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八年級數學下冊 17.2 勾股定理的逆定理 導學案
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足d+b>ee2，那么這個三角形是直角三角形。
2.能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。若a，b，c是一組勾股數，則ak，bk，ck(k是正整數)也是一組勾股數.
3.勾股定理的逆定理的應用
運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形的方法：
(1)先確定最長邊，算出最長邊的平方；
(2)計算另兩邊的平方和；
(3)比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三角形為直角三角形.
4.互逆命題
（1）一般地，如果兩個命題的題設、結論正好相反，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。
（2）每個命題都有逆命題，說逆命題時只需將題設和結論調換即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用。
選擇題
1.下列各組的三個數值，分別以它們為邊長，能構成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理逆定理．若兩條短邊的平方和等于最長邊的平方，根據勾股定理的逆定理，該三角形為直角三角形，否則不是直角三角形．據此依次判斷即可．
【詳解】解：A：∵，∴不能構成直角三角形；
B：∵，∴不能構成直角三角形；
C：∵，∴能構成直角三角形；
D：∵，∴不能構成直角三角形．
故選：C
2.下列命題中，是假命題的是（　　）
A．算術平方根最小的實數是0
B．平方根等于它本身的數是1
C．兩個全等三角形的面積相等
D．三邊之比為3：4：5的三角形為直角三角形
【答案】B
【分析】根據題意逐個分析選項正誤，說法正確的即為真命題，反之即為假命題．
【詳解】解：∵算術平方根最小的實數是0，故A選項說法正確，為真命題，
∵平方根等于它本身的數是0，故B選項說法錯誤，為假命題，
∵全等三角形為兩個一模一樣的三角形，
∴兩個全等三角形的面積相等，故C選項說法正確，為真命題，
∵三邊之比為3：4：5的三角形，設三邊分別為，
∵，
∴此三角形為直角三角形，故D選項正確，為真命題，
故選：B．
【點睛】本題考查命題的真假，算術平方根及平方根，全等三角形性質，勾股定理的逆定理，熟練掌握上述知識是關鍵．
3.在中，，，，則最長邊上的高為（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了與三角形高有關的計算、勾股定理的逆定理，先判斷出三角形為直角三角形，然后根據三角形面積相等得到最長邊上的高，熟練運用定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，，
即，
滿足，
∴是以為直角的直角三角形，
設最長邊上的高為，
根據，
解得，
故選：C．
4.滿足下列條件的，其中是直角三角形的為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內角和定理，能理解勾股定理的逆定理的內容是解此題的關鍵．
根據三角形的內角和定理和勾股定理的逆定理逐個判斷即可．
【詳解】解：A、，，
∴最大角為，
不是直角三角形，
故該選項不符合題意；
B、設分別為，
，
，
是直角三角形，
故本選項符合題意；
C、，
∴不符合三角形三邊關系，
故本選項不符合題意；
D、，
，
不是直角三角形，
故該選項不符合題意；
故選：B．
5.若某三角形的三邊長分別為5，12，13，則該三角形的面積是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，在一個三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果，那么這個三角形是直角三角形．先判斷是直角三角形，再根據三角形的面積公式計算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的面積．
故選：C．
6.由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
【答案】D
【分析】本題考查勾股定理的逆定理、三角形內角和．根據勾股定理的逆定理可以判斷A、B、C，根據三角形內角和可以判斷D．
【詳解】解：由，可得，則，即由線段，，組成的三角形是直角三角形，故選項A不符合題意；
，故選項中的三條線段可以構成直角三角形，故選項B不符合題意；
，故選項中的三條線段可以構成直角三角形，故選項C不符合題意；
，最大的，故選項D中的三角形不是直角三角形，符合題意；
故選：D．
7.下列條件中，可以判斷是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，若三角形中兩較小邊的平方和等于最長邊的平方，那么這個三角形為直角三角形，有一個角為90度的三角形是直角三角形，據此求解即可．
【詳解】解：A、任何三角形都滿足，不能判斷是直角三角形，不符合題意；
B、設，
∵，
∴是直角三角形，符合題意；
C、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，不符合題意；
D、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，不符合題意；
故選B．
8.兩艘輪船從同一港口同時出發，甲船時速海里，乙船時速海里，兩個小時后，兩船相距海里，已知甲船的航向為北偏東，則乙船的航向為（ ）
A．南偏東 B．北偏西 C．南偏東或北偏西 D．無法確定
【答案】C
【分析】本題考查了方位角，勾股定理逆定理，根據題意畫出圖形，然后利用勾股定理逆定理判斷出即可求解，掌握勾股定理逆定理的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴點三點共線，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向為南偏東或北偏西，
故選：．
填空題
1.如圖，有一臺救火飛機沿東西方向，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，已知，，，飛機中心周圍以內可以受到灑水影響，若該飛機的速度為，則著火點C受到灑水影響 秒．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理的應用，等腰三角形的性質，過點C作，垂足為D，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進而等面積法求得長度，以點C為圓心，為半徑作圓，交于點E、F，勾股定理求得，進而求得的長，根據飛機的速度求得到飛行時間即可解決問題．
