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第06講 數列中的恒成立和存在性問題
考法呈現
考法一：數列中的恒成立問題
滿分秘籍
數列的“存在性和恒成立問題”的本質是不等式的問題，是高考中的熱點問題。在出題上，經常巧妙的植入數列的求和中。因此數列的恒成立問題可以采用不等式的方法來求解，比如可以進行“參變分離”后等價轉化為函數的最值問題進行求解。
例題分析
【例1-1】恒成立與分組求和
已知數列的前項和為，點在曲線上.
(1)證明：數列為等差數列；
(2)若，數列的前項和滿足對一切正整數恒成立，求實數的值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】(1)利用的關系結合等差數列定義即可證明；
(2)分奇偶項討論，先得出，分離參數，求的最值即可.
【詳解】（1）將點代入曲線得：，
故，
又，符合上式，所以，
則，故為1為首項，為公差的等差數列；
（2）由（1）可知：，
若，
則 ，
此時，
易知單調遞增，，即；
若，則 ，
此時，
易知單調遞減，故，故
又時，，，即；
綜上所述，對于，滿足不等式恒成立.
【例1-2】恒成立與裂項相消求和
已知各項均為正數的數列滿足，其中是數列的前n項和.
(1)求數列的通項公式；
(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由與的關系式即可證得數列是以1為首項，2為公差的等差數列，即可求出數列的通項公式；
（2）由等差數列的前n項和公式求出，再由裂項相消法可證明，即可求出實數的取值范圍.
【詳解】（1）∵，∴
當時，，解得.
當時，，
即，
∵，∴，
∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴.
（2）因為，所以
∴當時， ，
∴
，
∴，
∴實數的取值范圍為.
【例1-3】恒成立與錯位相減求和
已知數列的前項和為，，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，的前項和為，若對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的定義以及的關系求解；
（2）利用錯位相減法可求得，在根據題意得即可求解.
【詳解】（1）由，得，又，
所以數列是以為首項，公差為1的等差數列，
∴，即，
∴當時，
，
又不滿足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
① ②得：，
整理得，
又因為對任意的正整數，恒成立，所以，
∵，
∴在上單調遞增，，
由，可得，
所以實數的取值范圍是.
【例1-4】恒成立與數列的函數特性
在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求出k的值；若k不存在，說明理由．
已知數列{an}為等比數列，，，數列{bn}的首項，其前n項和為Sn， ，是否存在，使得對任意，恒成立？
【答案】①不存在；②存在，1；③存在，3
【分析】由數列為等比數列得，選擇①：通過得，進而求出的通項公式，求出，利用單調性即可求解；選擇②：由可知為等比數列，求出的通項公式，求出，利用單調性即可求解；③由可知是等差數列，求出的通項公式，求出，利用作差法求最大項即可求解.
【詳解】設等比數列的公比為，
因為，且，
所以，故 .
選擇①：由，得，
兩式相減整理，得，又，
所以是首項為1、公比為2的等比數列，
所以，即，
由指數函數的性質知，數列單調遞增，沒有最大值，
所以不存在，使得對任意，恒成立.
選擇②：因為，，
所以數列是首項為1、公比為的等比數列，
所以 ， 即，
因為，
當且僅當時取得最大值，
所以存在，使得對任意，恒成立.
選擇③：由得是以為公差的等差數列，
又，所以，
設，
則，
所以當時，，當時，，
則，
所以存在，使得對任意，恒成立.
變式訓練
【變式1-1】在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．
設數列的前項和為，滿足________，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若存在正整數，使得對恒成立，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選擇條件①：利用可得答案；若選擇條件②：由利用等差數列的定義可得答案；
（2）求出，分、兩種情況，利用單調性可得答案.
【詳解】（1）若選擇條件①：
，則，
即，
令，則，解得，
是以3為首項，3為公比的等比數列，.
