數為134，
∴當時，w最大，最大值，則，
答：購進甲粽子134個，乙粽子66個才能獲得最大利潤，最大利潤為466元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．
15．（2023年四川成都數學中考真題）年月日至月日，第屆世界大學生運動會將在成都舉行．“當好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買，兩種食材制作小吃．已知購買千克種食材和千克種食材共需元，購買千克種食材和千克種食材共需元．
(1)求，兩種食材的單價；(2)該小吃店計劃購買兩種食材共千克，其中購買種食材千克數不少于種食材千克數的倍，當，兩種食材分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用．
【答案】(1)種食材單價是每千克元，種食材單價是每千克元
(2)種食材購買千克，種食材購買千克時，總費用最少，為元
【分析】（1）設種食材的單價為元，種食材的單價為元，根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設種食材購買千克，則種食材購買千克，根據題意列出不等式，得出，進而設總費用為元，根據題意，，根據一次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：設種食材的單價為元，種食材的單價為元，根據題意得，
，解得：，答：種食材的單價為元，種食材的單價為元；
（2）解：設種食材購買千克，則種食材購買千克，根據題意，
解得：，設總費用為元，根據題意，
∵，隨的增大而增大，∴當時，最小，∴最少總費用為（元）
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，根據題意列出方程組，不等式以及一次函數關系式是解題的關鍵．
16．（2023年湖南省益陽市中考數學真題）某企業準備對A，B兩個生產性項目進行投資，根據其生產成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資A項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：，投資B項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：．(1)若將10萬元資金投入A項目，一年后獲得的收益是多少？
(2)若對A，B兩個項目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？(3)2023年，我國對小微企業施行所得稅優惠政策．該企業將根據此政策獲得的減免稅款及其他結余資金共計32萬元，全部投入到A，B兩個項目中，當A，B兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？
【答案】(1)4萬元(2)
(3)當A，B兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．
【分析】（1）把代入可得答案；（2）當時，可得，再解方程可得答案；（3）設投入到B項目的資金為萬元，則投入到A項目的資金為萬元，設總收益為y萬元，，而，再利用二次函數的性質可得答案．
【詳解】（1）解：∵投資A項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：，
當時，（萬元）；
（2）∵對A，B兩個項目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，
∴，整理得：，解得：，（不符合題意），∴m的值為8．
（3）
設投入到B項目的資金為萬元，則投入到A項目的資金為萬元，設總收益為y萬元，
∴，而，
∴當時，（萬元）；
∴當A，B兩個項目分別投入28萬，4萬元時，一年后獲得的收益之和最大，最大值是16萬元．
【點睛】本題考查的是正比例函數的性質，一元二次方程的解法，列二次函數的解析式，二次函數的性質，理解題意，選擇合適的方法解題是關鍵．
17．（2023·浙江溫州·中考模擬）瑞安市曹村鎮“八百年燈會”成為溫州“申遺”的寶貴項目．某公司生產了一種紀念花燈，每件紀念花燈制造成本為18元．設銷售單價x（元），每日銷售量y（件）每日的利潤w（元）．在試銷過程中，每日銷售量y（件）、每日的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間存在一定的關系，其幾組對應量如下表所示：
（元） 19 20 21 30
（件） 62 60 58 40
（1）根據表中數據的規律，分別寫出每日銷售量y（件），每日的利潤w（元）關于銷售單價x（元）之間的函數表達式．（利潤＝（銷售單價﹣成本單價）×銷售件數）．
