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【全國通用】2024中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（重難點(diǎn)題型突破）
專題01 規(guī)律探索問題
規(guī)律探究問題是中考數(shù)學(xué)中的常考問題，往往以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律等。規(guī)律探索問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、思路點(diǎn)撥、推理，探究其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類問題，因其獨(dú)特的規(guī)律性和探究性，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求，在近幾年全國各地的中考試題中，不僅頻頻出現(xiàn)規(guī)律探究題，而且“花樣百出”。
1）從簡單的情況入手﹕求出前三到四個結(jié)果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結(jié)正確答案；新定義型問題一般與代數(shù)、坐標(biāo)、函數(shù)知識結(jié)合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個數(shù)的立方和、連續(xù)n個數(shù)的平方和、階乘等。
2）關(guān)注問題中的不變量和變量﹕在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細(xì)觀察變量的變化與序號（一般為n）之間的關(guān)系，我們找到這個關(guān)系就找到了規(guī)律所在。
3）掌握一些數(shù)學(xué)思想方法：規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律。它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答。
4）常見規(guī)律探究類型：
（1）數(shù)字的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關(guān)系。
（2）數(shù)式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關(guān)系。
（3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)與序號之間的關(guān)系。
（4）圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進(jìn)而觀察商和余數(shù)。
（5）數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論。
（6）坐標(biāo)變化規(guī)律問題：坐標(biāo)變化規(guī)律問題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求規(guī)律進(jìn)行解題時解題過程問題的關(guān)鍵。
考向一　數(shù)與式規(guī)律問題
例1．（2023年云南省中考數(shù)學(xué)真題）按一定規(guī)律排列的單項式：，第個單項式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)單項式的規(guī)律可得，系數(shù)為，字母為，指數(shù)為1開始的自然數(shù)，據(jù)此即可求解．
【詳解】按一定規(guī)律排列的單項式：，第個單項式是，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項式規(guī)律題，找到單項式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·山西大同·模擬預(yù)測）有一組數(shù)列：……則第10個是 .
【答案】
【分析】通過觀察可得“分?jǐn)?shù)的分子是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，分母是比分子的平方數(shù)大1的數(shù)，并且第奇數(shù)個數(shù)是負(fù)數(shù)，偶數(shù)個數(shù)是正數(shù)”據(jù)此分析即可解答．
【詳解】解：∵，，，，，，…，且第奇數(shù)個數(shù)是負(fù)數(shù)，偶數(shù)個數(shù)是正數(shù)．∴第10個數(shù)是．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，從“從分子、分母和正負(fù)情況”三個方面考慮求解是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）已知一列均不為1的數(shù)滿足如下關(guān)系：，，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可把代入求解，則可得，，……；由此可得規(guī)律求解．
【詳解】解：∵，∴，，，，…….；
由此可得規(guī)律為按2、、、四個數(shù)字一循環(huán)，
∵，∴；故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得到數(shù)字的一般規(guī)律．
例4．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)若排在第a行b列，則的值為( )



……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致．
【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故在第20列，即；向前遞推到第1列時，分?jǐn)?shù)為，故分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)在同一行．即在第2042行，則．∴故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．
例5．（2023年四川省巴中市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
當(dāng)代數(shù)式的值為1時，則x的值為（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
【答案】C
【分析】由規(guī)律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【詳解】解：由規(guī)律可得：，
令，，∴，
∵，
∴，∴，∴或，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是從題干信息中總結(jié)規(guī)律，一元二次方程的解法，靈活的應(yīng)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．
例6．（2023年湖南省岳陽市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列式子：
；；；；；…
依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個等式是 ．
【答案】
【分析】據(jù)等式的左邊為正整數(shù)的平方減去這個數(shù)，等式的右邊為這個數(shù)乘以這個數(shù)減1，即可求解．
【詳解】解：∵；；；；；…
∴第（為正整數(shù)）個等式是，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
考向二　圖形變化規(guī)律問題
例1．（2023·湖南·二模）觀察下列的“蜂窩圖”按照它呈現(xiàn)的規(guī)律第n個圖案中的“ ”的個數(shù)是 （用含n的代數(shù)式表示）

