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八年級數學下冊 18.1.2 平行四邊形的判定 導學案
一、判定方法
1.從邊看：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)。
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
2.從角看：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
3.從對角線看：⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
二、中位線
1.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
中位線與中線的區別：中位線是中點與中點的連線，中線是頂點與對邊中點的連線。
2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
3.三角形中位線定理的作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系。
選擇題
1.如圖，分別是的邊上的中點，如果的周長是，則的周長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據線段中點的定義、三角形中位線定理得到，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】解：分別是的邊上的中點
是的中位線，，
的周長，
，
的周長
故選∶D．
2.如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，能判斷四邊形為平行四邊形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理，根據平行四邊形的判定定理逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A．根據，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
B．由，，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平形四邊形，故該選項正確，符合題意；
C．根據，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
D．根據，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
故選：B．
3．不能判定一個四邊形是平行四邊形的條件是（ ）
A．一組對邊相等，另一組對邊平行 B．一組對邊平行且相等
C．兩條對角線互相平分 D．兩組對邊分別相等
【答案】A
【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定方法逐項判斷即可．
【詳解】解：一組對邊相等，另一組對邊平行，不能判定一個四邊形是平行四邊形，故A選項正確；
一組對邊平行且相等，能判定一個四邊形是平行四邊形，故B選項錯誤；
兩條對角線互相平分，能判定一個四邊形是平行四邊形，故C選項錯誤；
兩組對邊分別相等，能判定一個四邊形是平行四邊形，故D選項錯誤；
故選A．
4.如圖，、分別是的中線和角平分線，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形中位線定理，三線合一性質，勾股定理，取的中點F，連結，計算即可．
【詳解】解：如圖，取的中點F，連結，
∵是的中線，
∴，
∴是的中位線，
∴，
∵，，
∴，．
由勾股定理，得．
∵BE平分，，
∴，
∴，
∴．根據等腰三角形“三線合一”，得．
∵，
∴
∴E是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∵的中點F，
∴，
∴．
故選D．
5．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相垂直且相等
【答案】A
【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定方法一一判斷即可．
【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．正確．
B、對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．
C、對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．
D、對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．
故選：A．
6．如圖，在中，分別平分和，過點A作于點D，作于點G，若，，，則的長為（）
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形中位線定理以及等腰三角形的判定與性質，關鍵是掌握三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．問題的難點在于過關鍵點作輔助線構造．
延長，交的延長線于點，延長，交的延長線于點，依據等腰三角形的判定與性質，即可得到的長；再根據三角形中位線定理，即可得到的長等于的長的一半．
【詳解】如圖所示，延長，交的延長線于點，延長，交的延長線于點，
∵、分別平分和，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴點是的中點，
同理可得，點是的中點，
∴是的中位線，
∴，
故選：B．
7．若三角形一邊中垂線過另一邊中點，則該三角形必為（ ）
A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】本題考查中垂線的定義和三角形的中位線定理．如圖，垂直平分，則，為的中點，再根據為的中點，得到為的中位線，得到，進而得到，即可得出結論．
【詳解】解：如圖，垂直平分，交于，交于點，
則：，為的中點，
由題意，得：為的中點，
∴為的中位線，
∴，
∴，
∴為直角三角形；
故選C．
8.如圖，四邊形中，對角線與相交于點O，不能判斷四邊形是平行四邊形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，熟知平行四邊形的判定條件是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，一邊平行，另一邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，也有可能是等腰梯形，故此條件不能判斷四邊形是平行四邊形，符合題意；
B、，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故此條件能判斷四邊形是平行四邊形，不符合題意；
C、，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故此條件能判斷四邊形是平行四邊形，不符合題意；
D、，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故此條件能判斷四邊形是平行四邊形，不符合題意；
故選：A．
填空題
1.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C在網格中的位置如圖所示，建立適當的平面直角坐標系，使點A、B、C的坐標分別為、、，在平面直角坐標系中找一點D，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出所有符合條件的點D的坐標： ．
【答案】或或
【分析】此題主要考查平行四邊形的判定，分三種情形，可以以、或為一條對角線，畫出平行四邊形即可.