【詳解】過點C作，垂足為D，
∵，，，且
∴，
∵，
∴
以點C為圓心，為半徑作圓，交于點E、F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴著火點C受到灑水影響時間為．
2．上小學的小雨在認識直角三角形的學習活動中，需要完成一個用卡紙剪出2個直角三角形的任務，上初二的姐姐剛學完勾股定理的相關知識，她對妹妹說，不用直角三角尺或量角器也可以判斷剪出的兩個三角形是否為直角三角形．姐姐量出兩個三角形的三邊長分別為：圖形①；圖形②．請你用所學知識判斷：圖形 是直角三角形．
【答案】②
【分析】本題考查勾股定理的逆定理，兩短邊的平方和等于最長邊的平方和，三邊構成的三角形是直角三角形，由此判斷即可．
【詳解】解：，
圖形①不是直角三角形；
，
圖形②是直角三角形，
故答案為：②．
3．如圖，在周長為的中，，點從點開始沿邊以每秒的速度向點移動，點從點開始沿邊以每秒的速度向點移動．若點同時出發，則經過后，的面積為 ．
【答案】18
【解析】略
4．如圖，所在的直線是的對稱軸，， 則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，對稱的性質，如果三角形的兩邊的平方的和等第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．
【詳解】解：，
是直角三角形，
，
是的對稱軸，
，
，
故答案為：．
5．如圖，在四邊形中，連接，于E，，，，則的度數等于 ．
【答案】90
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，先根據，求出，再根據“兩邊平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形”，即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，，，
∴，
∴，
故答案為：90．
解答題
1.城市綠化是城市重要的基礎設施，是改善生態環境和提高廣大人民群眾生活質量的公益事業．某小區在社區管理人員及社區居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（圖中陰影部分）．如圖，已知，，，，試求這塊可綠化的空地的面積．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，求陰影部分的面積，先根據勾股定理求出，再根據逆定理說明是直角三角形，然后根據得出答案．
【詳解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
答：這塊可綠化的空地的面積為．
2.如圖，在的網格中，線段的端點都在格點（網格中橫線與豎線的交點）上．
(1)在圖中作線段（線段的端點都在格點上），使得，垂足為；
(2)在（）的條件下，猜想線段、之間的數量關系，并說明理由（根據需要可以自己標注字母）．
【答案】(1)作圖見解析；
(2)，理由見解析．
【分析】本題考查了網格作圖，全等三角形的判定和性質，
（1）構造全等三角形解決問題即可；
（2）利用“”證明，即可得到；
掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求．
理由：由圖可得，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：．
理由：
在和中，
，
∴，
∴．
3.如圖，在四邊形中，，，，，，求的度數．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等邊三角形的判定和性質，連接，令中點為點E，連接，先根據勾股定理可得，再得出，通過證明為等邊三角形，得出，根據勾股定理逆定理得出，即可求解．
【詳解】解：連接，令中點為點E，連接，
∵，，，
∴根據勾股定理可得，
∵中點為點E，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，則，
∴．
4．如圖，已知中，于，．
(1)分別求的長；
(2)是直角三角形嗎？證明你的結論．
【答案】(1)，詳見解析；
(2)詳見解析．
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知識點，
（1）根據垂直定義可得，然后在中，利用勾股定理進行計算可得，再在中，利用勾股定理求出的長，即可解答；
（2）利用（1）的結論可得，然后利用勾股定理的逆定理進行計算，即可解答；
熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】（1）∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴的長為12，的長為16；
（2）是直角三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
5．如圖，中，D是邊上的一點，若A．
(1)求證：；
(2)求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查勾股定理及其逆定理．熟練掌握勾股定理逆定理，證明三角形是直角三角形，是解題的關鍵．
（1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，即可證明；
（2）在中，利用勾股定理求得，從而求得,最后利用三角形的面積公式，進行計算求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
．
6．如圖，每個小正方形的邊長為1．
(1)求四邊形的面積；
(2)求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查勾股定理和逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
（1）利用網格割補法求面積進行求解即可；
（2）先用勾股定理求出各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行求解即可．
【詳解】（1）四邊形的面積；
（2）解：連接，
根據勾股定理得，，
，，
，，，
∴，
∴．
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八年級數學下冊 17.2 勾股定理的逆定理 導學案
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足d+b>ee2，那么這個三角形是直角三角形。
2.能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。若a，b，c是一組勾股數，則ak，bk，ck(k是正整數)也是一組勾股數.
