資源簡介

第08講 用空間向量解決立體幾何問題的六種題型
考法呈現(xiàn)
考法一：用空間向量證明平行或垂直
例題分析
【例1-1】
如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．求證：.
【例1-2】
在三棱臺中，平面 為的中點．證明：平面平面．
滿分秘籍
用向量法證明異面直線垂直，可以用基向量法，也可以用空間直角坐標(biāo)系。通過方向向量（或法向量）之間的關(guān)系證明垂直或平行。
變式訓(xùn)練
【變式1-1】如圖，在直三棱柱中，點分別為線段的中點，．證明：平面．
【變式1-2】如圖，已知六面體的面為梯形，，，，，棱平面，，，為的中點.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的大小.
【變式1-3】如圖，在長方體中，，，點E在棱上移動．
(1)證明：；
(2)當(dāng)時，求與平面所成角的正弦值．
【變式1-4】如圖所示，在正方體中，為與的交點，為的中點，求證：平面．
考法二：用空間向量解決異面直線成角問題
例題分析
【例2】已知三棱臺，面，，，D是線段中點，且.
(1)證明：；
(2)請選擇合適的基底向量，求直線與所成角的余弦值.
滿分秘籍
圖示：
計算公式：
易錯點：向量的夾角并不一定是異面直線的成角。
變式訓(xùn)練
【變式2-1】已知正方體，點為中點，直線交平面于點.
(1)證明：點為的中點；
(2)若點為棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
【變式2-2】如圖，平行六面體的所有棱長都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小為120°，E為棱的中點．
(1)證明：CD⊥AE；
(2)點F在棱CC1上，平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．
【變式2-3】如圖，在三棱臺中，，平面平面，二面角的大小為45°，，.
(1)求證：平面ABC；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【變式2-4】如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.
(1)求證：平面；
(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．
【變式2-5】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點.
(1)證明：；
(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.
考法三：用空間向量解決線面夾角問題
例題分析
【例3】已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.
(1)求證：；
(2)設(shè)是棱上的動點（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線與平面所成角的正弦值.
滿分秘籍
圖示：
2.計算公式：
3.易錯點：線面夾角的正弦等于向量夾角余弦的絕對值。
變式訓(xùn)練
【變式3-1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，，．
(1)證明：平面平面；
(2)側(cè)棱SC上是否存在一點P（P不在端點處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．
【變式3-2】如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.
(1)證明：平面平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
【變式3-3】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，且平面，，，分別是，的中點，是上一點，且.
(1)求證：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.
【變式3-4】在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.
(1)求證：平面 平面；
(2)設(shè)，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.
【變式3-5】如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形為平行四邊形，對角線和相交于點H，平面⊥平面，，，G是線段上一動點（不含端點）．
(1)當(dāng)點G為線段BE的中點時，證明：平面；
(2)若，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．
考法四：用空間向量解決面面夾角問題
例題分析
【例4】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
滿分秘籍
1 圖示：
2 計算公式：
3 易錯點：兩個平面成角范圍是[0,]，二面角的范圍[0,π]。
變式訓(xùn)練
【變式4-1】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．
(1)若四棱錐的體積為1，求的長；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．
【變式4-2】如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.
【變式4-3】如圖所示，在幾何體中，平面，點在平面的投影在線段上，，，，平面.
(1)證明：平面平面.
(2)若二面角的余弦值為，求線段的長.
【變式4-4】在三棱臺中，為中點，，，．
(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積．
【變式4-5】如圖，在長方體中，，，點在線段上.
(1)求D到的距離；
(2)當(dāng)是的中點時，求直線與平面所成角的大小；
(3)若平面與平面所成角的余弦值為，求線段的長.
考法五：用空間向量解決點到平面的距離問題
例題分析
【例5】如圖，平面ABCD，，，，，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點.
(1)求證：平面CPM；
(2)求平面QPM與平面CPM夾角的大小；
(3)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為，求N到平面CPM的距離.
滿分秘籍
1 圖示：
2 計算公式：
變式訓(xùn)練
【變式5-1】已知在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點為中點，.
(1)求證：直線平面；
(2)求點到平面的距離.
【變式5-2】如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E為棱AA1的中點．
(1)證明：BC⊥C1E．
(2)設(shè)=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距離為，求λ．
【變式5-3】如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，面ABCD，，．
(1)求點A到平面PBC的距離；
(2)求二面角的正弦值．
【變式5-4】底面為菱形的直棱柱中，分別為棱的中點.
(1)在圖中作一個平面，使得，且平面.（不必給出證明過程，只要求作出與直棱柱的截面）；
(2)若，求平面與平面的距離.
【變式5-5】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點.
(1)求證：平面PBD；
(2)求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距離.
考法六：用空間向量解決點到直線距離問題
例題分析
【例6】如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且，，，四點共面.
(1)證明：平面平面；
(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點到直線的距離.
滿分秘籍
1 圖示：
2 計算公式
變式訓(xùn)練
【變式6-1】如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.
(1)若平面平面，求證： ；
(2)若點是的中點，求點到直線的距離的取值范圍.
【變式6-2】在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．
(1)求證：；
(2)若點到直線的距離為，求的值．
【變式6-3】異面直線、上分別有兩點A、B.則將線段AB的最小值稱為直線與直線之間的距離.如圖，已知三棱錐中，平面PBC，，點D為線段AC中點，.點E、F分別位于線段AB、PC上（不含端點），連接線段EF.
(1)設(shè)點M為線段EF中點，線段EF所在直線與線段AC所在直線之間距離為d，證明：.
(2)若 ，用含k的式子表示線段EF所在直線與線段BD所在直線之間的距離.
【變式6-4】如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．
(1)求直線\到直線的距離；
(2)求直線到平面的距離．
【變式6-5】如圖，在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，.
(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；
(2)求點P到平面DEF的距離；
(3)求點P到直線EF的距離．
真題專練
1．如圖，平面，四邊形為直角梯形，.
(1)求異面直線與所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值.
2．如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點M為線段CD上一點．
(1)求證：；
(2)若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．
3．如圖，棱長為2的正方體中，P為線段上動點．
(1)證明： 平面；
(2)當(dāng)直線BP與平面所成的角正弦值為時，求點D到平面的距離．
4．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點，.
(1)求證：；
(2)設(shè)，在線段上是否存在點（異于點），使得二面角的大小為.
5．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分別為，AC的中點．
(1)求證：平面；
(2)從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．
6．如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让妫?
(1)求證：；
(2)若直線與平面所成的角為，為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.
7．如圖，在中，，為邊上一動點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至.