若選擇條件②：
，
是以為首項1為公差的等差數列，
，
；
（2），
，
∴當，即；
當，即；
∴當時，對恒成立．
【變式1-2】在數列中，，其中．
(1)證明數列是等差數列，并寫出證明過程；
(2)設，數列的前項和為，求；
(3)對，使得恒成立，求實數的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據等差數列的定義進行證明；
（2）由（1）可求出，從而可求得，然后利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）因為，
所以 ，
，
所以數列是以1為公差，1為首項的等差數列；
（2）由（1）可得，
所以，
所以①，
②，
所以①-②得 ，
所以
（3），因為對，使得恒成立，
則對，使得恒成立，
則對恒成立，
即對恒成立，
根據對勾函數單調性結合可知當時，有最大值，
故，則.
【變式1-3】已知數列的前項和為，，，.
(1)求，及的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最小值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根據遞推公式和的值，即可求出，及的通項公式；
（2）求出數列的通項公式，得出數列的前項和，由不等式的恒成立，還可求出的最小值.
【詳解】（1）由題意，
在數列中，，，
當時，，
當時上式也符合，
∴，，.
∴當時，；當時，上式也符合.
∴的通項公式為.
（2）由題意及（1）得，,
在數列中，，
數列中，,
∴.
∵，
∴.
∵.
∴的最大值為，.
∴的最小值為.
【變式1-4】已知數列的各項均為正數，其前項和滿足，數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，再根據，作差得到數列是以為首項，為等差的等差數列，即可求出通項公式；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得到，即可得解.
【詳解】（1）由，得，
當時，，解得，
當時，，
化簡得，
∴數列是以為首項，為等差的等差數列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴數列的前項和.
∵，
∴單調遞增，∴，
∵，
∴，
若使得對一切恒成立，則，解得，
∴實數的取值范圍是.
【變式1-5】圖中的數陣滿足：每一行從左到右成等差數列，每一列從上到下成等比數列，且公比均為實數．
(1)設，求數列的通項公式；
(2)設，是否存在實數，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）利用給定的數陣及相關信息，求出等差數列公差、等比數列的公比即可求解作答.
（2）利用等比數列前n項和公式求出，再分奇偶討論求解不等式恒成立的值作答.
【詳解】（1）設，第一行從左到右成等差數列的公差為，
則，
由，得，即有，
于是，又，解得，
因此，
所以，即．
（2）由（1）知，，
當為奇數時，不等式等價于恒成立，而恒成立，則；
當為偶數時，不等式等價于恒成立，而恒成立，則，因此，
所以存在，使得恒成立．
考法二：數列中的存在性問題
例題分析
【例2】已知：正整數列各項均不相同，，數列的通項公式
(1)若，寫出一個滿足題意的正整數列的前5項：
(2)若，求數列的通項公式；
(3)證明若，都有，是否存在不同的正整數，j，使得，為大于1的整數，其中.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）可取，根據定義可證明.
（2）由題設條件可得，利用前項和與通項的關系可證為常數列，從而可求通項.
（3）假設存在不同的正整數，j滿足題設要求，利用不等式放縮后可得，從而，故可得，結合的性質可得矛盾.
【詳解】（1）取，則，
符合題設要求.
（2）設，
由已知得即，
當時，；
當時有，整理得，
所以數列為常數列，
又，，所以有，所以，所以.
（3），設存在不同的正整數，j，使得，為大于1的整數.
設，因為為正整數數列且各不相同，
所以，故，
而，所以.
因為，所以.
又因為為大于1的整數，所以的可能取值為2，同理的可能取值為2.
所以，
，
又因為，
故，
因為，故，而，故不成立，
故不存在不同的正整數i，j，使得，為大于1的整數.
【點睛】關鍵點睛：本題第三問的關鍵是通過等比數列的前項和公式得到，再計算得，結合，故，而，則證明出不存在不同的正整數i，j，使得，為大于1的整數.
