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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題03 函數實際綜合應用問題-拋物線型問題
二次函數拋物線形的應用題以實際問題為題材，二次函數為依托，利用函數圖象及性質來解決問題，考查二次函數的應用，主要的解題方法有待定系數法、數形結合法等，是中考的熱門考點。通過認真分析呢，我們發現這些題目都是一個套路的，利用二次函數解決拋物線形的拱門和大橋、運動軌跡等實際應用問題時，首先我們要把這些實際問題中的相應數據正確地落實到平面直角坐標系中的拋物線上，然后求解得出拋物線的解析式，通過解析式來解決測量問題、最值問題等就能把問題解決了。希望同學們多加練習，掌握這類題目的解題方法。
解決拋物線型的實際問題需要從以下方面考慮：
（1）拋物線解析式已知型：
此類題目需要將已知量（時間或高度、水平距離或高度）代入拋物線解析式中求得對應的未知量；
（2）拋物線解析式未知型：
首先需明確以下信息：①拋物線的頂點（即最高點）；②拋物線上某一點的x軸對應的y軸坐標，即當物體運動到某一點的高度；③拋物線與x軸的交點（即物體的落地點）。
其次再根據題中是否有無拋物線圖象用不同方法求解：①題中無拋物線圖象時或有拋物線圖象且坐標系已確定時，需要提煉題中信息，找到拋物線解析式的關鍵點（常含最高點），利用待定系數法求得解析式，再進行相關計算即可；②題中有拋物線圖象，但無坐標系時，先根據圖象建立恰當的平面直角坐標系，再按①中步驟進行求解即可。
考向一　拋物線形建筑物問題
例1．（2023年陜西省中考數學試卷（A卷））某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求給出了兩個設計方案．現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．要在拱門中設置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據以上提供的相關信息，解答下列問題：(1)求方案一中拋物線的函數表達式；(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大小．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）利用待定系數法則，求出拋物線的解析式即可；
（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比較大小即可．
【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點，
設拋物線的函數表達式為，把代入得：，解得：，
∴；∴方案一中拋物線的函數表達式為；
（2）解：在中，令得：，解得或，
∴，∴；∵，∴．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，求二次函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法則，求出函數解析式．
例2．（2023·貴州·中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖②，為更加穩固，小星想在上找一點，加裝拉桿，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；(3)為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為，當時，函數的值總大于等于9．求的取值范圍．
【答案】(1)(2)點的坐標為(3)
【分析】（1）設拋物線的解析式為，將，代入即可求解；
（2）點B關于y軸的對稱點，則，求出直線與y軸的交點坐標即可；
（3）分和兩種情況，根據最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸與y軸重合，設拋物線的解析式為，
，，，，將，代入，
得：，解得，拋物線的解析式為；
（2）解： 拋物線的解析式為，點到對稱軸的距離是1，
當時，，，作點B關于y軸的對稱點，則，，
，當，，A共線時，拉桿長度之和最短，
設直線的解析式為，
將，代入，得，解得，
直線的解析式為，當時，，
點的坐標為，位置如下圖所示：

（3）解：中，拋物線開口向下，
當時，在范圍內，當時，y取最小值，最小值為：
則，解得，；
當時，在范圍內，當時，y取最小值，最小值為：
則，解得，；綜上可知，或，的取值范圍為．
【點睛】本題考查二次函數的實際應用，涉及求二次函數解析式，求一次函數解析式，根據對稱性求線段的最值，拋物線的增減性等知識點，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質，第3問注意分情況討論．
例3．（2023年廣東省深圳市中考數學真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人們可以吃到反季節蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以O點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．請回答下列問題：(1)如圖，拋物線的頂點，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個正方形裝置的間距的長；

(3)如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為，求的長．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據頂點坐標，設函數解析式為，求出點坐標，待定系數法求出函數解析式即可；（2）求出時對應的自變量的值，得到的長，再減去兩個正方形的邊長即可得解；（3）求出直線的解析式，進而設出過點的光線解析式為，利用光線與拋物線相切，求出的值，進而求出點坐標，即可得出的長．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點，設拋物線的解析式為，
∵四邊形為矩形，為的中垂線，∴，，
∵，∴點，代入，得：
，∴，∴拋物線的解析式為；
（2）∵四邊形，四邊形均為正方形，，
∴，
延長交于點，延長交于點，則四邊形，四邊形均為矩形，

∴，∴，
∵，當時，，解得：，
∴，，∴，∴；
（3）∵，垂直平分，∴，∴，
設直線的解析式為，則：，解得：，∴，
∵太陽光為平行光，設過點平行于的光線的解析式為，
由題意，得：與拋物線相切，聯立，整理得：，
則：，解得：；∴，當時，，∴，
∵，∴．
【點睛】本題考查二次函數的實際應用．讀懂題意，正確的求出二次函數解析式，利用數形結合的思想，進行求解，是解題的關鍵．
例4．（2023年山東省青島市中考數學真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達式；(2)分別延長，交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；
(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為．若，求m的值．
【答案】(1)；(2)(3)2或4；
【分析】（1）根據題意得到，，，設拋物線的解析式為代入求解即可得到答案；（2）分別求出，所在直線的解析式，求出與拋物線的交點F，E即可得到答案；（3）求出拋物線與坐標軸的交點得到，表示出新拋物線找到交點得到，根據面積公式列方程求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，由題意可得，
，，，∴，，
把點A坐標代入所設解析式中得：，解得：，∴；
（2）解：設的解析式為：，的解析式為：，
分別將，代入得，，，
解得：，，∴的解析式為：，的解析式為：，
聯立直線解析式與拋物線得：，解得（舍去），
同理，解，得（舍去），∴，，
∴E，F兩點之間的距離為：；
（3）解：當時，，解得：，∴，
∵拋物線向右平移個單位，∴，
當時，，當時，，解得：，
∴，
∵，∴，解得：，（不符合題意舍去），，（不符合題意舍去），綜上所述：m等于2或4；
【點睛】本題考查二次函數綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握函數與坐標軸的交點求法及平移的規律：左加右減，上加下減．
考向二　運動路線（軌跡）問題
例．（2023年山東省威海市中考數學真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項目俯視示意圖．步行通道的一側是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最高點B，此時距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點處，另一端與路面的垂直高度為1.8米，且與噴泉水流的水平距離為0.3米．點到水池外壁的水平距離米，求步行通道的寬．（結果精確到0.1米）參考數據：