（2）當銷售單價為多少元時，公司每日能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據物價局規定，這種紀念品的銷售單價不得高于32元，如果公司要獲得每日不低于350元的利潤，那么制造這種紀念花燈每日的最低制造成本需要多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+100，w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）當銷售單價為34元時，每日能獲得最大利潤，最大利潤是512元；（3）制造這種紀念花燈每日的最低制造成本需要648元．
【分析】（1）觀察表中數據，發現y與x之間存在一次函數關系，設y＝kx+b．列方程組得到y關于x的函數表達式y＝﹣2x+100，根據題意得到w＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）把w＝﹣2x2+136x﹣1800配方得到w＝﹣2（x﹣34）2+512．根據二次函數的性質即可得到結論；
（3）根據題意列方程即可得到即可．
【詳解】解：（1）觀察表中數據，發現y與x之間存在一次函數關系，設y＝kx+b．
則，解得，∴y＝﹣2x+100，∴y關于x的函數表達式y＝﹣2x+100，
∴w＝（x﹣18） y＝（x﹣18）（﹣2x+100）∴w＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512．
∴當銷售單價為34元時，∴每日能獲得最大利潤512元；
（3）當w＝350時，350＝﹣2x2+136x﹣1800，解得x＝25或43，
由題意可得25≤x≤32，則當x＝32時，18（﹣2x+100）＝648，
∴制造這種紀念花燈每日的最低制造成本需要648元．
【點睛】此題主要考查了二次函數的應用，根據已知得出函數關系式．
18．（2022·湖北武漢·模擬預測）自從今年3月以來，受俄烏沖突影響，國際油價上漲，電動自行車的市場需求量日漸增多、某銷售公司計劃投入不多于8萬元購進A，B兩種品牌的電動自行車共30輛，A品牌電動自行車的進貨單價為2500元，B品牌電動自行車的進貨單價為3000元．
(1)若A品牌電動自行車每輛售價為2900元，B品牌電動自行車每輛售價為3500元，設該公司計劃購進A品牌電動自行車x輛，兩種品牌的電動自行車全部銷售后可獲利潤w元．寫出w與x之間的函數關系式為______，自變量x的取值范圍為______；該公司銷售完畢所獲最大利潤為______元；
(2)經過市場調查發現：A品牌電動自行車備受消費者關注，其市場銷售量受銷售單價牽制，銷售量m（輛）與銷售單價n（元）之間滿足函數關系式，B品牌電動自行車不受影響，每輛售價仍為3500元．①用只含n的代數式表示：A品牌電動自行車的銷售利潤為______；B品牌電動自行車的銷售利潤為______；②求該銷售公司如何進貨才能獲得最大利潤？
【答案】(1)，且x為整數，13000 (2)①元，元；②進A品牌車輛20輛，B品牌車輛10輛，才能獲得最大利潤．
【分析】（1）購進A品牌電動自行車x輛，則購進B品牌電動自行車輛，由總利潤=單件的利潤×數量可得w與x之間的函數關系式，再由“計劃投入不多于8萬元購進A，B兩種品牌的電動自行車共30輛”可得不等式，求解得到x的取值范圍，根據一次函數的性質可得最大利潤；
（2）①根據利潤總利潤=單件的利潤×數量可得A、B品牌電動自行車的銷售利潤；②找到利潤y與銷售單價n之間的函數關系時，根據函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：購進A品牌電動自行車x輛，則購進B品牌電動自行車輛，
，
由題意可得，解得，
∴自變量x的取值范圍為且x為整數，且，
∴當時，w有最大值（元）
故答案為：，且x為整數，13000
（2）①A品牌電動自行車的銷售利潤為，
B品牌電動自行車的銷售利潤為，
元：元；
②設總利潤為n元，則
，
∵，∴當時，y取最大值，此時（元），此時，
即進A品牌車輛20輛，B品牌車輛10輛，才能獲得最大利潤．
【點睛】本題考查一次函數與二次函數的實際應用，找到題中的等量關系，熟練掌握一次函數與二次函數的性質是解題的關鍵．
19．（2023·安徽宿州·模擬預測）甲、乙兩汽車出租公司均有輛汽車對外出租，下面是兩公司經理的一段對話：
甲公司經理：如果我公司每輛汽車月租費元，那么輛汽車可以全部租出，如果每輛汽車的月租費每增加元，那么將少租出輛汽車，另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費元．乙公司經理：我公司每輛汽車月租費元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計元．
說明：①汽車數量為整數；②月利潤月租車費月維護費；
