資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第六章 圖形與變換
第三節 圖形的相似
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 比例線段 ☆☆☆ 此部分內容中考常以綜合題形式來體現知識，作為初中幾何部分的一個重要內容，很多涉及幾何的試題都需要借助相似的性質解決，其知識內容主要包括:平行線分線段分成比例，相似圖形，相似三角形的性質和判定圖形的位似以及相似三角形的實際應用。在中考中，平行線分線段分成比例、圖形的位似和相似三角形的性質等一些基礎知識都可能會以選擇題和填空題的形式進行單獨考查，內容形式單一簡單，縱觀近幾年中考還是多與其他幾何知識相結合進行運用考查，在綜合題中一般難度較大，需要多掌握解答技巧和解題模型。
考點2相似三角形的判定 ☆☆☆
考點3 相似三角形的性質 ☆☆☆
考點4相似三角形的應用 ☆☆☆
1．比和比例的有關概念及性質：
(1)若＝或a∶b＝c∶d，其中b，c稱為 ，a，d稱為 ．
(2)若＝或a∶b＝b∶c，則b叫做a，c的
(3)把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較長線段(AC)是原線段(AB)與較短線段(BC)的比例中項，這就叫做把這條線段 ，即AC2＝ ，其中AC＝ AB≈ AB．
（4）比例的基本性質及定理：
(1)＝ ad＝ ．
2.平行線分線段成比例定理及推論
（1）三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
（2）.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對應線段成比例.
3.相似多邊形
（1）定義
各角分別相等,各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做 ,相似比為1的兩個多邊形全等.
（2）性質
①相似多邊形的對應角 ,對應邊的 ;
②相似多邊形周長的比等于 ；
③相似多邊形面積的比等于 .
4.相似三角形
（1）定義
三角分別 ,三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.
（2）判定
①平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,所構成的三角形與 相似;
②兩角對應相等,兩三角形相似;
③兩邊對應成 且夾角 ,兩三角形相似;
④三邊對應成比例,兩三角形相似;
⑤斜邊和一條直角邊對應成比例,兩直角三角形相似.
（3）性質
①相似三角形的對應角 ,對應邊的 ;
②相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于 ;
③相似三角形周長的比等于 ;
④相似三角形面積的比等于 .
5.位似圖形
位似圖形的定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應點連線相交于一點,對應線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應點連線的交點是位似中心.
常見的位似圖形：
畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同側.（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）
判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經過位似中心.
位似圖形的性質：
1) 位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交于一點；
2）位似圖形的對應邊互相平行或者共線.
3) 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.
4) 在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k.
畫位似圖形的步驟：
1）確定位似中心,找原圖形的關鍵點.
2）確定位似比.
3）以位似中心為端點向各關鍵點作射線.
4）順次連結各截取點，即可得到要求的新圖形.
■考點一　比例線段
◇典例1：
1．（2020 拱墅區二模）已知，則的值為（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 溫嶺市一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，則BC：CE＝（　　）
A．3：5 B．1：3 C．5：3 D．2：3
◆變式訓練
1．（2022 富陽區一模）若＝，則的值等于 　　．
2．（2023 義烏市模擬）已知線段a＝2，b＝8，則a，b的比例中項是 　　．
3．（2023 寧波模擬）如圖，AB∥CD∥EF，直線l1、l2分別與這三條平行線交于點A、C、E和點B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，則BD的長為 　　．
4．（2023 開化縣模擬）美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達到美的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
■考點二 相似三角形的判定
◇典例2：（2023 余杭區二模）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，點D在邊AC上，且DE⊥AC交BC于點E．
（1）求證：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中點，求DE的長．
◆變式訓練
1．（2023 昔陽縣模擬）如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加下列一個條件，不正確的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
2．（2023 桐廬縣一模）如圖，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，點D在BC邊上，∠BAD＝∠CAE，邊DE與AC相交于點F．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）如果AE∥BC，DA＝DC，連結CE．
求證：四邊形ADCE是菱形．
■考點三 相似三角形的性質
◇典例3：（2021 拱墅區二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，連接BD，CE．
（1）判斷BD與CE的數量關系，并證明你的結論；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAC＝120°，∠CAD＝30°．求BD的長．
◆變式訓練
1．（2024 瑤海區一模）如果兩個相似三角形的相似比是1：3，那么它們的面積比是（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1： D．3：1
2．（2023 柯橋區一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點A的坐標為（8，6），點P在矩形ABOC的內部，點E在BO邊上，且滿足△PBE∽△CBO，當△APC是等腰三角形時，點P的坐標為　 　．
■考點四 相似三角形的應用
◇典例4：（2023 寧波模擬）如圖，為了測量平靜的河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點3.2米遠的B點，立一根長為1.6米的標桿AB，在河對岸的岸邊有一根長為4.5米的電線桿MF，電線桿的頂端M在河里的倒影為點N，即PM＝PN，兩岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，經測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？