(1)證明：平面平面；
(2)若，且，線段上是否存在一點（不包括端點），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.
8．如圖，圓錐中，為底面圓的直徑，，為底面圓的內(nèi)接正三角形，圓錐的高，點為線段上一個動點.
(1)當(dāng)時，證明：平面；
(2)當(dāng)點在什么位置時，直線PE和平面所成角的正弦值最大.
9．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的動點..
(1)證明：；
(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點D的位置.
10．四棱錐中，底面為矩形， ，，平面與平面的交線為.
(1)求證：直線平行于平面；
(2)求二面角的余弦值.
11．如圖，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，，點在上.
(1)若平面，求；
(2)若是的中點，求二面角的正弦值.
12．如圖，在多面體中，上底面與下底面平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等．已知 ，垂足為點，三棱錐的體積為．
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
13．如圖，平面ABCD是圓柱OO 的軸截面，EF是圓柱的母線，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．
(1)求證：GH∥平面ABCD；
(2)求平面ABF與平面CDE夾角的正弦值．
14．在長方體中，，點P為棱上任意一點.
(1)求證：平面⊥平面；
(2)若點E為棱上靠近點C的三等分點，求點P在棱上什么位置時，平面與平面夾角的余弦值為.
15．已知直角梯形形狀如下，其中，，，．
(1)在線段CD上找出點F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點F的具體位置（無需給出證明過程）．
(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．
16．如圖，在中，為中點，過點作垂直于，將沿翻折，使得面面，點是棱上一點，且面．
(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值．
17．如圖，在三棱臺ABC—中，，平面平面.
(1)證明：平面；
(2)若二面角的大小是，求側(cè)面與底面所成二面角的正弦值.
18．三棱臺中，平面，，且，，是的中點．
(1)求三角形重心到直線的距離；
(2)求二面角的余弦值．
19．如圖，在四棱錐中，，，底面，為棱上的點，，.
(1)若 平面，求證：點為的中點；
(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.
條件①： 平面
條件②：直線與夾角的余弦值為
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
20．如圖，正是圓柱底面圓的內(nèi)接三角形，其邊長為.是圓的直徑，是圓柱的母線，是與的交點，圓柱的軸截面是正方形.
(1)記圓柱的體積為，三棱錐的體積為，求；
(2)設(shè)是線段上一點，且，求二面角的余弦值.第08講 用空間向量解決立體幾何問題的六種題型
考法呈現(xiàn)
考法一：用空間向量證明平行或垂直
例題分析
【例1-1】
如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．求證：.
【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理推出平面，進一步推出，再根據(jù)空間向量可證.
【詳解】在矩形中，，
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，又因平面，所以，
又 ，
所以，
所以.
【例1-2】
在三棱臺中，平面 為的中點．證明：平面平面．
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量數(shù)量積坐標(biāo)表示求出，即可證得，即平面，再由面面垂直的判定定理即可證明.
【詳解】由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以．
因為，
所以，所以．
又平面，所以平面，又平面，
所以平面平面．
滿分秘籍
用向量法證明異面直線垂直，可以用基向量法，也可以用空間直角坐標(biāo)系。通過方向向量（或法向量）之間的關(guān)系證明垂直或平行。
變式訓(xùn)練
【變式1-1】如圖，在直三棱柱中，點分別為線段的中點，．證明：平面．
【分析】根據(jù)已知條件建系，求平面的一個法向量和坐標(biāo)進而證明線面垂直即可.
【詳解】由直三棱柱可知平面，
因為平面，所以，又因為，
所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，即，
所以，即，所以平面．
【變式1-2】如圖，已知六面體的面為梯形，，，，，棱平面，，，為的中點.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的大小.
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法證明線面平行；
（2）求出平面的法向量后利用線面角的向量公式直接求解即可.
【詳解】（1）因為平面ABCD，所以，，且，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則
所以
設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得，故，
所以，故，
又平面，所以平面.
（2）由（1）得
設(shè)平面的法向量為則，令，解得，
故所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，則又，所以.
【變式1-3】如圖，在長方體中，，，點E在棱上移動．
(1)證明：；
(2)當(dāng)時，求與平面所成角的正弦值．
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.
（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值．
【詳解】（1）以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，設(shè)，
所以，
所以.
（2）當(dāng)時，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)與平面所成角為，
則.
【變式1-4】如圖所示，在正方體中，為與的交點，為的中點，求證：平面．
【分析】要證明平面GBD，只需證明垂直于平面GBD中的兩條相交直線．易知，而中的G，O連接后的線段GO與垂直的可能性最大，故不妨嘗試證明，由向量的數(shù)量積可知只需證明即可·
【詳解】如圖所示，連接，
設(shè)，，，則，，，．
因為，
，
，
所以
，
，
所以，，即，．
又因為，平面，平面，
所以平面．
考法二：用空間向量解決異面直線成角問題
例題分析
【例2】已知三棱臺，面，，，D是線段中點，且.
(1)證明：；
(2)請選擇合適的基底向量，求直線與所成角的余弦值.
【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合余弦定理先求出的長度，然后再證明與相似，從而可證明.
（2）選取基底，分別表示出，求出模長和對應(yīng)的數(shù)量積，由向量法可得出答案.
【詳解】（1）證明：連接. 設(shè)，在中，由余弦定理得
，
又，因為，所以，解得，
由于，且，所以，
所以，所以，即，
又因為，所以面，又因為面，所以.
（2）選取基底，
，
，
，
，
所以直線與所成角的余弦值為.
滿分秘籍
圖示：
計算公式：
易錯點：向量的夾角并不一定是異面直線的成角。
變式訓(xùn)練
【變式2-1】已知正方體，點為中點，直線交平面于點.
(1)證明：點為的中點；
(2)若點為棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
【詳解】（1）在正方體中，，又平面，且平面，
則平面，而交平面于點，即平面，
又平面，有平面，因此平面平面，
于是，而為中點，
所以為的中點.
（2）以為坐標(biāo)原點，方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方體的棱長為3，設(shè)，
則,
從而，
設(shè)平面的一個法向量為，則
,即,不妨取,則,即，
設(shè)直線與平面所成角為，
又直線與平面所成角的正弦值為，
因此，解得，
所以.