【詳解】解：根據題意得，建立如圖直角坐標系．
當，時，；
當，時，；
當，時，．
故答案為：或或．
2.如圖，四邊形的對角線相交于點，．請添加一個條件： ，使四邊形是平行四邊形（寫出一種情況即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】略
3.如圖，D是直線l外一點，在l上取兩點A，B，連接AD，分別以點B，D為圓心，AD，AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，理由是 ．
【答案】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
【解析】略
4.如圖，在中，，，點D，E分別是，邊上的動點，連結，F，M分別是，的中點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，三線合一定理，勾股定理，過點B作于G，連接，由三線合一定理和勾股定理求出，進而求出，證明是的中位線，得到，則當時，最小，即此時最小，利用面積法求出，則．
【詳解】解：如圖所示，過點B作于G，連接，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵F，M分別是，的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴當時，最小，即此時最小，
∵當時，，
∴，
∴，
∴最小值為，
故答案為：．
5.如圖，在中，點D，E分別是，的中點，以點A為圓心，為半徑作圓弧交于點F．若，，則的長為 ．
【答案】3
【分析】本題考查三角形的中位線性質，熟練掌握三角形的中位線性質是解答的關鍵．利用三角形的中位線得到，進而求得即可求解．
【詳解】解：∵在中，點D、E分別是、的中點，，
∴，即，
∵以A為圓心，為半徑作圓弧交于點F，，
∴，
∴，
故答案為：3．
解答題
1.如圖，在四邊形中，與相交于點O，，E、F分別是、的中點，連接，分別交、于點M、N，判斷的形狀．
【答案】是等腰三角形，理由見解析
【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質與判定，平行線的性質，如圖所示，取中點H，連接，則分別是的中位線，據此得到，，再由得到，進而推出，得到，由此即可得到結論．
【詳解】解：是等腰三角形，理由如下：
如圖所示，取中點H，連接，
∵E、F分別是、的中點，H是的中點，
∴分別是的中位線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
2．如圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，四邊形為平行四邊形，點、均為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作圖：
(1)在圖①中，點、、為格點，在邊上找一點，連結，使得．
(2)在圖②中，點、為格點，點為邊上任意一點，連結，在上找一點，使得.（保留作圖痕跡）
(3)在圖③中，點、為為網格線上的點，點為邊上任意一點連結，在邊上找一點，連結，使得．（保留作圖痕跡）
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查了無刻度直尺作圖，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線的性質；
（1）取的中點，連接即可；
（2）取BC的中點，的中點，連接交一點，點即為所求；
（3）取BC的中點，的中點，連接交一點，連接交于點，連接即可．
【詳解】（1）如圖①中，線段即為所求；
（2）如圖②中，點即為所求；
（3）如圖③中，線段即為所求．
3.如圖，直角中，，，點D是邊的中點，點E是邊上的一個動點（不與A，B重合），交于點F，設，．
(1)求證：；
(2)寫出y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
(3)寫出x為何值時，？
【答案】(1)見詳解
(2)，
(3)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，正確證明是關鍵．
（1）取的中點記為，取的中點記為．根據三角形中位線的性質可得，根據余角的性質可得，根據可證，根據全等三角形的性質即可證明；
（2）根據全等三角形的性質可得，從而得到y關于x的函數關系式，以及x的定義域；
（3）連接，根據三角形中位線的性質可得x為1時，．
【詳解】（1）解：取的中點記為H，取的中點記為N．連接
∵，點D是邊的中點，
∴都是三角形中位線
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在與中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
即
∵E是邊上的一個動點（不與A、B重合），
∴；
（3）解：連接，當E與H重合時，，
∵此時，
∴當時，．
4．如圖，在平行四邊形 中，分別平分和，交于點E，交于點F．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接分別交于點G、H，連接與交于點M，與交于點N，請直接寫出圖中所有的平行四邊形（平行四邊形除外）．
【答案】(1)見解析
(2)平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形．
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，角平分線的定義等等，熟知平行四邊形的性質與判定定理是解題的關鍵．
（1）由平行四邊形的性質得到，再由角平分線的定義證明，進而證明，即可證明；
（2）先找出平行四邊形，①平行四邊形，②平行四邊形 ，③平行四邊形，④平行四邊形，再分別證明即可；
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵分別平分和，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴圖中所有的平行四邊形（平行四邊形除外）為平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形、平行四邊形．
5.如圖，直角中，，，點D是邊的中點，點E是邊上的一個動點（不與A，B重合），交于點F，設，．
(1)求證：；
(2)寫出y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
(3)寫出x為何值時，？
【答案】(1)見詳解
(2)，
(3)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，正確證明是關鍵．
（1）取的中點記為，取的中點記為．根據三角形中位線的性質可得，根據余角的性質可得，根據可證，根據全等三角形的性質即可證明；
（2）根據全等三角形的性質可得，從而得到y關于x的函數關系式，以及x的定義域；