【答案】3.2米
【分析】先以點O為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，設設拋物線的解析式為，把代入，求得，即，再求出點D的坐標，即可求解．
【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，由題意知：，，

∵拋物線的最高點B，∴設拋物線的解析式為，
把代入，得，解得，∴拋物線的解析式為，
令，則，解得：，∴，
∴ (米)，
答：步行通道的寬的長約為3.2米．
【點睛】本題考查拋物線的實際應用．熟練掌握用待定系數法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質是解題的關鍵．
例2．（2023年浙江省溫州市中考數學真題）一次足球訓練中，小明從球門正前方的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高為2.44m，現以O為原點建立如圖所示直角坐標系．

(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）．
(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？
【答案】(1)，球不能射進球門(2)當時他應該帶球向正后方移動1米射門
【分析】（1）根據建立的平面直角三角坐標系設拋物線解析式為頂點式，代入A點坐標求出a的值即可得到函數表達式，再把代入函數解析式，求出函數值，與球門高度比較即可得到結論；
（2）根據二次函數平移的規律，設出平移后的解析式，然后將點代入即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點坐標為，
設拋物線解析式為，把點代入，得，解得，
∴拋物線的函數表達式為，當時，，∴球不能射進球門；
（2）設小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為，
把點代入得，解得（舍去），，
∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門．
【點睛】此題考查了二次函數的應用，待定系數法求函數解析式、二次函數圖象的平移等知識，讀懂題意，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
例3．（2023年內蒙古赤峰市中考數學真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．
乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數據：
水平距離x/
豎直高度y/
(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數值所對應的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；②求滿足條件的拋物線解析式；
(3)技術分析：如果只上下調整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網高為15.25．現在已經計算出乒乓球恰好過網的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．
【答案】(1)見解析(2)①；；②
(3)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為
【分析】（1）根據描點法畫出函數圖象即可求解；（2）①根據二次函數圖象的對稱性求得對稱軸以及頂點，根據表格數據，可得當時，；②待定系數法求解析式即可求解；（3）根據題意，設平移后的拋物線的解析式為，根據題意當時，，代入進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）①觀察表格數據，可知當和時，函數值相等，則對稱軸為直線，頂點坐標為，又拋物線開口向下，可得最高點時，與球臺之間的距離是，
當時，，∴乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是；
故答案為：；．
②設拋物線解析式為，將代入得，
，解得：，∴拋物線解析式為；
（3）∵當時，拋物線的解析式為，
設乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為，則平移距離為，
∴平移后的拋物線的解析式為，依題意，當時，，
即，解得：．
答：乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，畫二次函數圖象，二次函數圖象的平移，熟練掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．
例4．（2023年浙江省嘉興市中考數學真題）根據以下素材，探究完成任務．
如何把實心球擲得更遠？
素材1
小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面，當球到OA的水平距離為時，達到最大高度為．
素材2
根據體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離．
問題解決
任務1
計算投擲距離 建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離．
任務2
探求高度變化 求素材2和素材1中球的最大高度的變化量
任務3
提出訓練建議 為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議．
【答案】任務一：4m；任務二：；任務三：應該盡量提高擲出點的高度、盡量提高擲出點的速度、選擇適當的擲出仰角
【分析】任務一：建立直角坐標系，由題意得：拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為，過點，利用待定系數法求出解析式，當時求出x的值即可得到；
任務二：建立直角坐標系，求出任務二的拋物線解析式，得到頂點縱坐標，與任務一的縱坐標相減即可；任務三：根據題意給出合理的建議即可．
【詳解】任務一：建立如圖所示的直角坐標系，

由題意得：拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為，過點，
∴，解得，∴，
當時，，得（舍去），∴素材1中的投擲距離為4m；
（2）建立直角坐標系，如圖，設素材2中拋物線的解析式為，
由題意得，過點，
∴，解得，∴
∴頂點縱坐標為，（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的變化量為；
任務三：應該盡量提高擲出點的高度、盡量提高擲出點的速度、選擇適當的擲出仰角．
【點睛】此題考查了二次函數的實際應用，求函數解析式，求拋物線與坐標軸的距離，正確理解題意建立恰當的直角坐標系是解題的關鍵．
例5．（2023年河南省中考數學真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網與y軸的水平距離，，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數關系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數關系．(1)求點P的坐標和a的值．(2)小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．

【答案】(1)，，(2)選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近
【分析】（1）在一次函數上，令，可求得，再代入即可求得的值；（2）由題意可知，令，分別求得，，即可求得落地點到點的距離，即可判斷誰更近．
【詳解】（1）解：在一次函數，令時，，∴，
將代入中，可得：，解得：；
（2）∵，，∴，
選擇扣球，則令，即：，解得：，即：落地點距離點距離為，
∴落地點到C點的距離為，
選擇吊球，則令，即：，解得：（負值舍去），
即：落地點距離點距離為，
∴落地點到C點的距離為，
∵，∴選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近．
【點睛】本題考查二次函數與一次函數的應用，理解題意，求得函數解析式是解決問題的關鍵．
例6．（2023·河北·二模）如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點E的坐標為．運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經過原點O的拋物線．在跳某個規定動作時，運動員在空中最高處A點的坐標為，正常情況下，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規定的翻騰、打開動作，并調整好入水姿勢，否則就會失誤．運動員入水后，運動路線為另一條拋物線．(1)求運動員在空中運動時對應拋物線的解析式并求出入水處B點的坐標；(2)若運動員在空中調整好入水姿勢時，恰好距點E的水平距離為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由；(3)在該運動員入水點的正前方有M，N兩點，且，，該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為且頂點C距水面4米，若該運動員出水點D在之間（包括M，N兩點），請直接寫出a的取值范圍．

