資源簡介

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七年級數學下冊 5.3.2 命題、定理、證明 導學案
一、命題
1.命題的定義：判斷一件事情的語句叫作命題。
2.命題的組成：命題由題設和結論兩部分組成。
3.命題的表達形式：命題通常寫成：“如果……那么……”的形式?！叭绻焙竺娼拥氖穷}設部分，“那么”后面接的部分是結論。
4.真命題：如果題設成立，那么結論一定成立的命題叫作真命題。
5.假命題：命題中題設成立時，不能保證結論一定成立的命題叫作假命題。
二、公理、定理與證明
1.公理：從實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真偽的原始依據的真命題。
2.定理：經過推理證實的真命題叫作定理，它可以作為繼續推理的依據。
3.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作證明。
4.舉反例：判斷一個命題是假命題，一般舉反例說明，它符合命題的題設，但不滿足結論。
選擇題
1.下列命題中，真命題是（　　）
A．若兩個角相等，則這兩個角是對頂角 B．同位角一定相等
C．若，則 D．平行于同一條直線的兩直線平行
【答案】D
【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．根據對頂角、同位角、等式的性質和平行線的判定判斷即可．
【詳解】解：A、若兩個角相等，則這兩個角不一定是對頂角，是假命題；
B、兩直線平行，同位角一定相等，是假命題；
C、若，則或，是假命題；
D、平行于同一條直線的兩直線平行，是真命題；
故選：D．
2．下列語句中，不是命題的是（ ）
A．x一定小于嗎 B．兩點之間線段最短
C．等腰三角形是軸對稱圖形 D．對頂角相等
【答案】A
【分析】本題考查的是命題的概念，判斷一件事情的語句，叫做命題，根據命題的概念判斷即可．
【詳解】解：A、一定小于嗎？，不是命題，符合題意；
B、兩點之間線段最短，是命題，不符合題意；
C、等腰三角形是軸對稱圖形，是命題，不符合題意；
D、對頂角相等，是命題，不符合題意；
故選：A．
3．要證明命題“若為銳角，則”是假命題，下列的度數能作為反例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的命題的真假判斷，舉反例的方法理解，掌握舉反例要明確：舉例要滿足條件，而不滿足結論，從而可得答案．
【詳解】解：證明命題“若為銳角，則”是假命題，
的度數能作為反例的是，
故選A
4．下列命題中，真命題是（ ）
A．相等的角是對頂角 B．同旁內角互補
C．平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過一點有且只有一條直線與已知直線平行
【答案】C
【分析】本題考查了命題與定理的知識，頂角的定義、平行線的性質及垂直、平行的定義，利用對頂角的定義、平行線的性質及垂直、平行的定義分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A、相等的角不一定是對頂角，原命題是假命題，不符合題意；
B、兩直線平行，同旁內角互補，原命題是假命題，不符合題意；
C、平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是真命題，符合題意；
D、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題，不符合題意，
故選：C．
5．下列命題；
①內錯角相等；
②兩個銳角的和是鈍角；
③，，是同一平面內的三條直線，若，，則；
④，，是同一平面內的三條直線，若，，則；
其中真命題的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了命題與定理的知識．利用平行線的性質及判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：①兩直線平行，內錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
②兩個銳角的和不一定是鈍角，錯誤，是假命題，不符合題意；
③，，是同一平面內的三條直線，若，，則；正確，是真命題，符合題意；
④，，是同一平面內的三條直線，若，，則，正確，是真命題，符合題意；
真命題有2個，
故選：B．
6．下列命題中，是假命題的是（ ）
A．同位角相等，兩直線平行 B．對頂角相等
C．兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等 D．兩點之間，線段最短
【答案】C
【分析】本題主要考查真假命題、平行線的性質與判定、對頂角及線段的意義，熟練掌握各個定理是解題的關鍵；因此此題可根據平行線的性質與判定、對頂角及線段可進行求解．
【詳解】解：A、“同位角相等，兩直線平行”是真命題，故不符合題意；
B、“對頂角相等”是真命題，故不符合題意；
C、“兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等”是假命題，缺少平行條件，故符合題意；
D、“兩點之間，線段最短”是真命題，故不符合題意；
故選C．
7．下列命題中，是真命題的是（ ）
A．同角的余角互補 B．同位角相等
C．兩直線平行，內錯角相等 D．三角形的一個外角大于任何一個內角
【答案】C
【分析】本題主要考查真假命題，余角，同位角，平行線的性質，三角形外角等知識，根據其概念和性質進行判斷即可，熟練掌握相應的知識是解題的關鍵．
【詳解】A. 同角的余角相等，不符合題意；
B. 同位角不一定相等，不符合題意；
C. 兩直線平行，內錯角相等，符合題意；
D. 三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的內角，不符合題意；
故選：C．
8．下列語句中，是命題的個數為（ ）
①若兩個角相等，則它們是對頂角；②等腰三角形兩底角相等；③畫線段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題主要考查命題，熟練掌握命題的概念是解題的關鍵；因此此題可根據“一般的，在數學中把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題”進行排除選項．
【詳解】解：①②④⑤符合命題的定義，而③不能寫出題設與結論出來，故不是命題，所以是命題的個數有4個；
故選C．
9．對于命題“如果，那么．”能說明它是假命題的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本題考查了反證法；