在兩公司租出的汽車數量相等且都為（單位：輛，）的條件下，甲的利潤用表示（單位：元），乙的利潤用（單位：元）表示，根據上述信息，解決下列問題：
(1)分別表示出甲、乙的利潤，什么情況下甲、乙的利潤相同？(2)甲公司最多比乙公司利潤多多少元？(3)甲公司熱心公益事業，每租出輛汽車捐出元（）給慈善機構，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且僅當兩公司租出的汽車均為輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求的取值范圍．
【答案】(1)；；當每個公司租出的汽車為輛時，兩公司的月利潤相等(2)甲公司最多比乙公司利潤多18050元(3)
【分析】（1）設每個公司租出的汽車為輛，根據月利潤相等得到方程，解之即可得到結果；
（2）設兩公司的月利潤分別為，，月利潤差為，由（1）可得和的表達式，再列出關于的表達式，根據二次函數的性質，結合的范圍求出最值即可；
（3）根據題意得到利潤差為，得到對稱軸，再根據兩公司租出的汽車均為輛，結合為整數可得關于的不等式，即可求出的范圍．
【詳解】（1）解：設每個公司租出的汽車為輛，
由題意可得：，而，
兩公司的月利潤相等可得：，解得：或舍，
當每個公司租出的汽車為輛時，兩公司的月利潤相等；
（2）解：設兩公司的月利潤分別為，，月利潤差為，
則，，
當甲公司的利潤大于乙公司時，，
，
∴當時，函數有最大值18050，∴甲公司最多比乙公司利潤多18050元；
（3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，
則利潤差為，對稱軸為直線，
只能取整數，且當兩公司租出的汽車均為16輛時，月利潤之差最大，
∴，解得：．
【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，二次函數的圖象和性質，解題時要讀懂題意，列出二次函數關系式，尤其（3）中要根據為整數得到的不等式．
20．（2023·湖北黃石·模擬預測）某水果超市經銷一種進價為元的水果，根據以前的銷售經驗，該種水果的最佳銷售期為20天，銷售人員整理出這種水果的銷售單價y（元） 與第x天（，x為整數）的函數圖象如圖所示，而第x天（）的銷售量是x的一次函數，滿足下表：（注：題中x均為整數）
第x天 1 2 3 …
m（kg） 20 24 28 …
(1)請分別求出銷售單價y（元）與x（天）之間及銷售量是x（天）之間的函數關系式：
(2)若規定每天的銷售量不超過，求在銷售的第幾天時，當天的利潤最大，最大利潤是多少？
(3)在試銷一周后，超市老板決定每銷售1千克水果就捐贈a元給養老院，若每天扣除捐贈后的銷售利潤在第10天達到最大，求a的取值范圍．
【答案】(1)y＝，(2)每天的銷售量不超過kg時，在銷售的第天時，當天的利潤最大，最大利潤是元(3)a的取值范圍是
【分析】（1）分段，即可求出銷售單價y（元/kg）與x（天）之間函數關系式；設，將代入即可求出銷售量m（kg）是x（天）之間的函數關系式；
（2）當和時，分別求出利潤關于天數之間的函數關系式即可求解；
（3）確定每天扣除捐贈后的銷售利潤與天數之間的函數關系式，根據“每天扣除捐贈后的銷售利潤在第10天達到最大”即可求解．
【詳解】（1）解：①當時；
②當時，設，將代入得：
，解得，∴；綜上，y＝；
設，將代入得：，解得，∴；
（2）解：設當天的總利潤為元，
①當時，，
∵，∴此時取得最大值，最大值為（元）；
②當時，，
若，
∴當時，w取得最大值，最大利潤為（元）；
綜上所述，每天的銷售量不超過80kg時，在銷售的第16天時，當天的利潤最大，最大利潤是1920元；
（3）解：設每天扣除捐贈后的銷售利潤為元，根據題意得：，對稱軸為直線
∵每天扣除捐贈后的銷售利潤在第10天達到最大，
∴直線到直線的水平距離比直線到直線的水平距離小，
∴，解得；∴a的取值范圍是
【點睛】本題考查了一次函數和二次函數在實際問題中的應用．掌握“建模思想”是解決問題的關鍵．
21．（2023·浙江湖州·一模）某特產專賣店銷售某種特產，其進價為每千克120元，按每千克200元出售．為了促銷，營銷部門建議：顧客一次購買這種特產不超過20千克時，每千克按200元銷售；若一次購買該特產超過20千克時，每多購買1千克，銷售單價降低2元，但銷售單價均不低于m元．該專賣店某次銷售該特產所獲得的利潤w（元）與購買數量x（千克）之間的函數關系如圖所示．根據以上信息解決下列問題：（1）顧客購買該特產50千克時，該特產的銷售單價m為每千克_____元，專賣店的銷售利潤為______元；（2）當一次購買該特產超過20千克時，求w與x之間的函數表達式；
（3）在試銷期間銷售人員發現：當顧客購買特產超過某一數量時，會出現隨著數量的增加，專賣店所獲利潤反而減少這一情況．在這種情況下，為使銷售量越多，專賣店所獲利潤越大，專賣店應將最低銷售單價至少調整為每千克多少元？（其它銷售條件不變）