◆變式訓練
1．（2022 衢州）希臘數學家海倫給出了挖掘直線隧道的方法：如圖，A，B是兩側山腳的入口，從B出發任作線段BC，過C作CD⊥BC，然后依次作垂線段DE，EF，FG，GH，直到接近A點，作AJ⊥GH于點J．每條線段可測量，長度如圖所示．分別在BC，AJ上任選點M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此時點P，A，B，Q共線．挖隧道時始終能看見P，Q處的標志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝　　km．
（2）k＝　　．
2．（2022 溫州）如圖是某風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA，OB，此時各葉片影子在點M右側成線段CD，測得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，則點O，M之間的距離等于 　 　米．轉動時，葉片外端離地面的最大高度等于 　 　米．
1．（2023 蘭溪市模擬）若＝，則＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 富陽區一模）已知線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），則線段AP的長為（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
3．（2021 鄞州區模擬）如圖，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，則BC＝（　　）
A．2 B． C． D．4
4．（2022 麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（　　）
A． B．1 C． D．2
5．（2023 寧波模擬）矩形相鄰的兩邊長分別為25和x（x＜25），把它按如圖所示的方式分割成五個全等的小矩形，每一個小矩形均與原矩形相似，則x的值為（　　）
A．5 B．5 C．5 D．10
6．（2023 蓮都區一模）如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長為3cm，AC被分為5等份．若小玻璃管口DE正好對著量具上2等份處（DE∥AB），那么小玻璃管口徑DE的長為（　　）
A． B．2cm C． D．1cm
7．（2023 余杭區校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，則添加下列條件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C． D．
8．（2023 舟山）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現以原點O為位似中心，在第一象限內作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
9．（2023 蕭山區二模）如圖，△ABC中，DE∥BC，若，那么下列結論中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023 路橋區二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB上一點，且AE：EB＝1：2，AC與DE相交于點F，S△AEF＝3，則S△ACD為（　　）
A．9 B．12 C．27 D．36
11．（2022 紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能是（　　）
A． B． C．10 D．
12．（2023 紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F，N是線段BF上的點，BN＝2NF，M是線段DE上的點，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（　　）
A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積
13．（2022 蕭山區二模）若2m＝3n，則的值是 　　．
14．（2023 舟山三模）如圖，△ABC中，AB＝9，AC＝6，點E在AB上，且AE＝3，點F在AC上，連接EF．若△AEF∽△ACB，則AF＝　 　．
15．（2022 湖州）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，DE∥BC，＝．若DE＝2，則BC的長是 　 　．
16．（2021 舟山）如圖，在直角坐標系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標是 　 　．
17．（2023 湖州）某數學興趣小組測量校園內一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點E處，然后沿著直線BF后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量BF，DF，EF，觀測者目高（CD）的長，利用測得的數據可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點D，EF⊥BD于點F，AB⊥BD于點B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長）是 　 　米．
18．（2023 杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點D，E，F分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，FD，已知點B和點F關于直線DE對稱．設＝k，若AD＝DF，則＝　　（結果用含k的代數式表示）．
19．（2023 麗水）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1 比例線段”3節課后，發現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．
20．（2022 杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．
（1）若AB＝8，求線段AD的長．
（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
21．（2021 西湖區二模）如圖，在矩形ABCD中，E是CD上一點，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求證：△ADE≌△BFA；
（2）連接BE，若△BCE與△ADE相似，求．
22．（2023 杭州一模）如圖，銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，點D平分，連接AD，BD，CD．
（1）求證：AB＝CD．
（2）過點D作DG∥AB，分別交AC，BC于點E，F，交⊙O于點G．
①若AD＝a，BC＝b，求線段EF的長（用含a，b的代數式表示）．
②若∠ABC＝72°，求證：FG2＝EF DF．
1．（2023 寧波模擬）若＝，則的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
2．（2023 余杭區模擬）如圖，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的長為（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
3．（2023 金東區一模）如圖，線段BD，CE相交于點A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，則BD的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022 賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 東明縣一模）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
