資源簡介

數(shù)列考點專項復(fù)習(xí)
一、本章知識點脈絡(luò)
二、考綱要求
知識內(nèi)容 認(rèn)知要求 說　明
了解 理解 掌握
6.1數(shù)列的概念 √ （1）數(shù)列概念的引入、等差數(shù)列、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)都要結(jié)合生活實例來進(jìn)行 （2）通過等差數(shù)列與等比數(shù)列的教學(xué)，培養(yǎng)計算工具使用技能，數(shù)據(jù)處理技能和分析與解決問題能力 （3）重點是等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式
6.2等差數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式 √
6.3等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式 √
6.4數(shù)列實際應(yīng)用舉例 √
三、知識精講
1、數(shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一項叫做數(shù)列的項。數(shù)列的項在這列數(shù)中是第幾項，則在數(shù)列中是第幾項。一般記為數(shù)列
2、數(shù)列的分類
（1）按照數(shù)列的項數(shù)分，可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列。
（2）按照單調(diào)性分，數(shù)列可以分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。
3、數(shù)列是一種特殊的函數(shù)
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集。所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點。
數(shù)列的常用表示方法
（1）數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列的第項和項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。即。不是每一個數(shù)列都有通項公式。不是每一個數(shù)列只有一個通項公式。
（2）數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列的第一項或前幾項，且任意一項與它的前一項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式。
5、數(shù)列的前項和
6、數(shù)列的前項和和通項的關(guān)系
該公式主要是用來求數(shù)列的通項，求數(shù)列通項時，一定要分兩步討論，結(jié)果能并則并，不并則分。
7、等差數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做這個數(shù)列的公差。即
8、等差中項
若成等差數(shù)列，那么叫做的等差中項。兩個實數(shù)的等差中項只有一個，就是這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。
9、等差數(shù)列的性質(zhì)
①等差數(shù)列的通項公式，。
當(dāng)時，它是一個一次函數(shù)。
②等差數(shù)列的前項和公式 .
，當(dāng)時，它是一個二次函數(shù)，由于其常數(shù)項為零，所以其圖像過原點。
③等差數(shù)列中，如果,則,特殊地，時，則，是的等差中項。
④等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列。
10、等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷和證明
方法一：定義的方法，是等差數(shù)列
方法二：中項的方法，
11、等差數(shù)列有5個基本量，，求解它們，多利用方程組的思想，知三求二。注意要弄準(zhǔn)它們的值。
12、三個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為，四個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為
13. 等比數(shù)列定義
一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零）
14．等比數(shù)列通項公式為：.
說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則.
15．等比中項
如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）
16.等比數(shù)列前n項和
一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項和是，當(dāng)時，或；當(dāng)時，（錯位相減法）.
17.等比數(shù)列的性質(zhì)：
（1）在等比數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等比中項；
（2）在等比數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等比數(shù)列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等比數(shù)列中，對任意，，；
（4）在等比數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，時，則，是的等比中項. 也就是：，如圖所示：.
18.等比數(shù)列的單調(diào)性
當(dāng)或時，為遞增數(shù)列，當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．
四、考點演練
【考點1】數(shù)列的概念
1. 已知數(shù)列，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，8是該數(shù)列的（ ）
A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項
【答案】A
【解析】，由此可知數(shù)列的規(guī)律是前后兩項的比值為定值，
故所以8是該數(shù)列的第7項，
故選:A
2．將正整數(shù)的前5個數(shù)排列如下：
①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2．
其中可以稱為數(shù)列的有（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】根據(jù)數(shù)列是按“一定順序”排列著的一列數(shù)，所以①②③④都正確，故D項正確.
故選：D．
3. 觀察下面數(shù)列的特點，，___，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】觀察可知，數(shù)列的前2項都是1，從第3項開始每一項等于它前2項的和，所以空的一項為5，
故選：C．
4. 已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（　　）
A．第20項 B．第21項
C．第22項 D．第23項
【答案】D
【解析】，故為第23項.
故選：D.
5. 觀察數(shù)列1，，，4，，，7，，，…，則該數(shù)列的第11項等于
【答案】
【解析】由數(shù)列得出規(guī)律，該數(shù)列各項里面的數(shù)字是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)節(jié)，依次出現(xiàn)常數(shù)，對數(shù)，正弦的形式，
由，所以該數(shù)列的第11項為．
故答案為：．
6. 若一數(shù)列為2，7，14，23，，則該數(shù)列的第8個數(shù)是 ．
【答案】79
【解析】由題意可得：，
可得.