滿分秘籍
數列的“存在性和恒成立問題”的本質是不等式的問題，是高考中的熱點問題。在出題上，經常巧妙的植入數列的求和中。因此數列的恒成立問題可以采用不等式的方法來求解，比如可以進行“參變分離”后等價轉化為函數的最值問題進行求解。
變式訓練
【變式2-1】記為正數列的前項和，已知是等差數列.
(1)求；
(2)求最小的正整數，使得存在數列，.
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）根據題意可推得，即得，即可得答案；
（2）利用（1）中結論可得，結合基本不等式求得，驗證后即得答案.
【詳解】（1）由題意是等差數列，設其公差為d，
則，
則，故.
（2）由（1）可知，一方面，
故，當且僅當時，取等號，
由于m為正整數，故，
另一方面，時，﹐滿足條件，
綜上所述，正整數m的最小值是3．
【變式2-2】已知數列滿足，且．
(1)設，證明：是等比數列；
(2)設數列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)20
【分析】（1）由已知條件，用表示出，得出，再用表示出，得出，聯立得出，通過構造得出，檢驗，即可得出證得結論；
（2）由（1）的結論表示出，和，證出在是一個增數列，通過計算即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵，
，，，
,
又，
，
,
，
，
又，
，
,
,即，
，
又，
，
，
∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列．
（2）由（1）可知數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
，
即，
，
，
，
又，
，
即,
，
，
，
在是一個增數列，
，
，
∴滿足題意的n的最小值是20．
【變式2-3】已知數列{an}是正項等差數列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比數列；數列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn+bn＝1．
(1)求數列{an}、{bn}的通項公式；
(2)如果cn＝anbn，設數列{cn}的前n項和為Tn，是否存在正整數n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，說明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，2
【分析】（1）數列是等差數列，用公差與表示出來后，由已知求得，可得通項公式，數列是已知與的關系，可由求得，再由當時，得到，從而知是等比數列，由此可得通項公式；
（2）數列是由等差數列與等比數列相乘所得，其前項和用錯位相減法求得，由（1）得出，作差，會發現當時都有 ，因此得到結論．
【詳解】（1）設數列{an}的公差為d，
∵a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比數列，
∴，即，解得（舍去）或，
所以，
由2Sn+bn＝1，得，
當n＝1時，2S1+b1＝1，解得，
當n≥2時，，
所以，
所以數列{bn}是首項為，公比為的等比數列，
故．
（2）由（1）知，，
所以①
則②
①-②得， ，
所以，
又．
所以，
因為，
所以，即，
所以是遞增數列，且當時，，
故當時，，即，
故所求的正整數n存在，其最小值是2.
【變式2-4】已知數列滿足，，數列滿足，.
（1）數列，的通項公式；
（2）若，求使成立(表示不超過的最大整數)的最大整數的值.
【答案】（1），；（2）最大值為44.
【分析】（1）由題得數列是等比數列，即求出數列的通項；由題得是一個以為首項，以1為公差的等差數列，即得數列的通項公式；
（2）先求出，再求出即得解.
【詳解】解：（1）由得，
所以數列是等比數列，公比為，
解得.
由，得，
所以是一個以為首項，以1為公差的等差數列，
所以，
解得.
（2）由得，
記，，
所以為單調遞減且，，，
所以，
因此，
當時，的的最大值為44；
當時，的的最大值為43；
故的的最大值為44.
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵有兩點，其一：求出，其二：求出.
真題專練
1．在公差不為零的等差數列中，，且成等比數列，數列的前項和滿足.
(1)求數列和的通項公式；
(2)設，數列的前項和，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設等差數列的公差為，根據等比中項的性質得到方程，求出，即可求出的通項公式，再根據，作差得到數列是首項為，公比為的等比數列，即可得解；
（2）由（1）可得，利用分組求和法求出，令，利用作差法判斷的單調性，即可求出，從而得到關于的對數不等式，解得即可.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，且成等比數列，
，即，解得或（舍去），
所以.
數列的前項和，
當時，，
當時，，，
即數列是首項為，公比為的等比數列，
.
（2）由（1）可得，
.
令，，
單調遞增，.