【變式2-2】如圖，平行六面體的所有棱長都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小為120°，E為棱的中點．
(1)證明：CD⊥AE；
(2)點F在棱CC1上，平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．
【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得線面垂直進而得線線垂直，由二面角定義可得，進而根據(jù)中點得線線垂直即可求，
（2）由線面平行的性質(zhì)可得線線平行，由線線角的幾何法可利用三角形的邊角關(guān)系求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）（1）因為平面平面，且兩平面交線為,，平面
所以平面，所以，是二面角的平面角，故 ．
連接，E為棱的中點，則，從而．
又，，平面AED，所以平面，平面,因此．
（2）解法1：設(shè)，則，所以．
連交于點，連接交于點G，連．因為平面，平面AEC,平面AEC平面BDF=OG
所以，因為為中點，
所以G為中點，故．且直線與所成角等于直線與所成角．
在中，，因為，
所以．
因此直線AE與DF所成角的余弦值為．
解法2；設(shè)，則，所以．
取中點為，連接交于點，則．
連接交于點，連，因為平面，平面AGE，平面AGE平面BDF=IH，所以．
與所成角等于直線與所成角．
正方形中，，，所以，故．
在中，，，
由余弦定理．在中，．
因此直線與所成角的余弦值為．
解法3:由（1）知平面，以為坐標(biāo)原點，為x軸正方向，為2個單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由（1）知，得 ，．
則，，，．
由，得．
因為平面BDF，所以存在唯一的，，
使得，
故，解得，
從而．
所以直線與所成角的余弦值為．
【變式2-3】如圖，在三棱臺中，，平面平面，二面角的大小為45°，，.
(1)求證：平面ABC；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【分析】（1）根據(jù)題意可得，取AB中點O，連結(jié)，利用梯形和平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)得到，則，再利用線面垂直的判定即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，分別求出兩異面直線所在的方向向量，然后利用空間向量的夾角公式即可求解.
【詳解】（1）因為，平面平面ABC，
平面平面，平面ABC，
所以平面，
又因為，平面.
所以，，所以是二面角的平面角，
因為二面角的大小為45°，
所以.
取AB中點O，連結(jié)，
在梯形中，，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，，
從而在三角形中，，，
所以，所以，即，所以.
又因為，平面，，所以平面.
（2）以О為坐標(biāo)原點，OB為x軸，平面ABC內(nèi)過О平行于BC的直線為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
【變式2-4】如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.
(1)求證：平面；
(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．
【分析】（1）以點為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得平面；
（2）設(shè)，則，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：因為底面，，
如圖，以點為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、、，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，
又因為，則，所以，，
又因為平面，所以，平面.
（2）解：依題意，設(shè)，則，
所以，，，
由已知，得，
整理可得，解得或，
所以，線段的長為或.
【變式2-5】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點.
(1)證明：；
(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.
【分析】（1）由題可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABCD，進而即得；
（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.
【詳解】（1）在中，，E為AD的中點，
，又平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面ABCD，又平面ABCD，
.
（2）如圖，連接EC，由條件知，，
所以四邊形BCDE為矩形，又平面ABCD，平面ABCD，
所以 ，又平面，
所以平面，平面，
所以 ，又BF與CD所成的角為，，
從而，在中，，
同理在中，，
，
為等邊三角形，即，
在中，，，得，
以E為原點，分別以EA，EB，EP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，
，.
設(shè)平面BEF的法向量為，
則，令，得，
易知平面ABE的一個法向量為，
則，
平面BEF和平面ABE夾角的余弦值為.
考法三：用空間向量解決線面夾角問題
例題分析
【例3】已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.
(1)求證：；
(2)設(shè)是棱上的動點（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線與平面所成角的正弦值.
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明線線垂直，結(jié)合勾股定理證明直線垂直，從而由線面垂直判定定理得平面，利用線面垂直的性質(zhì)進行證明即可；
（2）根據(jù)三角形的面積最小，得到是的中點，建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接
，，是的中點
，是的中點
，
，
平面
平面，平面，，
在三棱柱中，，
，，
，
平面，
平面，．
（2）連接，由（1）可知，
平面，平面
平面，
，要使的面積最小，則最小，
又，△是等腰直角三角形
即時，最小，是的中點，
如圖，建立以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系：
則，，，,0,，
設(shè),,，則，即，得，，，
即,,，
，則，
，,,，
設(shè)平面的法向量為,,，
由，得，即，令，則，，即，
設(shè)直線與平面所成角為，
則,，
即直線與平面所成角的正弦值為．
滿分秘籍
圖示：
2.計算公式：
3.易錯點：線面夾角的正弦等于向量夾角余弦的絕對值。
變式訓(xùn)練
【變式3-1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，，．
(1)證明：平面平面；
(2)側(cè)棱SC上是否存在一點P（P不在端點處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)存在，點P為SC的中點.
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，設(shè)，由直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于，解得即可.
【詳解】（1）證明：因為底面ABCD為正方形，，所以，
又因為側(cè)面SAD為等邊三角形，所以.
，所以，即，又,
所以平面，又因為平面，
所以平面平面.
（2）如圖：
取的中點為，連接，因為側(cè)面為等邊三角形，
所以，
又由（1）可知平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸為正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
，，，，，
所以，，，設(shè).
，所以，所以.
設(shè)平面SAC的法向量為，由于，所以.
令，則，，所以，
所以.
因為直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于.
所以，解得或（舍）
故存在，當(dāng)點P為SC的中點時，使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于.
【變式3-2】如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.
(1)證明：平面平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
【分析】（1）先證線面垂直再得面面垂直即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算即可.
【詳解】（1）設(shè)圓O的半徑為r，
在中，，，，
故，又，故，
在中，由余弦定理得，
所以，即；
圓錐中，底面，底面，故，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則，，
則，，，，，
，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
有，即，解得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
【變式3-3】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，且平面，，，分別是，的中點，是上一點，且.
(1)求證：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.
【分析】（1）通過證明即可證明結(jié)論；
（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，由選擇條件可得相應(yīng)點坐標(biāo)，可得向量坐標(biāo)與平面法向量坐標(biāo)，即可得線面夾角正弦值，從而可得答案．
【詳解】（1）證明：，分別為，中點，，
又平面，平面，
平面；
（2）底面是邊長為2的菱形，所以，又平面，平面，
所以，
如圖所示，以為原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，底面是邊長為2的菱形， ，
則，，．
，
又， ， ，
，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，所以，
設(shè)直線與平面所成角為．
則，故有，
所以直線與平面所成角的余弦值.
【變式3-4】在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.
(1)求證：平面 平面；
(2)設(shè)，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.
【分析】（1）先證明平面以及平面，根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求得平面的一個法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）在圓柱中，,平面,平面,
故平面；
連接，因為等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，，
故，
則為正三角形，故，則，
平面,平面,
故平面；
又平面，
故平面 平面.
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點，在底面圓過點垂直于平面作直線為x軸，
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由于，由（1）可知,
故,
則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
令，則，
由，，，
可得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
即得，解得或，符合，
故或.
