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第05講 錯位相減法求數列前n項和
例題分析
【例 1】1．設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
滿分秘籍
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式．
②應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
變式訓練
【變式1-1】已知數列的前項和為，且.
(1)求，并求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式1-2】已知數列和，，，.
(1)求證數列是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【變式1-3】在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．已知數列的前項和為，，且滿足________．
(1)求；
(2)若，求數列的前項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【變式1-4】記正項數列的前項和為，已知點在函數的圖象上，且，數列滿足，．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【變式1-5】設是公比不為的等比數列，，為，的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和.
真題專練
1．已知是單調遞增的等差數列，其前項和為.是公比為的等比數列..
(1)求和的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
2．已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，求數列的前項和.
3．已知數列的首項為1，前項和；
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
4．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知公差不為0的等差數列的前項和為是與的等比中項，___________.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
5．已知數列的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列，且公差和公比都是，若對滿足的任意正整數，，均有成立．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
6．已知數列的前項的和為，，數列為單調遞增的等比數列，且有，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，設的前項的和為，求的值.
7．已知數列的前項和為,且滿足,數列的前項積.
(1)求數列和的通項公式;
(2)求數列的前n項和.
8．已知是公差不為0的等差數列的前n項和，是，的等比中項，.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，求數列的前n項和.
9．在①；②，與都是等比數列；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．
已知數列的前n項和為，且______．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計分．
10．已知數列是公差為3的等差數列，數列是公比為2的等比數列，且滿足． 將數列與的公共項按照由小到大的順序排列，構成新數列．
(1)證明：
(2)求數列的前n項和．
11．設正項數列的前n項和為，且，當時，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，且，求數列的通項公式．
12．已知等比數列的前項和為，且
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前項和．
13．已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
14．在數列中，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
15．已知數列和等差數列滿足，且當時，.
(1)求數列的通項；
(2)求數列的前項和.
16．已知等比數列的公比，若，且，，分別是等差數列第1，3，5項．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若求數列{}的前n項和．
17．已知數列的前項和為，請從以下三個條件中選擇一個完成解答.
①數列是首項為2的單調遞減的等比數列，且成等差數列；
②；
③.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
18．已知數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
19．設各項都為正數的數列的前n項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設函數，且，求數列的前n項和．
20．已知數列的前項和滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和.第05講 錯位相減法求數列前n項和
例題分析
【例 1】1．設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【分析】（1）根據即可求出；
（2）根據錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
因為， …………確定通項為“等差×等比”的形式，采用錯位相減
所以，
，
…………乘以“等比”的q，寫的時候，最好將兩式錯位對其，次數相同的項對齊，以便準確的相減
兩式相減得，
，
， …………相減并化簡之后并沒有結束，注意前面的系數
即，．
滿分秘籍
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式．
②應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
變式訓練
【變式1-1】已知數列的前項和為，且.
(1)求，并求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）將、代入求，根據關系及遞推式可得，再次由關系及等比數列定義寫出通項公式；
（2）應用錯位相減及等比數列前n項和公式求結果.
【詳解】（1）由題意①，
當時；當時；
當時，②，
①－②得，
當時，也適合上式，所以，所以時，
兩式相減得，故數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
所以.
（2）由（1）得，
③，
④，
③－④得：，
所以 .
【變式1-2】已知數列和，，，.
(1)求證數列是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）通過題中關系，可得，進而可得數列是以為首項，公比為的等比數列.
（2）由（1）可得，，則，可利用分組求和與錯位相減求和解題.
【詳解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以數列是以為首項，公比為的等比數列
（2）由（1）知，∴，
∴，
設，則，
兩式相減得，
從而
∴.
【變式1-3】在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．已知數列的前項和為，，且滿足________．
(1)求；
(2)若，求數列的前項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，利用與的關系即可求解；若選②，利用累加法結合等比數列前項和公式即可求解.
（2）利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）若選①，因為，
當時，，兩式相減得，
當時，，即，
又，所以，
故也滿足，
所以是首項為，公比為的等比數列，故；
若選②，因為，
所以
，故.
（2）由（1）知，
則，①
，②
兩式相減得
，
故.
【變式1-4】記正項數列的前項和為，已知點在函數的圖象上，且，數列滿足，．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由遞推關系可得數列是首項為，公差為的等差數列，則可求得通項公式，由知，是以為公比的等比數列，即可求出的通項公式；
（2）可得，利用錯位相減法可求得.
【詳解】（1）因為點在函數的圖象上，
所以，
當時，，所以，解得或，
因為，所以，
當時，，，
兩式相減得：，即，
因為，所以，
所以數列是首項為，公差為的等差數列，
所以；
由知，是以為公比的等比數列，又，
所以.①
（2）因為，
，
，
兩式相減可得
所以.