【答案】
【分析】根據(jù)題意可知：第1個圖有4個“六邊形”，第2個共有7個“六邊形”，第3個共有10個“六邊形”，第4個共有13個“六邊形”，由此可得出規(guī)律，從而可求解．
【詳解】解：∵第1個圖有“六邊形”的個數(shù)為：4，
第2個圖有“六邊形”的個數(shù)為：，
第3個圖有“六邊形”的個數(shù)為：，
第4個圖有“六邊形”的個數(shù)為：，..，
∴第n個圖有“六邊形”的個數(shù)為：．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是熟練正確找出圖中的規(guī)律．
例2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（ ）

A．14 B．20 C．23 D．26
【答案】B
【分析】根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到規(guī)律，即可求解.
【詳解】解：因為第①個圖案中有2個圓圈，；
第②個圖案中有5個圓圈，；
第③個圖案中有8個圓圈，；
第④個圖案中有11個圓圈，；…，
所以第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為；故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到第n個圖案的規(guī)律為是解題的關(guān)鍵.
例3．（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則 ．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

【答案】/
【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：依題意，，
∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
例4．（2023年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：，，，，…，；
∴
，故選∶C．
【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
例5．（2023年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過個時即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)碳原子的個數(shù)，氫原子的個數(shù)，找到規(guī)律，即可求解．
【詳解】解：甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，
碳原子的個數(shù)為序數(shù)，氫原子的個數(shù)為碳原子個數(shù)的2倍多2個，
十二烷的化學(xué)式為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
考向三　坐標(biāo)變化規(guī)律問題
例1．（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖所示，在臺球桌面ABCD上建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P從出發(fā)沿圖中箭頭方向運(yùn)動，碰到邊界（粗線）會發(fā)生反彈（反射角等于入射角）．若點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒個單位長度，則第2022秒時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)小球的運(yùn)動方向可得出小球運(yùn)動一周所走的路程，再由運(yùn)動速度得出運(yùn)動一周所用的時間，從而得出第2022秒的小球所在位置．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形得：

小球運(yùn)動一周所走的路程，
∵小球以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，
∴小球運(yùn)動一周所用的時間為：（秒），∴，
∴第2022秒的小球所在位置為點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)確定位置，掌握勾股定理以及坐標(biāo)的表示方法是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·河南漯河·二模）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，…都是等邊三角形，其邊長依次為2，4，6．…，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為…，按此規(guī)律排下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)x軸上方的點(diǎn)是4的倍數(shù)，確定點(diǎn)在x軸上方，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，……，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求解．
【詳解】解：觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)x軸上方的點(diǎn)是4的倍數(shù)，
∵，∴點(diǎn)在x軸上方，∵，∴，
∵，∴，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律；能夠通過所給圖形，找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·山東煙臺·二模）自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，13，……畫出米的螺旋曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，依次以這組數(shù)為半徑作的圓弧，得到一組螺旋線，連接，得到一組螺旋折線，如圖所示．已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖中點(diǎn)的位置，找出規(guī)律，利用平移的特點(diǎn)，依次求出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出答案．
【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：先向右平移1個單位，再向上平移1單位得到；
先向右平移1個單位，再向下平移1單位得到；
先向左平移2個單位，再向下平移2單位得到；
先向左平移3個單位，再向上平移3單位得到；
先向右平移5個單位，再向上平移5單位得到；
先向右平移8個單位，再向下平移8單位得到，故D正確．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中給出的已知點(diǎn)的位置，找出平移規(guī)律．
例4．（22-23九年級下·四川瀘州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們把叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，已知的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，這樣依次得到，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義依次求出各點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點(diǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：的坐標(biāo)為，，，，，，
依此類推，每4個點(diǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
，點(diǎn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，為．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點(diǎn)”的定義，解題的關(guān)鍵是求出每4個點(diǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)．
例5．（22-23九年級·湖北十堰·期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，動點(diǎn)按圖中箭頭所示方向依次運(yùn)動，第1次從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，第2次運(yùn)動到點(diǎn)，第3次運(yùn)動到點(diǎn)，…按這樣的運(yùn)動規(guī)律，動點(diǎn)第2023次運(yùn)動到點(diǎn) ．（寫出點(diǎn)的坐標(biāo)）