【變式3-5】如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形為平行四邊形，對角線和相交于點H，平面⊥平面，，，G是線段上一動點（不含端點）．
(1)當(dāng)點G為線段BE的中點時，證明：平面；
(2)若，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．
【分析】（1）連接，由三角形中位線和邊長關(guān)系可知四邊形是平行四邊形，即可證明平面；
（2）根據(jù)題意可知，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)利用空間向量即可表示出，進而確定點位置，再分別求得兩平面的法向量即可得出二面角的正弦值為.
【詳解】（1）證明：
連接，如下圖（1）中所示：
因為四邊形為平行四邊形，所以是中點，
又點為線段的中點，則，且,
又且，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）以為原點，為軸，過且在平面內(nèi)與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示：
由平面⊥平面，，可知，
均為邊長為2的正三角形，
則有，
設(shè)，
則，
為平面的法向量，
所以，
解得（其中舍去）,所以，
設(shè)平面的法向量為，則有，
令，則，故可取．
設(shè)平面的法向量為，則有，
令，則，故可取
所以．
所以二面角的正弦值為．
即二面角的正弦值為.
考法四：用空間向量解決面面夾角問題
例題分析
【例4】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理進行證明；
（2）利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法進行求解.
【詳解】（1）如圖，連接，交于，連接.
因為側(cè)面為菱形，所以 ，且為的中點.又，故.
又，且，所以，所以.又，所以，所以.
因為平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，兩兩互相垂直，因此以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.
故，，.
設(shè)為平面的一個法向量，則有，即，令，則.
設(shè)為平面的一個法向量，則有，即，令，則.因為平面平面，所以也是平面的一個法向量.
所以.
所以平面與平面夾角的余弦值.
滿分秘籍
1 圖示：
2 計算公式：
3 易錯點：兩個平面成角范圍是[0,]，二面角的范圍[0,π]。
變式訓(xùn)練
【變式4-1】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．
(1)若四棱錐的體積為1，求的長；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）過作于，連接，根據(jù)面面垂直得性質(zhì)可得底面，設(shè)，求出，再根據(jù)錐體的體積公式即可得解；
（2）取的中點，連接，則，以的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）如圖，過作于，連接，
因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面面，
所以底面，
設(shè)，因為，
所以，
在菱形中，，則為等邊三角形，
則，
所以四棱錐的體積，
解得；
（2）取的中點，連接，則，
以的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，
，令，得，
則，
故平面與平面所成二面角的正弦值為.
【變式4-2】如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.
【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定可得平面，得到；由勾股定理可證得；由線面垂直和面面垂直的判定可證得結(jié)論；
（2）作，垂足為，且，以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）四邊形為直角梯形，，，
又，，平面，平面，
又平面，；
作，
，，，，
又，，
，，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）作，垂足為，且，
由（1）知：平面，平面，
，，，，，，
，，則，
以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
平面，是平面的一個法向量；
設(shè)平面的法向量，又，，
，令，解得：，，；
；
由圖形可知：平面與平面所成二面角為銳二面角，
平面與平面所成二面角的余弦值為.
【變式4-3】如圖所示，在幾何體中，平面，點在平面的投影在線段上，，，，平面.
(1)證明：平面平面.
(2)若二面角的余弦值為，求線段的長.
【分析】（1）過點作的垂線，垂足為，連接，可證平面，從而可證，由線面平行的性質(zhì)定理可證，從而可證四邊形為平行四邊形，通過解三角形可得，即，再由平面可證，從而可證平面，從而有平面，即可證明平面平面；
（2）分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用二面角空間向量求法可得方程，求解即可.
【詳解】（1）由題知，平面平面，過點作的垂線，垂足為，連接，
又因為平面平面，所以平面.
因為平面，所以，則共面.
因為平面，平面，平面平面，
所以，則四邊形為平行四邊形，所以.
因為，，所以，
因為，所以，
由正弦定理得，即，
所以，因為，所以，
所以，即.
因為平面，平面，所以，
又因為,平面，所以平面.
因為，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，，兩兩垂直，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，如圖所示，
則，，，，
所以，，.
設(shè)平面的法向量，
所以，即，令，得，
所以平面的一個法向量.
設(shè)平面的法向量，
所以，即，令，得，
所以平面的一個法向量.
所以，即，解得或，
當(dāng)時，，不合題意，
所以線段的長為2.
【變式4-4】在三棱臺中，為中點，，，．
(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積．
【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；
（2）以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式可求出，再由等體積法求出三棱錐的體積．
【詳解】（1）在三棱臺中，為中點，則，又，則，
又，∴四邊形為平行四邊形，則，
∵，∴，又，，
∴，∵平面，，∴平面．
（2）∵，，∴，
又∵，平面，，∴平面，
∵，，為中點，∴．
以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，，，則，又平面的一個法向量為，
則，∴，即．
∵平面，平面平面，平面，
∴．
【變式4-5】如圖，在長方體中，，，點在線段上.
(1)求D到的距離；
(2)當(dāng)是的中點時，求直線與平面所成角的大小；
(3)若平面與平面所成角的余弦值為，求線段的長.
【分析】（1）連接，求出等腰三角形腰上的高即可作答.
（2）以點為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的大小作答.
（3）設(shè)點，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍可求得的值，即可得解.
【詳解】（1）在長方體中，，，連接，
由，得，而，
則等腰的腰上的高即為點D到的距離，底邊上的高，
由，得，
所以點D到的距離為.
（2）依題意，以點為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則、、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為為，
而，則，
因為，所以直線與平面所成角為.
（3）設(shè)點，其中，
設(shè)平面的法向量為，則，，
則，令，得，
顯然平面的一個法向量為，
由，而，解得，
所以平面與平面所成角的余弦值為時，線段的長為.
考法五：用空間向量解決點到平面的距離問題
例題分析
【例5】如圖，平面ABCD，，，，，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點.
(1)求證：平面CPM；
(2)求平面QPM與平面CPM夾角的大小；
(3)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為，求N到平面CPM的距離.
【分析】（1）連接EM，證得，利用線面平行判定定理即可證明平面MPC；
（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.
（3）設(shè)，則，從而，由（2）知平面PMQ的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，求出，進而得到，利用點到平面距離公式求出答案.
【詳解】（1）證明：連接EM，因為，，
所以，
又因為，所以四邊形PABQ為平行四邊形，
因為點E和M分別為AP和BQ的中點，所以且，
因為，，F(xiàn)為CD的中點，所以且，
可得且，即四邊形EFCM為平行四邊形，
所以，又平面MPC，平面MPC，
所以平面MPC.
