資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
9.3分式方程
一、學習目標
1.理解分式方程的概念、分式方程的解法，會解可化為一元一次方程的分式方程。
2.了解分式方程可能產(chǎn)生增根，并掌握驗根的方法。
3.能用分式方程表示實際問題中的等量關(guān)系。
二、重點難點
1.重點：分式方程的解法和應(yīng)用。
2.難點：解分式方程可能產(chǎn)生增根原因的理解，列分式方程應(yīng)用題。
三、預(yù)習導(dǎo)學
一、復(fù)習鞏固：
1、解分式方程的一般步驟：
【答案】（1）去分母 （2）按整式方程方式解 （3）驗根
解下列方程：
解：，
方程兩邊同時乘以得，，
解得：，
當時，，
∴是原方程的解．
二、經(jīng)典例題：
例2 有一并聯(lián)電路,如圖9-3,兩電阻阻值分別為R1，
R2 ,總電阻阻值為R,三者關(guān)系為:
若已知R1, R2,求R.
解：方程兩邊同乘以 RR1R2 ,得
R1R2=RR2+RR1，
即:R1R2 = R(R1 + R2).
因為R1, R2都是正數(shù),所以R1 +R2≠0.
兩邊同除以(R1 +R2),得
R=
例3 七年級甲、乙兩班師生前往郊區(qū)參加義務(wù)植樹活動,已知甲班每天比乙班多種10棵樹,如果分配給甲,乙兩班的植樹任務(wù)分別是150棵和120棵,問兩個班每天各植樹多少棵,才能同時完成任務(wù)
解：設(shè)乙班每天種x棵樹，則甲班每天種10+x棵樹，根據(jù)題意列方程，得
解方程得，x=40
檢驗：x =40是原方程的根.
此時x +10 =50.
因而，當乙班每天植樹40棵,甲班每天植樹50棵時,兩個班能同時完成任務(wù).
三、點撥總結(jié)：
列分式方程解應(yīng)用題的方法與一般步驟是：
（1）審—— 審清題意
（2）設(shè)——直接設(shè)未知數(shù)， 或間接設(shè)未知數(shù)
（3）列——根據(jù)找出的等量關(guān)系列出分式方程
（4）解——解這個分式方程
（5）驗——既要驗是否為所列分式方程的根，又要驗是否符合實際情況（6）答——完整地寫出答案（注意單位 ）
四、鞏固提升：
1.《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少2天，已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時間．設(shè)規(guī)定時間為天，則下列列出的分式方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出分式方程，設(shè)規(guī)定時間為天，則慢馬的速度為里/天，快馬的速度為里/天，再根據(jù)快馬的速度是慢馬的倍，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)規(guī)定時間為天，
由題意得，，
故選B．
2．甲做360個零件與乙做480個零件所出的時間相同，已知兩人每天共做140個零件，若設(shè)甲每天做個零件，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了列分式方程，找準等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．先求出乙每天做個零件，再根據(jù)甲做360個零件與乙做480個零件所出的時間相同列出方程即可得．
【詳解】解：由題意可知，乙每天做個零件，
則可列方程為，
故選：A．
3.已知電動汽車平均每千米的行駛費用比燃油車平均每千米的行駛費用少0.4元，當兩種汽車的行駛費用均為300元時，電動汽車可行駛的總路程是燃油汽車的3倍，求電動汽車平均每千米的行駛費用，設(shè)電動汽車平均每千米的行駛費用x元，則根據(jù)題意可列出方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用．
設(shè)電動汽車平均每千米的行駛費用x元，則燃油車平均每千米的行駛費用為元，當行駛費用為300元時，電動汽車可行駛的總里程為千米，燃油車可行駛的總里程為，根據(jù)“電動汽車可行駛的總路程是燃油汽車的3倍”即可列出方程．
【詳解】設(shè)電動汽車平均每千米的行駛費用x元，則燃油車平均每千米的行駛費用為元，根據(jù)題意，得
．
故選：D
4．某書店分別用元和900元兩次購進該小說，第二次數(shù)量比第一次多50套，且兩次進價相同．若設(shè)該書店第一次該小說購進x套，由題意列方程正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)第一次購進該小說的總錢數(shù)÷第一次購進套數(shù)=第二次購進該小說的總錢數(shù)÷第二次購進套數(shù)列方程可得．
【詳解】解：由題意列出方程：
故選：C．
