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知識點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念和意義
1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，實(shí)部是，虛部是.
(2)虛數(shù)單位：把平方等于－1的數(shù)用符號i表示，規(guī)定i2＝－1，我們把i叫作虛數(shù)單位．
(3)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．
(4)復(fù)數(shù)集：①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．
注意：復(fù)數(shù)概念說明：
(1)復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)復(fù)數(shù)的實(shí)部是a，虛部是實(shí)數(shù)b而非bi.
(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．
2．復(fù)數(shù)的分類
對于復(fù)數(shù)a＋bi，
(1)當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，它是實(shí)數(shù)；
(2)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時，它是實(shí)數(shù)0；
(3)當(dāng)b≠0時，叫做虛數(shù)；
(4)當(dāng)a＝0且b≠0時，叫做純虛數(shù)．
這樣，復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以分類如下：.
注意：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系
3．復(fù)數(shù)相等
在復(fù)數(shù)集C＝中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我們規(guī)定：兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)部與虛部分別相等。
4．復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)平面 建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面
①軸——實(shí)軸 ②軸——虛軸 ③實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)
(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對應(yīng)
復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)
(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)
復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù) 平面向量
(4)復(fù)數(shù)的模
向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或
公式：，其中
復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；
特別的，時，復(fù)數(shù)是一個實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對值).
(5)共軛復(fù)數(shù)
①定義
一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).
②表示方法
復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.
知識點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算
1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)的加法法則
設(shè)，，（）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和：
，顯然，兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個確定的復(fù)數(shù).
(2)復(fù)數(shù)加法滿足的運(yùn)算律
對任意，有
交換律：
結(jié)合律：
(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義
如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即：，即對角線表示的向量就是與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.所以：復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行.
2．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法運(yùn)算及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)的減法法則
類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作
注意：①兩個復(fù)數(shù)的差是一個確定的復(fù)數(shù)；
②兩個復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.
(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義
復(fù)數(shù) 向量
3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的乘法法則
我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下： 設(shè),是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為
，
即
(2)復(fù)數(shù)乘法滿足的運(yùn)算律
復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律
(交換律)
(結(jié)合律)
(分配律)
4．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算
(1)定義
規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，即把滿足（，）的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記作或
(2)復(fù)數(shù)的除法法則
（）
由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).
知識點(diǎn)三：實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法
1．根的判定
當(dāng)a，b，c都是實(shí)數(shù)且a≠0時，關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0稱為實(shí)系數(shù)一元二次方程，
(1)當(dāng)4=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)當(dāng)4=b2- 4ac=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
(3)當(dāng)=b2- 4ac<0時，方程有兩個互為共軛的虛數(shù)根.
2．根與系數(shù)的關(guān)系
如果x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=，
3．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)數(shù)系方程ax2+bx+c=0的求解方法
(1)求根公式法
①時，
②<0時，
(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m＋ni（m，n∈R），將此代入方程 ax ＋bx＋c=0（a≠0），化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念和意義
1．下列說法正確的是（ ）
A．表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)
B．的平方根是
C．是純虛數(shù)
D．若，則復(fù)數(shù)沒有虛部
【答案】B
【解析】A： 表示虛數(shù)單位，也是一個虛數(shù)，故A錯誤；
B： 由，可知的平方根是，故B正確；
C： 當(dāng)是實(shí)數(shù)，故C錯誤；
D： 若，則復(fù)數(shù)虛部為0，故D錯誤；
故選：B.
2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，則z的虛部6，故選：D.
3．若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕蔬x：C.
4． 下列的取值中，使=1(是虛數(shù)單位）的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?故選：C.
5．已知復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部分別為 和 4， 則實(shí)數(shù) 和 的值分別是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部分別為 和 4，因此，解得，
所以實(shí)數(shù) 和 的值分別是，故選：D.
6．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，解得，故選：D.
7．若，是虛數(shù)單位，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕矗裕?br/>故選：D．
8．在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（為虛數(shù)單位），且向量 ，則點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，由題意知，則由可得，則，即，則點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)為，故選：A.
9．已知復(fù)數(shù)滿足，且的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕裕蔬x：B.
10．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則且，所以，所以，故答案為：.
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
11．已知復(fù)數(shù).
（1）若，求和的值；
（2） 求.
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，故由可得；
（2）由于，故.
12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因?yàn)閦＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以實(shí)部小于0，虛部大于0，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選：B.
13．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故選：D．
14．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則．由得，則，所以，，所以．故選：B.
15．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，, 即 ， 實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ，故選：A.
16．設(shè)，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】設(shè)，則，所以，，故，，則，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D.
17．若,則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,則,所以，故選:A.
18．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可知，，因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，所以，解得，，故選：B.
19．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】由，得，所以，故選：A.
20．若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故，故選：A.