【答案】(1)；(2)該運動員此次跳水失誤了，理由見解析(3)
【分析】（1）設拋物線的解析式為，將代入即可求得解析式；令，即可求得點B的坐標；（2）求出距點E水平距離為5米的點的縱坐標即可進行判斷；
（3）分別求出當拋物線經過點時的的值即可．
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為 將代入解析式得：
∴拋物線的解析式為令，則
解得： ∴入水處B點的坐標
（2）解：距點E的水平距離為5米，對應的橫坐標為：
將代入解析式得：
∵∴該運動員此次跳水失誤了
（3）解：∵，，點E的坐標為
∴點M、N的坐標分別為：
∵該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為頂點C距水面4米
，∴當拋物線經過點時，把點M代入得：
同理，當拋物線經過點時，由點D在之間可得：
【點睛】本題考查了二次函數在實際生活中的應用．涉及了拋物線的頂點式、求拋物線上的點的坐標等．熟記二次函數的相關形式是解題關鍵．
一、選擇題
1．（2023·廣東深圳·模擬預測）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關數據（單位：）．有下列結論：
①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面的距離為；
④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．
其中結論正確的個數是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】根據圖象可以判斷①；設出池底所在拋物線的解析式為，再把代入解析式求出即可判斷②；把代入解析式求出，再用即可判斷③；把代入解析式即可判斷④．
【詳解】解：①觀察圖形可知，，故①正確；
②設池底所在拋物線的解析式為，將代入，可得，
故拋物線的解析式為；故②正確；
③，當時，，
故池塘最深處到水面的距離為，故③錯誤；
④當池塘中水面的寬度減少為原來的一半，即水面寬度為12時，
將代入，得，可知此時最深處到水面的距離為，
即為原來的，故④正確．故選：B．
【點睛】本題考查拋物線的實際應用，體現了數學建模、數學抽象、數學運算素養．
2．（2023·湖北·一模）如圖，在池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，高度為，水柱落地處離池中心，水管的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了實際問題與二次函數，根據圖象得拋物線經過，對稱軸為直線，則設拋物線的解析式為：，代入可求得，令，解得，進而可求解，熟練掌握待定系數法求函數解析式及二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由于在距池中心的水平距離為時達到最高，高度為，
拋物線經過，對稱軸為直線，則設拋物線的解析式為：，
代入，求得：，將值代入得到拋物線的解析式為：，
令，則，則水管長為，故選C．
3．（23-24九年級上·湖南株洲·期末）一副眼鏡的兩個鏡片下半部分輪廓分別對應兩條拋物線的一部分，且在平面直角坐標系中關于y軸對稱，如圖所示（對應一個單位長度），軸，，最低點C在x軸上，且．則輪廓線所在拋物線對應的函數表達式為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用關于軸對稱，，可得到點坐標為，由，最低點在軸上，則關于直線對稱，可得到左邊拋物線的頂點的坐標為，于是得到右邊拋物線的頂點的坐標為，然后設頂點式利用待定系數法求拋物線的解析式．
本題考查了二次函數的應用：利用實際問題中的數量關系與直角坐標系中線段對應起來，再確定某些點的坐標，然后利用待定系數法確定拋物線的解析式，再利用拋物線的性質解決問題．
【詳解】∵且，，且關于y軸對稱，∴點坐標為，
∵軸，，最低點在軸上，∴關于直線對稱，
∴左邊拋物線的頂點的坐標為，∴右邊拋物線的頂點的坐標為，
設右邊拋物線的解析式為，把代入得，解得，
∴輪廓線所在拋物線對應的函數表達式為，故選：B．
4．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）杭州之門位于杭州奧體博覽城，總高約310米，刷新杭州最新高度，同時也成為中國第一高H形雙塔樓．雙塔底部為跨度約62米，高度約34米的巨型拋物線結構（如圖），則a的值最接近于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的應用，根據題意建立平面直角坐標系，利用待定系數法求得a的值，即可判斷．
【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，雙塔底部所在直線為x軸，過最高點C且垂直于x軸所在直線為y軸，則拋物線頂點為；
∵雙塔底部為跨度約62米，∴，
把A、B、C三點坐標分別代入中，
得：，解得：∴，而接近，故選：A．
5．（23-24九年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖所示的公路隧道其截面為拋物線型，線段表示水平的路面，以為坐標原點，所在直線為軸，以過點垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系．若，拋物線的頂點到的距離為，則拋物線對應的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了求拋物線的表達式，熟練掌握待定系數法求解析式是關鍵．根據題意得出，，設拋物線的表達式為，把代入得，再把代入求出的值，即可得出拋物線表達式．解題的關鍵是掌握用待定系數法求函數表達式的方法和步驟，以及二次函數的頂點式．
【詳解】解：，拋物線的頂點到的距離為，，，
設拋物線的表達式為，把代入得：，
把代入得：，解得：，拋物線表達式為．故選：D．
6．（23-24九年級上·山西臨汾·期末）“盧溝曉月”是著名的北京八景之一，古時乾隆皇帝曾在秋日路過盧溝橋，賦詩“半鉤留照三秋淡，一練分波平鏡明”于此，并題“盧溝曉月”，立碑于橋頭．盧溝橋主橋拱可以近似看作拋物線，橋拱在水面的跨度約為22米，若按如圖所示方式建立平面直角坐標系，則主橋拱所在拋物線可以表示為則主橋拱最高點P與其在水中倒影之間的距離為（ ）米．
A．11 B．13 C．22 D．26
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的圖形和性質．由知道拋物線經過點，進而求出k的值，最高點與其在水中倒影之間的距離即為．
【詳解】解：由題意知，拋物線經過點，代入解析式中：
得到：，解得，∴拋物線的頂點坐標為，∴，
∴主橋拱最高點與其在水中倒影之間的距離為米，故選：D．
7．（22-23九年級上·浙江臺州·期末）以初速度（單位：）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程中，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關系是．現將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為，經過秒后，將第二個相同材質的小球從地面以初速度豎直上拋．若兩球能在空中相遇，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數的圖像與性質，二次函數的平移，解題的關鍵是數形結合．根據題意畫出函數圖像，再利用平移的方法即可求解．
【詳解】解：當時，，畫出函數圖像如圖所示．
當時，，畫出函數圖像如圖所示．
第二個小球的運動高度，令，解得或1，
兩球在空中相遇，即把拋物線向右平移個單位，平移后的拋物線與拋物線在第一象限有交點，當或時，兩圖像交于點，，故選：B．