【變式1-5】設是公比不為的等比數列，，為，的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出公比，再根據等比數列的通項即可得解；
（2）設，其前n項和為，利用錯位相減法求出，再分和兩種情況討論即可得解.
【詳解】（1）設公比為，為，的等差中項，
即，
即為，解得或(舍去)，
所以；
（2），
設，其前n項和為，
所以，①
， ②
①②得
，
所以，
所以當時，，
當時，
，
所以.
真題專練
1．已知是單調遞增的等差數列，其前項和為.是公比為的等比數列..
(1)求和的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意結合等差、等邊數列的通項公式列式求解即可；
（2）利用分組求和，結合裂項相消法和錯位相減法運算求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由題意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
當為奇數時，則，
設，
則，
兩式相減得
，
所以；
當為偶數時，則，
設 ，
所以；
綜上所述：，
當為奇數時，則
；
當為偶數時，則
；
綜上所述：.
2．已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由條件結合的關系可得，，由此可求的通項公式；
（2）利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）因為，
所以當時，，
，
，
時，，
所以，
；
（2）由（1）知.
令，則
，
，
所以，
.
3．已知數列的首項為1，前項和；
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與之間的關系可得，注意要驗證首項是否符合通項公式；
（2）一個等差數列乘以一個等比數列構成一個新數列，利用錯位相減法求這個新數列的前項和.
【詳解】（1）因為①，所以有②，
②①得，即，
經驗證符合，
所以數列的通項公式為.
（2），
所以①，
②，
①②可得，
即，化簡得，
所以數列的前項和.
4．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知公差不為0的等差數列的前項和為是與的等比中項，___________.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據所選條件，等差數列通項公式，求和公式及等比中項的性質得到方程組，解得、，即可求出通項公式；
（2）利用錯位相減法計算可得.
【詳解】（1）選條件①：設等差數列的公差為，
則，所以，得，
所以數列的通項公式為.
選條件②：設等差數列的公差為，
則，所以，得，
所以數列的通項公式為.
選條件③：因為是與的等比中項，所以，由，可得，
設等差數列的公差為，
則，所以，得，
所以數列的通項公式為.
（2）令，
則①，
②，
①②得，
所以.
5．已知數列的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列，且公差和公比都是，若對滿足的任意正整數，，均有成立．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意分別令，或，，根據數列的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列，且公差和公比都是即可求出首項，寫出通項公式即可
（2）利用錯位相減法即可求出數列的前項和．
【詳解】（1）對滿足的任意正整數，，
均有成立，
令，則即，
令，，得，
，
，
解得，，
由題意數列的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列，且公差和公比都是，
，即，
（2）由1知，
則，
，
，
．
6．已知數列的前項的和為，，數列為單調遞增的等比數列，且有，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，設的前項的和為，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據作差求出的通項公式，根據下標和性質得到，即可求出、，從而求出公比，即可求出的通項公式；
（2）由（1）可得，則，利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）因為，
當時，，
當時，，所以，
經檢驗時也成立，所以；
因為為等比數列，所以，結合，可得或，
因為數列單調遞增，所以，所以，則；
即數列為首項的等比數列，即可得.
（2）因為數列滿足，可得，
所以，
數列的前項的和為，
，
將上面兩式相減可得
，
化簡可得，
所以.
7．已知數列的前項和為,且滿足,數列的前項積.
(1)求數列和的通項公式;
(2)求數列的前n項和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）對于數列,根據,利用和的關系求解;對于數列,因為其前項積,根據即可求解;
（2）由（1）知,利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）當時,,
∴,
當時,,
化簡得,
∵,∴,
∴數列是首項為,公差為的等差數列,
∴.
當時,,
當時,，當時也滿足，
所以.
（2）,
設 ①,
則②,
①-②得 ,
∴.
8．已知是公差不為0的等差數列的前n項和，是，的等比中項，.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意列式求解，即可得結果；
（2）由（1）可得：，利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）設數列的公差為d，
因為是，的等比中項，則，
即，且，
整理得①，
又因為，整理得②
由①②解得，，，
所以.
（2）由（1）知，，
則，
可得，
兩式相減得
，
所以.
9．在①；②，與都是等比數列；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．
已知數列的前n項和為，且______．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①或③，已知和的關系，求解即可；若選②設出公比求解即可；
（2）用錯位相減法求數列的和即可.
【詳解】（1）若選①：當時，，解得；
當時，，，
兩式相減得：，
即，所以，
所以數列是以為首項，4為公比的等比數列.
所以.
若選②：都是等比數列，設的公比為：，
因為是等比數列，，
即，解得（舍去）或，
因為，所以.
若選③：當時，，解得；
當時，，，
兩式相減得：，所以
所以，當時，符合，
故.
（2）由（1）可知：，
所以，
所以數列的前n項和為：
，
，
兩式相減得：，
所以，
所以，
所以.