（2）因為平面ABCD，，故以D為原點，分別以DA，DC，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意可得，，，，，，，
，，，，
設(shè)為平面PQM的法向量，
則，不妨設(shè)，可得，
設(shè)為平面PMC的法向量，
則，不妨設(shè)，可得.
所以，
設(shè)平面PQM與平面PMC夾角為，
所以，
即平面PQM與平面PMC夾角的正弦值為.
（3）設(shè)，即，
則.
從而.
由（2）知平面PMQ的法向量為，
而直線DN與平面PMQ所成的角為，
所以，
即，
整理得，解得或，
因為，
所以，所以，，
由（2）知：為平面的法向量，
故點N到平面CPM的距離為.
滿分秘籍
1 圖示：
2 計算公式：
變式訓(xùn)練
【變式5-1】已知在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點為中點，.
(1)求證：直線平面；
(2)求點到平面的距離.
【分析】（1）連接交于點，連接，進而根據(jù)即可證明；
（2）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.
【詳解】（1）證明：連接交于點，連接，
因為底面為正方形，
所以為的中點，
所以，在中，為的中點，為的中點，
所以；
又因為面，面，
所以平面.
（2）解：因為平面，為正方形，平面，
所以，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
所以，，即，
令，則，，即，
，
設(shè)點P到平面MAC的距離為d，
所以，
所以，點到平面的距離為.
【變式5-2】如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E為棱AA1的中點．
(1)證明：BC⊥C1E．
(2)設(shè)=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距離為，求λ．
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明直線垂直；
（2）用空間向量法求點面距，根據(jù)條件列方程求出參數(shù)值．
【詳解】（1）以A為坐標(biāo)原點，AD，AA1，AB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，,
所以=，=，
所以·=2×2+0+2×=0，
所以⊥，故BC⊥C1E；
（2）因為=，=，
所以=+=+λ=，
設(shè)平面BB1M的法向量為，
則，令x=1+λ，則，
因為=，
所以C1到平面BB1M的距離，
解得．
【變式5-3】如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，面ABCD，，．
(1)求點A到平面PBC的距離；
(2)求二面角的正弦值．
【分析】(1) 連接AC，根據(jù)線面垂直得到線線垂直，再利用線面垂直判定得到面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求解即可；
(2)根據(jù)（1）中的坐標(biāo)，分別求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）連接AC，面ABCD
，，面PAC，面PAC，，
面，，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立坐標(biāo)系則，
，，
設(shè)平面的法向量為，
即，令，則，，
A到面PBC距離.
（2）由（1）可知：，，，，
設(shè)平面的法向量為，
即，，令，則，
設(shè)面的法向量為，
即令，則，，
，
∴二面角的正弦值為.
【變式5-4】底面為菱形的直棱柱中，分別為棱的中點.
(1)在圖中作一個平面，使得，且平面.（不必給出證明過程，只要求作出與直棱柱的截面）；
(2)若，求平面與平面的距離.
【分析】（1）取的中點，則平面即為所求平面.（2）連接,交于，則，分別以所在的直線為軸，為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面與平面的距離.
【詳解】（1）
如圖，取的中點，連接，則平面即為所求平面.
證明：由,平面，平面，可得平面.
由，平面，平面，可得平面.
,平面，平面,故可得平面平面，即平面.
（2）如圖，連接,交于，
在直棱柱中，底面為菱形，
，
分別以所在的直線為軸，為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
又所有棱長為2，
，
，，
設(shè)是平面的一個法向量，則，即
令得，，
點到平面的距離，
平面與平面的距離.
【變式5-5】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點.
(1)求證：平面PBD；
(2)求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距離.
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定定理和性質(zhì)、線面垂直的判定定理進行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；
（3）利用空間點到直線距離公式進行求解即可.
【詳解】（1）因為，M為BC的中點，
所以，
因為四棱錐的底面是矩形，
所以，
所以，所以，
而，即，
因為底面ABCD，底面ABCD，
所以，而平面PBD，
所以平面PBD；
（2）因為平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因為因為四棱錐的底面是矩形，
所以，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
因為平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量為，
設(shè)平面APM的法向量為，
，，
于是有，
平面ABCD與平面APM所成角的余弦值為；
（3）由（2）可知平面APM的法向量為，，
所以D到平面APM的距離為
考法六：用空間向量解決點到直線距離問題
例題分析
【例6】如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且，，，四點共面.
(1)證明：平面平面；
(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點到直線的距離.
【分析】（1）過作，交底面弧于，連接，有為平行四邊形，根據(jù)題設(shè)可得，即，再由線面垂直的性質(zhì)可得 ，最后根據(jù)線面、面面垂直的判定即可證結(jié)論.
（2）構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，令半圓柱半徑為，高為，確定相關(guān)點坐標(biāo)，進而求平面、平面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及已知條件可得，即可求出點到直線的距離.
【詳解】（1）過作，交底面弧于，連接，易知：為平行四邊形，
所以，又為弧的中點，則是弧的中點，
所以，而由題設(shè)知：，則，
所以，即，由底面，平面，則，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）由題意，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，
令半圓柱半徑為，高為，則，，，，
所以，，，，
若是面的一個法向量，則，令，則，
若是面的一個法向量，則，令，則，
所以，
整理可得，則，又，
由題設(shè)可知，此時點，，，
則，，
所以點到直線的距離.
.
滿分秘籍
1 圖示：
2 計算公式
變式訓(xùn)練
【變式6-1】如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.
(1)若平面平面，求證： ；
(2)若點是的中點，求點到直線的距離的取值范圍.
【分析】（1）根據(jù)題意得到四邊形是平行四邊形，證得，進而證得平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，即可證得.
（2）取中點，以為原點，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得和向量，得到，且，結(jié)合點到直線的距離，即可求解.
【詳解】（1）證明：在梯形中，因為且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為平面，且平面，所以平面，
因為平面，且平面平面，所以.
（2）解：取中點，連接，因為是等邊三角形，可得
以為原點，所在直線為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，
則，
所以，，，且，
則點到直線的距離
因為，所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，所以點到直線的距離的取值范圍是.
【變式6-2】在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．
(1)求證：；
(2)若點到直線的距離為，求的值．
【分析】（1）計算確定，證明平面，得到，再證明平面，得到答案.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點坐標(biāo)，設(shè)得到，再根據(jù)點到直線的距離公式計算得到答案.
【詳解】（1），，
，故，則，即，
又平面平面，平面平面，
，平面，故平面，
平面，則 ，
又，，平面，所以平面，
又平面，則.