8．（23-24九年級上·福建廈門·階段練習）學校組織學生去同安進行研學實踐活動，小王同學發現在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液（如圖①）.于是好奇的小王同學進行了實地測量研究.當小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．小王同學測得：洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點B距臺面的距離為，且B、D、H三點共線．小王在距離臺面處接洗于液時，手心Q到直線DH的水平距離為，若小王不去接，則洗手液落在臺面的位置距的水平距離是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意：所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，噴口為拋物線頂點，共線的三點B、D、H所在直線為拋物線的對稱軸，得出各點坐標，利用待定系數法求拋物線解析式進而求解．
【詳解】解：根據題意：所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，噴口為拋物線頂點，共線的三點B、D、H所在直線為拋物線的對稱軸，

根據題意，，，，
將點坐標代入解析式得，，解得：，
∴拋物線解析式為：，
當時，即，解得：，或（舍去），
所以洗手液落在臺面的位置距的水平距離是，故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，解決本題的關鍵是明確待定系數法求二次函數的解析式及準確進行計算．
二、填空題
9．（2024·江西·一模）如圖，這是某市文化生態園中拋物線型拱橋及其示意圖，已知拋物線型拱橋的函數表達式為，為了美化拱橋夜景，擬在該拱橋上距水面處安裝夜景燈帶，則夜景燈帶的長是 ．

【答案】
【分析】本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，根據題意得到，代入解析式求解即可．
【詳解】由題意得，解得：，，
．故答案為：．
10．（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）如圖，一位籃球運動員投籃時，球從點出手后沿拋物線行進，籃球出手后距離地面的高度與籃球距離出手點的水平距離之間的函數關系式是．下列說法正確的是 （填序號）．
①籃球行進過程中距離地面的最大高度為；②籃球出手點距離地面的高度為．

【答案】①
【分析】先求的頂點為，再求時的值即可判斷．
【詳解】解：由的頂點為，
得籃球行進過程中距離地面的最大高度為，即①正確；
由當時，，即②不正確；故答案為：①．
【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的應用，充分利用函數表達式是關鍵．
11．（2023年吉林省長春市中考數學真題）年5月8日，商業首航完成——中國民商業運營國產大飛機正式起步．時分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點距地面 米．

【答案】
【分析】根據題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令求平移后的拋物線與軸的交點即可．
【詳解】解：由題意可知：、、，
設拋物線解析式為：，將代入解析式，
解得：，，
消防車同時后退米，即拋物線向左（右）平移米，
平移后的拋物線解析式為：，令，解得：，故答案為：．
【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線解析式、函數圖像的平移及坐標軸的交點；解題的關鍵是求得移動前后拋物線的解析式．
12．（2023年湖北省宜昌市中考數學真題）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是，則鉛球推出的距離 m．

【答案】10
【分析】令，則，再解方程，結合函數圖象可得答案．
【詳解】解：令，則，解得：，，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次函數的實際應用，理解題意令求解方程的解是解本題的關鍵．
13．（2023·吉林長春·二模）如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，左右兩個拋物線形是全等的，正常水位時，大孔水面寬度為，頂點M距水面（即），小孔頂點N距水面（即 ，建立如圖所示的平面直角坐標系．當水位上漲到剛好淹沒小孔時，求出大孔的水面寬度 m．
【答案】10
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，由函數值求自變量的值的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．
根據題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，可以得到的坐標，設出函數關系式，待定系數求解函數式．根據的長度，得出函數的y坐標，代入解析式，即可得出E、F的坐標，進而得出答案．
【詳解】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意得，M點坐標為，A點坐標為，B點坐標為，設中間大拋物線的函數式為，
代入三點的坐標得到，解得．∴函數式為．
∵米，∴令米，代入解析式得解得：，，
∴可得(米)．故答案為：．
14．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為 米．

【答案】
【分析】由題意可得，拋物線的頂點為，經過點，設拋物線解析式為：，求解即可．
【詳解】解：由題意可得，拋物線的頂點為，經過點，
設拋物線解析式為：將代入可得：，解得
即 將代入得，，故答案為：
【點睛】此題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，正確求得拋物線的解析式．
15．（2023·浙江溫州·三模）如圖，為世界最大跨度鐵路拱橋——貴州北盤江特大橋．如圖，已知拱橋曲線呈拋物線，主橋底部跨度米，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，點為拋物線最高點，立柱，，都與軸垂直，，，，若，，和，，均三點共線．則立柱比 ，以及 ．
【答案】 /
【分析】本題考查了二次函數的性質以及正比例函數在實際生活中的綜合應用，關鍵是求出、、、、、、、點的坐標，表示出、、、的長度，均用含的代數式表示，進而求比即可．根據已知條件拋物線過原點及，利用交點式寫出拋物線的解析式，易得頂點，，由于軸且、、、皆在上，故他們縱坐標相同；根據，，且為對稱軸，軸，得橫坐標為，進而推出、、點橫坐標分別為、、，因為且在拋物線上，可得，、，，再根據直線過原點，求得解析式為，由于在上，可求得縱坐標，則、、縱坐標均為，表示出、、、的長度，進而求比值即可．
【詳解】解：根據題意，可知二次函數圖象過，，故設拋物線為，
∵為拋物線頂點；∴，，∵軸，∴點橫坐標為，
∵軸，∴、、、縱坐標相同，
∵軸，，∴，，,，,；
∵軸，∴，，同理可得，，
設直線：，則，解得：；，
∵，，三點共線，∴，即，
∴，，，，∴，
，；
∵，，，∴，
∴，，故答案為：．
三、解答題
16．（2023年湖北省武漢市數學真題）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機．通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離（單位：）以、飛行高度（單位：）隨飛行時間（單位：）變化的數據如下表．
飛行時間 0 2 4 6 8 …
飛行水平距離 0 10 20 30 40 …
飛行高度 0 22 40 54 64 …
探究發現：與，與之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述．直接寫出關于的函數解析式和關于的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．
問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機．根據上面的探究發現解決下列問題．