5.某園林綠化工程隊承接了60萬平方米的園林綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)．設(shè)實際工作時每天綠化的面積為x萬平方米，則下面所列方程中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了根據(jù)題意列分式方程．設(shè)實際工作時每天綠化的面積為x萬平方米，則原計劃每天綠化面積為萬平方米，根據(jù)“實際綠化時間比實際綠化時間少30天”即可列出方程．
【詳解】解：設(shè)實際工作時每天綠化的面積x萬平方米，
依題意得：，
即：．
故選：A．
6．某化肥廠原計劃每天生產(chǎn)化肥x噸，由于采取了新技術(shù)，每天多生產(chǎn)化肥3噸，實際生產(chǎn)180噸與原計劃生產(chǎn)120噸的時間相等，那么適合x的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，由題意可知等量關(guān)系為：原計劃生產(chǎn)噸的時間實際生產(chǎn)噸的時間．
【詳解】解：原計劃生產(chǎn)噸的時間為天，實際生產(chǎn)噸的時間為天．那么所列方程為．
故選：C．
7．數(shù)學文化《九章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間．設(shè)規(guī)定時間為x天，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，首先設(shè)規(guī)定時間為x天，則快馬所需的時間為天，慢馬所需的時間為天，由題意得等量關(guān)系：慢馬速度快馬速度，根據(jù)等量關(guān)系，可得方程．
【詳解】解：設(shè)規(guī)定時間為x天，則快馬所需的時間為天，慢馬所需的時間為天，由題意得：
．
故選：A．
8.為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，某學校八年級師生在清明節(jié)期間前往距離學校的烈士陵園掃墓．一部分師生騎自行車先走，過了后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設(shè)騎車師生的速度為．根據(jù)題意，可列方程 ．
【答案】
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，由汽車及騎車師生速度間的關(guān)系，可得出汽車的速度為，利用時間路程速度，結(jié)合乘汽車的師生比騎車師生少用，即可列出關(guān)于x的分式方程，此題得解．
【詳解】解：∵汽車的速度是騎車師生速度的2倍，且騎車師生的速度為，
∴汽車的速度為，
根據(jù)題意得：，
故答案為：．
9.閩江奇秀清澈又雄渾寬闊，江上自然景色和人文名勝交相輝映，旅游資源豐富． 坐游船游覽美麗的閩江便是其旅游項目之一． 已知游船在靜水中的最大航速為，它以最大航速順流航行所用時間，與以最大航速逆流航行所用時間相等，江水的流速為多少？若設(shè)江水流速為，則依題意可列方程 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出分式方程，設(shè)江水流速為，則游船順流航行的速度為，逆流航行的速度為，再根據(jù)時間路程速度列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)江水流速為，
由題意得，，
故答案為：．
10.某超市中秋節(jié)前購進了甲、乙兩種暢銷口味的月餅禮盒．已知購進甲種月餅禮盒的金額是12000元，購進乙種月餅禮盒的金額是8000元，購進甲種月餅禮盒的數(shù)量比乙種月餅禮盒的數(shù)量少50盒，甲種月餅禮盒的單價是乙種月餅禮盒單價的2倍．
(1)求甲、乙兩種月餅禮盒的單價分別是多少元；
(2)為滿足消費者需求，超市準備再次購進甲、乙兩種月餅禮盒共200盒，若總金額不超過11500元，問最多購進多少盒甲種月餅禮盒？
【答案】(1)甲、乙兩種月餅禮盒的單價分別是80元，40元
(2)最多購進87盒甲種月餅禮盒
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；
（1）設(shè)乙種月餅每盒的單價為x元，則甲種月餅每盒單價為元，根據(jù)“購進甲種月餅禮盒的金額是12000元，購進乙種月餅禮盒的金額是8000元，購進甲種月餅禮盒的數(shù)量比乙種月餅禮盒的數(shù)量少50盒”列分式方程求解即可；
（2）設(shè)購進m盒甲種月餅禮盒，則購進盒乙種月餅禮盒，根據(jù)總金額不超過11500元列不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)乙種月餅每盒的單價為x元，則甲種月餅每盒單價為元，
根據(jù)題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解且符合題意，