根據反例滿足條件，不滿足結論可對各選項進行判斷．
【詳解】解：A.，滿足條件，不滿足結論，可作為說明原命題是假命題的反例，符合題意；
B.，，滿足條件和結論，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；
C.，，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；
D.，，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；
故選：A．
填空題
1.命題“在一個三角形中，等邊對等角”的題設是“在一個三角形中，如果有兩邊相等”，結論是“這兩邊所對的角也相等”，逆命題是“在一個三角形中，等角對等邊”，是 命題（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】本題考查命題與定理，能根據等腰三角形的判定判斷命題的真假是解題的關鍵．
【詳解】解：“在同一個三角形中，等邊對等角”的逆命題是：“在同一個三角形中”，等角對等邊，是真命題；
故答案為：真．
2．命題“對頂角相等”寫成”如果，那么”的形式
【答案】如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等
【分析】本題考查了命題的定義以及命題的書寫形式：如果后面寫條件，那么后面寫結論，據此即可作答．
【詳解】解：命題“對頂角相等”寫成”如果，那么”的形式：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等，
故答案為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等
3．判斷命題“如果，那么”是假命題，只需舉一個反例，反例中的可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】略
4．一個命題可以寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面部分叫 ，“那么”后面部分叫 ．
【答案】 題設 結論
【分析】本題考查了命題的定義，根據命題的定義，命題有題設和結論兩部分組成．命題有題設和結論兩部分組成，通常寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設，“那么”后面接結論．
【詳解】解：一個命題可以寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面部分叫題設，“那么”后面部分叫結論；
故答案為：題設，結論．
5．如圖，三角形中，，是邊上的兩點，是邊上一點，連接并延長．交的延長線于點．現有以下條件：①平分；②；③．從三個條件中選兩個作為條件，另一個作為結論，構成一個真命題，并加以證明．
條件： ；
結論： ．（填序號）
【答案】 ①② ③
【詳解】條件：①②
結論：③
證明：平分，
．
，
，．
．（答案不唯一）
6．對于下列假命題，各舉一個反例寫在橫線上．
（1）“如果，那么”是一個假命題；
反例： ；
（2）“如果，那么”是一個假命題．
反例： ．
【答案】
【解析】略
解答題
1.把命題“鄰補角的角平分線互相垂直”改寫成“如果……那么……”的形式，指出它的題設和結論，請畫出圖形，并說明它是真命題還是假命題．
【答案】見解析
【詳解】如果兩條射線分別是鄰補角的平分線，那么它們互相垂直．
題設：兩條射線分別是鄰補角的角平分線；
結論：它們互相垂直．是真命題；
如圖，，是鄰補角，，分別平分，．
2.桌子上有7張反面向上的紙牌，每次翻轉n張（n為正整數）紙牌，多次操作后能使所有紙牌正面向上嗎？用“”、“”分別表示一張紙牌“正面向上”、“反面向上”，將所有牌的對應值相加得到總和，我們的目標是將總和從變化為．
(1)當時，每翻轉1張紙牌，總和的變化量是2或，則最少______次操作后所有紙牌全部正面向上；
(2)當時，每翻轉2張紙牌，總和的變化量是______，多次操作后能使所有紙牌全部正面向上嗎？若能，最少需要幾次操作？若不能，簡要說明理由．
【答案】(1)7
(2)14
【分析】（1）根據翻轉的操作方法即可得出答案；
（2）根據三種情況進行分析，進而得出答案．
【詳解】（1）解：總變化量：，
次數（至少）：，
故答案為：7；
（2）解：①兩張由反到正，變化：；
②兩張由正到反，變化：；
③一正一反變一反一正，變化，
要使所有紙牌正面向上，則總變化量仍為14，
∵14無法由4，，0相加得到，
∴不能全正，故不能所有紙牌全正；
故答案為：14．
【點睛】此題主要考查了推理與論證，此題解題的關鍵是要明確：只有將一張牌翻動奇數次，才能使它的正面向上，根據“奇數奇數偶數，偶數奇數奇數”進行解答即可．
3．足球比賽的記分規則為勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分，某足球隊在本賽季共需比賽14場，現已比賽了8場，其中輸了一場，得17分．
(1)前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？（用列方程的方法解）
(2)通過對比賽情況的分析，這支球隊踢滿14場比賽，得分不低于29分，就可以達到預期目標．請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標．
【答案】(1)這支球隊共勝了5場
(2)至少勝3場
【分析】（1）設這支球隊勝了場，則平了場，根據總分為17分，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）由題意可得在以后的6場比賽中，只要得分不低于12分即可，勝場不少于4場，一定可達到預期目標，而勝3場，平3場，正好也達到預期目標，即可得到答案．
【詳解】（1）解：設這支球隊勝了場，則平了場，
由題意得：
，
解得，
答：這支球隊共勝了5場；
（2）解：由題意可知，在以后的6場比賽中，只要得分不低于12分即可，
勝場不少于4場，一定可達到預期目標，而勝3場，平3場，正好也達到預期目標，
因此在以后的比賽中至少要勝3場，
答：至少勝3場．
【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，邏輯推理，理解題意，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
4.如圖，現有以下3個論斷：①；②；③．請以其中2個論斷為條件，另一個論斷為結論構造命題．