（1）若發射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；
（2）在安全線上設置回收區域．若飛機落到內（不包括端點），求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．
【答案】探索發現：；問題解決：（1）；（2）大于且小于
【分析】探究發現：根據待定系數法求解即可；
問題解決：（1）令二次函數代入函數解析式即可求解；
（2）設發射平臺相對于安全線的高度為，則飛機相對于安全線的飛行高度．結合，即可求解.
【詳解】探究發現：x與t是一次函數關系，y與t是二次函數關系，設，，
由題意得：，，解得：，∴．
問題解決（1） 解：依題總，得．解得，（舍），，當時，．
答：飛機落到安全線時飛行的水平距離為．
（2）解：設發射平臺相對于安全線的高度為，飛機相對于安全線的飛行高度．
，，，
在中，當時，；當時，．．
答：發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍是大于且小于．
【點睛】本題考查了一次函數與二次函數的應用，利用待定系數法求函數的解析式，關鍵是把實際問題分析轉變成數學模型．
17．（2023·河南濮陽·二模）如圖（1）所示，濮陽濕地公園中，金堤河大橋是一座非常有藝術性造型的大橋．橋身是由兩條拋物線鋼架建造．如圖（2）所示，兩條拋物線有共同的對稱軸，已知，過原點，兩拋物線最高點的距離為．

(1)求拋物線的解析式；(2)①求主橋長為多少米？②過點與軸平行的直線為河面的水平線，，若要在與水面的交點、處建造兩個橋墩，其中一個橋墩到岸邊（軸）的距離是多少米？（說明：題中個單位長為米）
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)①主橋長為米；②其中一個橋墩到岸邊（軸）的距離是米
【分析】（1）根據題意可得拋物線對稱軸為，最高點，過原點，兩拋物線最高點的距離為．把點代入得，即可求解．（2）①令，則，解方程即可求解；②令，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：由題知：
則拋物線對稱軸為，最高點 ∵過原點，兩拋物線最高點的距離為．
∴設拋物線的解析式為
把點代入得∴拋物線的解析式為
（2）①令，則解得，，
∴ 答：主橋長為米
②由題知：令，則
解得：或（舍去）， ，
答：其中一個橋墩E到岸邊（軸）的距離是米
【點睛】本題考查了二次函數的應用，根據題意求得解析式是解題的關鍵．
18．（2023·廣東廣州·一模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻．廣州市南沙區是典型的“水鄉”，萬里珠江在此奔騰入海，轄域里已有的和正在建設的各式橋梁把南沙從曾經的“孤島”連成了粵港澳大灣區的中心，助南沙貨物流轉、人才集聚、便民宜居．中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣洨河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現存最早、保存最完整的古代敞肩石拱橋．如圖①所示，趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為米，拱高（拱頂點到弦的距離）約為米．

(1)某橋主橋拱是圓弧形（如圖①中），已知跨度，拱高，則這條橋主橋拱的半徑是______；(2)某橋的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬，拱頂（拋物線頂點）距離水面，求橋拱拋物線的解析式；(3)如圖③，某時橋和橋的橋下水位均上升了，求此時兩橋的水面寬度．
【答案】(1)(2)(3)水面寬度分別為米；米
【分析】（1）連接，延長至點，在在中，，代入數據即可求解；
（2）以水面所在直線為軸，的中點為原點，建立平面直角坐標系，依題意，，，設拋物線解析式為，將點代入，待定系數法求解析式即可求解；
（3）根據垂徑定理，勾股定理，在中求得，即可得出，由（1）可得拋物線解析式為，當時，解一元二次方程，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

連接，延長，由垂徑定理知延長線經過點，依題意，
設半徑為，則在中，，
∴即解得：，故答案為：．
（2）解：如圖所示，以水面所在直線為軸，的中點為原點，建立平面直角坐標系，
依題意，，設拋物線解析式為，將點代入得，
解得：∴拋物線解析式為
（3）解：如圖所示，依題意，則∴，
在中，，
∴，則水面寬度為米；由（1）可得拋物線解析式為

如圖所示， 當水面上漲米時，當時，，解得：，
∴水面寬度為米
【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，二次函數的應用，熟練掌握垂徑定理與二次函數的性質是解題的關鍵．
19．（2024·貴州·一模）如圖，籃圈中心到地面的距離為米，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，籃球運行的路線是拋物線，當運行的水平距離為米時，籃球達到最大高度米，沿此拋物線可準確落入籃圈．
(1)在如圖所示的直角坐標系中，求拋物線的表達式；(2)該運動員身高米，在這次跳投中，球在頭頂上方米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？(3)籃球準備投出時，小強發現前方距離他1米處對方的防守運動員準備跳起攔截，為了躲避攔截，小強臨時調整拋球路線，其表達式為 ，當對方的防守運動員在一個跨步（約米）的范圍內起跳，即時，籃球的高度總大于這名防守運動員的最大摸高米，求b的取值范圍．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用：（1）把解析式設為頂點式，利用待定系數法求解即可；（2）先求出當時，y的值，再用y的值減去運動員的高度以及減去即可得到答案；
（3）先求出拋物線對稱軸為直線，根據題意可得當時，函數的最小值要大于，再討論對稱軸的位置，根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可設拋物線解析式為，
把代入中得：，解得，
∴拋物線解析式為
（2）解：在中，當時，，
，∴球出手時，他跳離地面的高度是；
（3）解：拋物線的對稱軸為直線，
當時，則當時的函數值要大于，
∴，解得，∴當時，符合題意；
當時，則當時的函數值要大于，
∴，解得，此時不符合題意；
當時，則當時的函數值要大于，此時得到，∴；
當時，則當時的函數值要大于，此時得到，此時不符合題意；
綜上所述，．
20．（2023·安徽蕪湖·三模）消防車中的高噴消防車，采用曲臂加伸縮結構，頂端裝有消防炮，其液控炮既可噴射水也可噴射泡沫，具有射程遠，流量大的特點．該車主要作業于油田、高層建筑、石化企業等地方的滅火救援和處置工作．在一次模擬高層建筑起火救援中，消防炮噴水口A距離地面35米，距離大樓起火側面20米，噴出水柱呈拋物線形，水柱最高處B距離地面50米，距離大樓起火側面5米，如圖所示建立平面直角坐標系．