所以.
故答案為：79.
【考點2】等差數(shù)列的定義與通項公式
7. 等差數(shù)列的公差，且，則數(shù)列的通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，且，解得，所以，
則．故選D．
8. 數(shù)列3，5，7，9，…的通項公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以.
故選：C
9. 已知等差數(shù)列中，，公差，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】依題意，等差數(shù)列通項，
所以.
故選：A.
10. 在等差數(shù)列中，，，則201是數(shù)列的第幾項（ ）
A．59 B．60 C．61 D．62
【答案】C
【解析】等差數(shù)列中，，，設(shè)公差為，
∴，解得；
∴通項公式為，
當(dāng)時，．
故選：C．
11. 下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（ ）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a(chǎn)，a，a，a D．，，，
【答案】B
【解析】對于A，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)3，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以A不合題意，
對于B，因為，，即，所以此數(shù)列不是等差數(shù)，所以B符合題意，
對于C，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)0，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以C不合題意，
對于D，數(shù)列，，，可表示為，，，，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)1，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以D不合題意，
故選：B
12. 已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
【答案】B
【解析】：因為數(shù)列滿足，且，即，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
故選：B．
13. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，，那么數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，
由題得，所以.
所以數(shù)列的通項為.
故選：A
14. 已知數(shù)列滿足，（，），則．
【答案】
【解析】因為（，），故為等差數(shù)列，公差為1，
所以.
故答案為：
15. 已知等差數(shù)列的公差為，且滿足，，則數(shù)列的通項公式 ．
【答案】
【解析】由，，
得，由解得，
所以.
故答案為：.
16. 已知正項數(shù)列的前項和為，，且.求數(shù)列的通項公式
【答案】
【解析】∵，∴數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列.
又，∴ ，，∴.
【考點3】等差數(shù)列得性質(zhì)及前n項和公式
17. 記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．64 B．80 C．96 D．120
【答案】C
【解析】設(shè)公差為，
則，解得，
故.
故選：C
18. 記為等差數(shù)列的前n項和．若，，則（ ）
A．10 B．20
C．30 D．40
【答案】C
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得①，
②，
由①得，代入②得，解得，
故，
故.
故選：C
19. 在等差數(shù)列中，，則的前項和
【答案】
【解析】因為是等差數(shù)列，所以.
故答案為：.
20. 已知為等差數(shù)列的前項和，且滿足，則．
【答案】
【解析】在等差數(shù)列中，,
∴，解得：.
故答案為：.
21. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項和，若，則；
【答案】52
【解析】.
故答案為：52
22. 已知等差數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和為.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）設(shè)公差為，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
23. 已知是等差數(shù)列的前項和，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1) (2)12
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因為，
所以.
解得.
所以.
（2），
所以.
令，得，
解得：（舍去）.
因為，所以的最小值是12.
24. 已知等差數(shù)列的通項公式，求它的前n項和．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）由題知，等差數(shù)列的通項公式為，
∴；
（2）由題知，等差數(shù)列的通項公式為，
∴；
（3）由題知，等差數(shù)列的通項公式為，
∴；
（4）由題知，等差數(shù)列的通項公式為，
∴.
25. 已知數(shù)列均為等差數(shù)列．
(1)設(shè)，，求；
(2)設(shè)，，求；
(3)設(shè)，求．
【答案】(1)260
(2)21.7
(3)49
【解析】（1）依題意，．
（2），于是，從而.
（3）設(shè)公差為，則，，于是，
所以．
【考點4】等比數(shù)列的定義與通項公式
26. 若數(shù)列滿足，則數(shù)列是 （　　）
A．公差為的等差數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列
C．公差為的等差數(shù)列 D．不是等差數(shù)列
【答案】C
【解析】：因為，所以，
即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知：
數(shù)列為以為公差的等差數(shù)列.
故選：C
27. 已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列是（ ）
A．以1為首項，為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項，為公比的等比數(shù)列
C．以1為首項，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項，3為公比的等比數(shù)列
【答案】A
【解析】因為，，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.
故選：A
28. 等比數(shù)列4，x，9，…，則實數(shù)x的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為數(shù)列4，x，9，…為等比數(shù)列，所以數(shù)列4，x，9為等比數(shù)列，所以，所以，C正確，故選：C.