【答案】
【分析】據(jù)圖可以得出動點(diǎn)的縱坐標(biāo)按照，每四個一循環(huán)，橫坐標(biāo)為運(yùn)動次數(shù)減1，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由圖可知：動點(diǎn)的縱坐標(biāo)按照，每四個一循環(huán)，橫坐標(biāo)為運(yùn)動次數(shù)減1，
∵，
∴動點(diǎn)第2023次運(yùn)動后的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，
∴動點(diǎn)第2023次運(yùn)動到點(diǎn)；故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探究．根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題關(guān)鍵．
一、選擇題
1．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）觀察下面兩行數(shù)：
取每行數(shù)的第7個數(shù)，計算這兩個數(shù)的和是（ ）
A．92 B．87 C．83 D．78
【答案】C
【分析】先分別找出每行數(shù)字的規(guī)律，求出每行第7個數(shù)，將這兩個數(shù)相加即可．
【詳解】解：第一行的數(shù)字規(guī)律為：，第二行的數(shù)字規(guī)律為：，
第一行的第7個數(shù)字為：，第二行的第7個數(shù)字為：，
，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律探究，發(fā)現(xiàn)每行數(shù)字的排布規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（A卷））用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是（ ）

A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計算的規(guī)律，由此即可得到答案．
【詳解】解：第①個圖案用了根木棍，第②個圖案用了根木棍，
第③個圖案用了根木棍，第④個圖案用了根木棍，……，
第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是根，故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計算的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·湖南長沙·模擬預(yù)測）我國宋朝時期的數(shù)學(xué)家楊輝，曾將大小完全相同的圓彈珠逐層堆積，形成“三角垛”，頂層記為第1層，有1顆彈珠；第2層有3顆彈珠；第3層有6顆彈珠，往下依次是第4層，第5層，…；如圖中畫出了最上面的四層．若用表示第n層的彈珠數(shù)，其中n＝1，2，3，…，則＋…＋＝（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】確定每層彈珠數(shù)和層數(shù)的關(guān)系，即可求解．
【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第1層有1顆彈珠，即；
第2層有3顆彈珠，即；第3層有6顆彈珠，即；
第4層有10顆彈珠，即；…
∴第層的彈珠數(shù)為：
∴，
∴＋…＋＝
故選：B
【點(diǎn)睛】本題以規(guī)律探索為背景，考查了分式的計算．根據(jù)圖形變化確定規(guī)律是解題關(guān)鍵．
4．（2023·山東濟(jì)南·三模）用棋子擺成圖案，擺第個圖案需要顆棋子( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了圖形的變化，找出圖形變化的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
本題可依次解，圖案需要的棋子枚數(shù)，再根據(jù)規(guī)律以此類推，可得出第n個圖案需要的棋子枚數(shù)即可求解．
【詳解】解：第個圖形中的棋子的個數(shù)為：，
第個圖形中的棋子的個數(shù)為：，
第個圖形中的棋子的個數(shù)為：，，
第個圖形中的棋子的個數(shù)為：，
第個圖形中的棋子的個數(shù)為：．故選：C．
5．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測）若是不為的有理數(shù)，則我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)為，的差倒數(shù)為，已知：，是差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，，依次類推，的值是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)差倒數(shù)定義計算得出，，，，依次推導(dǎo)個數(shù)據(jù)為一組，，．
【詳解】解：根據(jù)差倒數(shù)的定義知，，，，以、、這個數(shù)為一組，
∵，∴第個數(shù)為第組數(shù)的第個數(shù)據(jù)，
則，那么．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是得出數(shù)據(jù)的規(guī)律．
6．（2023·河南鄭州·三模）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點(diǎn)作“1”變換表示將它繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，由數(shù)字0和1組成的序列表示一個點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點(diǎn)按序列“”作變換．表示點(diǎn)先向右平移一個單位得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到依次類推．點(diǎn)經(jīng)過“”變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得出點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出變換后的坐標(biāo)位置，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：點(diǎn)按序列“011011011”作變換，表示點(diǎn)先向右平移一個單位得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，然后右平移一個單位得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，然后右平移一個單位得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，坐標(biāo)平移與旋轉(zhuǎn)，得出點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
7．（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測）在同一平面內(nèi)，我們把兩條直線相交將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，三條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，四條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，...條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，若，則（　　）
A．30 B．31 C．20 D．21
【答案】A
【分析】根據(jù)直線相交得到交點(diǎn)個數(shù)的規(guī)律，再利用裂項法進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算即可解題．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，
兩條直線最多將平面分成4個區(qū)域，即，
三條直線最多將平面分成7個區(qū)域，即，
四條直線最多將平面分成11個區(qū)域，即，..．
則，，..．∴，
∴
＝
，
∵，∴，
解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解．故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查的是相交線，摸清數(shù)字的變化規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．
8．（23-24九年級上·浙江·期末）如圖所示，動點(diǎn)從第一個數(shù)的位置出發(fā)，每次跳動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)的位置，第二次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)的位置，第三次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)的位置，第四次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)的位置，，依此規(guī)律跳動下去，點(diǎn)從跳動次到達(dá)的位置，點(diǎn)從跳動次到達(dá)的位置，，點(diǎn)、、在一條直線上，則點(diǎn)從跳動次可到達(dá)的位置．（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到規(guī)律：跳動次數(shù)為從1開始連續(xù)正整數(shù)的和，且最后一個加數(shù)為，進(jìn)而得答案即可．
【詳解】由題意知，跳動個單位長度到，從到再跳動個單位長度，
歸納可得：從上一個點(diǎn)跳到下一個點(diǎn)跳動的單位長度是三個連續(xù)的正整數(shù)的和，，
點(diǎn)從跳到跳動了：，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形中的規(guī)律探究．根據(jù)圖形，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·重慶·三模）如圖是由大小相同的愛心按照一定規(guī)律排列組成的圖形，依此規(guī)律，圖⑨中共有愛心的個數(shù)為（ ）