(1)求出水柱所在拋物線的解析式；(2)目前火焰不斷從第17層窗口竄出，若每層樓約2.9米高，窗臺高度約為0.9米，窗頂距離該層地面高度約2.4米，此時水柱能否射入該層窗口？(3)火勢已經向上蔓延到距離地面55米處，高噴消防車最后一節伸縮臂CA按原來方向（與水平方向夾角約為）伸長了一截（不超過12米），為阻止火勢進一步蔓延，伸縮臂應該伸長幾米？（伸縮臂伸長時間忽略，）
【答案】(1)拋物線解析式為：(2)此時水柱能射入該層窗口，理由見解析
(3)應伸長米
【分析】（1）根據二次函數解析式，用代入法來求出解析式．（2）根據解析式求出最大值，再進比較．（3）求出新的二次函數解析式，并根據一元二次方程來解決問題．
【詳解】（1）由題意得到：B點坐標：，A點坐標：，
設拋物線的解析式為：，把A點坐標代入得：，
解得，，∴拋物線解析式為：．
（2）當時，，第16層樓頂高度為：，
，，∵，∴此時水柱能射入該層窗口
（3）過A作平行于x軸，

設伸長至處，的長即為其伸長的長度，設為，
過作于E，則，∴，，
即相當于將點A向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度．
新拋物線的解析式：，
當時，，∴，
解得：（舍去），，∴應伸長米．
【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，關鍵用代入法來求出解析式，再轉化成一元二次方程解決問題．
21．（2023·安徽滁州·二模）北京冬奧會的召開激起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點做水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某滑雪愛好者小劉從點正上方點滑出，滑出后沿一段拋物線 運動．
(1)小山坡最高處的高度是 　　米；(2)小劉在某次訓練中，滑到離處的水平距離為6米時，達到滑行的最大高度米（相對于水平線），在這次訓練中，當小劉滑出后離的水平距離為多少米時，他滑行高度與小山坡的豎直距離為米？(3)小劉若想滑行到最大高度時恰好在坡頂正上方，且與坡頂距離不低于3米，求跳臺滑出點的最小高度．
【答案】(1)7(2)運動員與小山坡的豎直距離為米(3)跳臺滑出點的最小高度為2米
【分析】（1）由的頂點為，即可解得答案．（2）設運動員運動的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意列出方程，解出即可；（3）先求出，再根據與坡頂距離不低于3米列出關于的不等式，即可解得答案．
【詳解】（1）故答案為：7；
（2）小劉滑到離處的水平距離為6米時，其滑行高度最大為米，
的頂點為，，，解得，
設運動員運動的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離為米，
依題意得：，整理得：，
解得：，（舍去），
運動員運動的水平距離為9米時，運動員與小山坡的豎直距離為米；
（3）拋物線，當時，運動員到達坡頂，
，解得，，
與坡頂距離不低于3米，，解得：．跳臺滑出點的最小高度為2米．
【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，熟練掌握二次函數的基本性質，并能將實際問題與二次函數模型相結合．
22．（2023·河北保定·一模）如圖，排球運動員站在點O處練習發球，將球從O點正上方的B處發出，球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，已知米，排球場的邊界點A距O點的水平距離為米，球網高度為米，且．
(1)C點的坐標為　 　（用含m的代數式表示）；(2)當時，求拋物線的表達式．
(3)當時，球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由．
(4)若運動員調整起跳高度，使球在點A處落地，此時形成的拋物線記為，球落地后立即向右彈起，形成另一條與形狀相同的拋物線，且此時排球運行的最大高度為1米，球場外有一個可以移動的縱切面為梯形的無蓋排球回收框（），其中米，米，米，若排球經過向右反彈后沿的軌跡落入回收框內（下落過程中碰到P、Q點均視為落入框內），設M點橫坐標的最大值與最小值的差為d，請直接寫出d的值．
【答案】(1)(2)拋物線的表達式為
(3)球能越過球網，球不會出界，理由見解析(4)
【分析】（1）拋物線的最高點C到y軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，OB＝m米，據此即可得到點C的坐標；（2）當時，得到，設拋物線的表達式為，將點代入解得，即可得到答案；（3）由（2）知，當時，拋物線的表達式為，由，得到，得到，求出當時，，即可判斷球能越過球網，求出，即可判斷球會不會出界；
（4）求出的表達式為，設點M的橫坐標為，則，，當時，，解得：，（舍去），當時，，解得：（舍去），則，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線的最高點C到y軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，OB＝m米，∴C；故答案為：；
（2）當時，∴，∴設拋物線的表達式為，
將點代入，得，解得：，
∴拋物線的表達式為；
（3）球能越過球網，球不會出界，理由如下：由（2）知，當時，拋物線的表達式為，
∵米，，∴（米），∵球網高度為米，∴，
當時，，∵，∴球能越過球網，
當時，，解得：，（不合題意，舍去），∴，
∵，∴球不會出界；
（4）∵球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y軸總是保持6米的水平距離，又∵是與形狀相同的拋物線，此時排球運行的最大高度為1米，
∴設的表達式為，將點代入，得
解得：（舍去），，∴的表達式為，
設點M的橫坐標為，則，，
當時，，解得：，（舍去），
當時，，解得：（舍去），
∴，∴．
【點睛】此題考查了二次函數的應用，待定系數法二次函數解析式，熟練掌握二次函數的圖象和性質并數形結合是解題的關鍵．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題03 函數實際綜合應用問題-拋物線型問題
二次函數拋物線形的應用題以實際問題為題材，二次函數為依托，利用函數圖象及性質來解決問題，考查二次函數的應用，主要的解題方法有待定系數法、數形結合法等，是中考的熱門考點。通過認真分析呢，我們發現這些題目都是一個套路的，利用二次函數解決拋物線形的拱門和大橋、運動軌跡等實際應用問題時，首先我們要把這些實際問題中的相應數據正確地落實到平面直角坐標系中的拋物線上，然后求解得出拋物線的解析式，通過解析式來解決測量問題、最值問題等就能把問題解決了。希望同學們多加練習，掌握這類題目的解題方法。
解決拋物線型的實際問題需要從以下方面考慮：
（1）拋物線解析式已知型：
此類題目需要將已知量（時間或高度、水平距離或高度）代入拋物線解析式中求得對應的未知量；
（2）拋物線解析式未知型：
首先需明確以下信息：①拋物線的頂點（即最高點）；②拋物線上某一點的x軸對應的y軸坐標，即當物體運動到某一點的高度；③拋物線與x軸的交點（即物體的落地點）。
其次再根據題中是否有無拋物線圖象用不同方法求解：①題中無拋物線圖象時或有拋物線圖象且坐標系已確定時，需要提煉題中信息，找到拋物線解析式的關鍵點（常含最高點），利用待定系數法求得解析式，再進行相關計算即可；②題中有拋物線圖象，但無坐標系時，先根據圖象建立恰當的平面直角坐標系，再按①中步驟進行求解即可。
考向一　拋物線形建筑物問題
例1．（2023年陜西省中考數學試卷（A卷））某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求給出了兩個設計方案．現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：
方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．
方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．要在拱門中設置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據以上提供的相關信息，解答下列問題：(1)求方案一中拋物線的函數表達式；(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大小．
例2．（2023·貴州·中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖②，為更加穩固，小星想在上找一點，加裝拉桿，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；(3)為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為，當時，函數的值總大于等于9．求的取值范圍．
例3．（2023年廣東省深圳市中考數學真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人們可以吃到反季節蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以O點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．請回答下列問題：(1)如圖，拋物線的頂點，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個正方形裝置的間距的長；

