資源簡介

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八年級數(shù)學下冊 17.1 勾股定理 導(dǎo)學案
1.勾股定理
（1）文字語言：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
（2）符號語言：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么 ；
（3）勾股定理的變式：
3.勾股定理的應(yīng)用
(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
(2)表示長度為無理數(shù)的線段；
(3)在數(shù)軸上作出表示無理數(shù)的點；
（4）勾股定理的應(yīng)用： 。
①利用勾股定理解題時應(yīng)注意：一要確定直角三角形；二要分清直角邊和斜邊
②勾股定理的應(yīng)用條件：勾股定理只適用于直角三角形，所以常作輔助線——高，構(gòu)造直角三角形。
選擇題
1.下列命題是真命題的有（ ）
（1）數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)的；
（2）若點，則關(guān)于軸對稱點的坐標為；
（3）三角形的一個外角大于任何一個與其不相鄰的內(nèi)角；
（4）中，已知兩邊長分別是3和4，則第三條邊長為5．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)真命題，數(shù)軸與實數(shù)的關(guān)系，關(guān)于軸對稱的點坐標的特征，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理進行判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)的；（1）正確，故符合要求；
若點，則關(guān)于軸對稱點的坐標為；（2）正確，故符合要求；
三角形的一個外角大于任何一個與其不相鄰的內(nèi)角；（3）正確，故符合要求；
中，已知兩邊長分別是3和4，則第三條邊長為5或；（4）錯誤，故不符合要求；
故選：C．
【點睛】本題考查了真命題，數(shù)軸與實數(shù)的關(guān)系，關(guān)于軸對稱的點坐標的特征，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握真命題，數(shù)軸與實數(shù)的關(guān)系，關(guān)于軸對稱的點坐標的特征，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2.如圖，M，N為方格紙中格點上的兩點，若以為邊，在方格中取一點P(在格點上)，使得為等腰三角形，則點P的個數(shù)為（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】C
【分析】本題主要考查格點作等腰三角形．根據(jù)格點可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論：①當時；②當時；③當時；根據(jù)格點中作等腰三角形的方法，圖形結(jié)合分析即可求解．
【詳解】解：如圖所示，為等腰三角形，，
①當時，以點為圓心，以為半徑畫弧，交格點于點，
∴，，
∴點即為所求；
②當時，以點為圓心，以為半徑畫弧，交格點于點，
∴，
∴點即為所求；
③當時，作線段的垂直平分線交格點于點，
∴，，則，符合題意，
，，則，符合題意，
∴點即為所求；
綜上所述：使得為等腰三角形，則點的個數(shù)為個，
故選：C．
3．如圖，是等邊三角形，N是的中點，，D是的中點， M是上的一個動點，連接，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識．明確取最小值的情況是解題的關(guān)鍵．
如圖，連接，由題意知是的垂直平分線，則，，當三點共線時，的值最小，為，由勾股定理得，，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是等邊三角形，D是的中點，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴當三點共線時，的值最小，為，
∵N是的中點，
∴，
由勾股定理得，，
故選：D．
4．如圖，由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形．如果大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，直角三角形的兩條直角邊的長分別是和，那么的值為（ ）
A．36 B．48 C．24 D．25
【答案】B
【分析】本題考查了以弦圖為背景的計算題，根據(jù)所求問題，利用四個全等的直角三角形與一個小正方形面積和等于一個大正方形面積，從而求得．
【詳解】解：大正方形的面積為，小正方形的面積是4，
由題意，
，
．
故選：B．
5．如圖，島P位于島Q的正西方，P、Q兩島間的距離為海里，由島P、Q分別測得船R位于南偏東和南偏西方向上，則船R到島P的距離為（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里
【答案】D
【分析】本題考查方向角、含的直角三角形和等腰直角三角形性質(zhì)，本題通過作于點，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解得此題．
【詳解】解：作于點，如圖所示．
，
，
，
，
，
，
．
設(shè)，則，，，
，
，
，解得，則．
故選：D．
6．如圖，中，，點D，E分別是，的中點，在上找一點P，使最小，則這個最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
如圖，取中點，連接，由題意知，，證明，則，，可知當三點共線時，最小，最小為，由勾股定理得，，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，取中點，連接，
∵，，點D是的中點，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴當三點共線時，最小，最小為，
由勾股定理得，，
故選：C．
7.如圖，一個長方體木箱長、寬、高分別為，，，則能放入此木箱中的木棒最長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，首先根據(jù)勾股定理求出，再在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的長即可
【詳解】解：如圖，由勾股定理得，，
在中，，由勾股定理得，
即能放入此木箱中的木棒最長為
故選：A．
填空題
1.小明求代數(shù)式的最小值時，采用如下方法：如圖，在同一直角坐標平面內(nèi)，設(shè)為軸上的一個動點，選取點和，根據(jù)兩點的距離公式得，，通過構(gòu)造，將求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了利用軸對稱求最值問題以及兩點之間距離公式，根據(jù)原式表示的幾何意義是是點M到點的距離之和的最小值，利用軸對稱作出圖形求出的長即可，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點之間距離問題是解題關(guān)鍵．
【詳解】如圖所示，根據(jù)原式表示的幾何意義是點M到點的距離之和的最小值，可作B點關(guān)于x軸的對稱點，連接，此時的長即為所求代數(shù)式的最小值，
∵，
∴，
∵
∴ ，
∴的最小值等于5 ，
故答案為：5．
2.如圖，在平面直角坐標系中，已知、．現(xiàn)將折疊，使點A落在邊的點處，折痕為，其中點C在y軸上，點D在邊上，當是以CD為底的等腰三角形時，點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查直角三角形中的翻轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．
【詳解】解：∵是以為底的等腰三角形，
∴，，
∵以為折痕，翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：．
3.如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)已知條件得出，過點作于點，設(shè)交于點，根據(jù)三角形的面積求得，構(gòu)造等腰直角三角形，進而額電池的長，即可求解．
【詳解】解：∵，設(shè)，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如圖所示，過點作于點，設(shè)交于點，