(1)請寫出所有的真命題；
(2)請選擇其中一個命題加以證明．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】（1）分別以其中2個論斷為條件，第3個論斷為結論可寫出3個命題；
（2）根據平行線的判定與性質對命題進行證明即可．
【詳解】（1）解：命題1：由①②得到③；
命題2：由①③得到②；
命題3：由②③得到①；
（2）命題1證明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命題2證明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命題3證明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查命題與定理知識，平行線的判定與性質，熟練運用平行線的判定與性質是解答此題的關鍵．
5．請判斷命題“若三條線段、、滿足，則這三條線段、、能夠組成三角形”的真假性．若是真命題，請說明理由；若是假命題，請舉反例說明．
【答案】見解析
【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，然后舉出滿足條件但不滿足結論的例子即可．
【詳解】解：若三條線段a，b，c滿足，則這三條線段a，b，c能夠組成三角形，是假命題，例如：三條線段，，滿足，但這三條線段不能夠組成三角形．
【點睛】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
6．如圖，，的兩邊分別平行，即，．

(1)在圖1中，與的數量關系為_____
(2)在圖2中，與的數量關系為_____，試說明理由．
(3)結合以上兩個結論，用一個真命題表示：如果兩個角的兩邊分別平行，那么_____
【答案】(1)
(2)，理由見解析
(3)這兩個角相等或互補．
【分析】（1）如圖，先證明，，可得；
（2）如圖，先證明，，可得；
（3）用語言概況歸納（1）（2）的結論即可．
【詳解】（1）解：如圖，∵，．
∴，，

∴；
（2）如圖，∵，．
∴，，

∴；
（3）總結為：如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．
【點睛】本題考查的是平行線的性質，熟記兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵．
7．命題“內錯角相等，兩直線平行．”
(1)寫出該命題的條件和結論，并將其改寫成“如果……那么……”的形式；
(2)證明該命題（要求先畫出圖形，再寫出已知和求證，最后寫出證明）．
【答案】(1)條件是：內錯角相等，結論是：兩直線平行；
(2)見解析．
【分析】（1）一個命題一般包括條件和結論兩部分，根據“如果”后面接的是條件，“那么”后而接的結論，即可得解．
（2）根據平行線的性質即可得解．
【詳解】（1）該命題的條件是：內錯角相等，結論是：兩直線平行；
寫成“如果……那么……”的形式為：
如果內錯角相等，那么兩直線平行；
（2）己知：如圖，直線c與直線a，b相交，且．