A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】D
【分析】根據(jù)題目中的圖形可以發(fā)現(xiàn)愛心個數(shù)的變化規(guī)律，從而可以得到第⑨中共有愛心的個數(shù)．
【詳解】解：①愛心個數(shù)為5；②愛心個數(shù)為；③愛心個數(shù)為；……
⑨愛心個數(shù)為．故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化類規(guī)律，明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中白色正方形個數(shù)的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2023·河南周口·二模）如圖，在四邊形中，頂點(diǎn)，分別在軸，軸上，，，，，軸，交軸于點(diǎn)將四邊形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求得的長度，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．
【詳解】解：，，，， 軸，
，，，
將四邊形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，
則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)次一個循環(huán)，，
則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型，點(diǎn)的坐標(biāo)，勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．（2023年四川省甘孜藏族自治州中考數(shù)學(xué)真題）有一列數(shù)，記第個數(shù)為，已知，當(dāng)時，則的值為 ．
【答案】
【分析】分別計算出，找到規(guī)律即可求解．
【詳解】解：依題意，，，，……，
∴∴的值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
12．（2023年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市、興安盟中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列各式：
，，，…
請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算： ．
【答案】/
【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律進(jìn)而將原式變形求出答案．
【詳解】
，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵．
13．（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為 ；取每行數(shù)的第2023個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為 ．
【答案】 1024
【分析】通過觀察第一行數(shù)的規(guī)律為，第二行數(shù)的規(guī)律為，代入數(shù)據(jù)即可.
【詳解】第一行數(shù)的規(guī)律為，∴第①行數(shù)的第10個數(shù)為；
第二行數(shù)的規(guī)律為，
∴第①行數(shù)的第2023個數(shù)為，第②行數(shù)的第2023個數(shù)為，
∴，故答案為：1024；．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化，找其中的規(guī)律，是今年考試中常見的題型.
14．（2023·四川廣安·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓弧；是以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)B，O，C，A為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．