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面積為2，
∴
∴，則，
在中，，
如圖所示，作關(guān)于的對稱點，連接，交于點，

∵，則是等腰直角三角形，
則，
設(shè)，則，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案為：．
4.如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為．如果用一根細線從點開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞1圈到達點，那么所用細線最短需要 ；如果從點開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達點，那么所用細線最短需要 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，將長方體展開，連接、，進而根據(jù)勾股定理，即可求解．
【詳解】解：將長方體展開，連接，
根據(jù)兩點之間線段最短，（）；
如果從點開始經(jīng)過個側(cè)面纏繞圈到達點，相當于直角三角形的兩條直角邊分別是和，根據(jù)勾股定理可知所用細線最短需要（）．
故答案為：，．
5．如圖，在中，，，，為邊上一動點，當取得最小值時，點到的距離為 ．
【答案】
【分析】此題考查軸對稱的性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，作于點，則垂直平分，所以，可求得，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，作于點，交于點，則，勾股定理求得，根據(jù)，當點與點重合時，的值最小，即取得最小值，進而求得，即可求解．
【詳解】解：如圖所示作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，作于點，
垂直平分，
，
，，，，
，，
，，，
，，
，
作于點，交于點，則，
，
，
，
，
，
，
，
當點與點重合時，的值最小，此時取得最小值，
，
點到的距離為，
故答案為：．
解答題
1.如圖，在矩形中，，，點E在上，等于，，連接．作，垂足為M．

(1)求證：；
(2)當時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理：
（1）根據(jù)證明即可得到結(jié)論；
（2）由勾股定理求出，由得，由勾股定理得，故可得，再根據(jù)勾股定理得．
【詳解】（1）∵四邊形為矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
2.如圖，是一棵古老的大樹，其兩側(cè)各有一根斜拉的繩子，經(jīng)測量，于點B，米，米，米，請你求出繩子的長．
【答案】米
【分析】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，由可得兩個直角三角形，由米，米可得米，由米結(jié)合勾股定理即可求解．
【詳解】解：于點B，
．
米，米，
米
又米，
米．
3.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的雙腰分割線，稱這個三角形為“雙腰三角形”．
(1)如圖1，在中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證是的雙腰分割線．
(2)如圖2，已知中，，是的雙腰分割線，且，求的度數(shù)，
(3)在（2）的條件下，若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理
（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，可得，由外角的性質(zhì)可得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解；
（3）由勾股定理列出方程，可求解．
【詳解】（1）證明：線段的垂直平分線交于點，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一條雙腰分割線；
（2）解：是三角形的雙腰分割線，且．
，
，
，
；
（3）解：過點作于點，
，
，
設(shè)為，
中，，
中，，
，
解得，，
．
4.如圖，在中，，，點在線段上，連接，點在的延長線上且．
(1)求證：；
(2)點關(guān)于直線的對稱點為，連接、、，用等式表示線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)，理由見解析．
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
（）由，得到，由得到，根據(jù)，即可求證；
（）：過點作，證明，得到，，由勾股定理得到，根據(jù)即可求證；
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：．
理由：過點作，交于點M，
∵點關(guān)于直線的對稱點為點，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故．
5.如圖，在中，，，，在射線上有一動點P．
(1)求長；
(2)當為直角三角形時，求值；
(3)當為等腰三角形時，求值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或
【分析】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．
（1）直接根據(jù)勾股定理求出的長度；
（2）當為直角三角形時，分兩種情況：①當為直角時，②當為直角時，分別求出即可；
（3）當為等腰三角形時，分三種情況：①當時；②當時；③當時，分別求出的長度．
【詳解】（1）解：在中，，
；
（2）解： ①當為直角時，點與點重合，；
②當為直角時， ，
在中，
，
在中，，
即：，
解得：，
故當為直角三角形時，或；
（3）解：①當時，；
②當時，；
③當時， ，，
在中，，
所以，
解得：，
綜上所述：當為等腰三角形時，或或．
6．如圖，中，，，，點分別是邊、上的一個動點，且，過點作交射線于點，交線段于點，設(shè)

