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第07講 構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)的六種方法
考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）
【例1】
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（正整數(shù)
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
【詳解】（1）證明：
設(shè)
則
因?yàn)?br/>所以t=3
即
所以=2（正整數(shù)）
又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1），則，
所以
.
遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式
第一步構(gòu)造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；
第二步利用待定系數(shù)求出t的值。
則數(shù)列{an＋t}為公比為p的等比數(shù)列。
【變式1-1】已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系解方程得，進(jìn)而證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；
（2）由題知，進(jìn)而令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則為與的和，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式求解即可.
【詳解】（1）解：數(shù)列滿足
所以，，解得，
由得，即，
所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，
所以，即
所以，的通項(xiàng)公式為
（2）解：因?yàn)椋?br/>所以，，，，
所以，，
令，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，
所以，
因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為與的和，，
所以，.
【變式1-2】已知數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定值即可；
（2）先由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)，從而可得數(shù)列的的通項(xiàng)，再利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
又，
所以是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，故，
所以，
故，
則，
兩式相減得
，
所以.
【變式1-3】在數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而得；
（2）由題知為單調(diào)遞減數(shù)列，再根據(jù)，，分和兩種情況討論求解即可；
【詳解】（1）解：因?yàn)樵跀?shù)列中，，，
所以，，
所以，等式兩邊同加上得，
因?yàn)椋?br/>所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，．
（2）解：因?yàn)?，即
所以，為單調(diào)遞減數(shù)列，
因?yàn)椋?br/>所以，時，，時，，
記的前項(xiàng)和為，則，
所以，當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，①
，②
所以，①②得：，即，
綜上，
考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
【例2】已知：，時，，求的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】構(gòu)造等比數(shù)列，即可由等比數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】設(shè)，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，
∴ ，∴ ．
先構(gòu)造出，然后利用待定系數(shù)法求出A和B的值，即可判斷出數(shù)列{}為公比為p的等比數(shù)列。
【變式2-1】已知數(shù)列滿足：，．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見解析，；（2）.
【分析】（1）要證數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明等于同一個常數(shù)即可，根據(jù)構(gòu)造即可得證；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）求出數(shù)列得通項(xiàng)公式，利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和．
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br/>所以，即，
，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
則 ，故，
所以
；
（2）解：，
則①
②
①②得：
所以.
【變式2-2】設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)求證：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）由遞推公式可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，再利用錯位相減法求和即可；
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>所以，即
又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以
（2）解：由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
【變式2-3】已知數(shù)列中，，滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式；
（2）利用分組求和法求出，依題意可得對于任意正整數(shù)恒成立，參變分離可得，令，求出，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以．
（2）因?yàn)椋?br/>所以
，
若對于恒成立，即，
可得即對于任意正整數(shù)恒成立，
所以，令，則，
所以，可得，所以，
所以的取值范圍為．
考法三：an＋1＝pan＋rqn
【例3-1】p=q
已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，將數(shù)列分組：，，，，，記第組的和為.
（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ii）證明.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）把已知的式子變形，從而構(gòu)造出一個等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）（i）先由（1）得出的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)分組找出分組規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（ii）由（i）得出的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)該通項(xiàng)公式的特點(diǎn)進(jìn)行放縮，從而求出數(shù)列放縮后的前項(xiàng)和，從而證出結(jié)論.
【詳解】（1）依題意，又，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
，
.
（2）（i）由（1）知.設(shè)的前項(xiàng)和為，則.
顯然數(shù)列分組后第組有項(xiàng)，前面組共有項(xiàng)，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，滿足上式，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（ii），
當(dāng)時，.
當(dāng)時，.
當(dāng)時，
，
故.
【例3-2】p≠q
已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，即可得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而求出其通項(xiàng)公式；
解法二：兩邊同時除以得，再利用構(gòu)造法計(jì)算可得；
【詳解】解法一：因?yàn)椋?br/>設(shè)，
所以，
則，解得，
即，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r除以得，
所以，，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，所以.