【答案】
【分析】將四分之一圓弧對應(yīng)的A點(diǎn)坐標(biāo)看作順時針旋轉(zhuǎn)，再根據(jù)A、、、、的坐標(biāo)找到規(guī)律即可．
【詳解】解：∵，且為A點(diǎn)繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)所得，∴，
又∵為點(diǎn)繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)所得，∴，
又∵為點(diǎn)繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)所得，∴，
由此可得出規(guī)律：為繞B、O、C、A四點(diǎn)作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)，且半徑為1、2、3、、n，每次增加1，
又∵，故為以點(diǎn)C為圓心，半徑為2022的 順時針旋轉(zhuǎn)所得，
∴， 故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索問題，通過點(diǎn)的變化，結(jié)合畫弧的方法以及部分點(diǎn)的坐標(biāo)探索出坐標(biāo)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·北京海淀·三模）在表中，我們把第行第列的數(shù)記為（其中，都是不大于5的正整數(shù)），對于表中的每個數(shù)，規(guī)定如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，．例如：當(dāng)，時，．按此規(guī)定， ；表中的25個數(shù)中，共有 個1；計算的值為 ．
【答案】 0 15 1
【分析】根據(jù)當(dāng)時，．當(dāng)時，進(jìn)行解答即可；由圖表中可以很容易知道等于1的數(shù)有15個．
【詳解】解：由題意，很容易發(fā)現(xiàn)，從i與j之間大小分析：
當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，由圖表可知共有15個1；
，
∵是不大于5的正整數(shù)，∴，∴．故答案為：0；15；1．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化，理解當(dāng)時，．當(dāng)時，，是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第1個形中一共有4個小圓圈，第2個圖形中一共有10個小圓圈，第3個圖形中一有19個小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第n個圖形中小圓圈的個數(shù) ．

【答案】
【分析】第1個形中小圓圈的個數(shù)為：，第2個圖形中10個小圓圈的個數(shù)為：，第3個圖形中小圓圈的個數(shù)為：，…，據(jù)此可求得第n個圖形中小圓圈的個數(shù)．
【詳解】解：∵第1個形中小圓圈的個數(shù)為：，
第2個圖形中10個小圓圈的個數(shù)為：，
第3個圖形中小圓圈的個數(shù)為：，…，
∴第n個圖形中小圓圈的個數(shù)為：．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．
三、解答題
17．（2023年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下面的等式：，，，，…．(1)嘗試：___________．
(2)歸納：___________（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．
(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．
【答案】(1)6(2)n(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以直接得到結(jié)果；（2）根據(jù)題目中給出的式子,可以直接得到答案；（3）將（2）中等號左邊用平方差公式計算即可．
【詳解】（1）解：∵，，，，
∴，，故答案為：6；
（2）由題意得：，故答案為：n；
（3）．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，平方差公式，正確理解題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
18．（2023年浙江省嘉興（舟山）市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下面的等式：
(1)寫出的結(jié)果．(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(3)請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．
【答案】(1)(2)(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（3）將因式分解，展開化簡求解即可．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）．
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．
19．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請用含的式子填空：(1)第個圖案中“”的個數(shù)為 ；
(2)第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為______________．
【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個圖案中“”的個數(shù)的倍．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)前幾個圖案的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解．
（3）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：第1個圖案中有個，第2個圖案中有個，
第3個圖案中有個，第4個圖案中有個，……
∴第個圖案中有個，故答案為：．
（2）第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，
第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，
第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，
（3）解：依題意，，第個圖案中有個，
∴，解得：（舍去）或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·安徽淮北·三模）閱讀理解：我們知道，任意兩點(diǎn)關(guān)于它們所連線段的中點(diǎn)成中心對稱，在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)、的對稱中心的坐標(biāo)為．

觀察應(yīng)用：(1)如圖，若點(diǎn)、的對稱中心是點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為：______．
(2)在（1）的基礎(chǔ)上另取兩點(diǎn)、．有一電子青蛙從點(diǎn)處開始依次關(guān)于點(diǎn)A、B、C作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)處，接著跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)處，第三次再跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)處，第四次再跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)處，…，則、的坐標(biāo)為：______、______．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)對稱中心的坐標(biāo)公式代入計算即可
（2）利用中心對稱的性質(zhì)依次計算出，然后找到規(guī)律，利用規(guī)律即可解題．
【詳解】（1）、，∴，，∴
（2）由題意可知
∵點(diǎn)P2 ， P3關(guān)于點(diǎn)B對稱
∵點(diǎn)P3，P4關(guān)于點(diǎn)C對稱 同理可求所以六次一個循環(huán)
【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律的探索，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·山西太原·三模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．有趣的“形數(shù)”，形數(shù)，亦稱擬形數(shù)、垛積數(shù)，是一種與圖形有關(guān)的數(shù)．可能有同學(xué)感到奇怪，數(shù)怎么會有形狀呢？這要從其發(fā)明者——古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯說起．畢達(dá)哥拉斯常在沙灘上擺小石子表示數(shù)，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，于是產(chǎn)生了一系列的形數(shù)．比如，當(dāng)小石子的數(shù)目是1，3，6，10等數(shù)時，小石子都能（擺成正三角形，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，如圖1．當(dāng)小石子的數(shù)目是1，4，9，16等數(shù)時，小石子都能擺成正方形，這些數(shù)叫做正方形數(shù)，如圖2，除此之外，畢達(dá)哥拉斯還擺出了其他多邊形數(shù)：五邊形數(shù)、六邊形數(shù)，如圖3，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了各種“形數(shù)”之間的內(nèi)在聯(lián)系．“形數(shù)”充分反映出數(shù)學(xué)內(nèi)在的奧秘和魅力．值得說明的是在公元前6世紀(jì)紙張還沒有出現(xiàn)，所以這種用小石子來研究數(shù)的性質(zhì)的方法，不僅是認(rèn)識數(shù)的一種簡潔直觀方法，更是古希臘人的一種偉大創(chuàng)造！