∴，
答：甲、乙兩種月餅禮盒的單價分別是80元，40元；
（2）解：設(shè)購進m盒甲種月餅禮盒，則購進盒乙種月餅禮盒，
由題意得：，
解得：，
∵m為整數(shù)，
∴m最大取87，
答：最多購進87盒甲種月餅禮盒．
11．甲乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的倍．兩人各加工1200個這種零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙兩人每天各加工多少個這樣的零件．
(2)已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是150元和120元，現(xiàn)有4000個這樣的零件加工任務(wù)，甲單獨加工一段時間后另有安排，剩余任務(wù)由乙單獨完成．如果總加工費不超過5400元，那么甲至少加工了多少天？
【答案】(1)甲每天加工個零件，乙每天加工個零件
(2)天
【分析】本題主要考查了分式方程及不等式，正確讀懂題意列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)乙每天加工個零件，根據(jù)題意列出分式方程，求解并檢驗即可；
（2）設(shè)甲加工天，乙加工天，根據(jù)題意列出方程及不等式，求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)乙每天加工個零件，則甲每天加工個零件，
，
解得，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
，
故甲每天加工個零件，乙每天加工個零件；
（2）解：設(shè)甲加工天，乙加工天，
根據(jù)題意得：，
由①得③，
將③代入②中，得，
當時，，符合實際意義，
甲至少加工了天．
12．酸辣粉是重慶的特色美食，三峽廣場某小吃店推出兩款酸辣粉，一款是“經(jīng)典手工酸辣粉”，另一款是“肉沫哨子酸辣粉”．已知1份“經(jīng)典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“經(jīng)典手工酸辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元．
(1)求“經(jīng)典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的單價；
(2)紅薯粉條是制作酸辣粉的原材料之一，該小吃店老板發(fā)現(xiàn)今年第三季度平均每千克紅薯粉條的價格比第二季度上漲了，第三季度花600元買到的紅薯粉條數(shù)量比第二季度花同樣的錢買到的紅薯粉條數(shù)量少了10千克，求第三季度紅薯粉條的單價．
【答案】(1)“經(jīng)典手工酸辣粉”的單價是10元，“肉沫哨子酸辣粉”的單價是12元
(2)第三季度紅薯粉條的單價為12元
【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，
（1）設(shè)“經(jīng)典手工酸辣粉”的單價是x元，“肉沫哨子酸辣粉”的單價是y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）設(shè)第二季度紅薯粉條的單價為m元，則第三季度紅薯粉條的單價為元，根據(jù)題意列出分式方程并求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)“經(jīng)典手工酸辣粉”的單價是x元，“肉沫哨子酸辣粉”的單價是y元，
根據(jù)題意得：，
解得：
答：“經(jīng)典手工酸辣粉”的單價是10元，“肉沫哨子酸辣粉”的單價是12元；
（2）設(shè)第二季度紅薯粉條的單價為m元，則第三季度紅薯粉條的單價為元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
∴．
答：第三季度紅薯粉條的單價為12元．
反思：
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9.3分式方程
一、學習目標
1.理解分式方程的概念、分式方程的解法，會解可化為一元一次方程的分式方程。
2.了解分式方程可能產(chǎn)生增根，并掌握驗根的方法。
3.能用分式方程表示實際問題中的等量關(guān)系。
二、重點難點
1.重點：分式方程的解法和應(yīng)用。
2.難點：解分式方程可能產(chǎn)生增根原因的理解，列分式方程應(yīng)用題。
三、預(yù)習導(dǎo)學
一、復(fù)習鞏固：
1、解分式方程的一般步驟：
解下列方程：
二、經(jīng)典例題：
例2 有一并聯(lián)電路,如圖9-3,兩電阻阻值分別為R1，
R2 ,總電阻阻值為R,三者關(guān)系為:
若已知R1, R2,求R.