，，.
2．已知數列的前n項和為，，且．
(1)求數列的通項；
(2)設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得到是首項為，公比為的等比數列，從而求出通項公式；
（2）由錯位相減法得到，進而得到不等式，即恒成立，分三種情況，得到實數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，∴，
當時，由①，
得②，
①－②得，
，∴，
∴，
又，
∴是首項為，公比為的等比數列，
∴．
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由是恒成立，
即恒成立，
不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以．
3．已知數列的前項和為，當時，.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)若，數列的前項和為，若恒成立，求正整數的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)8
【分析】（1）時，用代入化簡，用等差數列的定義即可證明；
（2）用錯位相減法求出，不等式可化為恒成立，再用基本不等式求得的最大值，從而可得的最大值.
【詳解】（1）由題意知，當時，，所以，
整理得：，即，所以數列是以1為公差的等差數列.
（2）由，由（1）知是以2為首項、1為公差的等差數列，
所以，所以，
所以，①
所以，②
①-②得，
所以，所以.
因為，所以，
由于，當且僅當時等號成立，故正整數的最大值為8.
4．在數列中，，.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)記數列的前項和為，若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據題意結合等比數列定義分析證明；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法可得，進而根據恒成立問題結合數列單調性分析運算.
【詳解】（1）由題意可得：，
當時，可得，
則，
所以數列是以首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）可得：，則，
可得，則，
兩式相減得：，
所以，
因為，則，
原題意等價于關于的不等式恒成立，可得，
構建，
令，則，解得或3，
則，即當或時，取到最大值，
可得，所以實數的取值范圍.
5．已知等比數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這個數之和為，若不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍；
(3)記，求證：.
【答案】(1)
(2)
(3)詳見解析.
【分析】（1）根據和的關系即可求解；（2）根據等差數列前項和公式求出代入化簡即可解決；（3）求出，進行適當放縮后用裂項相消求和解決.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
當時，有，則 ①
當時，，兩式相減可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比數列的通項公式為（）.
（2）由已知在與之間插入個數，組成以為首項的等差數列，
所以，
則，
設，則是遞增數列，
當為偶數時，恒成立，即，所以；
當為奇數時，恒成立，即，所以；
綜上所述，的取值范圍是.
（3）證明：由（1）得，
則有
.
,原不等式得證.
6．已知函數 的圖像在點處的切線與直線垂直．
(1)滿足的關系式；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導數的幾何意義求解即可；
（2）原問題等價于在上恒成立，令，利用導函數討論單調性即可求解；
（3）利用（2）中結論，當時，，令，，則，結合對數的運算性質即可求解.
【詳解】（1）由題意可得，
因為在點處的切線與直線垂直，
所以，即，所以.
（2）因為，所以，
若在上恒成立，則在上恒成立，
設，，
則，，
①當時，，若，則，此時在上單調遞減，
所以，即在不恒成立．
②當，，當時，，在上單調遞增，
又，此時，綜上所述，所求的取值范圍是.
（3）由（2），當時，在上恒成立，
取，得即，當且僅當時等號成立，
令，
則，
因為，
而
，
所以，
又
．
所以，即，證畢．
【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查不等式恒成立問題，解題方法是把不等式變形為，然后由導數求得的最小值，解不等式即可得參數范圍，第（3）問注意利用之前構造好的不等式，當時，，令，即可求解.
7．已知數列中，
(1)證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若恒成立，試求實數的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）對兩邊同時除以，即可證明數列是等差數列，再由等差數列的通項公式求出數列的通項公式；
（2）由（1）求出，再由裂項相消法求和求出，則，即，求解即可.
【詳解】（1）兩邊同時除以，
數列是首項，公差為2的等差數列，
，
.
（2），可得，
，即，即恒成立.
.