【答案】（1）140；1000；（2）；（3）180元
【分析】（1）根據“銷售單價=原銷售單價-2（銷售數量-20）；銷售利潤=每千克的利潤數量”計算即可；（2）分兩個不同的取值范圍求解即可；（3）結合函數圖象進行分析即可．
【詳解】（1）銷售單價：；銷售利潤：∴答案為140，1000．
（2）①當時，一件利潤為：元，
∴
②當時，一件利潤為：（元），∴；
∴w與x之間的函數表達式為：
（3）要使銷售數量越多，專賣店所獲利潤越大，則w隨x的增大而增大，
，y隨x的增大而增大；
，其對稱軸為，故當時，w隨x的增大而增大；
∴若一次購買30千克，設置為最低售價，則可避免w隨x的增大而減小情況發生，
∴當時，設置最低售價為（元）．∴專賣店應將最低銷售單價調整為180．
【點睛】本題考查了函數的應用，根據等量關系，列出分段函數，利用數形結合是解題的關鍵．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題02 函數實際綜合應用問題-利潤最值問題
中考數學中，函數最值利潤問題，一直備受出題人的青睞，是考試的熱點。函數最值利潤問題是指在一個經濟模型中，根據題意確定函數關系，結合自變量的范圍來最大化利潤或最小化成本的問題。本專題將通過介紹函數利潤問題的基本概念、解決方法和實際應用，深入探討這一問題。希望同學們認真理解掌握，關于利潤（費用）最值問題，同學們一定要多下功夫研究學習，總結出解決這類問題的思路方法，考試中得心應手。
對于這類問題，要審清題意，記住利潤問題中的幾個公式，便可解決此類問題。常用公式有：利潤=售價-成本價，總利潤=單個商品的利潤×銷售量，利潤率=利潤/進價×100%，通過公式建立函數模型，把利潤問題轉化為函數的最值問題，從而使問題得到解決。
特別需要注意，解答此類型題要抓住關鍵的詞和字，將實際問題轉化為求函數最值問題。既要看到銷售價格對銷售量的影響，也要看到銷售價格對單件商品利潤產生的影響，兩者結合起來，銷售價格就會對銷售總利潤產生影響。在求二次函數最值時，要注意實際問題中自變量的取值的限制對最值的影響。
求解最大利潤問題的一般步驟
（1）建立利潤（費用）與價格之間的函數關系式：運用“總利潤=單件利潤×總銷量”或“總利潤=總售價-總成本”，再化簡求得相應的函數關系；
（2）結合實際意義或題設條件，確定自變量的取值范圍；
（3）在自變量的取值范圍內確定求出最大利潤：若函數為一次函數，則利用一次函數的增減性求出最大利潤；若函數為二次函數可以利用配方法或公式求出最大利潤；當然也可以畫出相應函數的簡圖，利用簡圖和性質求出最大利潤。
考向一　利潤最值問題（一次函數型）
例1．（2023年山東青島中考數學真題）某服裝店經銷A，B兩種T恤衫，進價和售價如下表所示：
品名 A B
進價（元/件） 45 60
售價（元/件） 66 90
(1)第一次進貨時，服裝店用6000元購進A，B兩種T恤衫共120件，全部售完獲利多少元？
(2)受市場因素影響，第二次進貨時，A種T恤衫進價每件上漲了5元，B種T恤衫進價每件上漲了10元，但兩種T恤衫的售價不變．服裝店計劃購進A，B兩種T恤衫共150件，且B種T恤衫的購進量不超過A種T恤衫購進量的2倍．設此次購進A種T恤衫m件，兩種T恤衫全部售完可獲利W元．①請求出W與m的函數關系式；②服裝店第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．
例2．（2023年內蒙古呼和浩特市中考數學真題）學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發展，計劃組織八年級學生到“開心”農場開展勞動實踐活動．到達農場后分組進行勞動，若每位老師帶38名學生，則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生．勞動實踐結束后，學校在租車總費用2300元的限額內，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示
甲型客車 乙型客車
載客量/（人/輛） 45 30
租金/（元/輛） 400 280
(1)參加本次實踐活動的老師和學生各有多少名？(2)租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；(3)學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？
例3．（2023年江蘇省南通市中考數學真題）為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息—
工程隊 每天施工面積（單位：） 每天施工費用（單位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二：甲工程隊施工所需天數與乙工程隊施工所需天數相等．
