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七年級數學下冊 5.1.2 垂線 導學案
1.垂線的概念：兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是直角時，就稱這兩條直線互相垂直；例如直線AB垂直于直線CD，可寫成：；其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點稱為垂足。
2.垂線的性質：平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
3.垂線段：過直線外一點作這條直線的垂線，這個點與垂足之間的線段叫作垂線段。
4.垂線段的性質：在連接直線外一點與直線上各點的線段中垂線段最短，簡稱：垂線段最短。
5.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離。
6.垂線的畫法：用量角器畫垂線：
①經過直線上一點畫已知直線的垂線：先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器底邊的中心點與直線上已知點重合，再在量角器90°所對的位置處標出一點，拿走量角器，連接即可。
②經過直線外一點畫已知直線的垂線：先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器90°的垂線經過直線外的該點，再在量角器90°所對的位置出標出一點，連接這兩點即可。
選擇題
1.如圖．，，垂足分別為、．下列說法中錯誤的是（ ）
A．線段的長是點到的距離
B．、、三條線段，最短
C．線段的長是點到的距離
D．線段的長是點到直線的距離
【答案】C
【分析】本題考查點到直線的距離、垂線段的性質，根據定義“點到這一直線的垂線段的長度叫作點到這條直線的距離”以及垂線段最短，逐項判斷即可．
【詳解】解：由可知，線段的長是點到的距離，故A選項說法正確；
由垂線段最短可知，、、三條線段，最短，故B選項說法正確；
由可知，線段的長是點到的距離，故C選項說法錯誤；
由可知，線段的長是點到直線的距離，故D選項說法正確；
故選C．
2.如圖，直線a，b相交于點O，射線，垂足為點O，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了垂直的定義，鄰補角的定義，求出的度數是解題的關鍵．根據垂直的定義可求的度數，然后根據鄰補角的定義求解即可．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
∴．
故選：C．
3.如圖，O是直線上一點．，射線平分，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，垂直的定義，鄰補角的計算，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．先求出，再由平分，，再根據垂直的定義求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
4.如圖，直線交于點O，，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查角的計算，掌握對頂角相等以及圖形中角的和差關系是正確解答的前提．根據垂直的定義，對頂角相等以及角的和差關系進行計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，
∴
故選：B．
5.）如圖，點O在直線上，，、分別平分和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計算，根據垂線的定義可得，由結合鄰補角的性質求得，再根據角平分線的性質即可求得．
【詳解】解：，
，
，
，
平分，
，
故選：C．
6.下列圖形中，線段PQ的長度表示點P到直線a的距離的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】略
7.P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，，則點P到直線m的距離（　　）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
【答案】D
【分析】本題主要考查了點到直線的距離，熟知垂線段最短是解題的關鍵，根據垂線段最短和點到直線的距離的定義得出即可．
【詳解】解：根據垂線段最短得出點P到直線m的距離是不大于，
故選D．
8.如圖，測量運動員跳遠成績選取的是的長度，其依據是（ ）
A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短
C．兩點之間線段最短 D．垂直的定義
【答案】B
【分析】本題主要考查垂線段的性質，根據垂線段的性質即可求解．
【詳解】解：測量運動員跳遠成績選取的是的長度，其依據是：垂線段最短．
故選：B．
填空題
1.下列三個日常現象：
其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是 （填序號）．
【答案】②
【分析】本題考查了垂線段最短以及直線、線段的相關知識，熟練掌握垂線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：圖利用垂線段最短；
圖利用兩點之間線段最短；
圖利用兩點確定一條直線．
故答案為：．
2.如圖，P是直線l外一點，A、B、C三點在直線l上，且于點B，，則點A到直線PC的距離是線段 的長．