10．已知數列是公差為3的等差數列，數列是公比為2的等比數列，且滿足． 將數列與的公共項按照由小到大的順序排列，構成新數列．
(1)證明：
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用基本量代換列方程組求出，得到，的通項公式，進而判斷出是數列{}的項，即可證明；（2）利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）由，得，
由，得，
解得，
因為數列{}的公差為3，數列{}的公比為2，
所以
不是數列{}的項，是數列{}的第1項．
設，則
所以不是數列{}的項．
因為，
所以是數列{}的項．
所以
（2）由（1）可知，．
=
所以
所以．
11．設正項數列的前n項和為，且，當時，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，且，求數列的通項公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據結合題意可得是以為首項，1為公差的等差數列，進而可得的通項公式；
（2）根據累加法與錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）由，得，
因為，所以，
所以是以為首項，1為公差的等差數列，所以，
所以，當時，，
當時，也滿足上式，
所以數列的通項公式為．
（2）由知：
當時，，
①，
則②，
由得：，
化簡得：，
當時，也滿足上式，
所以數列的通項公式為．
12．已知等比數列的前項和為，且
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據遞推關系求出等比數列的公比，由等比數列的通項公式求解；
（2）利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1），
當時，，
兩式相減可得，，
故等比數列的公比為，
，
，
故數列的通項公式為．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
13．已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關系即可求解；
（2）求出數列的通項公式后用錯位相減法求解.
【詳解】（1）因為，
所以當時，，所以，
又當時，，解得，
所以，所以，
所以是首項為 公比為的等比數列，
所以的通項公式為.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
兩式相減，得
，
所以.
14．在數列中，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，結合，利用等比數列的求和公式，即可求解；
（2）由（1）得到，結合等差、等比數的求和公式，以及乘公比錯位相減法求和，即可求解.
【詳解】（1）解：因為數列滿足且，
當時，可得
，
當時，適合上式，所以數列的通項公式為.
（2）解：由（1）知，可得，
所以
，
設，
則，
兩式相減得，
所以，
又由，
所以
15．已知數列和等差數列滿足，且當時，.
(1)求數列的通項；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的定義和通項公式以及對數函數的性質即可求解；（2）根據乘公比錯位相減法即可求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由得：，
由得：
由得：
所以：，
所以：
所以：當時，，
又因為不滿足，
所以：.
（2），
當時，；
當時，，①
，②
①②得：
，
所以：，
又也滿足，
綜上：.
16．已知等比數列的公比，若，且，，分別是等差數列第1，3，5項．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若求數列{}的前n項和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先列方程組求出數列的首項和公比，從而得到數列的通項公式，再求出的首項和公差，從而求出的通項公式.
（2）分別用裂項相消法和錯位相減法求解.
【詳解】（1）因為，，分別是等差數列的第1，3，5項，所以，
又，所以得，所以且，
由可解得，，所以；
又，，故等差數列的公差，
所以.
（2）由（1）知
令設數列{}的前n項和為，數列{}的前n項和為，則
因為
所以 ，
因為
所以
兩式相減，得
所以
所以
17．已知數列的前項和為，請從以下三個條件中選擇一個完成解答.
①數列是首項為2的單調遞減的等比數列，且成等差數列；
②；
③.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選擇①，利用等差中項和等比數列的通項公式列式求出公比，即可得；若選擇②，根據，即可求出；若選擇③，利用兩式相減可求出；
（2）根據錯位相減法可求出結果.
【詳解】（1）若選擇①，設公比為，則，即，解得或，
又數列單調遞減，故，此時；
若選擇②，則當時，，即，
當時，，即，
故；
若選擇③，時，則；
當時，符合上式，即.
（2），則，
則，
兩式相減得 ，
從而有.
18．已知數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用遞推式得出是以1為首項，3為公比的等比數列，求出，進而求解即可.
（2）利用錯位相減法求解數列前項和即可.
【詳解】（1）由，得，
又， 是以1為首項，3為公比的等比數列，
，，
即數列的通項公式為.
（2）由（1）知，，
則，①
得，②
①－②得
，
故．
19．設各項都為正數的數列的前n項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設函數，且，求數列的前n項和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由遞推關系，根據累加法求數列的通項公式；
（2）由條件可得，利用錯位相減法求數列的前n項和.
【詳解】（1）由，可得，
當時，，
以上各式分別相加得，又，
所以當時，，
經檢驗符合，
所以，；
（2），
，
，
兩式相減得：
，
所以，
故，
所以.
20．已知數列的前項和滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據，利用數列通項和前n項和的關系求解；
（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.
【詳解】（1）解：當時，，
當時，由 ，
得，
兩式相減得，
又適合上式，
所以；
（2）由（1）知：，
所以，
，
則，
兩式相減得，
，
，
所以.

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