資源簡介

8.1~8.3 冪的運算
【課程導航】
1.冪的運算是初中數學的基本內容，其主要性質有：
⑴同底數冪相乘：底數不變，指數相加，即am·an＝am＋n
⑵冪的乘方：底數不變，指數相乘，即(am)n＝amn
⑶積的乘方：等于乘方的積，即(ab)n＝anbn
法則的推廣：當n是正整數時，(abc)n＝a nbncn
［注意］
①冪的底數和指數不僅僅是單獨字母或數字，也可以是某個單項式和多項式.
②冪的乘方法則與同底數冪的乘法法則的異同
③多重乘方可以重復運用上述冪的乘方法則：[(am)n]p＝(amn)p＝amnp
④冪的乘方公式可逆用：amn＝(am)n＝(an)m
⑷同底數冪相除：底數不變，指數相減，即am÷an＝am－n (a≠0)
［注意］
冪運算最后結果中冪的形式應是最簡的：
①冪的指數、底數都應是最簡的；
②底數中系數不能為負；
③冪的底數是積的形式時，要再用一次(ab)n＝anbn
⑸零指數和負指數：規定a0＝1，a－p＝(其中a≠0，p為正整數)
法則的推廣：()－p＝ (其中，m、n均為整數)
⑹科學計數法：a×10n的形式(其中1≤a＜10,n取小數點移動位數，向右移動取負，向左移動取正)
【錦囊妙計】
冪的運算在競賽和考試中多以比較大小以及計算形式出現，而解決這些類型的題目的關鍵就是熟悉上述性質，并靈活運用.
【典型例題】
計算：
⑴(－)－2＋()0＋(－5)3÷(－5)2
⑵xm·(xn)3÷(xm－1·2x n－1)
思路點撥：運用冪的運算的基本公式進行計算.
解答：解：⑴原式＝(－3)2＋1＋(－5)3－2＝9＋1＋(－5)＝5
⑵原式＝xm·x3n÷2xm＋n－2＝xm＋3n÷2x m＋n－2＝x2n＋2
點評：此題主要考查學生的冪的運算的基本公式的記憶及運用.
計算：2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210
思路點撥：本題特殊在利用合并同類項法則可以從后面向前計算.
解答：解：原式＝2－22－23－24－25－26－27－28＋29 (2－1)
＝2－22－23－24－25－26－27－28＋29
…
＝2＋22
＝6
點評：此題主要考查學生對于同底數冪的乘法的逆運用.
例3.⑴已知3×9m×27m＝316，求m的值.
思路點撥：式子左邊的底數有3、9、27，右邊只有3，我們可以把兩邊的底數變為一樣再進一步尋找關系解決問題.
解答：解：3×32m×33m＝316
31＋2m＋3m＝316
即5m＋1＝16，解得：m＝3.
⑵(b＋3)b＋2＝1，求整數b.
思路點撥：由冪的運算可知an＝1時，a，n大致滿足下面幾種情況：
①當a＝1時，n取任意整數，可知b＋3＝1，解得b＝－2；
②當a＝－1，n取偶數，可知，解得b＝－4；
③當a≠0，n＝0，可知，解得b＝－2.
點評：⑴題主要考查同底數冪相等，必須指數也要相等.
⑵題主要考查an＝1時，a，n滿足的情況.
例4.已知P＝,Q＝,求P、Q的大小關系.
思路點撥：初中階段比較大小通常有兩個方法：作差法和作商法.
解答：解：作差法：P－Q＝－＝－＝0，所以P＝Q.
作商法：＝×＝1,所以P＝Q.
點評：作差法和作商法是比較大小最常用的兩種方法，不僅可以比較數字，也可以比較代數式的大小.
【一顯身手】
計算：
⑴10m＋1·102m－1·102－m ⑵(x－2y)2·(x－2y)m－1·(x－2y)m＋2
⑶(b－a)(a－b)3(b－a)5 ⑷x3·x4＋x·x3·x3＋(－x) (－x)3·x3
⑸23·24·25－2·22·28 ⑹0.1252006×(22006)3
二、填空題
1．()－1＝ ，(－3)－3＝ ，
(π－3)0＝ ，(－)100×2101＝ .