【答案】/
【分析】本題考查了點到直線的距離，根據“從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離”即可得到答案．
【詳解】解：，
，
點A到直線PC的距離是線段的長，
故答案為：．
3.已知點在直線上，，，那么 ．
【答案】/
【分析】此題考查了角度的計算和垂直的定義，根據題意分情況討論即可求解，解題的關鍵是正確找到各個角之間的關系，熟練掌握垂直的定義及計算．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∴，
如圖，
∵，
∴，
∴，
綜上可知：的度數為或，
故答案為：或．
4.如圖，中，，D為邊上的任意一點，連接，E為線段上的一個動點，過點E作，垂足為F點．如果，，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確運用三角形等面積法是解題的關鍵．過C作于F，交于E．則的最小值為，利用三角形等面積法求出，即為的最小值．
【詳解】解：過C作于F，交于E，
則的最小值為．
∵，，，
∴，
∴CF=，
即的最小值為：，
故答案為：．
5.下列三個日常現象：
其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是 （填序號）．
【答案】②
【分析】本題考查了垂線段最短以及直線、線段的相關知識，熟練掌握垂線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：圖利用垂線段最短；
圖利用兩點之間線段最短；
圖利用兩點確定一條直線．
故答案為：．
解答題
1.如圖，所有小正方形的邊長都為1，點、、均在格點上．
(1)過點畫線段的平行線；
(2)過點畫線段的垂線，垂足為；
(3)線段的長度是點到直線 的距離；
(4)比較線段、的大小關系（用“<”連接）．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
(4)
【分析】本題考查利用格點作平行線、垂線，垂線段的性質，點到直線距離的定義：
（1）根據網格的特點直接作平行線即可；
（2）根據網格的特點直接作垂線即可；
（3）根據點到直線距離的定義求解；
（4）根據垂線段最短即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：線段的長度是點到直線的距離，
故答案為：；
（4）解：由垂線段最短可知：．
2.已知一條筆直的公路兩側有、、三個村莊．
(1)畫出村莊、之間距離最短的路線；
(2)加油站D在村莊B、C所在直線與公路L的交點處，畫出加油站的位置D；
(3)畫出村莊到公路的最短路線，畫圖依據是：______，測量答題卡上______（精確到），如果示意圖與實際距離的比例尺為，通過你的測量和計算，在實際中村莊到公路的距離是：______．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析；垂線段最短；，
【分析】（1）根據兩點之間線段最短，連接即可，
（2）兩條直線的交點就是加油站的位置，
（3）依據點到直線的所有線段中，垂線段最短，和比例尺的意義可得．
【詳解】（1）如圖所示．根據兩點之間線段最短，連接，
（2）如圖所示．線與公路的交點，即為加油站，
（3）如圖所示．
作圖依據：垂線段最短．
過點作交點為
測量，．
示意圖與實際距離的比例尺是
：實際距離：
實際距離
在實際中村莊到公路的最短線路為．
【點睛】本題考查了兩條直線的交點，垂線段最短，以及過直線外一點作已知直線的垂線，以及比例尺，解題的關鍵是掌握兩點之間線段最短，以及垂線段最短．
3.如圖，直線，相交于點，，垂足為，若，求的度數．
【答案】
【分析】本題考查幾何圖形中求角度，根據垂直的定義得到，利用，求出的度數，對頂角相等，得到，平角的定義求出．
【詳解】解：，
．
，
，
，
．
4．幾何說理填空：
如圖，直線、相交于點，于點，平分，平分，．
(1) 　　；
(2)求的度數．（過程如下，補全過程）
解：于點，
　　，
，
　　，
，
　　，
平分，
　　　　 ．
【答案】(1)
(2)90，145，145，，72.5
【分析】本題考查了垂線的定義、角平分線的定義、角度的計算，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）由垂線的定義可得，從而得出，再根據角平分線的定義進行計算即可；
（2）由垂線的定義可得，從而得出，最后根據角平分線的定義計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
故答案為：；
（2）解：解：于點，
，
，
，
，
，
平分，
故答案為：90，145，145，，72.5．
5．如圖所示，直線交于點平分平分．
(1)若，求與的度數，并求出的度數；
(2)當的度數變化時，的度數是否會變化？請說明理由．
【答案】(1)，，
(2)見解析
【詳解】解：（1）由題意，得．
由對頂角相等，得．
因為平分，所以．
同理可得，
所以．
（2）的度數不會變化．理由如下：
因為平分，
所以．
同理可得．
因為，
所以．
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七年級數學下冊 5.1.2 垂線 導學案
1.垂線的概念：兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是直角時，就稱這兩條直線互相垂直；例如直線AB垂直于直線CD，可寫成：；其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點稱為垂足。
2.垂線的性質：平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
3.垂線段：過直線外一點作這條直線的垂線，這個點與垂足之間的線段叫作垂線段。
4.垂線段的性質：在連接直線外一點與直線上各點的線段中垂線段最短，簡稱：垂線段最短。
5.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離。
6.垂線的畫法：用量角器畫垂線：
①經過直線上一點畫已知直線的垂線：先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器底邊的中心點與直線上已知點重合，再在量角器90°所對的位置處標出一點，拿走量角器，連接即可。
②經過直線外一點畫已知直線的垂線：先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器90°的垂線經過直線外的該點，再在量角器90°所對的位置出標出一點，連接這兩點即可。
選擇題
1.如圖．，，垂足分別為、．下列說法中錯誤的是（ ）
A．線段的長是點到的距離
B．、、三條線段，最短
C．線段的長是點到的距離
D．線段的長是點到直線的距離
2.如圖，直線a，b相交于點O，射線，垂足為點O，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
3.如圖，O是直線上一點．，射線平分，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4.如圖，直線交于點O，，若，則（ ）

A． B． C． D．
5.）如圖，點O在直線上，，、分別平分和，若，則（ ）
A． B． C． D．
6.下列圖形中，線段PQ的長度表示點P到直線a的距離的是（ ）．
A． B．
C． D．
7.P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，，則點P到直線m的距離（　　）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
8.如圖，測量運動員跳遠成績選取的是的長度，其依據是（ ）
A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短
C．兩點之間線段最短 D．垂直的定義
填空題
1.下列三個日常現象：
其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是 （填序號）．
2.如圖，P是直線l外一點，A、B、C三點在直線l上，且于點B，，則點A到直線PC的距離是線段 的長．

3.已知點在直線上，，，那么 ．
4.如圖，中，，D為邊上的任意一點，連接，E為線段上的一個動點，過點E作，垂足為F點．如果，，，則的最小值為 ．
5.下列三個日常現象：
其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是 （填序號）．
解答題
1.如圖，所有小正方形的邊長都為1，點、、均在格點上．
(1)過點畫線段的平行線；
(2)過點畫線段的垂線，垂足為；
(3)線段的長度是點到直線 的距離；
(4)比較線段、的大小關系（用“<”連接）．
2.已知一條筆直的公路兩側有、、三個村莊．
(1)畫出村莊、之間距離最短的路線；
(2)加油站D在村莊B、C所在直線與公路L的交點處，畫出加油站的位置D；
(3)畫出村莊到公路的最短路線，畫圖依據是：______，測量答題卡上______（精確到），如果示意圖與實際距離的比例尺為，通過你的測量和計算，在實際中村莊到公路的距離是：______．
3.如圖，直線，相交于點，，垂足為，若，求的度數．
4．幾何說理填空：
如圖，直線、相交于點，于點，平分，平分，．
(1) 　　；
(2)求的度數．（過程如下，補全過程）
5．如圖所示，直線交于點平分平分．
(1)若，求與的度數，并求出的度數；
(2)當的度數變化時，的度數是否會變化？請說明理由．
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