例3 七年級甲、乙兩班師生前往郊區(qū)參加義務(wù)植樹活動,已知甲班每天比乙班多種10棵樹,如果分配給甲,乙兩班的植樹任務(wù)分別是150棵和120棵,問兩個班每天各植樹多少棵,才能同時完成任務(wù)
三、點撥總結(jié)：
列分式方程解應(yīng)用題的方法與一般步驟是：
（1）審—— 審清題意
（2）設(shè)——直接設(shè)未知數(shù)， 或間接設(shè)未知數(shù)
（3）列——根據(jù)找出的等量關(guān)系列出分式方程
（4）解——解這個分式方程
（5）驗——既要驗是否為所列分式方程的根，又要驗是否符合實際情況（6）答——完整地寫出答案（注意單位 ）
四、鞏固提升：
1.《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少2天，已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時間．設(shè)規(guī)定時間為天，則下列列出的分式方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．甲做360個零件與乙做480個零件所出的時間相同，已知兩人每天共做140個零件，若設(shè)甲每天做個零件，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
3.已知電動汽車平均每千米的行駛費用比燃油車平均每千米的行駛費用少0.4元，當兩種汽車的行駛費用均為300元時，電動汽車可行駛的總路程是燃油汽車的3倍，求電動汽車平均每千米的行駛費用，設(shè)電動汽車平均每千米的行駛費用x元，則根據(jù)題意可列出方程為（ ）
A． B． C． D．
4．某書店分別用元和900元兩次購進該小說，第二次數(shù)量比第一次多50套，且兩次進價相同．若設(shè)該書店第一次該小說購進x套，由題意列方程正確的是（　　）
A． B． C． D．
5.某園林綠化工程隊承接了60萬平方米的園林綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)．設(shè)實際工作時每天綠化的面積為x萬平方米，則下面所列方程中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．某化肥廠原計劃每天生產(chǎn)化肥x噸，由于采取了新技術(shù)，每天多生產(chǎn)化肥3噸，實際生產(chǎn)180噸與原計劃生產(chǎn)120噸的時間相等，那么適合x的方程是( )
A． B． C． D．
7．數(shù)學文化《九章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間．設(shè)規(guī)定時間為x天，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
8.為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，某學校八年級師生在清明節(jié)期間前往距離學校的烈士陵園掃墓．一部分師生騎自行車先走，過了后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設(shè)騎車師生的速度為．根據(jù)題意，可列方程 ．
9.閩江奇秀清澈又雄渾寬闊，江上自然景色和人文名勝交相輝映，旅游資源豐富． 坐游船游覽美麗的閩江便是其旅游項目之一． 已知游船在靜水中的最大航速為，它以最大航速順流航行所用時間，與以最大航速逆流航行所用時間相等，江水的流速為多少？若設(shè)江水流速為，則依題意可列方程 ．
10.某超市中秋節(jié)前購進了甲、乙兩種暢銷口味的月餅禮盒．已知購進甲種月餅禮盒的金額是12000元，購進乙種月餅禮盒的金額是8000元，購進甲種月餅禮盒的數(shù)量比乙種月餅禮盒的數(shù)量少50盒，甲種月餅禮盒的單價是乙種月餅禮盒單價的2倍．
(1)求甲、乙兩種月餅禮盒的單價分別是多少元；
(2)為滿足消費者需求，超市準備再次購進甲、乙兩種月餅禮盒共200盒，若總金額不超過11500元，問最多購進多少盒甲種月餅禮盒？
11．甲乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的倍．兩人各加工1200個這種零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙兩人每天各加工多少個這樣的零件．
(2)已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是150元和120元，現(xiàn)有4000個這樣的零件加工任務(wù)，甲單獨加工一段時間后另有安排，剩余任務(wù)由乙單獨完成．如果總加工費不超過5400元，那么甲至少加工了多少天？
12．酸辣粉是重慶的特色美食，三峽廣場某小吃店推出兩款酸辣粉，一款是“經(jīng)典手工酸辣粉”，另一款是“肉沫哨子酸辣粉”．已知1份“經(jīng)典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“經(jīng)典手工酸辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元．
(1)求“經(jīng)典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的單價；
(2)紅薯粉條是制作酸辣粉的原材料之一，該小吃店老板發(fā)現(xiàn)今年第三季度平均每千克紅薯粉條的價格比第二季度上漲了，第三季度花600元買到的紅薯粉條數(shù)量比第二季度花同樣的錢買到的紅薯粉條數(shù)量少了10千克，求第三季度紅薯粉條的單價．
反思：
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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