考點(diǎn)三 實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法
21．若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則 ．
【答案】3
【解析】∵實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個虛根為，∴其共軛復(fù)數(shù)也是方程的根.
由根與系數(shù)的關(guān)系知，，∴ ，，故答案為：.
22．若實(shí)系數(shù)方程的一個根是，則__________．
【答案】1
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個根是，所以另一個根為，根據(jù)韋達(dá)定理可得，所以，又，所以，所以，故答案為：.
23．已知是關(guān)于x的方程的一個根，其中p，，則p＋q＝ ．
【答案】19
【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的一個根，所以是方程的另一個根，
所以，解得，所以，故答案為：19.
24．已知，為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，其中是虛數(shù)單位，則 ．
【答案】0
【解析】是關(guān)于的方程的一個根，是關(guān)于的方程的另一個根，
則，即，，，故答案為：0.知識點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念和意義
1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，實(shí)部是，虛部是.
(2)虛數(shù)單位：把平方等于－1的數(shù)用符號i表示，規(guī)定i2＝－1，我們把i叫作虛數(shù)單位．
(3)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．
(4)復(fù)數(shù)集：①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．
注意：復(fù)數(shù)概念說明：
(1)復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)復(fù)數(shù)的實(shí)部是a，虛部是實(shí)數(shù)b而非bi.
(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．
2．復(fù)數(shù)的分類
對于復(fù)數(shù)a＋bi，
(1)當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，它是實(shí)數(shù)；
(2)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時，它是實(shí)數(shù)0；
(3)當(dāng)b≠0時，叫做虛數(shù)；
(4)當(dāng)a＝0且b≠0時，叫做純虛數(shù)．
這樣，復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以分類如下：.
注意：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系
3．復(fù)數(shù)相等
在復(fù)數(shù)集C＝中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我們規(guī)定：兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)部與虛部分別相等。
4．復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)平面 建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面
①軸——實(shí)軸 ②軸——虛軸 ③實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)
(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對應(yīng)
復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)
(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)
復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù) 平面向量
(4)復(fù)數(shù)的模
向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或
公式：，其中
復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；
特別的，時，復(fù)數(shù)是一個實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對值).
(5)共軛復(fù)數(shù)
①定義
一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).
②表示方法
復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.
知識點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算
1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)的加法法則
設(shè)，，（）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和：
，顯然，兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個確定的復(fù)數(shù).
(2)復(fù)數(shù)加法滿足的運(yùn)算律
對任意，有
交換律：
結(jié)合律：
(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義
如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即：，即對角線表示的向量就是與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.所以：復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行.
2．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法運(yùn)算及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)的減法法則
類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作
注意：①兩個復(fù)數(shù)的差是一個確定的復(fù)數(shù)；
②兩個復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.
(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義
復(fù)數(shù) 向量
3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的乘法法則
我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下： 設(shè),是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為
，
即
(2)復(fù)數(shù)乘法滿足的運(yùn)算律
復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律
(交換律)
(結(jié)合律)
(分配律)
4．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算
(1)定義
規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，即把滿足（，）的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記作或
(2)復(fù)數(shù)的除法法則
（）
由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).
知識點(diǎn)三：實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法
1．根的判定
當(dāng)a，b，c都是實(shí)數(shù)且a≠0時，關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0稱為實(shí)系數(shù)一元二次方程，
(1)當(dāng)4=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)當(dāng)4=b2- 4ac=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
(3)當(dāng)=b2- 4ac<0時，方程有兩個互為共軛的虛數(shù)根.
2．根與系數(shù)的關(guān)系
如果x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=，
3．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)數(shù)系方程ax2+bx+c=0的求解方法
(1)求根公式法
①時，
②<0時，
(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m＋ni（m，n∈R），將此代入方程 ax ＋bx＋c=0（a≠0），化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念和意義
1．下列說法正確的是（ ）
A．表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)
B．的平方根是
C．是純虛數(shù)
D．若，則復(fù)數(shù)沒有虛部
2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
3．若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4． 下列的取值中，使=1(是虛數(shù)單位）的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部分別為 和 4， 則實(shí)數(shù) 和 的值分別是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．若，是虛數(shù)單位，，則等于（ ）
A． B． C． D．
8．在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（為虛數(shù)單位），且向量 ，則點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
9．已知復(fù)數(shù)滿足，且的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A． B．2 C．4 D．3
10．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則______．
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
11．已知復(fù)數(shù).
（1）若，求和的值；
（2） 求.
12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．（ ）
A． B． C． D．
14．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
15．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
16．設(shè)，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．若,則（ ）
A． B． C． D．
18．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
20．若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)三 實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法
21．若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則 ．
22．若實(shí)系數(shù)方程的一個根是，則__________．
23．已知是關(guān)于x的方程的一個根，其中p，，則p＋q＝ ．
24．已知，為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，其中是虛數(shù)單位，則 ．

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