當(dāng)p=q時，等式兩邊同時除以p，即可構(gòu)造出一個等差數(shù)列。
當(dāng)p≠q時，可設(shè)，利用待定系數(shù)求出參數(shù)的值，即可構(gòu)造出等比數(shù)列。
【變式3-1】已知數(shù)列中,,．
(1)求證:是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) 求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
【答案】(1)證明見解析,
(2)
【分析】(1)計(jì)算得出,結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)相消即可求得
【詳解】（1）證明:
,
,
故數(shù)列是以為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,
,
即．
（2）由題知
,
,
故.
【變式3-2】若數(shù)列滿足,．
(1)證明:是等比數(shù)列；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為,求滿足的n的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)7
【分析】(1)根據(jù)題意構(gòu)造數(shù)列證明等比,求出首項(xiàng)及公比即可,
(2)由(1)求出的通項(xiàng)公式,與題中等式聯(lián)立,求出通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出前n項(xiàng)和為,代數(shù)使得即可求出n的最大值.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?
所以,,
故
,
又,則,,
故是以－1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列．
（2）由(1)得①,
又②,
②－①得,,
故
,
易得為遞增數(shù)列,
又,,
,故n的最大值為7.
考法四：an＋2＝pan+1＋qan
【例4】已知數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】構(gòu)造法求證為等比數(shù)列并寫出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.
【詳解】化為，即，
，可得或，（所得兩組數(shù)值代入上式等價），
不妨令，，
所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，
累加法可得：，
又符合上式，故.
設(shè)出，利用待定系數(shù)求出s和t的值，則可等到數(shù)列為公比為t的一個等比數(shù)列。
【變式4-1】已知數(shù)列滿足，，，求
【答案】=．+ ．
【分析】法1：構(gòu)造為等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)，再分奇偶討論，利用累加法求解即可；法2：利用二階特征根方程求解得到，根據(jù)，列方程組求出和即可.
【詳解】法1：已知，所以，
則是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，
故，則，
得，
當(dāng)n為奇數(shù)時，，，，，，
累加可得，，
所以，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
綜上，；
法2：由特征根方程得，，，
所以，其中，解得，，
.
【變式4-2】已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由構(gòu)造出，用等比數(shù)列定義證明即可；
（2）通過兩次構(gòu)造等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式得出結(jié)論即可.
【詳解】（1）由已知，，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）∵，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴，①，
又∵由第（1）問，，②，
∴②①得，，
∴存在，，兩個等比數(shù)列，， 使得成立．
【變式4-3】已知數(shù)列滿足，，且.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明過程見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列定義證明為等比數(shù)列，得到，再證明為等比數(shù)列，進(jìn)而可求得；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，利用作差法得到的單調(diào)性，進(jìn)而列出不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）∵，則，且，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3為等比數(shù)列，
∴，則，
可得，且，
故數(shù)列首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴，故.
（2）由（1）可得：，即，
故對任意的恒成立，等價于對任意的恒成立，
設(shè)，則當(dāng)時恒成立，
故數(shù)列是遞增數(shù)列，
當(dāng)為奇數(shù)時，則對任意的恒成立，，可得，解得；
當(dāng)為偶數(shù)時，則對任意的恒成立，，可得，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍.
考法五：an＋1＝
【例5】已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).
【答案】
【分析】取倒數(shù)后得到是等差數(shù)列，求出，得到通項(xiàng)公式.
【詳解】取倒數(shù)： ，故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2，
，
∴.
等式兩邊同時取倒數(shù)，即可得到一個新的等比數(shù)列。
【變式5-1】在數(shù)列中，求．
【答案】
【分析】將已知關(guān)系式變形為，兩邊同除以可得，記，則，再構(gòu)造等比數(shù)列可求解.
【詳解】由已知關(guān)系式得,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3得等比數(shù)列，故，
所以
【變式5-2】已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）兩邊同時取到數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可；
（2）放縮法證明不等式即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋剩?br/>所以，整理得．
又，，，
所以為定值，
故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，得.
（2）因?yàn)椋?br/>所以．
【變式5-3】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列：
(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).