29．若數(shù)列為等比數(shù)列，，，則公比（ ）
A．-4 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】由題意得：
故選：C
30. 在等差數(shù)列中，，公差為d，且成等比數(shù)列，則d= ．
【答案】2
【解析】等差數(shù)列中，，公差為d，且成等比數(shù)列，
可得，
即為，化為，解得或，
若，即有4，6，9成等比數(shù)列，滿足要求；
若，即有1，0，0不成等比數(shù)列．則成立．
故答案為：2
31. 已知是等比數(shù)列，若公比為，且，則
【答案】/
【解析】由等比數(shù)列的公比為，且，
可得，解得.
故答案為：.
32. 已知等差數(shù)列滿足，前4項和．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為d．
∵
∴
解得：
∴等差數(shù)列通項公式
（2）設(shè)等比數(shù)列首項為，公比為q
∵
∴
解得：
即或
∴等比數(shù)列通項公式或
33. 已知等比數(shù)列的公比為q，試用的第m項表示．
【答案】
【解析】由題意，得
，①
．②
②的兩邊分別除以①的兩邊，得，
所以．
【考點5】等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式
34. 若等比數(shù)列的第2項和第6項分別為3和12，則的第4項為（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】由題意得，
又，故.
故選：C
35. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】是等比數(shù)列，，
.
故選：B.
36. 正項等比數(shù)列，，則（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【詳解】在正項等比數(shù)列，，
所以，所以（舍去）.
故選：B.
37. 已知等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項和為（ ）
A．55 B．110 C．511 D．1023
【答案】D
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和，則，
故.
故選：D.
38. 等比數(shù)列滿足，，則（ ）
A．30 B．62 C．126 D．254
【答案】C
【解析】由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，得，
所以，
所以.
故選：C
39．已知等比數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．18 B．54 C．128 D．192
【答案】D
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得．
．
故選：D.
40. 在等比數(shù)列中，，則與的等比中項為 ．
【答案】
【解析】設(shè)與的等比中項為，則.
故答案為：
41.若等比數(shù)列的首項為，公比為2，則的前項和 ．
【答案】
【解析】依題意得．
故答案為：
42．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則 ．
【答案】121
【解析】設(shè)公比為，故，解得，
所以，
故.
故答案為：121
【考點6】數(shù)列實際應(yīng)用
43. 如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……
設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（ ）
A．58 B．57 C．210 D．220
【答案】C
【解析】由題意：，，，，.
所以.
故選：C
44. 夏季高山上氣溫從山腳起每升高100m降低0.6℃，已知山頂?shù)臍鉁厥?5.8℃，山腳的氣溫是26℃．那么，此山相對于山腳的高度是（ ）．
A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m
【答案】C
【解析】山頂與山腳的溫度差為，
因為每升高100m，氣溫降低，
所以山頂相對于山腳的高度為（m）.
故選：C.
45. 某同學(xué)利用寒假進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)平臺勤工儉學(xué)，共收入1200元，第一天收入10元，之后由于技術(shù)熟練，從第2天起每天的收入都比前一天多10元，該同學(xué)一共進(jìn)行的天數(shù)是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】記每天的收入為數(shù)列，則為公差為10的等差數(shù)列，且，
則，解得：或-16（舍去），
故同學(xué)一共進(jìn)行的天數(shù)為15天.
故選：B
46. 我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是（ ）
A．86里 B．172里 C．96里 D．192里
【答案】D
【解析】設(shè)此人第天走的路程為，，所以此人每天走的路程可形成等比數(shù)列，依題可知，公比為，所以，解得，．
故選：D．
47.一個乒乓球從 高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的 ，在第3次著地時，乒乓球經(jīng)過的總路程為.
【答案】/
【詳解】依題意可得，第3次著地時，乒乓球經(jīng)過的總路程為.
故答案為：
48.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面節(jié)的容積共升，下面節(jié)的容積共升，則第節(jié)的容積為升．
【答案】
【解析】設(shè)自上而下的竹子容量依次為，可得為等差數(shù)列，
則，解得，
故，，
故答案為：.
49. 小張買了一輛價值10萬元的新車，根據(jù)市場行情，該款車每年按20％的速度折舊．
(1)用一個式子表示年后這輛車的價值；
(2)如果他打算使用6年后賣掉這輛車，他大概能得多少錢？
【答案】(1)，
(2)萬
【解析】（1）設(shè)第年后車輛的價格為，由題意，即；
因為一年后的價格為，所以，.