任務(wù)：
(1)根據(jù)材料圖1、圖2中的圖形及規(guī)律填寫表格：
序號 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三角形數(shù) 1 3 6 10 ___________ 21
正方形數(shù) 1 4 9 16 25 ___________
(2)如圖4，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)：兩個三角形數(shù)剛好可以組成一個長方形數(shù)，由此易得，即．推而廣之，如果三角形數(shù)有n層，長方形數(shù)就有n層，每層有個點(diǎn)，于是歸納得到，即第n個三角形數(shù)是．
①類比歸納：第n個正方形數(shù)是 ___________（用含n的式子表示）；
②下列自然數(shù)中，既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ___________（填選項）．
A．36 B．49 C．100 D．1225
(3)畢達(dá)哥拉斯進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了三角形數(shù)和正方形數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系：，請證明：任意兩個相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù)．
【答案】(1)15，16(2)①；②(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)圖形計算求解；（2）①根據(jù)圖形計算求解；②根據(jù)三角形數(shù)和正方形數(shù)判斷；
（3）根據(jù)三角形數(shù)和正方形數(shù)進(jìn)行列式并證明．
【詳解】（1）解：第5個三角形數(shù)為：15，第6個正方形數(shù)為36，故答案為：15，16；
（2）解：①第n個正方形數(shù)是，故答案為：；
②∵；
∴36，1225既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)，故答案為：；
（3）證明：，
即：任意兩個相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類，找到圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
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【全國通用】2024中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（重難點(diǎn)題型突破）
專題01 規(guī)律探索問題
規(guī)律探究問題是中考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，往往以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律等。規(guī)律探索問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、思路點(diǎn)撥、推理，探究其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類問題，因其獨(dú)特的規(guī)律性和探究性，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求，在近幾年全國各地的中考試題中，不僅頻頻出現(xiàn)規(guī)律探究題，而且“花樣百出”。
1）從簡單的情況入手﹕求出前三到四個結(jié)果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結(jié)正確答案；新定義型問題一般與代數(shù)、坐標(biāo)、函數(shù)知識結(jié)合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個數(shù)的立方和、連續(xù)n個數(shù)的平方和、階乘等。
2）關(guān)注問題中的不變量和變量﹕在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細(xì)觀察變量的變化與序號（一般為n）之間的關(guān)系，我們找到這個關(guān)系就找到了規(guī)律所在。
3）掌握一些數(shù)學(xué)思想方法：規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律。它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答。
4）常見規(guī)律探究類型：
（1）數(shù)字的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關(guān)系。
（2）數(shù)式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關(guān)系。
（3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)與序號之間的關(guān)系。
（4）圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進(jìn)而觀察商和余數(shù)。
（5）數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論。
（6）坐標(biāo)變化規(guī)律問題：坐標(biāo)變化規(guī)律問題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求規(guī)律進(jìn)行解題時解題過程問題的關(guān)鍵。
考向一　數(shù)與式規(guī)律問題
例1．（2023年云南省中考數(shù)學(xué)真題）按一定規(guī)律排列的單項式：，第個單項式是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山西大同·模擬預(yù)測）有一組數(shù)列：……則第10個是 .
例3．（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）已知一列均不為1的數(shù)滿足如下關(guān)系：，，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．2
例4．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)若排在第a行b列，則的值為( )