(3)如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為，求的長．
例4．（2023年山東省青島市中考數學真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．(1)求拋物線的表達式；(2)分別延長，交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為．若，求m的值．

考向二　運動路線（軌跡）問題
例．（2023年山東省威海市中考數學真題）城建部門計劃修建一條噴泉步行通道．圖1是項目俯視示意圖．步行通道的一側是一排垂直于路面的柱形噴水裝置，另一側是方形水池．圖2是主視示意圖．噴水裝置的高度是2米，水流從噴頭A處噴出后呈拋物線路徑落入水池內，當水流在與噴頭水平距離為2米時達到最高點B，此時距路面的最大高度為3.6米．為避免濺起的水霧影響通道上的行人，計劃安裝一個透明的傾斜防水罩，防水罩的一端固定在噴水裝置上的點處，另一端與路面的垂直高度為1.8米，且與噴泉水流的水平距離為0.3米．點到水池外壁的水平距離米，求步行通道的寬．（結果精確到0.1米）參考數據：

例2．（2023年浙江省溫州市中考數學真題）一次足球訓練中，小明從球門正前方的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高為2.44m，現以O為原點建立如圖所示直角坐標系．

(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）．
(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？
例3．（2023年內蒙古赤峰市中考數學真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．
乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數據：
水平距離x/
豎直高度y/
(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數值所對應的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；②求滿足條件的拋物線解析式；
(3)技術分析：如果只上下調整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網高為15.25．現在已經計算出乒乓球恰好過網的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．
例4．（2023年浙江省嘉興市中考數學真題）根據以下素材，探究完成任務．
如何把實心球擲得更遠？
素材1
小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面，當球到OA的水平距離為時，達到最大高度為．
素材2
根據體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離．
問題解決
任務1
計算投擲距離 建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離．
任務2
探求高度變化 求素材2和素材1中球的最大高度的變化量
任務3
提出訓練建議 為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議．
例5．（2023年河南省中考數學真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網與y軸的水平距離，，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數關系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數關系．(1)求點P的坐標和a的值．(2)小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．

例6．（2023·河北·二模）如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點E的坐標為．運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經過原點O的拋物線．在跳某個規定動作時，運動員在空中最高處A點的坐標為，正常情況下，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規定的翻騰、打開動作，并調整好入水姿勢，否則就會失誤．運動員入水后，運動路線為另一條拋物線．(1)求運動員在空中運動時對應拋物線的解析式并求出入水處B點的坐標；(2)若運動員在空中調整好入水姿勢時，恰好距點E的水平距離為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由；(3)在該運動員入水點的正前方有M，N兩點，且，，該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為且頂點C距水面4米，若該運動員出水點D在之間（包括M，N兩點），請直接寫出a的取值范圍．

一、選擇題
1．（2023·廣東深圳·模擬預測）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關數據（單位：）．有下列結論：
①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面的距離為；
④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．
其中結論正確的個數是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2．（2023·湖北·一模）如圖，在池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，高度為，水柱落地處離池中心，水管的長為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年級上·湖南株洲·期末）一副眼鏡的兩個鏡片下半部分輪廓分別對應兩條拋物線的一部分，且在平面直角坐標系中關于y軸對稱，如圖所示（對應一個單位長度），軸，，最低點C在x軸上，且．則輪廓線所在拋物線對應的函數表達式為（ ）

A． B． C． D．
4．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）杭州之門位于杭州奧體博覽城，總高約310米，刷新杭州最新高度，同時也成為中國第一高H形雙塔樓．雙塔底部為跨度約62米，高度約34米的巨型拋物線結構（如圖），則a的值最接近于（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖所示的公路隧道其截面為拋物線型，線段表示水平的路面，以為坐標原點，所在直線為軸，以過點垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系．若，拋物線的頂點到的距離為，則拋物線對應的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年級上·山西臨汾·期末）“盧溝曉月”是著名的北京八景之一，古時乾隆皇帝曾在秋日路過盧溝橋，賦詩“半鉤留照三秋淡，一練分波平鏡明”于此，并題“盧溝曉月”，立碑于橋頭．盧溝橋主橋拱可以近似看作拋物線，橋拱在水面的跨度約為22米，若按如圖所示方式建立平面直角坐標系，則主橋拱所在拋物線可以表示為則主橋拱最高點P與其在水中倒影之間的距離為（ ）米．
A．11 B．13 C．22 D．26
7．（22-23九年級上·浙江臺州·期末）以初速度（單位：）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程中，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關系是．現將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為，經過秒后，將第二個相同材質的小球從地面以初速度豎直上拋．若兩球能在空中相遇，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年級上·福建廈門·階段練習）學校組織學生去同安進行研學實踐活動，小王同學發現在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液（如圖①）.于是好奇的小王同學進行了實地測量研究.當小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口B為該拋物線的頂點．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．小王同學測得：洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點B距臺面的距離為，且B、D、H三點共線．小王在距離臺面處接洗于液時，手心Q到直線DH的水平距離為，若小王不去接，則洗手液落在臺面的位置距的水平距離是（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
9．（2024·江西·一模）如圖，這是某市文化生態園中拋物線型拱橋及其示意圖，已知拋物線型拱橋的函數表達式為，為了美化拱橋夜景，擬在該拱橋上距水面處安裝夜景燈帶，則夜景燈帶的長是 ．