（2）由（1）得（萬）.
所以使用6年后賣掉這輛車，他大概能得萬.
50. 一種變速自行車后齒輪組由5個齒輪組成，它們的齒數(shù)成等差數(shù)列，其中最小和最大的齒輪的齒數(shù)分別為12和28，求中間三個齒輪的齒數(shù)．
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由最小和最大的齒輪的齒數(shù)分別為12和28，可得，
即，解得，
所以，即中間三個齒輪的齒數(shù)分別為.數(shù)列考點專項復(fù)習(xí)
一、本章知識點脈絡(luò)
二、考綱要求
知識內(nèi)容 認(rèn)知要求 說　明
了解 理解 掌握
6.1數(shù)列的概念 √ （1）數(shù)列概念的引入、等差數(shù)列、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)都要結(jié)合生活實例來進(jìn)行 （2）通過等差數(shù)列與等比數(shù)列的教學(xué)，培養(yǎng)計算工具使用技能，數(shù)據(jù)處理技能和分析與解決問題能力 （3）重點是等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式
6.2等差數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式 √
6.3等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式 √
6.4數(shù)列實際應(yīng)用舉例 √
三、知識精講
1、數(shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一項叫做數(shù)列的項。數(shù)列的項在這列數(shù)中是第幾項，則在數(shù)列中是第幾項。一般記為數(shù)列
2、數(shù)列的分類
（1）按照數(shù)列的項數(shù)分，可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列。
（2）按照單調(diào)性分，數(shù)列可以分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。
3、數(shù)列是一種特殊的函數(shù)
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集。所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點。
數(shù)列的常用表示方法
（1）數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列的第項和項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。即。不是每一個數(shù)列都有通項公式。不是每一個數(shù)列只有一個通項公式。
（2）數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列的第一項或前幾項，且任意一項與它的前一項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式。
5、數(shù)列的前項和
6、數(shù)列的前項和和通項的關(guān)系
該公式主要是用來求數(shù)列的通項，求數(shù)列通項時，一定要分兩步討論，結(jié)果能并則并，不并則分。
7、等差數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做這個數(shù)列的公差。即
8、等差中項
若成等差數(shù)列，那么叫做的等差中項。兩個實數(shù)的等差中項只有一個，就是這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。
9、等差數(shù)列的性質(zhì)
①等差數(shù)列的通項公式，。
當(dāng)時，它是一個一次函數(shù)。
②等差數(shù)列的前項和公式 .
，當(dāng)時，它是一個二次函數(shù)，由于其常數(shù)項為零，所以其圖像過原點。
③等差數(shù)列中，如果,則,特殊地，時，則，是的等差中項。
④等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列。
10、等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷和證明
方法一：定義的方法，是等差數(shù)列
方法二：中項的方法，
11、等差數(shù)列有5個基本量，，求解它們，多利用方程組的思想，知三求二。注意要弄準(zhǔn)它們的值。
12、三個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為，四個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為
13. 等比數(shù)列定義
一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零）
14．等比數(shù)列通項公式為：.
說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則.
15．等比中項
如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）
16.等比數(shù)列前n項和
一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項和是，當(dāng)時，或；當(dāng)時，（錯位相減法）.
17.等比數(shù)列的性質(zhì)：
（1）在等比數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等比中項；
（2）在等比數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等比數(shù)列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等比數(shù)列中，對任意，，；
（4）在等比數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，時，則，是的等比中項. 也就是：，如圖所示：.