2．0.0001＝10( )，3.01×10－5＝ (寫成小數).
3．x2·( )＝x6, x2·x3－x6÷x＝ ．
(m2)3÷(m3)2＝ ．
4．比較大?。?33 322(填＞、＝、＜)．
5．32÷8n－1＝2n，則n＝ ．
6．如果x＋4y－3＝0，那么2x·16y＝ ．
7．一個長方體的長、寬、高分別為a2，a，a3，則這個長方體的體積是 ．
8．一種花粉的直徑約為35微米，這種花粉的直徑約為 米．
9．(－)－2＝ ，＝( )－3．
10．[(a4)3]2＝ a6＝( )3,－(2ab2)3＝ ．
【中考看點】
1.(烏魯木齊中考)若a＞0，ax＝2，ay＝3，求ax＋y的值為( )
A．－6 B.6 C. 5 D.－5
2. (錦州中考)下列運算正確的是( )
A．(a＋b)2＝a2＋b2 B．x3＋x3＝x6
C．(a3)2＝a5 D．(2x2)(－3x3)＝－6x5
3.(泰州中考)下列運算正確的是( )
A．a3·a2＝a6 B．(－a2)3＝－a6 C．(ab)3＝ab3 D．a8÷a2＝a4
【自我檢測】
一、計算題：
⑴a6·a2 ⑵(－x3)2·(－x2)3
⑶(－a2)3·[－(a3)2] ⑷(a2)6－(a3)4
⑸3t·3·3t－1 ⑹(－0.125)12×813
填空題
1．(－y)5×(－y)4×(－y)3＝ ,x10÷(x4÷x2)＝ ．
2．已知4x＝2x＋3，則x＝ ．
3．已知am＝2,an＝3,則am＋n＝ ，am－n＝ ．
4．三個數(－)－2，(－)－3，(－1)0中最大的是 ，最小的是 ．
5．一列數按以下規律排列1，2，4，8，16，……，則第2004個數是 ．
6．計算機在1秒時間內可完成200萬次存儲，則計算機完成一次存儲的時間為 ．
三、綜合題
1.已知10m＝4，10n＝11，求10m＋n的值.
2.已知A＝255，B＝344，C＝433，你有辦法比較這三個數的大小嗎？
3.已知(x－1)x＋2＝1，求整數x的值.
4.若9×3m×32m＝317，試求m－5的值.
5.已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，求a＋c與2b的關系.
6.如果a2＋a＝0(a≠0)，求a2005＋a2004＋12的值.
7．若2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值.
8.已知(a2－3)a＋3＝1，求整數2a2＋3a－1的值.
8.1~8.3 冪的運算及拓展
【課程導航】
1.整數冪的個位數
任何一個整數都是由數碼組成的，一個整數的個位數只可能是0～9這十個數碼中的一個.因為一個數碼又是一個整數，所以整數冪的個位數是由這個整數(也就是冪的底數)的個位相乘的次數所決定的.整數冪的個位數性質如下：
⑴個位為0、1、5、6的整數冪的個位數仍是0、1、5、6.
⑵個位數為4的整數冪的個位數，當指數是2k＋1及2k(k為正整數)時，分別為4或6，類似有個位數為9的整數冪的個位數，分別為9和1.
⑶個位數為2的整數冪的個位數，當指數為4k＋1、4k＋2、4k＋3、4k時依次為2、4、6、8，類似有個位數為3的整數冪的個位數分別為3、9、7、1，個位為7的整數冪的個位數分別為7、9、3、1，個位數為8的整數冪的個位數分別為8、4、2、6.
⑷個位數為1、3、7、9的整數，四次冪后的個位數都是1；
⑸任一整數與它的五次冪總是以同一個數碼為末位數.
2.若an中，a為正整數，n＝2，則稱a2為完全平方數，在整數理論的研究中它有一席之地.
【錦囊妙計】
1.利用冪的運算及整數理論，討論an的末位數或末兩位數.
