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八年級數學下冊 16.3 二次根式的加減 導學案
1.二次根式的加減法則：二次根式進行加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并。
2.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫作同類二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系數相加減，根指數和被開方數不變。
4.二次根式加減法的一般步驟：
（1）將每一個二次根式化成最簡二次根式；
（2）找出其中的同類二次根式；
（3）合并同類二次根式；
5.二次根式的加減混合運算
（1）二次根式的加減，就是合并同類二次根式；
（2）合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似，合并同類二次根式，只把系數相加減，根指數與被開方數不變；
（3）進行二次根式的加減混合運算時，交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用。
6.二次根式的混合運算
（1）二次根式的混合運算的順序：先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，要先算括號里面的。
（2）運算過程中一定要注意符合，運算結果一定要化為最簡形式。
選擇題
1.下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的運算，熟練掌握二次根式的加減法法則、二次根式的乘法法則和除法法則是解決問題的關鍵．
根據二次根式的加減法法則、乘法法則、二次根式的除法法則進行判斷．
【詳解】A 、不能合并，故選項不符合題意；
B、根據二次根式加法法則，故選項不符合題意；
C、根據二次根式除法法則，故選項不符合題意；
D、根據二次根式乘法法則，故選項符合題意．
故選：D．
2.的一個有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了有理化因式的定義，平方差公式，根據有理化因式的定義即可解答．
【詳解】解：∵，
∴的一個有理化因式是，
故選：C．
3.下列各式運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次根式的性質、二次根式的加減運算、二次根式的乘法運算等知識點，正確化簡二次根式是解題的關鍵．
利用二次根式的性質、立方根的性質、二次根式的運算法則逐項判斷即可．
【詳解】解：A. ，故A選項錯誤，不符合題意；
B. ，故B選項錯誤，不符合題意；
C. ，故C選項錯誤，不符合題意；
D. ，故D選項錯誤，符合題意．
故選D．
4.下列二次根式運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次根式的性質、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟練掌握二次根式的運算法則，是解題的關鍵．
【詳解】解：A. ，故A計算錯誤，不符合題意；
B. ，故B計算錯誤，不符合題意；
C. ，故C計算正確，符合題意；
D. ，故D計算錯誤，不符合題意．
故選：C．
5.的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了有理化因式，熟練掌握有理化因式的定義是解題的關鍵．
根據有理化因式的定義“兩個根式相乘的積不含根號”即可解答．
【詳解】解：∵，
∴的有理化因式是．
故選：B．
6.下列二次根式中，與不是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，同類二次根式的判斷．先將各個二次根式化簡，再根據同類二次根式的性質進行解答即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，符合題意；
B、，與是同類二次根式，不符合題意；
C、，與是同類二次根式，不符合題意；
D、，與是同類二次根式，不符合題意；
故選：A．
7.下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本題考查了同類二次根式的概念，根據：“被開方數相同的最簡二次根式，叫做同類二次根式”，進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是同類二次根式，不符合題意；
B、，，是同類二次根式，符合題意；
C、，不是同類二次根式，不符合題意；
D、不是同類二次根式，不符合題意；
故選B．
8.如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】本題考查了同類二次根式的概念，化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式稱為同類二次根式，根據“最簡二次根式與是同類二次根式”可得，進行計算即可得出答案，熟練掌握同類二次根式的概念是解此題的關鍵．
【詳解】解：最簡二次根式與是同類二次根式，
它們的被開方數相等，
，
解得：，
故選：B．
填空題
1.已知函數，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查了求函數值，根據定義，代入計算即可．
【詳解】∵，
∴，
故答案為：．
2.比較下列各數大小：
① ；② ；③
【答案】
【分析】本題主要考查了實數的比較大小、比較二次根式的大小，熟練掌握比較方法是解此題的關鍵．
（1）首先比較與的大小，根據負數絕對值大的反而小，即可得解；
（2）通過比較與1的大小即可求解；
（3），，比較被開方數的大小即可；
【詳解】解：①，
；
故答案為： ；
②；
；
故答案為： ；
③，，且；
；
故答案為：
3． ．
【答案】
【分析】先根據積的乘方得到原式，然后利用平方差公式計算．本題考查了同底數冪的乘法的逆運算，積的乘方的逆運算，平方差公式，二次根式的計算．
【詳解】解：原式
．
故答案為：．
4.①已知，，則代數式 ．
②如圖，中，和外角的平分線相交于點，若，則的度數為 ．
【答案】
【分析】①本題考查平方差公式，根據求解即可得到答案；②本題考查有關角平分線的角度計算及三角形內角和定理，根據及角平分線得到，結合即可得到答案；
【詳解】解：①∵，，
∴，
故答案為：，
∵，
∴，
∵和外角的平分線相交于點，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：．
5．①計算： ．
②若一個等腰三角形的周長為，底邊長與腰長的比為，則該等腰三角形的底邊長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，等腰三角形的性質，一元一次方程的應用．①先化簡為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可得到答案；②設底邊長為，腰長為，結合等腰三角形的周長列方程求解即可得到答案；
【詳解】解：①原式，
故答案為：，
②設底邊長為，腰長為，根據題意可得，
，
解得：，
∴，
故答案為：．
解答題
1.計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)1
【分析】本題考查了二次根式的混合運算：
（1）先將二次根式化簡，然后相加減即可得到結果；
（2）分子分母同乘，然后化簡進行相加減即可；
熟練掌握二次根式的化簡、二次根式的運算是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
=
=
=1．