（2）設(shè)中點為，中點為，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：
有，
設(shè)，則，設(shè)，則，
則 ，，，
點到直線的距離為，則，
即，即，解得，
所以.
【變式6-3】異面直線、上分別有兩點A、B.則將線段AB的最小值稱為直線與直線之間的距離.如圖，已知三棱錐中，平面PBC，，點D為線段AC中點，.點E、F分別位于線段AB、PC上（不含端點），連接線段EF.
(1)設(shè)點M為線段EF中點，線段EF所在直線與線段AC所在直線之間距離為d，證明：.
(2)若 ，用含k的式子表示線段EF所在直線與線段BD所在直線之間的距離.
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點的坐標(biāo)，進而假設(shè)是直線與的公垂線，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的方程組，從而推出矛盾，由此得證；
（2）利用（1）中結(jié)論，求得直線與的公共法向量，從而利用異面直線間的距離公式求得所求.
【詳解】（1）因為在三棱錐中，平面PBC，，
所以易得兩兩垂直，
以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，故，
不妨設(shè)，，則，，
所以，即，
所以，，，
要證，只需證不是直線與的公垂線即可，
假設(shè)是直線與的公垂線，則，
故，即，
整理得，消去，得，即，
所以，不滿足，故假設(shè)不成立，
所以.
.
（2）不妨設(shè)，則，
由（1）得，，，
因為，所以，則，
所以，
不妨設(shè)是直線與的公共法向量，
所以，令，則，，故，
設(shè)線段EF所在直線與線段所在直線之間的距離為，
則，
因為，
所以，即線段EF所在直線與線段所在直線之間的距離為.
【變式6-4】如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．
(1)求直線\到直線的距離；
(2)求直線到平面的距離．
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線到直線的距離；
（2）轉(zhuǎn)化為到平面的距離,利用點到平面的距離向量法可得答案.
【詳解】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，
因為，所以，即，
所以點到直線的距離即為直線到直線的距離，
，，
，，
所以直線到直線的距離為；
（2）因為，平面，平面，所以平面，
所以直線到平面的距離等于到平面的距離，
,，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，取，可得，
所以到平面的距離為，
所以直線到平面的距離為.
【變式6-5】如圖，在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，.
(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；
(2)求點P到平面DEF的距離；
(3)求點P到直線EF的距離．
【分析】（1）構(gòu)建以A為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求面DEF的一個法向量、，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值；
（2）由及（1）面DEF的法向量，應(yīng)用向量法求點面距離.
（3）先求出在上的投影長，再應(yīng)用向量的坐標(biāo)計算點P到直線EF的距離．
【詳解】（1）如圖，以A為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由，
則，
所以，
設(shè)平面DEF的一個法向量為，則，取，則．
設(shè)PA與平面DEF所成的角為θ，則，
故直線PA與平面DEF所成角的正弦值為.
（2）因為，，
所以點P到平面DEF的距離為 .
（3）因為，， 在上的投影長為，
所以點P到直線EF的距離為.
真題專練
1．如圖，平面，四邊形為直角梯形，.
(1)求異面直線與所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)可得異面直線所成的角，利用直角三角形求解即可；
（2）以點為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，再由向量法得出二面角的余弦值.
【詳解】（1）由，
則異面直線與所成角即為，
由題意知，平面，又平面，
故，所以，即，
即異面直線與所成角為.
（2）因為平面，平面，
所以，又，，
所以以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：
則，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，得，
取平面的法向量為，
設(shè)二面角的大小為，由圖形知，為銳角，
所以，
所以二面角的余弦值為.
2．如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點M為線段CD上一點．
(1)求證：；
(2)若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）取AC中點O，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)證明即可推理作答.
（2）利用（1）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.
【詳解】（1）取AC中點O，連接DO、OB，在正和正中，，
則，而平面平面ABC，
平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，
又平面ABC，即有，而．因此四邊形DOBE是平行四邊形，則，
從而平面ABC，平面ADC，
所以.
（2）由（1）知，平面ADC，為EM與平面ADC的所成角，即，
在中，，即M為DC中點，
由（1）知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
顯然平面DAC的一個法向量為，設(shè)平面MAB的一個法向量為，
則，令，得，
，
所以平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值為．
3．如圖，棱長為2的正方體中，P為線段上動點．
(1)證明： 平面；
(2)當(dāng)直線BP與平面所成的角正弦值為時，求點D到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）確定 平面， 平面得到平面 平面，得到證明.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面的一個法向量為，得到，再確定法向量，再根據(jù)距離的向量公式計算得到答案.
【詳解】（1），平面，平面，故 平面；
同理可得： 平面；
，且平面，故平面 平面；
，故 平面；
（2）如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取得到，，
BP與平面所成的角正弦值為：
，解得或（舍），
設(shè)平面的法向量為，則，
取得到，
則點D到平面的距離.
4．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點，.
(1)求證：；
(2)設(shè)，在線段上是否存在點（異于點），使得二面角的大小為.
【答案】(1)證明見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)余弦定理計算，根據(jù)勾股定理得到，確定平面，得到證明.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.
【詳解】（1），故，
，則，故，
又，平面，，故平面，
平面，故，
（2）△和△所在的平面互相垂直，則平面平面，
且平面，故平面，
如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取得到，
則，解得，不滿足題意.
綜上所述：不存在點，使二面角的大小為.
5．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分別為，AC的中點．
(1)求證：平面；
(2)從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取AB的中點為K，連接MK，NK，易得，由線面平行的判定證平面、平面，再由面面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；
（2）根據(jù)所選條件證BC，BA，兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求線面角的正弦值即可.
【詳解】（1）取AB的中點為K，連接MK，NK，
由三棱柱得：四邊形為平行四邊形，
因為M是中點，則，又平面，平面，
故平面，同理得平面，
又NK∩MK＝K，平面MKN，平面MKN，
故平面平面，平面MKN，
故平面；
（2）因為側(cè)面為正方形，故，而平面，
平面平面，又平面平面，
故CB⊥平面，平面，所以CB⊥AB，
又，所以NK⊥AB，
若選①：AB⊥MN，已證NK⊥AB，又NK∩MN＝N，平面MNK，平面MNK，
故AB⊥平面MNK，平面MNK，故AB⊥MK，
又，所以，所以BC，BA，兩兩垂直．
故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz，
則，故，，，
設(shè)平面BNM的法向量為，則，從而，取z＝1，則，
設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則
若選②：BM＝MN，已證CB⊥平面，又，故NK⊥平面，
而平面，故NK⊥KM，
又BM＝MN，，，AB＝BC＝2，
故△MKBMKN，所以∠MKB＝∠MKN＝90°，
所以MK⊥AB，又，所以，所以BC，BA，兩兩垂直
故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz，
則，故，，，
設(shè)平面BNM的法向量為，則從而，取z＝1，則，
設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則．
6．如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让妫?