(1)求x的值；(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于．該段時間內體育中心至少需要支付多少施工費用
例4．（2023年山東省濟南市中考數學真題）某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同．(1)求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元 (2)學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少 最少花費是多少元
考向二　最大利潤問題（二次函數型）
例1．（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）網絡銷售已經成為一種熱門的銷售方式，某果園在網絡平臺上直播銷售荔枝．已知該荔枝的成本為6元/kg，銷售價格不高于18元/kg，且每售賣1kg需向網絡平臺支付2元的相關費用，經過一段時間的直播銷售發現，每日銷售量y（kg）與銷售價格x（元/kg）之間滿足如圖所示的一次函數關系．(1)求與的函數解析式．(2)當每千克荔枝的銷售價格定為多少元時，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤為多少元？

例2．（2023年浙江省湖州市中考數學真題）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數關系，部分數據如下表所示：
銷售價格x（元/千克） 50 40
日銷售量y（千克） 100 200
(1)試求出y關于x的函數表達式．(2)設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？
例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）某工廠生產一種產品，經市場調查發現，該產品每月的銷售量y（件）與售價x（萬元/件）之間滿足一次函數關系．部分數據如下表：
每件售價x/萬元 … 24 26 28 30 32 …
月銷售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
(1)求y與x的函數關系式（不寫自變量的取值范圍）．
(2)該產品今年三月份的售價為35萬元/件，利潤為450萬元．①求：三月份每件產品的成本是多少萬元？②四月份工廠為了降低成本，提高產品質量，投資了450萬元改進設備和革新技術，使每件產品的成本比三月份下降了14萬元．若四月份每件產品的售價至少為25萬元，且不高于30萬元，求這個月獲得的利潤（萬元）關于售價x（萬元/件）的函數關系式，并求最少利潤是多少萬元？
例4．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）某工廠計劃從現在開始，在每個生產周期內生產并銷售完某型號設備，該設備的生產成本為萬元/件．設第個生產周期設備的售價為萬元/件，售價與之間的函數解析式是，其中是正整數．當時，；當時，．(1)求，的值；(2)設第個生產周期生產并銷售完設備的數量為件，且y與x滿足關系式．當時，工廠第幾個生產周期獲得的利潤最大 最大的利潤是多少萬元
當時，若有且只有個生產周期的利潤不小于萬元，求實數的取值范圍．
考向三　最低成本問題（二次函數型）
例1．（2023·遼寧·一模）國家推行“節能減排，低碳經濟”政策后，某環保節能設備生產企業的產品供不應求．若該企業的某種環保設備每月的產量保持在一定的范圍，每套產品的生產成本不高于50萬元，每套產品的售價不低于90萬元．已知這種設備的月產量x（套）與每套的售價（萬元）之間滿足關系式，月產量x（套）與生產總成本（萬元）存在如圖所示的函數關系．（1）求月產量x的范圍；（2）如果想要每月利潤為1750萬元，那么當月產量應為多少套？（3）如果每月獲利潤不低于1900萬元，當月產量x（套）為多少時，生產總成本最低？并求出此時的最低成本．
例2．（2023·江蘇揚州·二模）我市某企業安排20名工人生產甲、乙兩種產品，根據生產經驗，每人每天生產2件甲產品或1件乙產品（每人每天只能生產一種產品）．甲產品生產成本為每件10元；若安排1人生產一件乙產品，則成本為38元，以后每增加1人，平均每件乙產品成本降低2元．規定甲產品每天至少生產20件．設每天安排人生產乙產品．
(1)根據信息填表：
產品種類 每天工作人數（人） 每天產量（件） 每件產品生產成本（元）
甲 10
乙 x
(2)為了增加利潤，企業須降低成本，該企業如何安排工人生產才能使得每天的生產總成本最低？最低成本是多少？(3)該企業準備通過對外招工，增加工人數量的方式降低每天的生產總成本，那么至少招多少名工人才能實現每天的生產總成本不高于350元？