2.先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】題主要考查二次根式的化簡及求值的知識，先運到平方差公式和單項式乘以多項式運算，然后合并同類項，再代入數值計算是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
當時，原式．
3.大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分不能全部寫出來，但是根據的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，所以它的小數部分可以寫成．請解答下面題目．
(1)的整數部分是________；
(2)如果的整數部分是，的小數部分是，求的值；
(3)如果，其中是整數，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查二次根式的加減運算，估算無理數的整數部分和小數部分．
（1）估算的整數部分即可；
（2）求出a，b的值，再代入計算即可；
（3）求出x，y的值，再代入計算．
【詳解】（1）解：∵，即，
的整數部分是2，
故答案為：2；
（2）∵，即，
的整數部分是3，小數部分為，
，，
；
的值為；
（3）解：∵，即，
，
是整數，且，，
∴，，
．
4.計算：
(1)
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次根式的混合運算．
（1）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可求解；
（2）先利用二次根式的乘法法則計算，再合并同類二次根式即可求解；
（3）先利用二次根式的乘法、除法法則計算，再合并同類二次根式即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
5.觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：
．
，
．
(1)用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規律為_______．
(2)利用上面的結論，求下列式子的值：．
【答案】(1)
(2)1011
【分析】本題主要考查利用平方差公式分母有理化，二次根式的混合運算等知識點，
（1）數字找規律，進行計算即可解答；
（2）利用前邊的規律，進行計算即可解答；
注意根據平方差公式的結構找到另一因式是求解的關鍵．
【詳解】（1）總結規律可知：
，
故答案為：；
（2）
．
6.請閱讀下列材料：
問題：已知，求代數式的值．
小敏的做法是：根據得，
∴，得：.
把作為整體代入：得
即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：
(1)己知，求代數式的值；
(2)已知 ，求代數式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用、二次根式的乘法、整體思想等知識點，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．
（1）根據完全平方公式求出，然后代入計算即可；掌握整體思想是解題的關鍵；
（2）根據完全平方公式計算可得，然后利用整體代入計算即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∴
．
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八年級數學下冊 16.3 二次根式的加減 導學案
1.二次根式的加減法則：二次根式進行加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并。
2.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫作同類二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系數相加減，根指數和被開方數不變。
4.二次根式加減法的一般步驟：
（1）將每一個二次根式化成最簡二次根式；
（2）找出其中的同類二次根式；
（3）合并同類二次根式；
5.二次根式的加減混合運算
（1）二次根式的加減，就是合并同類二次根式；
（2）合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似，合并同類二次根式，只把系數相加減，根指數與被開方數不變；
（3）進行二次根式的加減混合運算時，交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用。
6.二次根式的混合運算
（1）二次根式的混合運算的順序：先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，要先算括號里面的。
（2）運算過程中一定要注意符合，運算結果一定要化為最簡形式。
選擇題
1.下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
2.的一個有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
3.下列各式運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4.下列二次根式運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5.的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
6.下列二次根式中，與不是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7.下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8.如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
填空題
1.已知函數，那么 ．
2.比較下列各數大小：
① ；② ；③
3． ．
4.①已知，，則代數式 ．
②如圖，中，和外角的平分線相交于點，若，則的度數為 ．
5．①計算： ．
②若一個等腰三角形的周長為，底邊長與腰長的比為，則該等腰三角形的底邊長為 ．
解答題
1.計算：
(1)
(2)
2.先化簡，再求值：，其中．
3.大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分不能全部寫出來，但是根據的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，所以它的小數部分可以寫成．請解答下面題目．
(1)的整數部分是________；
(2)如果的整數部分是，的小數部分是，求的值；
(3)如果，其中是整數，且，求的值．
4.計算：
(1)
(2)．
(3)．
5.觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：
．
，
．
(1)用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規律為_______．
(2)利用上面的結論，求下列式子的值：．
6.請閱讀下列材料：
問題：已知，求代數式的值．
小敏的做法是：根據得，
∴，得：.
把作為整體代入：得
即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：
(1)己知，求代數式的值；
(2)已知 ，求代數式的值．
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