【答案】(1)證明見解析
(2)50
【分析】（1）兩邊取倒數(shù)，再同時減2，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明.
(2)利用等比數(shù)列求和公式求和，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1）證明：由，可得，
又
故數(shù)列為等比數(shù)列.
（2）由（1）可知，故.
令，易知隨的增大而增大，，故滿足的最大整數(shù)為50.
考法六：an＋1＝pan2
【例6】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】在等式兩邊取對數(shù)可得，可得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】對任意的，，
因?yàn)椋瑒t，
所以，，且，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，解得.
兩邊同時取對數(shù)，可以構(gòu)造出一個等比數(shù)列。
【變式6-1】數(shù)列中， ，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
【分析】對兩邊同時取以2為底的對數(shù)，構(gòu)造，求出，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式.
【詳解】取以為底的對數(shù)，得到，，設(shè)，則有，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，.
23．已知數(shù)列，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在等式兩邊取常用對數(shù)，得出，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得，然后利用錯位相減法可求得.
【詳解】（1）在數(shù)列中，，，則，，，，
對任意的，.
在等式兩邊取常用對數(shù)，可得，且，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，
因此，；
（2）由（1）可得，
，
，
上式下式得 ，
因此，.
【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)，同時也考查了錯位相減法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
24．已知數(shù)列滿足，.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
【答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定制，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列得通項(xiàng)即可得解；
（2）由，得，則，則，再利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可得證.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>則，
又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
所以；
（2）由，得，
則，
所以，
所以，
所以
，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
真題專練
1．已知數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法求出通項(xiàng)公式作答.
（2）由（1）及已知，利用錯位相減法求和作答.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，則，
因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知，，
則，
于是有，
兩式相減得 ，
所以.
2．已知數(shù)列滿足，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式＜對一切恒成立的實(shí)數(shù)的范圍．
【答案】（1）見解析，；（2）
【分析】（1）對遞推式兩邊取倒數(shù)化簡,即可得出，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，再得出；
（2）由（1）得，再使用裂項(xiàng)相消法求出，使用不等式得出的范圍，從而得出的范圍．
【詳解】（1）∵，兩邊取倒數(shù),∴，即，又，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴，∴．
（2）由（1）得，
∴＝，
要使不等式Sn＜對一切恒成立，則 ．
∴的范圍為:．
【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．
3．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）證明見解析，；（2）見解析.
【分析】（1）由條件易得 =，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證，化簡可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，放縮后利用等比數(shù)列求和公式即可證明結(jié)果.
【詳解】證明：（1）由，知，
所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
故而，所以．
（2）由（1）可得，
所以
．
4．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1) ;(2) .
【詳解】試題分析: （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式以及等比數(shù)列的定義,得出是一個等比數(shù)列,根據(jù)基本量運(yùn)算求解即可;(2)先求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,代入,根據(jù)錯位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.
試題解析:
（1）∵，∴，∴，
∴是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，
∴，即.
（2）由（1）知，，∴，則，
∴，
令，①
，②
①②得
∴.∴.
點(diǎn)睛: 用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題 :(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形； (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式； (3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
5．已知數(shù)列滿足，且．
（1）設(shè)，求證是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知，可得，又，由等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）由（1）可得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，由分組求和法可得到；
【詳解】解：（1）數(shù)列滿足，且
所以，
即（常數(shù)），
又，
所以，又，所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，，
所以，
所以
6．設(shè)數(shù)列滿足
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知寫出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求的通項(xiàng)公式；
（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求，即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由得：數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，
故，從而.
（2），
所以.
7．已知數(shù)列，滿足，，．證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
【答案】證明見解析，．
【分析】由可得，然后得到，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可得答案.；
【詳解】證明：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，即，
又因?yàn)椋?br/>所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
所以．
8．在數(shù)列中，，.
(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知得，由，利用等差數(shù)列的定義可得答案；
（2）由（1）可得.
【詳解】（1）由得，∵，∴，
又，∴是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）為等差數(shù)列，，∴，，
所以.