8．已知數列的前n項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，數列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得到，結合與的關系，即可求得數列通項公式；
（2）由（1）化簡得到，結合裂項相消法，求得，把不等式轉化為，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：由，可得，
當時，；
當時，，滿足上式，
所以數列為等比數列，其通項公式為．
（2）解：由數列的通項公式為，
可得，
所以 ，
又由，可得，即，
當時，取得最大值，
故的取值范圍為．
9．已知數列是首項，公比的等比數列，設，數列滿足．
(1)證明：數列成等差數列．
(2)若對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)戓．
【分析】（1）易知，．再由，利用等差數列的定義證明；
（2）由（1）得，，先利用作差法證明其單調性，得到其最大值，再利用恒成立求解.
【詳解】（1）證明：由題意知，．
∵，
∴，
∴，
∴數列是首項，公差的等差數列．
（2）由（1）得，
∵，．
∴當時，．當時，，
即．
∴當或2時，取最大值．
又對一切正整數恒成立，
∴，
即．解得戓．
10．已知數列的前n項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為，且，若對于恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據數列的遞推關系，利用作差法構造等比數列，進而求解；
（2）結合（1）的結論得到，然后利用錯位相減法得到，然后根據題意即可求解.
【詳解】（1）∵，
∴，
兩式作差得，∴，
當時，，∴，
所以是首項為，公比為的等比數列，
故．
（2）∵，∴，
∴，①
，②
兩式作差得，
化簡得，
∵恒成立，∴，，
當時，；
當時，；
當時，，，所以，
綜上所述，．
11．若無窮數列{}滿足如下兩個條件，則稱{}為無界數列：
①（n=1，2，3......）
②對任意的正數，都存在正整數N，使得n>N，都有.
(1)若，（n=1，2，3......），判斷數列{}，{}是否是無界數列；
(2)若，是否存在正整數k，使得對于一切，都有成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說明理由；
(3)若數列{}是單調遞增的無界數列，求證：存在正整數m，使得.
【答案】(1){}是無界數列；{}不是無界數列.
(2)存在，
(3)證明見解析
【分析】（1）對任意的正整數，取為大于的一個偶數，有，符合無界數列的定義；取，顯然，不符合無界數列的定義.
（2）討論，，都不成立，當時，將變形為：，從而求得k的范圍.
（3）觀察要證的不等式結構與（2）相似，故應用（2）變形后，再由{}是單調遞增的無界正數列證明.
【詳解】（1）{}是無界數列，理由如下：
對任意的正整數，取為大于的一個偶數，有，所以{}是無界數列.
{}不是無界數列，理由如下：
取，顯然，不存在正整數，滿足，所以{}不是無界數列.
（2）存在滿足題意的正整數k，且.
當時，，不成立.
當時，，不成立
當時，，不成立
當時，將變形為：
.
即取，對于一切，有成立.
（3）因為數列{}是單調遞增的無界數列，所以，
所以
.
即
因為{}是無界數列，取，由定義知存在正整數，使所以.
由定義可知{}是無窮數列，考察數列，，…，顯然這仍是一個單調遞增的無界數列，同上理由可知存在正整數，使得
.
故存在正整數，使得
.
故存在正整數，使得成立
12．已知數列和滿足，，且.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設數列的前項和為，求滿足的正整數的值.
【答案】（1），；（2）或.
【分析】（1）推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得的通項公式，即可得出的通項公式，利用裂項求和法可求得的通項公式；
（2）利用錯位相減法結合分組求和法可求得，根據已知條件可得出關于的二次不等式，結合可得出的取值.
【詳解】（1）對任意的，，則，且，
所以，數列是等比數列，且首項和公比均為，
故，，
因為，
所以，
；
（2）設數列的前項和為，
則，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
則，
由可得，
整理可得，解得，
因為，故或.
13．已知單調遞增的等比數列滿足：，且是，的等差中項．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，，求使成立的正整數的最小值．
【答案】（1）；（2）5.