10．（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）如圖，一位籃球運動員投籃時，球從點出手后沿拋物線行進，籃球出手后距離地面的高度與籃球距離出手點的水平距離之間的函數關系式是．下列說法正確的是 （填序號）．
①籃球行進過程中距離地面的最大高度為；②籃球出手點距離地面的高度為．

11．（2023年吉林省長春市中考數學真題）年5月8日，商業首航完成——中國民商業運營國產大飛機正式起步．時分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點距地面 米．

12．（2023年湖北省宜昌市中考數學真題）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是，則鉛球推出的距離 m．

13．（2023·吉林長春·二模）如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，左右兩個拋物線形是全等的，正常水位時，大孔水面寬度為，頂點M距水面（即），小孔頂點N距水面（即 ，建立如圖所示的平面直角坐標系．當水位上漲到剛好淹沒小孔時，求出大孔的水面寬度 m．
14．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為 米．

15．（2023·浙江溫州·三模）如圖，為世界最大跨度鐵路拱橋——貴州北盤江特大橋．如圖，已知拱橋曲線呈拋物線，主橋底部跨度米，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，點為拋物線最高點，立柱，，都與軸垂直，，，，若，，和，，均三點共線．則立柱比 ，以及 ．
三、解答題
16．（2023年湖北省武漢市數學真題）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機．通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離（單位：）以、飛行高度（單位：）隨飛行時間（單位：）變化的數據如下表．
飛行時間 0 2 4 6 8 …
飛行水平距離 0 10 20 30 40 …
飛行高度 0 22 40 54 64 …
探究發現：與，與之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述．直接寫出關于的函數解析式和關于的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．
問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機．根據上面的探究發現解決下列問題．
（1）若發射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；
（2）在安全線上設置回收區域．若飛機落到內（不包括端點），求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．
17．（2023·河南濮陽·二模）如圖（1）所示，濮陽濕地公園中，金堤河大橋是一座非常有藝術性造型的大橋．橋身是由兩條拋物線鋼架建造．如圖（2）所示，兩條拋物線有共同的對稱軸，已知，過原點，兩拋物線最高點的距離為．

(1)求拋物線的解析式；(2)①求主橋長為多少米？②過點與軸平行的直線為河面的水平線，，若要在與水面的交點、處建造兩個橋墩，其中一個橋墩到岸邊（軸）的距離是多少米？（說明：題中個單位長為米）
18．（2023·廣東廣州·一模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻．廣州市南沙區是典型的“水鄉”，萬里珠江在此奔騰入海，轄域里已有的和正在建設的各式橋梁把南沙從曾經的“孤島”連成了粵港澳大灣區的中心，助南沙貨物流轉、人才集聚、便民宜居．中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣洨河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現存最早、保存最完整的古代敞肩石拱橋．如圖①所示，趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為米，拱高（拱頂點到弦的距離）約為米．

(1)某橋主橋拱是圓弧形（如圖①中），已知跨度，拱高，則這條橋主橋拱的半徑是______；(2)某橋的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬，拱頂（拋物線頂點）距離水面，求橋拱拋物線的解析式；(3)如圖③，某時橋和橋的橋下水位均上升了，求此時兩橋的水面寬度．
19．（2024·貴州·一模）如圖，籃圈中心到地面的距離為米，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，籃球運行的路線是拋物線，當運行的水平距離為米時，籃球達到最大高度米，沿此拋物線可準確落入籃圈．
(1)在如圖所示的直角坐標系中，求拋物線的表達式；(2)該運動員身高米，在這次跳投中，球在頭頂上方米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？(3)籃球準備投出時，小強發現前方距離他1米處對方的防守運動員準備跳起攔截，為了躲避攔截，小強臨時調整拋球路線，其表達式為 ，當對方的防守運動員在一個跨步（約米）的范圍內起跳，即時，籃球的高度總大于這名防守運動員的最大摸高米，求b的取值范圍．
20．（2023·安徽蕪湖·三模）消防車中的高噴消防車，采用曲臂加伸縮結構，頂端裝有消防炮，其液控炮既可噴射水也可噴射泡沫，具有射程遠，流量大的特點．該車主要作業于油田、高層建筑、石化企業等地方的滅火救援和處置工作．在一次模擬高層建筑起火救援中，消防炮噴水口A距離地面35米，距離大樓起火側面20米，噴出水柱呈拋物線形，水柱最高處B距離地面50米，距離大樓起火側面5米，如圖所示建立平面直角坐標系．(1)求出水柱所在拋物線的解析式；(2)目前火焰不斷從第17層窗口竄出，若每層樓約2.9米高，窗臺高度約為0.9米，窗頂距離該層地面高度約2.4米，此時水柱能否射入該層窗口？(3)火勢已經向上蔓延到距離地面55米處，高噴消防車最后一節伸縮臂CA按原來方向（與水平方向夾角約為）伸長了一截（不超過12米），為阻止火勢進一步蔓延，伸縮臂應該伸長幾米？（伸縮臂伸長時間忽略，）
21．（2023·安徽滁州·二模）北京冬奧會的召開激起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點做水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某滑雪愛好者小劉從點正上方點滑出，滑出后沿一段拋物線 運動．
(1)小山坡最高處的高度是 　　米；(2)小劉在某次訓練中，滑到離處的水平距離為6米時，達到滑行的最大高度米（相對于水平線），在這次訓練中，當小劉滑出后離的水平距離為多少米時，他滑行高度與小山坡的豎直距離為米？(3)小劉若想滑行到最大高度時恰好在坡頂正上方，且與坡頂距離不低于3米，求跳臺滑出點的最小高度．
22．（2023·河北保定·一模）如圖，排球運動員站在點O處練習發球，將球從O點正上方的B處發出，球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，已知米，排球場的邊界點A距O點的水平距離為米，球網高度為米，且．
(1)C點的坐標為　 　（用含m的代數式表示）；(2)當時，求拋物線的表達式．
(3)當時，球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由．
(4)若運動員調整起跳高度，使球在點A處落地，此時形成的拋物線記為，球落地后立即向右彈起，形成另一條與形狀相同的拋物線，且此時排球運行的最大高度為1米，球場外有一個可以移動的縱切面為梯形的無蓋排球回收框（），其中米，米，米，若排球經過向右反彈后沿的軌跡落入回收框內（下落過程中碰到P、Q點均視為落入框內），設M點橫坐標的最大值與最小值的差為d，請直接寫出d的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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