6．（2021 紹興）如圖，樹AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知路燈高PO＝5m，樹影AC＝3m，樹AB與路燈O的水平距離AP＝4.5m，則樹的高度AB長是（　　）
A．2m B．3m C．m D．m
7．（2021 溫州）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3，點A，B的對應點分別為點A′，B′．若AB＝6，則A′B′的長為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
8．（2023 余杭區二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，點P在BC邊上，若AP是∠BAC的三等分線，則BP的長度為（　　）
A．或5 B． C．﹣1或2 D．或2
9．（2023 紹興模擬）小明在星期天上午8：30測得某樹的影長為9m，下午13：00他又測得該樹的影長為4m（如圖所示），若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（　　）
A．8m B．6m C．4.5m D．4m
10．（2023 嵊州市一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，連接AC，BD交于點E，若AD＝5，AC＝10，BC＝20，則AE的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024 義烏市模擬）如圖是一個由A，B，C三種相似的直角三角形紙片（相似比相同）拼成的矩形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中A，B，C的紙片的面積分別S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，則這個矩形的面積一定可以表示為（　　）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
12．（2023 杭州一模）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與點B，C重合，點F在邊AB上，且AF＝BE，連接AE，DF，對角線AC與DF交于點G，連接BG，交AE于點H．若DF＝4GH，則＝（　　）
A． B． C． D．
13．（2022 錢塘區一模）已知線段a＝+1，b＝﹣1，則a，b的比例中項線段等于 　　．
14．（2021 鎮江）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若＝，則＝　　．
15．（2023 婺城區模擬）如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一個矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，則CF的長為　　．
16．（2022 嘉興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為 　　．
17．（2022 杭州）某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝　　m．
18．（2023 衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為 　　．
（2）若，則＝　　．
19．（2023 杭州模擬）如圖所示，延長平行四邊形ABCD一邊BC至點F，連結AF交CD于點E，若．
（1）求證：△ADE∽△FCE；
（2）若BC＝3，求CF的長．
20．（2023 慈溪市一模）如圖是某風車平面示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA，OB，此時各葉片影子在點M右側形成線段CE，O的對應點為D，測得MC＝4m，CE＝16m，此時太陽的與地面的夾角為30°（即∠ODM＝30°）．
（1）求旋轉中心到地面的距離OM的值；
（2）風車轉動時，要求葉片外端離地面的最低高度高于2.5米，請判斷此風車是否符合要求．
21．（2023 婺城區模擬）請閱讀以下材料并完成相應的任務．17世紀德國著名天文學家開普勒曾經這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．黃金分割比（簡稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較長部分與整體長度之比等于較短部分與較長部分的長度之比（如圖①）即，其比值為．
已知頂角為36°的等腰三角形是黃金三角形的一種；當底角被平分時，形成兩個較小的等腰三角形，這兩個三角形之一相似于原三角形，而另一個三角形可用于產生螺旋形曲線（如圖②）．
任務：
（1）如圖③，在圓內接正十邊形中，AB是正十邊形的一條邊，M是∠ABO的平分線與半徑OA的交點．若OA＝2，求正十邊形邊長AB的長度；
（2）在（1）的條件下，利用圖③進一步探究，請你寫出sin18°與黃金比之間的關系，并說明理由．
22．（2021 杭州）如圖，銳角三角形ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線AG交⊙O于點G，交BC邊于點F，連接BG．
（1）求證：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求線段FG的長（用含a，b的代數式表示）．
（3）已知點E在線段AF上（不與點A，點F重合），點D在線段AE上（不與點A，點E重合），∠ABD＝∠CBE，求證：BG2＝GE GD．
23．（2023 錢塘區三模）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F．
（1）求證：FC＝2FA．
（2）若EF＝1，求AC的長．
（3）連接DF，判斷△CDF的形狀，并說明理由．
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第六章 圖形與變換
第三節 圖形的相似
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 比例線段 ☆☆☆ 此部分內容中考常以綜合題形式來體現知識，作為初中幾何部分的一個重要內容，很多涉及幾何的試題都需要借助相似的性質解決，其知識內容主要包括:平行線分線段分成比例，相似圖形，相似三角形的性質和判定圖形的位似以及相似三角形的實際應用。在中考中，平行線分線段分成比例、圖形的位似和相似三角形的性質等一些基礎知識都可能會以選擇題和填空題的形式進行單獨考查，內容形式單一簡單，縱觀近幾年中考還是多與其他幾何知識相結合進行運用考查，在綜合題中一般難度較大，需要多掌握解答技巧和解題模型。
考點2相似三角形的判定 ☆☆☆
考點3 相似三角形的性質 ☆☆☆
考點4相似三角形的應用 ☆☆☆
1．比和比例的有關概念及性質：
(1)若＝或a∶b＝c∶d，其中b，c稱為內項，a，d稱為外項．
(2)若＝或a∶b＝b∶c，則b叫做a，c的比例中項．
(3)把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較長線段(AC)是原線段(AB)與較短線段(BC)的比例中項，這就叫做把這條線段黃金分割，即AC2＝AB·BC，其中AC＝ AB≈ 0.618 AB．
（4）比例的基本性質及定理：
(1)＝ ad＝ bc ．
2.平行線分線段成比例定理及推論
（1）三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
（2）.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對應線段成比例.