【分析】（1）設等比數列的首項為，公比為，代入已知條件可求得后得通項公式；
（2）求出，用錯位相減法求得，再解不等式可得．
【詳解】（1）設等比數列的首項為，公比為．
依題意，有，代入，可得，
，
解之得或
又數列單調遞增，
所以，，
數列的通項公式為．
（2） ，
，①
，②
②－①，得．
即，即．
易知：當時，，
當時，，
使成立的正整數的最小值為．
14．已知數列的前項和為，，，公比為2的等比數列的前項和為，并且滿足．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）已知，規定，若存在使不等式成立，求實數的取值范圍．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）由遞推式，令求，寫出的通項公式及，結合已知條件求通項公式.
（Ⅱ）應用裂項求和求，即有，進而求的范圍．
【詳解】（Ⅰ）由題設，，即，可得，又等比數列的公比為2，
∴，故，即，
當時，，即，
當時，，
∴上有，即，而，
∴是常數列且，即；
（Ⅱ）由題意，，
∴，對有解，則，
令，故，
∴當時，；當時，，知：為的最大項，
∴．
【點睛】關鍵點點睛：第二問，利用裂項求和求，將有解問題轉化為，利用數列的性質求最小項，即可得參數范圍.
15．已知數列的前項和為，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）記集合，，若中有3個元素，求的取值范圍；
（3）是否存在等差數列，使得對一切都成立？若存在，求出；若不存在，說明理由．
【答案】（1），；（2），；（3）存在等差數列且滿足題意．
【分析】（1）運用數列的遞推式，結合等比數列的通項公式，即可得到所求通項；
（2）由題意可得，設，求得（1），（2），（3），（4），結合圖象，即可得到所求范圍；
（3）先假設存在等差數列，然后令，探求等差數列的通項，最后代入驗證即可．
【詳解】解：（1），可得時，，
解得；
時，可得，
相減可得，
即為，
可得，；
（2）集合，，
若中有3個元素，
可得，
設，
（1），（2），（3），
（4），（5），
則當時,
，
又集合中有且僅有3個元素，
則，
故實數的取值范圍是，；
（3）設存在等差數列使得
對一切都成立，
則時有，；
則時有，，
等差數列的公差，，
設，
由，
，
，
存在等差數列且滿足題意．
【點睛】本題考查由數列遞推式求數列通項、數列求和，累加法是求數列通項的常用方法，要熟練掌握，錯位相減法對數列求和是高考考查的重點內容，要掌握．
16．已知等差數列的首項，公差．記的前n項和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實數，使成等比數列，求d的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數列通項公式及前項和公式化簡條件，求出，再求；
(2)由等比數列定義列方程，結合一元二次方程有解的條件求的范圍.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因為，，成等比數列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對于任意的恒成立，
所以對于任意的恒成立，
當時，，
當時，由，可得
當時，，
又
所以
17．已知正項數列的前n項和為，對任意，點都在函數的圖象上．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足，若對任意，存在，使得成立，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關系結合累乘法得出數列的通項公式；
（2）令為數列的前項和，由裂項相消法以及公式法得出，由以及的最大值得出實數a的取值范圍．
【詳解】（1）點都在函數的圖象上，可得.
當時，.
當時，，整理得，
即，，對也成立.
即.
（2）由，可令為數列的前項和.
可得
.
由，
當時，，下面用數學歸納法證明：
當時，成立.①
假設時，成立.
那么時，，
則，即時也成立.②
由①②可得，當時，，即有.
可得，
又時，的最大值為，
對任意，存在，使得成立，
則，解得.
即實數a的取值范圍是.
【點睛】關鍵點睛：解決問題（2）時，關鍵是利用裂項相消求和法得出，再結合不等式的能成立問題，得出實數a的取值范圍.
18．在①，②，③這三個條件中選擇兩個，補充在下面問題中，并進行解答已知等差數列的前n項和為，，___________，___________.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和；
(3)若存在，使得成立，求實數的取值范圍.
注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據題意列式求解，即可求通項公式；
（2）利用裂項相消法求和；
（3）根據題意可得存在，使得成立，根據存在性問題結合基本不等式運算求解.