(1)如圖1，當點和點重合時，求的面積；
(2)如圖2，設(shè)當點在的延長線上時，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出定義域；
(3)若為直角三角形，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】本題是三角形綜合題目，考查了勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．
（1）由含 角的直角三角形的性質(zhì)得再由勾股定理得然后再證最后由三角形面積關(guān)系即可得出答案；
（2）由含角的直角三角形的性質(zhì)得，再由勾股定理得然后由得 則求出的范圍即可；
（3）分兩種情況： ①當時，②當時，由含角的直角三角形的性質(zhì)好勾股定理分別得出方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：
的面積的面積．
（2）解：
∵點在的延長線上，
∴點不與點重合，
∵點是邊上的一個動點，，
即關(guān)于的解析式為．
（3）解：分兩種情況：
①當時，如圖3所示：

則
由（2）得：
解得：
②當時， 如圖4所示：

是等邊三角形，
解得：
綜上所述，若為直角三角形，的值為或．
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八年級數(shù)學下冊 17.1 勾股定理 導(dǎo)學案
1.勾股定理
（1）文字語言：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
（2）符號語言：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么 ；
（3）勾股定理的變式：
3.勾股定理的應(yīng)用
(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
(2)表示長度為無理數(shù)的線段；
(3)在數(shù)軸上作出表示無理數(shù)的點；
（4）勾股定理的應(yīng)用： 。
①利用勾股定理解題時應(yīng)注意：一要確定直角三角形；二要分清直角邊和斜邊
②勾股定理的應(yīng)用條件：勾股定理只適用于直角三角形，所以常作輔助線——高，構(gòu)造直角三角形。
選擇題
1.下列命題是真命題的有（ ）
（1）數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)的；
（2）若點，則關(guān)于軸對稱點的坐標為；
（3）三角形的一個外角大于任何一個與其不相鄰的內(nèi)角；
（4）中，已知兩邊長分別是3和4，則第三條邊長為5．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.如圖，M，N為方格紙中格點上的兩點，若以為邊，在方格中取一點P(在格點上)，使得為等腰三角形，則點P的個數(shù)為（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
3．如圖，是等邊三角形，N是的中點，，D是的中點， M是上的一個動點，連接，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形．如果大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，直角三角形的兩條直角邊的長分別是和，那么的值為（ ）
A．36 B．48 C．24 D．25
5．如圖，島P位于島Q的正西方，P、Q兩島間的距離為海里，由島P、Q分別測得船R位于南偏東和南偏西方向上，則船R到島P的距離為（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里
6．如圖，中，，點D，E分別是，的中點，在上找一點P，使最小，則這個最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
7.如圖，一個長方體木箱長、寬、高分別為，，，則能放入此木箱中的木棒最長為（ ）
A． B． C． D．
填空題
1.小明求代數(shù)式的最小值時，采用如下方法：如圖，在同一直角坐標平面內(nèi)，設(shè)為軸上的一個動點，選取點和，根據(jù)兩點的距離公式得，，通過構(gòu)造，將求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ．
2.如圖，在平面直角坐標系中，已知、．現(xiàn)將折疊，使點A落在邊的點處，折痕為，其中點C在y軸上，點D在邊上，當是以CD為底的等腰三角形時，點的坐標為 ．
3.如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為 ．

4.如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為．如果用一根細線從點開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞1圈到達點，那么所用細線最短需要 ；如果從點開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達點，那么所用細線最短需要 ．
5．如圖，在中，，，，為邊上一動點，當取得最小值時，點到的距離為 ．
解答題
1.如圖，在矩形中，，，點E在上，等于，，連接．作，垂足為M．

(1)求證：；
(2)當時，求的長．
2.如圖，是一棵古老的大樹，其兩側(cè)各有一根斜拉的繩子，經(jīng)測量，于點B，米，米，米，請你求出繩子的長．
3.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的雙腰分割線，稱這個三角形為“雙腰三角形”．
(1)如圖1，在中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證是的雙腰分割線．
(2)如圖2，已知中，，是的雙腰分割線，且，求的度數(shù)，
(3)在（2）的條件下，若，，求的長．
4.如圖，在中，，，點在線段上，連接，點在的延長線上且．
(1)求證：；
(2)點關(guān)于直線的對稱點為，連接、、，用等式表示線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
5.如圖，在中，，，，在射線上有一動點P．
(1)求長；
(2)當為直角三角形時，求值；
(3)當為等腰三角形時，求值．
6．如圖，中，，，，點分別是邊、上的一個動點，且，過點作交射線于點，交線段于點，設(shè)

(1)如圖1，當點和點重合時，求的面積；
(2)如圖2，設(shè)當點在的延長線上時，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出定義域；
(3)若為直角三角形，求的值．
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