2.作為冪的運算的一個內容：討論完全平方數的性質.
【典型例題】
例題1. 已知83＝a9＝2b，求(a－b)2＋(a＋b)2－2b(a2＋b)的值．
思路點撥：求代數式的值，需要知道a、b的值，而條件中是冪等式，因此保證底數和指數相等即可．
解答：解：由83＝a9＝2b可知29＝a9＝2b，即a＝2，b＝9．
(a－b)2＋(a＋b)2－2b(a2＋b)＝ (2－)2＋ (2＋)2－2×9×(22＋)＝－64
例題2. 求滿足()a·()b·()c＝2的一切正整數a、b、c的值．
思路點撥：式子左邊的底數不是整數，右邊只有2，我們先將左邊用冪的運算公式化成底數為整數的形式，再比較即可．
解答：解：()a·()b·()c＝··＝2b＋4c－3a·32a－2b－c·5b－c＝2
可得，解得
例題3.若21986是位整數，51986是位整數，求的值．
思路點撥： 通常解決數位的問題，可以利用科學計數法進行轉換，變成指數問題.
解答：解：設21986 ＝a×10 m－1,51986 ＝b×10n－1(1＜a、b＜10).
則兩式相乘：101986 ＝ab×10m＋n－2，即10×101985＝ab×10m＋n－2．
故m＋n－2＝1985,于是m＋n＝1987.
【一顯身手】
1.計算：
⑴x3·x4＋x9÷x2 ⑵(－ab)m÷(－ab)m－2 (m為大于2的整數)
⑶(m5)2·m3 ⑷x6·x·x7
⑸(－xy)9÷(－xy)6 ⑹(a3)5·(a2)4÷(a2)5÷a
⑺[(x－2y)3]3÷[(2y－x)2]4 ⑻(－2×)200·(0.5×3)199
二、綜合題
1.已知xm＝3，xn＝5，求xm＋n的值.
2.已知4m＋3·8m＋1÷24m＋7＝16，求m的值.
3.若10a＝20，10b＝5－1，求9a÷32b的值.
4.⑴已知am＝2，求a3m.
⑵已知am＝3，an＝2，求a2m＋3n.
⑶已知2m·4m·8m＝218，求m的值.
5.若()n÷()n＝3，求n的值.
【中考看點】
1.(南京中考)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于0.0000025m的顆粒物，將0.0000025用科學計數法表示為( )
A．0.25×10－5 B.0.25×10－6 C.2.5×10－5 D.2.5×10－6
2.(臺灣中考)已知456456＝23×a×7×11×13×b，其中a、b均為質數.若b＞a，則b－a之值為( )
A．12 B.14 C. 16 D.18
【自我檢測】
1.計算：
⑴a3·a4·a＋(a2)4＋(－2a4)2 ⑵2(x3)2·x3－(3x3)3＋(5x)2·x2
⑶(3x3)2·(－2y2)5÷(－6xy4) ⑷(a－b)2·(a－b)4＋(b－a)3·(a－b)3
⑸(5×105)3÷(2.5×103)×(－4×10－7)2 ⑹(－3)0＋23×(－2)2＋(－5)4÷()－2
⑺2－5×0.5－4＋3－2×()－3 ⑻[－24×(4－2×20)÷(－2)－4÷26]×4÷102
二、綜合題
1.若(x2)3·x÷－(π－3.14)0＝0，試求x－1999＋x－2000＋1的值.
2.若＝＝，且xy＋yz＋zx＝76，試求2x2＋12y2＋9z2的值.
3.若，則＝ ．
4.已知代數式y＝ax5＋bx3＋cx＋d，當x＝0時，y＝－5.當x＝－3，y＝9，求：當x＝3時y的值.
5.試確定32004×72005所得積的末位數字.
6.求14＋24＋34＋…＋20044＋20054的個位數字.
7.解關于x的方程：(x－2)x－1＝1.
8.已知x3＝m，x5＝n用含有m、n的代數式表示x14.
9.求使得＝1成立的所有x的值.

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