(1)求證：；
(2)若直線與平面所成的角為，為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)即可完成證明；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量進而求得兩個平面所成銳二面角的大小.
【詳解】（1）取的中點為M，連接.因為，所以.
又因為平面?zhèn)让妫矫鎮(zhèn)让妫矫妫云矫?
因為平面，所以.
因為在直三棱柱中，底面且平面，
所以 ，又，從而側(cè)面，
又因為平面，所以.
（2）由（1）知平面，
所以直線與平面所成的角為，
因為，，，;
以為原點，，，分別為，，軸正向建立坐標(biāo)系，
，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為
，故可設(shè)，
設(shè)平面的法向量為，
，故可設(shè)，
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
∴，所以.
7．如圖，在中，，為邊上一動點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至.
(1)證明：平面平面；
(2)若，且，線段上是否存在一點（不包括端點），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）由條件證明，，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，根據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面；
（2）證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，，求平面，平面的法向量，由條件列方程求即可.
【詳解】（1）因為，，
所以，所以，
所以，又因為，
，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）因為，，∴，
又∵，，平面，
∴平面，
∴、、兩兩垂直，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，，
所以.
則，，，，
平面的一個法向量為，
，設(shè)，
，
，
設(shè)平面法向量為，
則，所以，
取，則，，
故為平面的一個法向量，
所以，
解得，符合題意
即，∴.
【點睛】
8．如圖，圓錐中，為底面圓的直徑，，為底面圓的內(nèi)接正三角形，圓錐的高，點為線段上一個動點.
(1)當(dāng)時，證明：平面；
(2)當(dāng)點在什么位置時，直線PE和平面所成角的正弦值最大.
【答案】(1)證明見解析；
(2)點在距離點處
【分析】（1）利用勾股定理證明出和，再用線面垂直的判定定理證明出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
【詳解】（1）因為，，所以是正三角形，則，
又底面圓，底面圓，所以，
在中，，所以，
因為是正三角形，所以，
，，
所以，，
同理可證，
又，，平面，所以平面.
（2）如圖，建立以為原點的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，（），所以，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，故，
設(shè)直線和平面所成的角為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，直線和平面所成角的正弦值最大，
故點在距離點處.
9．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的動點..
(1)證明：；
(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點D的位置.
【答案】(1)證明見解析
(2)最小值為，點為靠近的的四等分點
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量即可證明；
（2）求出平面與平面DEF的法向量即可求解.
【詳解】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因為，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即兩兩垂直，
以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則
，，，，，，，，設(shè)，
所以，，
因為，
所以，即.
（2）設(shè)平面的法向量為，
因為，，
所以，令，則，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面DEF所成的二面角為，
則，
當(dāng)時，取最小值為，此時取得最大值，
所以，
所以平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時點為靠近的的四等分點.
10．四棱錐中，底面為矩形， ，，平面與平面的交線為.
(1)求證：直線平行于平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意證得平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證得直線，再由線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取的方向向量，根據(jù)，，利用向量的夾角公式，求得，進而求得平面和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：因為底面是矩形，可得，
又因為平面，平面，所以平面，
因為平面，且平面平面，所以直線，
又因為平面，平面，所以平面.
（2）解：以點為原點，，垂直于平面的直線分別為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，則，
設(shè)，取的方向向量，
因為，，
可得
，
又因為，可得，即，
解得，即，
設(shè)平面法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，
取取，可得，所以，
所以，
由圖象可得，二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.
11．如圖，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，，點在上.
(1)若平面，求；
(2)若是的中點，求二面角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）記中點為，連接、，依題意可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，，依題意可得求出的值，即可得解；
（2）依題意點與點重合，利用空間向量法計算可得.
【詳解】（1）記中點為，連接、，為正三角形，，
則，且.
因為平面平面 ，平面平面，平面，
所以平面，又為正三角形，所以，所以，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，則，
設(shè)，，則，
因為平面，所以，解得，
所以為的中點，此時.
（2）若是的中點，則點與點重合，則平面的一個法向量可以為，
設(shè)二面角為，顯然二面角為銳角，則，
所以，
所以二面角的正弦值為.
12．如圖，在多面體中，上底面與下底面平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等．已知 ，垂足為點，三棱錐的體積為．
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由三棱錐的體積公式可求出，則平面，再由線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；
（2）由（1）可得到直線兩兩垂直，所以以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角公式代入即可得出答案.
【詳解】（1）取邊的中點，連接，因為，所以，
由已知，可得．
因為，設(shè)點到底面的距離為，
由，解得．
因為，所以平面，平面，所以平面平面，
又因各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等，
所以平面，平面，平面都與底面垂直．
取邊的中點，連接，則平面，
所以有，從而易得，
可得，所以四邊形是平行四邊形，
所以，已知，所以．
因為平面平面，平面平面，
由于，平面，所以平面，
所以．因為，平面，
所以平面．
（2）由（1）可得到直線兩兩垂直，
以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
可得，，
求得，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，所以．
所以 .
13．如圖，平面ABCD是圓柱OO 的軸截面，EF是圓柱的母線，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．
(1)求證：GH∥平面ABCD；
(2)求平面ABF與平面CDE夾角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，最后由線面平行的判定定理證明平面即可；
（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個法向量，再利用向量的夾角公式可得答案．
【詳解】（1）由題意知，平面平面，所以平面，
因為，所以平面平面，
因為平面，所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）以點為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
在中，由，得，
所以，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，則
由，得，令，得，
設(shè)平面的一個法向量為，則
由，得，令，得，
所以，
所以平面與平面的夾角的正弦值為.
14．在長方體中，，點P為棱上任意一點.
(1)求證：平面⊥平面；
(2)若點E為棱上靠近點C的三等分點，求點P在棱上什么位置時，平面與平面夾角的余弦值為.
【答案】(1)證明見解析
(2)點P為棱上靠近點的第一個六等分點
【分析】（1）可證面，結(jié)合面面垂直的判定定理可得相應(yīng)證明；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面與平面的法向量后結(jié)合夾角的余弦值可求，故可判斷的位置.
【詳解】（1）在長方體中，，故四邊形為正方形，
，又面ABCD，面ABCD，.，
，且AC，面，
面， 面，平面平面.
（2）
以D為原點，分別以DA，DC，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，， ，，.