例3．（2023年湖北省黃岡市中考數學真題）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地．2023年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數關系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元/．

(1)當___________時，元/；
(2)設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？
(3)學校計劃今后每年在這土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降，若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2025年的總種植成本為元？
一、選擇題
1．（2023·廣東佛山·一模）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價元，銷售期間發現，當銷售單價定為元時，每天可售出個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川綿陽·三模）2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產銷一種消毒液，設每天產銷量為x瓶，每日產銷這種消毒液的有關信息如下表：（產銷量指生產并銷售的數量，生產多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產銷利潤y元，當銷量x為多少時，該消毒液的單日產銷利潤最大．（ ）
消毒液 每瓶售價（元） 每瓶成本（元） 每日其他費用（元） 每日最大產銷量（瓶）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
3．（2023·湖北武漢·模擬預測）某超市對進貨價為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進行統計，發現每天銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）存在一次函數關系，如圖所示．則最大利潤是（　　）

A．180 B．220 C．190 D．200
4．（2023·山東臨沂·二模）為了環保，某工廠在一段時間內限產并投入資金進行治污改造，如圖描述的是月利潤（萬元）關于月份之間的變化關系，治污改造完成前是反比例函數圖象的一部分，治污改造完成后是一次函數圖象的一部分，則下列說法：①5月份該廠的月利潤最低；②治污改造完成后，每月利潤比前一個月增加30萬元；③該廠8月份的月利潤與2月份相同；④治污改造前后，共有6個月的月利潤不超過120萬元．其中正確的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·北京·二模）某公司新產品上市30天全部售完．圖1表示產品的市場日銷售量與上市時間之間的關系，圖2表示單件產品的銷售利潤與上市時間之間的關系，下列四個結論中錯誤的是（　　）
A．第30天該產品的市場日銷售量最大 B．第20天至30天該產品的單件產品的銷售利潤最大
C．第20天該產品的日銷售總利潤最大 D．第20天至30天該產品的日銷售總利潤逐日增多
二、填空題
6．（2023·四川宜賓·二模）在“抗疫”期間，某藥店計劃一次購進兩種型號的口罩共200盒，每盒A型口罩的銷售利潤為7.5元，每盒B型口罩的銷售利潤為10元，若要求B型口罩的進貨量不超過A型口罩的3倍，且完全售出后利潤不少于1870元，則該藥店在此次進貨中獲得的最大利潤是 元．
7．（2023·山東聊城·二模）某超市購進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發現，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數關系，則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為 元（利潤＝總銷售額－總成本）．

8．（2023·河北石家莊·模擬預測）某市政府加大各部門和單位對口扶貧力度．某單位的幫扶對象種植的農產品在某月，（按天計）的第天（為正整數）的銷售價格（元千克）關于的函數關系式為銷售量y（千克）與之間的關系如圖所示．
（1）求與之間的函數關系式為 ；（2）若該農產品當月的銷售額最大，最大銷售額是 .（銷售額=銷售量×銷售價格）。
9．（2022·山東聊城·中考真題）某食品零售店新上架一款冷飲產品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關系如圖所示，當時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的最大利潤為 元（利潤=總銷售額-總成本）．