【詳解】（1）若選①②：設等差數列的公差為，
由題意可得，解得，
故；
若選①③：設等差數列的公差為，
由題意可得，解得，
故；
若選②③：設等差數列的公差為，
由題意可得，解得，
故.
（2）由（1）可得，
故.
（3）∵，
∴，即，
∵，
又∵，當且僅當，即時等號成立，
∴，即，
故實數的取值范圍.
【點睛】方法點睛：
（1）裂項相消的規律：①裂項系數取決于前后兩項分母的差；②裂項相消后前、后保留的項數一樣多；
（2）數列常與不等式結合，如比較大小、不等式恒成立、求參數范圍等問題，需要熟練應用不等式知識解決數列中的相關問題．
19．已知數列的前n項和滿足．
(1)求的通項公式；
(2)設數列滿足，記的前n項和為，若存在使得成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合，可證明是等比數列，求解即可；
（2）乘公比錯位相減法求和可得，代入，化簡可得恒成立，結合單調性求解即可.
【詳解】（1）∵，當可得，
，
∴，
即是以1為首項，的等比數列，
∴.
（2）∵,
∴,
,
兩式相減：
,
∴,
∴,
∴,
即存在使成立,
∵隨著n增大，在減小,
∴當時，.
20．已知數列的前n項和為,,.
(1)求數列的通項公式;
(2)設,數列的前n項和為,若存在且,使得成立,求實數的最小值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】(1)由題知,令為代入,注意,兩式相減即可得到之間的關系,判斷其數列類型,檢驗,得出通項公式.
(2)由(1)得的通項公式代入,得的通項公式,得到其前n項和為,代入不等式中,使全分離,得到,求的最小值即可,注意且.
【詳解】（1）解:由題知,得,
則,
當時,由得,
上述兩式相減得,即,
則且,
可得數列是以1為首項,3為公比的等比數列,
故數列的通項公式為.
（2）由(1)知,
則,
,
兩式相減得
,
于是得,
當且時,由,
得,
令,且,
則,且,
即,
則當且時,數列是單調遞增數列,
即,因此,
所以實數的最小值是3.第06講 數列中的恒成立和存在性問題
考法呈現
考法一：數列中的恒成立問題
滿分秘籍
數列的“存在性和恒成立問題”的本質是不等式的問題，是高考中的熱點問題。在出題上，經常巧妙的植入數列的求和中。因此數列的恒成立問題可以采用不等式的方法來求解，比如可以進行“參變分離”后等價轉化為函數的最值問題進行求解。
例題分析
【例1-1】恒成立與分組求和
已知數列的前項和為，點在曲線上.
(1)證明：數列為等差數列；
(2)若，數列的前項和滿足對一切正整數恒成立，求實數的值.
【例1-2】恒成立與裂項相消求和
已知各項均為正數的數列滿足，其中是數列的前n項和.
(1)求數列的通項公式；
(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數的取值范圍.
【例1-3】恒成立與錯位相減求和
已知數列的前項和為，，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，的前項和為，若對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【例1-4】恒成立與數列的函數特性
在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求出k的值；若k不存在，說明理由．
已知數列{an}為等比數列，，，數列{bn}的首項，其前n項和為Sn， ，是否存在，使得對任意，恒成立？
變式訓練
【變式1-1】在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．
設數列的前項和為，滿足________，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若存在正整數，使得對恒成立，求的值．
【變式1-2】在數列中，，其中．
(1)證明數列是等差數列，并寫出證明過程；
(2)設，數列的前項和為，求；
(3)對，使得恒成立，求實數的最小值．
【變式1-3】已知數列的前項和為，，，.
(1)求，及的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最小值.
【變式1-4】已知數列的各項均為正數，其前項和滿足，數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
【變式1-5】圖中的數陣滿足：每一行從左到右成等差數列，每一列從上到下成等比數列，且公比均為實數．
(1)設，求數列的通項公式；
(2)設，是否存在實數，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由．
考法二：數列中的存在性問題
例題分析
【例2】已知：正整數列各項均不相同，，數列的通項公式
(1)若，寫出一個滿足題意的正整數列的前5項：
(2)若，求數列的通項公式；
(3)證明若，都有，是否存在不同的正整數，j，使得，為大于1的整數，其中.