設(shè)點，，則 ，，
設(shè)面一個法向量為，
則即，令，，，.
設(shè)面的一個法向量為，
則即，取，，，.
，
，或，
，，
點P為棱上靠近點的第一個六等分點時，
面與面夾角的余弦值為.
15．已知直角梯形形狀如下，其中，，，．
(1)在線段CD上找出點F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點F的具體位置（無需給出證明過程）．
(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．
【答案】(1)或為靠近點的三等分點；
(2)；.
【分析】（1）延長交于點，連接并延長交于，翻折后證明平面平面即可推理作答.
（2）根據(jù)給定條件，證明平面，再利用錐體的體積公式結(jié)合割補法求出體積，建立空間直角坐標(biāo)系求出面面角的余弦作答.
【詳解】（1）在直角梯形中，延長交于點，連接并延長交于，如圖，
，，，于是，則，為靠近點的三等分點，
將四邊形沿翻折，即將沿翻折，無論二面角多大，
所成幾何體均為三棱錐，顯然平面平面，
于是平面，同理平面，而平面，
因此平面平面，從而幾何體是棱錐被平行于底面的平面所截，
截面和底面間的部分，即幾何體是棱臺，
所以無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，，為靠近點的三等分點.
（2）翻折前，將,,延長一倍，三線交予點，
在等腰直角三角形中，，在棱臺中，，
又二面角為直二面角，平面，
即三棱錐的體積為，
又三棱錐的體積，
則有棱臺的體積為，
在線段上取，有，四邊形為平行四邊形,，
又面，則，以為原點，為,,的單位向量建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
，取平面的法向量為，
，令，取，
取面的法向量，則，令，得，
顯然二面角的平面角為銳角，設(shè)為，
，
所以二面角的余弦值為.
16．如圖，在中，為中點，過點作垂直于，將沿翻折，使得面面，點是棱上一點，且面．
(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作垂直于點，連接，然后證明面面，利用面面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合已知可得；
（2）以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解可得.
【詳解】（1）因為面面，面面
由題意可知，，所以，
過點作垂直于點，連接，
因為面面，
所以面，
又因為面，面，
所以，面面，
又因為面面，面面，
所以，．
因為，所以，，
在折疊前的圖形中，，所以，
易知為AQ的中點，所以，
所以，，所以，．
（2）由（1）知，以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
易知面的一個法向量，
，
設(shè)面的法向量為，
所以，令，則，故，
所以，
所以，二面角的余弦值為．
17．如圖，在三棱臺ABC—中，，平面平面.
(1)證明：平面；
(2)若二面角的大小是，求側(cè)面與底面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）在等腰梯形中，作，利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得到，最后利用線面垂直的判定定理即可得證.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，利用二面角的大小是求出，從而利用向量法求解二面角的余弦值，利用同角關(guān)系求出正弦值.
【詳解】（1），
在等腰梯形中，作，則，
在中，，所以，，
在中，，解得，
所以，即，
由平面平面，平面平面 ，，平面，
所以平面，因為平面，所以，
因為，，平面，所以平面.
（2）如圖，在平面內(nèi)，過點作，以為原點，
以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，
易知平面的一個法向量為，
則，解得，
即，則平面的法向量為，
易知平面的一個法向量為，
則，
設(shè)側(cè)面與底面所成二面角的平面角為，
則，
所以側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為.
18．三棱臺中，平面，，且，，是的中點．
(1)求三角形重心到直線的距離；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，過點作，求出，進而得出三角形重心到直線的距離；
（2）利用向量法得出二面角.
【詳解】（1）因為，所以，，
在平面內(nèi)過點作，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，
過點作，設(shè)，
.
則.
因為，
所以，解得，
所以，．
即三角形重心到直線的距離為.
（2），，，
設(shè)平面的法向量，則，
取，則
設(shè)平面的法向量，則，
取，則
所以，
由圖可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為．19．如圖，在四棱錐中，，，底面，為棱上的點，，.
(1)若 平面，求證：點為的中點；
(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.
條件①： 平面
條件②：直線與夾角的余弦值為
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行，即可得結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，選擇條件①，利用平面，確定的坐標(biāo)，進而利用向量法可求平面與平面夾角的余弦值；選擇條件②，利用直線與夾角的余弦值為，確定的坐標(biāo)，進而利用向量法可求平面與平面夾角的余弦值．
【詳解】（1）證明：過作交于，連接，如圖所示：
，，，確定平面，
平面，平面，
平面平面，
，
∴四邊形為平行四邊形，則
為的中位線，點為的中點；
（2）選擇條件①： 平面
底面，，
以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，,0,，,2,，,0,，,1,，
設(shè),,，且，， ,,，
,2,，,,,2,，
，，，
,,，
,,，,1,，
設(shè)平面的一個法向量為,,，
則，令，則，，
平面的一個法向量為,,，
,0,，若平面，則，
，解得， ,,，
平面， ,0,是平面的一個法向量，
則,，
平面與平面夾角的余弦值為．
選擇條件②：直線與夾角的余弦值為
底面，，
以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，,0,，,2,，,0,，,1,，
設(shè),,，且，， ,,，
,2,，,,,2,，
，，，
,,，
,,，,1,，
直線與夾角的余弦值為
，整理得，解得或（舍），
設(shè)平面的一個法向量為,,，
則，令，則，，
平面的一個法向量為,,，
平面， ,0,是平面的一個法向量，
則,，
平面與平面夾角的余弦值為．
20．如圖，正是圓柱底面圓的內(nèi)接三角形，其邊長為.是圓的直徑，是圓柱的母線，是與的交點，圓柱的軸截面是正方形.
(1)記圓柱的體積為，三棱錐的體積為，求；
(2)設(shè)是線段上一點，且，求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求解圓柱底面圓的半徑與正的邊長為的關(guān)系，從而得圓柱的高與的關(guān)系，分別計算體積即可得比值；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面與平面的法向量，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算求解二面角的余弦值即可.
【詳解】（1）已知正的邊長為，
由正弦定理，（為圓柱底面圓的半徑），
從而，由題意，圓柱高，
所以，，
因此.
（2）如圖，過作平面PAD，易知Ax，AD，AP兩兩垂直，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，.
由于O為正的中心，則，于是，
由（1）知正的邊長，從而.
則，，，，，
由題意，F(xiàn)為線段PE上靠近E的三等分點，
則，
于是，，，，
設(shè)平面AFC的法向量為，
所以，取，則，
設(shè)平面FCO的法向量為
所以，取，則，
所以，
由圖可知二面角的夾角為銳角，所以二面角的夾角的余弦值為.

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