3.勾股定理的逆定理的應用
運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形的方法：
(1)先確定最長邊，算出最長邊的平方；
(2)計算另兩邊的平方和；
(3)比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三角形為直角三角形.
4.互逆命題
（1）一般地，如果兩個命題的題設、結論正好相反，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。
（2）每個命題都有逆命題，說逆命題時只需將題設和結論調換即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用。
選擇題
1.下列各組的三個數值，分別以它們為邊長，能構成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，，
2.下列命題中，是假命題的是（　　）
A．算術平方根最小的實數是0
B．平方根等于它本身的數是1
C．兩個全等三角形的面積相等
D．三邊之比為3：4：5的三角形為直角三角形
3.在中，，，，則最長邊上的高為（ ）
A．3 B．4 C． D．
4.滿足下列條件的，其中是直角三角形的為（　　）
A． B．
C． D．
5.若某三角形的三邊長分別為5，12，13，則該三角形的面積是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
6.由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
7.下列條件中，可以判斷是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
8.兩艘輪船從同一港口同時出發，甲船時速海里，乙船時速海里，兩個小時后，兩船相距海里，已知甲船的航向為北偏東，則乙船的航向為（ ）
A．南偏東 B．北偏西 C．南偏東或北偏西 D．無法確定
填空題
1.如圖，有一臺救火飛機沿東西方向，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，已知，，，飛機中心周圍以內可以受到灑水影響，若該飛機的速度為，則著火點C受到灑水影響 秒．
2．上小學的小雨在認識直角三角形的學習活動中，需要完成一個用卡紙剪出2個直角三角形的任務，上初二的姐姐剛學完勾股定理的相關知識，她對妹妹說，不用直角三角尺或量角器也可以判斷剪出的兩個三角形是否為直角三角形．姐姐量出兩個三角形的三邊長分別為：圖形①；圖形②．請你用所學知識判斷：圖形 是直角三角形．
3．如圖，在周長為的中，，點從點開始沿邊以每秒的速度向點移動，點從點開始沿邊以每秒的速度向點移動．若點同時出發，則經過后，的面積為 ．
4．如圖，所在的直線是的對稱軸，， 則的面積為 ．
5．如圖，在四邊形中，連接，于E，，，，則的度數等于 ．
解答題
1.城市綠化是城市重要的基礎設施，是改善生態環境和提高廣大人民群眾生活質量的公益事業．某小區在社區管理人員及社區居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（圖中陰影部分）．如圖，已知，，，，試求這塊可綠化的空地的面積．
2.如圖，在的網格中，線段的端點都在格點（網格中橫線與豎線的交點）上．
(1)在圖中作線段（線段的端點都在格點上），使得，垂足為；
(2)在（）的條件下，猜想線段、之間的數量關系，并說明理由（根據需要可以自己標注字母）．
3.如圖，在四邊形中，，，，，，求的度數．
4．如圖，已知中，于，．
(1)分別求的長；
(2)是直角三角形嗎？證明你的結論．
5．如圖，中，D是邊上的一點，若A．
(1)求證：；
(2)求的面積．
6．如圖，每個小正方形的邊長為1．
(1)求四邊形的面積；
(2)求的度數．
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