9．已知數(shù)列和滿足：，，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，求解的通項(xiàng)公式；利用 求解的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)第一問的求解，得到，其中利用錯位相減法求和，進(jìn)而求出數(shù)列的前項(xiàng)和
【詳解】（1）∵
∴設(shè)，整理：
∴
∴
∴公比是2的等比數(shù)列
∴
∴
當(dāng)時
當(dāng)時，，符合
故的通項(xiàng)公式為：
（2）
∴設(shè)的前n項(xiàng)和為
則①
②
①-②得：
∴
∴
10．已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得數(shù)列為常數(shù)列，可數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和.
【詳解】（1）由，得，所以數(shù)列為常數(shù)列，有，∴
（2），
，
，
兩式相減，，
所以
11．已知數(shù)列中，.
（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；
（2）令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得的的最小值.
【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為.
【分析】（1）將遞推關(guān)系式變形為即可證明；
（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分奇偶討論求，然后解不等式即可.
【詳解】（1）由得：，即
，即有數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；
（2）由（1）知：
即，
當(dāng)為偶數(shù)時，，顯然無解；
當(dāng)為奇數(shù)時，，令，解得：，
結(jié)合為奇數(shù)得：的最小值為
所以的最小值為
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一般根據(jù)遞推關(guān)系式要證明數(shù)列為什么數(shù)列，就根據(jù)遞推關(guān)系式同構(gòu)成要證明的數(shù)列的結(jié)構(gòu)即可.對于含有調(diào)節(jié)數(shù)列的結(jié)構(gòu)在求和時一般要分奇偶討論.
12．已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見詳解，
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推公式構(gòu)造可證，然后借助為等比數(shù)列可得通項(xiàng)，再構(gòu)造數(shù)列可證為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可解；
（2）由錯位相減法可得.
【詳解】（1）因?yàn)?br/>所以
又因?yàn)?br/>所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
所以
變形得
所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
所以，所以
（2）因?yàn)椤?br/>所以…②
①-②得：
所以
13．已知數(shù)列中，且，
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)從條件①，②中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中并給出解答．
求數(shù)列______的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
【答案】(1)證明見解析
(2)選①：；選②：
【分析】（1）根據(jù)遞推公式使用構(gòu)造法可得的通項(xiàng)公式，然后可得通項(xiàng)，再由等比數(shù)列定義可證；
（2）選①：由分組求和法可得；選②：使用錯位相減法可得.
【詳解】（1）因?yàn)榍遥?br/>所以當(dāng)時，，
所以，即
所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，
因?yàn)椋瑫r，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）選①：因?yàn)椋裕?br/>則
選②：因?yàn)椋裕瑒t（i）
（ii）
（i）（ii）得
14．已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng)時，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時可得，令，則，即可得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用分組求和法及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求和即可；
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，則，令，則，
又因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，從而；
（2）解：因?yàn)椋?br/>所以
．
15．在數(shù)列中，，且.
(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）依題意可得，即可得到是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，對分奇偶，利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；
【詳解】（1）解：因?yàn)椋裕郑裕?br/>所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
故，即.
（2）解：由（1）得，
則，
①當(dāng)時，
②當(dāng)時，
，
綜上所述，
16．已知數(shù)列，，．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列．
(2)設(shè)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)，證明等于定值即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可得證.
【詳解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴，
∴
，
∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；
（2）由（1）知，∴，
∴，
∴
，
∵，∴，
∴．
17．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)證明見解析
(2)an＝×3n－1
【分析】（1）將an＋2＝2an＋1＋3an，變形為an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比數(shù)列的定義證明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，結(jié)合求解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)閍n＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因?yàn)閧an}中各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列.
（2）由題意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因?yàn)閍n＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.
18．已知數(shù)列{an}中，a1=3，，n∈N*.
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由遞推關(guān)系可得，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得，即可知{an}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，應(yīng)用錯位相減法求{an}的前n項(xiàng)和Sn.
【詳解】（1）由得：，
∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
∴，故.
（2）由（1）得：，
∴①，②，
①②得：
∴ .