10．（2022·四川達州·一模）某企業研發出了一種新產品準備銷售，已知研發、生產這種產品的成本為30元/件，據調查年銷售量y（萬件）關于售價x（元/件）的函數解析式為： ，則當該產品的售價x為 ．（元/件）時，企業銷售該產品獲得的年利潤最大．
三、解答題
11．（2023年內蒙古包頭市中考數學真題）隨著科技的發展，掃地機器人已廣泛應用于生活中，某公司推出一款新型掃地機器人，經統計該產品2022年每個月的銷售情況發現，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化、設該產品2022年第（為整數）個月每臺的銷售價格為（單位：元），與的函數關系如圖所示（圖中為一折線）．
(1)當時，求每臺的銷售價格與之間的函數關系式；
(2)設該產品2022年第個月的銷售數量為（單位：萬臺），m與的關系可以用來描述，求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺的銷售價格銷售數量）

12．（2023年山東省煙臺市中考數學真題）中華優秀傳統文化源遠流長、是中華文明的智慧結晶．《孫子算經》、《周髀算經》是我國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經》單價是《周髀算經》單價的，用600元購買《孫子算經》比購買《周髀算經》多買5本．
(1)求兩種圖書的單價分別為多少元？
(2)為籌備“3．14數學節”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經》數量不少于《孫子算經》數量的一半．由于購買量大，書店打折優惠，兩種圖書均按八折出售．求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？
13．（2023年江蘇省揚州市中考數學真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
14．（2023年四川省遂寧市中考數學真題）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解．每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同．(1)甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？
(2)該超市計劃購進這兩種粽子共200個（兩種都有），其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元．①求w與m的函數關系式，并求出m的取值范圍；
②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
15．（2023年四川成都數學中考真題）年月日至月日，第屆世界大學生運動會將在成都舉行．“當好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買，兩種食材制作小吃．已知購買千克種食材和千克種食材共需元，購買千克種食材和千克種食材共需元．
(1)求，兩種食材的單價；(2)該小吃店計劃購買兩種食材共千克，其中購買種食材千克數不少于種食材千克數的倍，當，兩種食材分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用．
16．（2023年湖南省益陽市中考數學真題）某企業準備對A，B兩個生產性項目進行投資，根據其生產成本、銷售情況等因素進行分析得知：投資A項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：，投資B項目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數表達式為：．(1)若將10萬元資金投入A項目，一年后獲得的收益是多少？
(2)若對A，B兩個項目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？(3)2023年，我國對小微企業施行所得稅優惠政策．該企業將根據此政策獲得的減免稅款及其他結余資金共計32萬元，全部投入到A，B兩個項目中，當A，B兩個項目分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？
17．（2023·浙江溫州·中考模擬）瑞安市曹村鎮“八百年燈會”成為溫州“申遺”的寶貴項目．某公司生產了一種紀念花燈，每件紀念花燈制造成本為18元．設銷售單價x（元），每日銷售量y（件）每日的利潤w（元）．在試銷過程中，每日銷售量y（件）、每日的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間存在一定的關系，其幾組對應量如下表所示：