……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
例5．（2023年四川省巴中市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
當(dāng)代數(shù)式的值為1時，則x的值為（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
例6．（2023年湖南省岳陽市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列式子：
；；；；；…
依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個等式是 ．
考向二　圖形變化規(guī)律問題
例1．（2023·湖南·二模）觀察下列的“蜂窩圖”按照它呈現(xiàn)的規(guī)律第n個圖案中的“ ”的個數(shù)是 （用含n的代數(shù)式表示）

例2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（ ）

A．14 B．20 C．23 D．26
例3．（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則 ．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

例4．（2023年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（ ）

A． B． C． D．
例5．（2023年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過個時即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為 ．
考向三　坐標(biāo)變化規(guī)律問題
例1．（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖所示，在臺球桌面ABCD上建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P從出發(fā)沿圖中箭頭方向運(yùn)動，碰到邊界（粗線）會發(fā)生反彈（反射角等于入射角）．若點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒個單位長度，則第2022秒時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）

A． B． C． D．
例2．（2023·河南漯河·二模）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，…都是等邊三角形，其邊長依次為2，4，6．…，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為…，按此規(guī)律排下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br/>
A． B． C． D．
例3．（2023·山東煙臺·二模）自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，13，……畫出米的螺旋曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，依次以這組數(shù)為半徑作的圓弧，得到一組螺旋線，連接，得到一組螺旋折線，如圖所示．已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
例4．（22-23九年級下·四川瀘州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們把叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，已知的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，這樣依次得到，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
例5．（22-23九年級·湖北十堰·期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，動點(diǎn)按圖中箭頭所示方向依次運(yùn)動，第1次從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，第2次運(yùn)動到點(diǎn)，第3次運(yùn)動到點(diǎn)，…按這樣的運(yùn)動規(guī)律，動點(diǎn)第2023次運(yùn)動到點(diǎn) ．（寫出點(diǎn)的坐標(biāo)）

一、選擇題
1．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）觀察下面兩行數(shù)：
取每行數(shù)的第7個數(shù)，計算這兩個數(shù)的和是（ ）
A．92 B．87 C．83 D．78
2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（A卷））用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是（ ）

A．39 B．44 C．49 D．54
3．（2022·湖南長沙·模擬預(yù)測）我國宋朝時期的數(shù)學(xué)家楊輝，曾將大小完全相同的圓彈珠逐層堆積，形成“三角垛”，頂層記為第1層，有1顆彈珠；第2層有3顆彈珠；第3層有6顆彈珠，往下依次是第4層，第5層，…；如圖中畫出了最上面的四層．若用表示第n層的彈珠數(shù)，其中n＝1，2，3，…，則＋…＋＝（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·山東濟(jì)南·三模）用棋子擺成圖案，擺第個圖案需要顆棋子( )
A． B． C． D．
5．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測）若是不為的有理數(shù)，則我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)為，的差倒數(shù)為，已知：，是差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，，依次類推，的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·河南鄭州·三模）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點(diǎn)作“1”變換表示將它繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，由數(shù)字0和1組成的序列表示一個點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點(diǎn)按序列“”作變換．表示點(diǎn)先向右平移一個單位得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，再將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到依次類推．點(diǎn)經(jīng)過“”變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為( )

A． B． C． D．
7．（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測）在同一平面內(nèi)，我們把兩條直線相交將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，三條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，四條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，...條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，若，則（?。?br/>A．30 B．31 C．20 D．21
8．（23-24九年級上·浙江·期末）如圖所示，動點(diǎn)從第一個數(shù)的位置出發(fā)，每次跳動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)的位置，第二次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)的位置，第三次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)的位置，第四次跳動一個單位長度到達(dá)數(shù)的位置，，依此規(guī)律跳動下去，點(diǎn)從跳動次到達(dá)的位置，點(diǎn)從跳動次到達(dá)的位置，，點(diǎn)、、在一條直線上，則點(diǎn)從跳動次可到達(dá)的位置．（ ）

A． B． C． D．
9．（2023·重慶·三模）如圖是由大小相同的愛心按照一定規(guī)律排列組成的圖形，依此規(guī)律，圖⑨中共有愛心的個數(shù)為（ ）