19．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）可得，再分為偶數(shù)和奇數(shù)兩類情況并結(jié)合裂項(xiàng)求和法討論即可.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br/>所以，即，
因?yàn)椋裕?br/>故數(shù)列是以12為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以，則.
（2）解：由（1）知，
所以.
當(dāng)為偶數(shù)時，
，
因?yàn)槭菃握{(diào)遞減的，所以.
當(dāng)為奇數(shù)時，
，
又是單調(diào)遞增的，
因?yàn)椋?
要使存在，使，只需，即，
故的取值范圍是.
20．在數(shù)列中，，且對任意的，都有.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)積為，求和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)，
【分析】（1）由條件變形化簡，利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）結(jié)合（1）得，計(jì)算乘積即可.
【詳解】（1）由題意可得：，
是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以
是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（2）由上可得：，
同理.第07講 構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)的六種方法
考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）
例題分析
【例1】
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（正整數(shù)
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
滿分秘籍
遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式
第一步構(gòu)造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；
第二步利用待定系數(shù)求出t的值。
則數(shù)列{an＋t}為公比為p的等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式1-1】已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
【變式1-2】已知數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【變式1-3】在數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
例題分析
【例2】已知：，時，，求的通項(xiàng)公式．
滿分秘籍
先構(gòu)造出，然后利用待定系數(shù)法求出A和B的值，即可判斷出數(shù)列{}為公比為p的等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式2-1】已知數(shù)列滿足：，．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
①②得：
所以.
【變式2-2】設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)求證：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【變式2-3】已知數(shù)列中，，滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
考法三：an＋1＝pan＋rqn
例題分析
【例3-1】p=q
已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，將數(shù)列分組：，，，，，記第組的和為.
（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ii）證明.
【例3-2】p≠q
已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
滿分秘籍
當(dāng)p=q時，等式兩邊同時除以p，即可構(gòu)造出一個等差數(shù)列。
當(dāng)p≠q時，可設(shè)，利用待定系數(shù)求出參數(shù)的值，即可構(gòu)造出等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式3-1】已知數(shù)列中,,．
(1)求證:是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) 求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
【變式3-2】若數(shù)列滿足,．
(1)證明:是等比數(shù)列；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為,求滿足的n的最大值．
考法四：an＋2＝pan+1＋qan
例題分析
【例4】已知數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．
滿分秘籍
設(shè)出，利用待定系數(shù)求出s和t的值，則可等到數(shù)列為公比為t的一個等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式4-1】已知數(shù)列滿足，，，求
【變式4-2】已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．
【變式4-3】已知數(shù)列滿足，，且.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
考法五：an＋1＝
例題分析
【例5】已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).
滿分秘籍
等式兩邊同時取倒數(shù)，即可得到一個新的等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式5-1】在數(shù)列中，求．
【變式5-2】已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【變式5-3】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列：
(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).
考法六：an＋1＝pan2
例題分析
【例6】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
滿分秘籍
兩邊同時取對數(shù)，可以構(gòu)造出一個等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式6-1】數(shù)列中， ，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
23．已知數(shù)列，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
24．已知數(shù)列滿足，.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
真題專練
1．已知數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．已知數(shù)列滿足，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式＜對一切恒成立的實(shí)數(shù)的范圍．
3．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．已知數(shù)列滿足，且．
（1）設(shè)，求證是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
6．設(shè)數(shù)列滿足
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記，證明：．
7．已知數(shù)列，滿足，，．證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
8．在數(shù)列中，，.
(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
9．已知數(shù)列和滿足：，，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
10．已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
11．已知數(shù)列中，.
（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；
（2）令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得的的最小值.
12．已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
13．已知數(shù)列中，且，
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)從條件①，②中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中并給出解答．
求數(shù)列______的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
14．已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng)時，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
15．在數(shù)列中，，且.
(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．已知數(shù)列，，．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列．
(2)設(shè)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
17．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通項(xiàng)公式.
18．已知數(shù)列{an}中，a1=3，，n∈N*.
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
19．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.
20．在數(shù)列中，，且對任意的，都有.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)積為，求和.

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