（元） 19 20 21 30
（件） 62 60 58 40
（1）根據表中數據的規律，分別寫出每日銷售量y（件），每日的利潤w（元）關于銷售單價x（元）之間的函數表達式．（利潤＝（銷售單價﹣成本單價）×銷售件數）．
（2）當銷售單價為多少元時，公司每日能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據物價局規定，這種紀念品的銷售單價不得高于32元，如果公司要獲得每日不低于350元的利潤，那么制造這種紀念花燈每日的最低制造成本需要多少元？
18．（2022·湖北武漢·模擬預測）自從今年3月以來，受俄烏沖突影響，國際油價上漲，電動自行車的市場需求量日漸增多、某銷售公司計劃投入不多于8萬元購進A，B兩種品牌的電動自行車共30輛，A品牌電動自行車的進貨單價為2500元，B品牌電動自行車的進貨單價為3000元．
(1)若A品牌電動自行車每輛售價為2900元，B品牌電動自行車每輛售價為3500元，設該公司計劃購進A品牌電動自行車x輛，兩種品牌的電動自行車全部銷售后可獲利潤w元．寫出w與x之間的函數關系式為______，自變量x的取值范圍為______；該公司銷售完畢所獲最大利潤為______元；
(2)經過市場調查發現：A品牌電動自行車備受消費者關注，其市場銷售量受銷售單價牽制，銷售量m（輛）與銷售單價n（元）之間滿足函數關系式，B品牌電動自行車不受影響，每輛售價仍為3500元．①用只含n的代數式表示：A品牌電動自行車的銷售利潤為______；B品牌電動自行車的銷售利潤為______；②求該銷售公司如何進貨才能獲得最大利潤？
19．（2023·安徽宿州·模擬預測）甲、乙兩汽車出租公司均有輛汽車對外出租，下面是兩公司經理的一段對話：
甲公司經理：如果我公司每輛汽車月租費元，那么輛汽車可以全部租出，如果每輛汽車的月租費每增加元，那么將少租出輛汽車，另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費元．乙公司經理：我公司每輛汽車月租費元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計元．
說明：①汽車數量為整數；②月利潤月租車費月維護費；
在兩公司租出的汽車數量相等且都為（單位：輛，）的條件下，甲的利潤用表示（單位：元），乙的利潤用（單位：元）表示，根據上述信息，解決下列問題：
(1)分別表示出甲、乙的利潤，什么情況下甲、乙的利潤相同？(2)甲公司最多比乙公司利潤多多少元？(3)甲公司熱心公益事業，每租出輛汽車捐出元（）給慈善機構，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且僅當兩公司租出的汽車均為輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求的取值范圍．
20．（2023·湖北黃石·模擬預測）某水果超市經銷一種進價為元的水果，根據以前的銷售經驗，該種水果的最佳銷售期為20天，銷售人員整理出這種水果的銷售單價y（元） 與第x天（，x為整數）的函數圖象如圖所示，而第x天（）的銷售量是x的一次函數，滿足下表：（注：題中x均為整數）
第x天 1 2 3 …
m（kg） 20 24 28 …
(1)請分別求出銷售單價y（元）與x（天）之間及銷售量是x（天）之間的函數關系式：
(2)若規定每天的銷售量不超過，求在銷售的第幾天時，當天的利潤最大，最大利潤是多少？
(3)在試銷一周后，超市老板決定每銷售1千克水果就捐贈a元給養老院，若每天扣除捐贈后的銷售利潤在第10天達到最大，求a的取值范圍．
21．（2023·浙江湖州·一模）某特產專賣店銷售某種特產，其進價為每千克120元，按每千克200元出售．為了促銷，營銷部門建議：顧客一次購買這種特產不超過20千克時，每千克按200元銷售；若一次購買該特產超過20千克時，每多購買1千克，銷售單價降低2元，但銷售單價均不低于m元．該專賣店某次銷售該特產所獲得的利潤w（元）與購買數量x（千克）之間的函數關系如圖所示．根據以上信息解決下列問題：（1）顧客購買該特產50千克時，該特產的銷售單價m為每千克_____元，專賣店的銷售利潤為______元；（2）當一次購買該特產超過20千克時，求w與x之間的函數表達式；
（3）在試銷期間銷售人員發現：當顧客購買特產超過某一數量時，會出現隨著數量的增加，專賣店所獲利潤反而減少這一情況．在這種情況下，為使銷售量越多，專賣店所獲利潤越大，專賣店應將最低銷售單價至少調整為每千克多少元？（其它銷售條件不變）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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