（3）連接，根據三角形中位線的性質可得x為1時，．
【詳解】（1）解：取的中點記為H，取的中點記為N．連接
∵，點D是邊的中點，
∴都是三角形中位線
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在與中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
即
∵E是邊上的一個動點（不與A、B重合），
∴；
（3）解：連接，當E與H重合時，，
∵此時，
∴當時，．
6.如圖所示，在中，分別是上的點，，
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若分別是的中點，連接，與分別交于點，請寫出圖中除和以外的平行四邊形；
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質；
（1）根據平行四邊形的判定與性質即可證得結論；
（2）根據平行四邊形的性質得出，根據中點的性質可得，即可得出，根據可得四邊形是平行四邊形，根據可得即可得出．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
又∵，
∴，即，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
∴，
∵分別是的中點，
∴，
∴，
∵
∴四邊形是平行四邊形；
∵
∴
∴四邊形是平行四邊形；
綜上所述，圖中還有．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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八年級數學下冊 18.1.2 平行四邊形的判定 導學案
一、判定方法
1.從邊看：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)。
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
2.從角看：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
3.從對角線看：⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
二、中位線
1.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
中位線與中線的區別：中位線是中點與中點的連線，中線是頂點與對邊中點的連線。
2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
3.三角形中位線定理的作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系。
選擇題
1.如圖，分別是的邊上的中點，如果的周長是，則的周長是（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，能判斷四邊形為平行四邊形的是（ ）
A． B． C． D．
3．不能判定一個四邊形是平行四邊形的條件是（ ）
A．一組對邊相等，另一組對邊平行 B．一組對邊平行且相等
C．兩條對角線互相平分 D．兩組對邊分別相等
4.如圖，、分別是的中線和角平分線，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
5．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相垂直且相等
6．如圖，在中，分別平分和，過點A作于點D，作于點G，若，，，則的長為（）
A． B．5 C．6 D．
7．若三角形一邊中垂線過另一邊中點，則該三角形必為（ ）
A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
8.如圖，四邊形中，對角線與相交于點O，不能判斷四邊形是平行四邊形的是( )
A． B．
C． D．
填空題
1.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C在網格中的位置如圖所示，建立適當的平面直角坐標系，使點A、B、C的坐標分別為、、，在平面直角坐標系中找一點D，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出所有符合條件的點D的坐標： ．
2.如圖，四邊形的對角線相交于點，．請添加一個條件： ，使四邊形是平行四邊形（寫出一種情況即可）．
3.如圖，D是直線l外一點，在l上取兩點A，B，連接AD，分別以點B，D為圓心，AD，AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，理由是 ．
4.如圖，在中，，，點D，E分別是，邊上的動點，連結，F，M分別是，的中點，則的最小值為 ．
5.如圖，在中，點D，E分別是，的中點，以點A為圓心，為半徑作圓弧交于點F．若，，則的長為 ．
解答題
1.如圖，在四邊形中，與相交于點O，，E、F分別是、的中點，連接，分別交、于點M、N，判斷的形狀．
2．如圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，四邊形為平行四邊形，點、均為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作圖：
(1)在圖①中，點、、為格點，在邊上找一點，連結，使得．
(2)在圖②中，點、為格點，點為邊上任意一點，連結，在上找一點，使得.（保留作圖痕跡）
(3)在圖③中，點、為為網格線上的點，點為邊上任意一點連結，在邊上找一點，連結，使得．（保留作圖痕跡）
3.如圖，直角中，，，點D是邊的中點，點E是邊上的一個動點（不與A，B重合），交于點F，設，．
(1)求證：；
(2)寫出y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
(3)寫出x為何值時，？
4．如圖，在平行四邊形 中，分別平分和，交于點E，交于點F．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接分別交于點G、H，連接與交于點M，與交于點N，請直接寫出圖中所有的平行四邊形（平行四邊形除外）．
5.如圖，直角中，，，點D是邊的中點，點E是邊上的一個動點（不與A，B重合），交于點F，設，．
(1)求證：；
(2)寫出y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
(3)寫出x為何值時，？
6.如圖所示，在中，分別是上的點，，
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若分別是的中點，連接，與分別交于點，請寫出圖中除和以外的平行四邊形；
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