18.等比數(shù)列的單調(diào)性
當(dāng)或時，為遞增數(shù)列，當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．
四、考點演練
【考點1】數(shù)列的概念
1. 已知數(shù)列，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，8是該數(shù)列的（ ）
A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項
2．將正整數(shù)的前5個數(shù)排列如下：
①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2．
其中可以稱為數(shù)列的有（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
3. 觀察下面數(shù)列的特點，，___，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（　　）
A．第20項 B．第21項
C．第22項 D．第23項
5. 觀察數(shù)列1，，，4，，，7，，，…，則該數(shù)列的第11項等于
6. 若一數(shù)列為2，7，14，23，，則該數(shù)列的第8個數(shù)是 ．
【考點2】等差數(shù)列的定義與通項公式
7. 等差數(shù)列的公差，且，則數(shù)列的通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
8. 數(shù)列3，5，7，9，…的通項公式（ ）
A． B． C． D．
9. 已知等差數(shù)列中，，公差，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10. 在等差數(shù)列中，，，則201是數(shù)列的第幾項（ ）
A．59 B．60 C．61 D．62
11. 下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（ ）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a(chǎn)，a，a，a D．，，，
12. 已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列
13. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，，那么數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
14. 已知數(shù)列滿足，（，），則．
15. 已知等差數(shù)列的公差為，且滿足，，則數(shù)列的通項公式 ．
16. 已知正項數(shù)列的前項和為，，且.求數(shù)列的通項公式
【考點3】等差數(shù)列得性質(zhì)及前n項和公式
17. 記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．64 B．80 C．96 D．120
18. 記為等差數(shù)列的前n項和．若，，則（ ）
A．10 B．20
C．30 D．40
19. 在等差數(shù)列中，，則的前項和
20. 已知為等差數(shù)列的前項和，且滿足，則．
21. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項和，若，則；
22. 已知等差數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和為.
23. 已知是等差數(shù)列的前項和，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的最小值.
24. 已知等差數(shù)列的通項公式，求它的前n項和．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
25. 已知數(shù)列均為等差數(shù)列．
(1)設(shè)，，求；
(2)設(shè)，，求；
(3)設(shè)，求．
【考點4】等比數(shù)列的定義與通項公式
26. 若數(shù)列滿足，則數(shù)列是 （　　）
A．公差為的等差數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列
C．公差為的等差數(shù)列 D．不是等差數(shù)列
27. 已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列是（ ）
A．以1為首項，為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項，為公比的等比數(shù)列
C．以1為首項，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項，3為公比的等比數(shù)列
28. 等比數(shù)列4，x，9，…，則實數(shù)x的值為（ ）
A． B． C． D．
29．若數(shù)列為等比數(shù)列，，，則公比（ ）
A．-4 B． C．3 D．4
30. 在等差數(shù)列中，，公差為d，且成等比數(shù)列，則d= ．
31. 已知是等比數(shù)列，若公比為，且，則
32. 已知等差數(shù)列滿足，前4項和．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項公式．
33. 已知等比數(shù)列的公比為q，試用的第m項表示．
【考點5】等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式
34. 若等比數(shù)列的第2項和第6項分別為3和12，則的第4項為（ ）
A．4 B． C．6 D．
35. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
36. 正項等比數(shù)列，，則（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
37. 已知等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項和為（ ）
A．55 B．110 C．511 D．1023
38. 等比數(shù)列滿足，，則（ ）
A．30 B．62 C．126 D．254
39．已知等比數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．18 B．54 C．128 D．192
40. 在等比數(shù)列中，，則與的等比中項為 ．
41.若等比數(shù)列的首項為，公比為2，則的前項和 ．
42．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則 ．
【考點6】數(shù)列實際應(yīng)用
43. 如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……
設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（ ）
A．58 B．57 C．210 D．220
44. 夏季高山上氣溫從山腳起每升高100m降低0.6℃，已知山頂?shù)臍鉁厥?5.8℃，山腳的氣溫是26℃．那么，此山相對于山腳的高度是（ ）．
A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m
45. 某同學(xué)利用寒假進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)平臺勤工儉學(xué)，共收入1200元，第一天收入10元，之后由于技術(shù)熟練，從第2天起每天的收入都比前一天多10元，該同學(xué)一共進(jìn)行的天數(shù)是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
46. 我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是（ ）
A．86里 B．172里 C．96里 D．192里
47.一個乒乓球從 高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的 ，在第3次著地時，乒乓球經(jīng)過的總路程為.
48.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面節(jié)的容積共升，下面節(jié)的容積共升，則第節(jié)的容積為升．
49. 小張買了一輛價值10萬元的新車，根據(jù)市場行情，該款車每年按20％的速度折舊．
(1)用一個式子表示年后這輛車的價值；
(2)如果他打算使用6年后賣掉這輛車，他大概能得多少錢？
50. 一種變速自行車后齒輪組由5個齒輪組成，它們的齒數(shù)成等差數(shù)列，其中最小和最大的齒輪的齒數(shù)分別為12和28，求中間三個齒輪的齒數(shù)．

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