A．15 B．17 C．19 D．21
10．（2023·河南周口·二模）如圖，在四邊形中，頂點(diǎn)，分別在軸，軸上，，，，，軸，交軸于點(diǎn)將四邊形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
11．（2023年四川省甘孜藏族自治州中考數(shù)學(xué)真題）有一列數(shù)，記第個數(shù)為，已知，當(dāng)時，則的值為 ．
12．（2023年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市、興安盟中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列各式：
，，，…
請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算： ．
13．（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為 ；取每行數(shù)的第2023個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為 ．
14．（2023·四川廣安·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓弧；是以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)B，O，C，A為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．

15．（2023·北京海淀·三模）在表中，我們把第行第列的數(shù)記為（其中，都是不大于5的正整數(shù)），對于表中的每個數(shù)，規(guī)定如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，．例如：當(dāng)，時，．按此規(guī)定， ；表中的25個數(shù)中，共有 個1；計算的值為 ．
16．（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第1個形中一共有4個小圓圈，第2個圖形中一共有10個小圓圈，第3個圖形中一有19個小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第n個圖形中小圓圈的個數(shù) ．

三、解答題
17．（2023年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下面的等式：，，，，…．(1)嘗試：___________．
(2)歸納：___________（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．
(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．
18．（2023年浙江省嘉興（舟山）市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下面的等式：
(1)寫出的結(jié)果．(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(3)請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．
19．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請用含的式子填空：(1)第個圖案中“”的個數(shù)為 ；
(2)第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第個圖案中“★”的個數(shù)可表示為______________．
【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個圖案中“”的個數(shù)的倍．
20．（2023·安徽淮北·三模）閱讀理解：我們知道，任意兩點(diǎn)關(guān)于它們所連線段的中點(diǎn)成中心對稱，在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)、的對稱中心的坐標(biāo)為．

觀察應(yīng)用：(1)如圖，若點(diǎn)、的對稱中心是點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為：______．
(2)在（1）的基礎(chǔ)上另取兩點(diǎn)、．有一電子青蛙從點(diǎn)處開始依次關(guān)于點(diǎn)A、B、C作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)處，接著跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)處，第三次再跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)處，第四次再跳到點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)處，…，則、的坐標(biāo)為：______、______．
21．（2023·山西太原·三模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．有趣的“形數(shù)”，形數(shù)，亦稱擬形數(shù)、垛積數(shù)，是一種與圖形有關(guān)的數(shù)．可能有同學(xué)感到奇怪，數(shù)怎么會有形狀呢？這要從其發(fā)明者——古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯說起．畢達(dá)哥拉斯常在沙灘上擺小石子表示數(shù)，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，于是產(chǎn)生了一系列的形數(shù)．比如，當(dāng)小石子的數(shù)目是1，3，6，10等數(shù)時，小石子都能（擺成正三角形，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，如圖1．當(dāng)小石子的數(shù)目是1，4，9，16等數(shù)時，小石子都能擺成正方形，這些數(shù)叫做正方形數(shù)，如圖2，除此之外，畢達(dá)哥拉斯還擺出了其他多邊形數(shù)：五邊形數(shù)、六邊形數(shù)，如圖3，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了各種“形數(shù)”之間的內(nèi)在聯(lián)系．“形數(shù)”充分反映出數(shù)學(xué)內(nèi)在的奧秘和魅力．值得說明的是在公元前6世紀(jì)紙張還沒有出現(xiàn)，所以這種用小石子來研究數(shù)的性質(zhì)的方法，不僅是認(rèn)識數(shù)的一種簡潔直觀方法，更是古希臘人的一種偉大創(chuàng)造！

任務(wù)：
(1)根據(jù)材料圖1、圖2中的圖形及規(guī)律填寫表格：
序號 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
三角形數(shù) 1 3 6 10 ___________ 21
正方形數(shù) 1 4 9 16 25 ___________
(2)如圖4，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)：兩個三角形數(shù)剛好可以組成一個長方形數(shù)，由此易得，即．推而廣之，如果三角形數(shù)有n層，長方形數(shù)就有n層，每層有個點(diǎn)，于是歸納得到，即第n個三角形數(shù)是．
①類比歸納：第n個正方形數(shù)是 ___________（用含n的式子表示）；
②下列自然數(shù)中，既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ___________（填選項）．
A．36 B．49 C．100 D．1225
(3)畢達(dá)哥拉斯進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了三角形數(shù)和正方形數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系：，請證明：任意兩個相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù)．
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