求證：．
證明：，（已知）
又（對頂角相等）
，（等量代換）
．（同位角相等，兩直線平行）
【點睛】本題考查了命題的基本概念與組成，平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
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七年級數學下冊 5.3.2 命題、定理、證明 導學案
一、命題
1.命題的定義：判斷一件事情的語句叫作命題。
2.命題的組成：命題由題設和結論兩部分組成。
3.命題的表達形式：命題通常寫成：“如果……那么……”的形式?！叭绻焙竺娼拥氖穷}設部分，“那么”后面接的部分是結論。
4.真命題：如果題設成立，那么結論一定成立的命題叫作真命題。
5.假命題：命題中題設成立時，不能保證結論一定成立的命題叫作假命題。
二、公理、定理與證明
1.公理：從實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真偽的原始依據的真命題。
2.定理：經過推理證實的真命題叫作定理，它可以作為繼續推理的依據。
3.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作證明。
4.舉反例：判斷一個命題是假命題，一般舉反例說明，它符合命題的題設，但不滿足結論。
選擇題
1.下列命題中，真命題是（　　）
A．若兩個角相等，則這兩個角是對頂角 B．同位角一定相等
C．若，則 D．平行于同一條直線的兩直線平行
2．下列語句中，不是命題的是（ ）
A．x一定小于嗎 B．兩點之間線段最短
C．等腰三角形是軸對稱圖形 D．對頂角相等
3．要證明命題“若為銳角，則”是假命題，下列的度數能作為反例的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命題中，真命題是（ ）
A．相等的角是對頂角 B．同旁內角互補
C．平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過一點有且只有一條直線與已知直線平行
5．下列命題；
①內錯角相等；
②兩個銳角的和是鈍角；
③，，是同一平面內的三條直線，若，，則；
④，，是同一平面內的三條直線，若，，則；
其中真命題的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．下列命題中，是假命題的是（ ）
A．同位角相等，兩直線平行 B．對頂角相等
C．兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等 D．兩點之間，線段最短
7．下列命題中，是真命題的是（ ）
A．同角的余角互補 B．同位角相等
C．兩直線平行，內錯角相等 D．三角形的一個外角大于任何一個內角
8．下列語句中，是命題的個數為（ ）
①若兩個角相等，則它們是對頂角；②等腰三角形兩底角相等；③畫線段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
9．對于命題“如果，那么．”能說明它是假命題的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
填空題
1.命題“在一個三角形中，等邊對等角”的題設是“在一個三角形中，如果有兩邊相等”，結論是“這兩邊所對的角也相等”，逆命題是“在一個三角形中，等角對等邊”，是 命題（填“真”或“假”）
2．命題“對頂角相等”寫成”如果，那么”的形式
3．判斷命題“如果，那么”是假命題，只需舉一個反例，反例中的可以是 ．
4．一個命題可以寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面部分叫 ，“那么”后面部分叫 ．
5．如圖，三角形中，，是邊上的兩點，是邊上一點，連接并延長．交的延長線于點．現有以下條件：①平分；②；③．從三個條件中選兩個作為條件，另一個作為結論，構成一個真命題，并加以證明．
條件： ；
結論： ．（填序號）
6．對于下列假命題，各舉一個反例寫在橫線上．
（1）“如果，那么”是一個假命題；
反例： ；
（2）“如果，那么”是一個假命題．
反例： ．
解答題
1.把命題“鄰補角的角平分線互相垂直”改寫成“如果……那么……”的形式，指出它的題設和結論，請畫出圖形，并說明它是真命題還是假命題．
2.桌子上有7張反面向上的紙牌，每次翻轉n張（n為正整數）紙牌，多次操作后能使所有紙牌正面向上嗎？用“”、“”分別表示一張紙牌“正面向上”、“反面向上”，將所有牌的對應值相加得到總和，我們的目標是將總和從變化為．
(1)當時，每翻轉1張紙牌，總和的變化量是2或，則最少______次操作后所有紙牌全部正面向上；
(2)當時，每翻轉2張紙牌，總和的變化量是______，多次操作后能使所有紙牌全部正面向上嗎？若能，最少需要幾次操作？若不能，簡要說明理由．
3．足球比賽的記分規則為勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分，某足球隊在本賽季共需比賽14場，現已比賽了8場，其中輸了一場，得17分．
(1)前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？（用列方程的方法解）
(2)通過對比賽情況的分析，這支球隊踢滿14場比賽，得分不低于29分，就可以達到預期目標．請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標．
4.如圖，現有以下3個論斷：①；②；③．請以其中2個論斷為條件，另一個論斷為結論構造命題．

(1)請寫出所有的真命題；
(2)請選擇其中一個命題加以證明．
5．請判斷命題“若三條線段、、滿足，則這三條線段、、能夠組成三角形”的真假性．若是真命題，請說明理由；若是假命題，請舉反例說明．
6．如圖，，的兩邊分別平行，即，．

(1)在圖1中，與的數量關系為_____
(2)在圖2中，與的數量關系為_____，試說明理由．
(3)結合以上兩個結論，用一個真命題表示：如果兩個角的兩邊分別平行，那么_____
7．命題“內錯角相等，兩直線平行．”
(1)寫出該命題的條件和結論，并將其改寫成“如果……那么……”的形式；
(2)證明該命題（要求先畫出圖形，再寫出已知和求證，最后寫出證明）．
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