滿分秘籍
數列的“存在性和恒成立問題”的本質是不等式的問題，是高考中的熱點問題。在出題上，經常巧妙的植入數列的求和中。因此數列的恒成立問題可以采用不等式的方法來求解，比如可以進行“參變分離”后等價轉化為函數的最值問題進行求解。
變式訓練
【變式2-1】記為正數列的前項和，已知是等差數列.
(1)求；
(2)求最小的正整數，使得存在數列，.
【變式2-2】已知數列滿足，且．
(1)設，證明：是等比數列；
(2)設數列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．
【變式2-3】已知數列{an}是正項等差數列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比數列；數列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn+bn＝1．
(1)求數列{an}、{bn}的通項公式；
(2)如果cn＝anbn，設數列{cn}的前n項和為Tn，是否存在正整數n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，說明理由．
【變式2-4】已知數列滿足，，數列滿足，.
（1）數列，的通項公式；
（2）若，求使成立(表示不超過的最大整數)的最大整數的值.
真題專練
1．在公差不為零的等差數列中，，且成等比數列，數列的前項和滿足.
(1)求數列和的通項公式；
(2)設，數列的前項和，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.
2．已知數列的前n項和為，，且．
(1)求數列的通項；
(2)設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍．
3．已知數列的前項和為，當時，.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)若，數列的前項和為，若恒成立，求正整數的最大值.
4．在數列中，，.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)記數列的前項和為，若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.
5．已知等比數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這個數之和為，若不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍；
(3)記，求證：.
6．已知函數 的圖像在點處的切線與直線垂直．
(1)滿足的關系式；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：.
7．已知數列中，
(1)證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若恒成立，試求實數的取值范圍.
8．已知數列的前n項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，數列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍．
9．已知數列是首項，公比的等比數列，設，數列滿足．
(1)證明：數列成等差數列．
(2)若對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍．
10．已知數列的前n項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為，且，若對于恒成立，求的取值范圍．
11．若無窮數列{}滿足如下兩個條件，則稱{}為無界數列：
①（n=1，2，3......）
②對任意的正數，都存在正整數N，使得n>N，都有.
(1)若，（n=1，2，3......），判斷數列{}，{}是否是無界數列；
(2)若，是否存在正整數k，使得對于一切，都有成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說明理由；
(3)若數列{}是單調遞增的無界數列，求證：存在正整數m，使得.
12．已知數列和滿足，，且.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設數列的前項和為，求滿足的正整數的值.
13．已知單調遞增的等比數列滿足：，且是，的等差中項．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，，求使成立的正整數的最小值．
14．已知數列的前項和為，，，公比為2的等比數列的前項和為，并且滿足．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）已知，規定，若存在使不等式成立，求實數的取值范圍．
15．已知數列的前項和為，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）記集合，，若中有3個元素，求的取值范圍；
（3）是否存在等差數列，使得對一切都成立？若存在，求出；若不存在，說明理由．
16．已知等差數列的首項，公差．記的前n項和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實數，使成等比數列，求d的取值范圍．
17．已知正項數列的前n項和為，對任意，點都在函數的圖象上．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足，若對任意，存在，使得成立，求實數a的取值范圍．
18．在①，②，③這三個條件中選擇兩個，補充在下面問題中，并進行解答已知等差數列的前n項和為，，___________，___________.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和；
(3)若存在，使得成立，求實數的取值范圍.
注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.
19．已知數列的前n項和滿足．
(1)求的通項公式；
(2)設數列滿足，記的前n項和為，若存在使得成立，求的取值范圍．
20．已知數列的前n項和為,,.
(1)求數列的通項公式;
(2)設,數列的前n項和為,若存在且,使得成立,求實數的最小值.

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