3.相似多邊形
（1）定義
各角分別相等,各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比,相似比為1的兩個多邊形全等.
（2）性質
①相似多邊形的對應角相等,對應邊的成比例;
②相似多邊形周長的比等于相似比;
③相似多邊形面積的比等于相似比的平方.
4.相似三角形
（1）定義
三角分別相等,三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.
（2）判定
①平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似;
②兩角對應相等,兩三角形相似;
③兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似;
④三邊對應成比例,兩三角形相似;
⑤斜邊和一條直角邊對應成比例,兩直角三角形相似.
（3）性質
①相似三角形的對應角相等,對應邊的成比例;
②相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比;
③相似三角形周長的比等于相似比;
④相似三角形面積的比等于相似比的平方.
5.位似圖形
位似圖形的定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應點連線相交于一點,對應線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應點連線的交點是位似中心.
常見的位似圖形：
畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同側.（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）
判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經過位似中心.
位似圖形的性質：
1) 位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交于一點；
2）位似圖形的對應邊互相平行或者共線.
3) 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.
4) 在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k.
畫位似圖形的步驟：
1）確定位似中心,找原圖形的關鍵點.
2）確定位似比.
3）以位似中心為端點向各關鍵點作射線.
4）順次連結各截取點，即可得到要求的新圖形.
■考點一　比例線段
◇典例1：
1．（2020 拱墅區二模）已知，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【考點】比例的性質．
【答案】D
【點撥】根據比例的性質解答即可．
【解析】解：由，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以的值為，
故選：D．
【點睛】此題考查比例的性質，關鍵是根據比例的性質得出x，y的關系式．
2．（2021 溫嶺市一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，則BC：CE＝（　　）
A．3：5 B．1：3 C．5：3 D．2：3
【考點】平行線分線段成比例．
【答案】A
【點撥】直接根據平行線分線段成比例定理求解．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝．
故選：A．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
◆變式訓練
1．（2022 富陽區一模）若＝，則的值等于 　　．
【考點】比例的性質．
【答案】．
【點撥】先把要求的式子變成1+，再進行計算即可得出答案．
【解析】解：∵＝，
∴＝1+＝1+＝．
故答案為：．
【點睛】此題考查了比例的性質，把要求的式子變成1+是解題的關鍵．
2．（2023 義烏市模擬）已知線段a＝2，b＝8，則a，b的比例中項是 　4　．
【考點】比例線段．
【答案】4
【點撥】設線段a，b的比例中項為c，根據比例中項的定義可知，c2＝ab，代入數據可直接求得c的值，注意兩條線段的比例中項為正數．
【解析】解：設線段a，b的比例中項為c，
∵c是長度分別為2、8的兩條線段的比例中項，
∴c2＝ab＝2×8，
即c2＝16，
∴c＝4（負數舍去）．
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了線段的比．根據比例的性質列方程求解即可．解題的關鍵是掌握比例中項的定義，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a與c的比例中項．
3．（2023 寧波模擬）如圖，AB∥CD∥EF，直線l1、l2分別與這三條平行線交于點A、C、E和點B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，則BD的長為 　　．
【考點】平行線分線段成比例．
【答案】．
【點撥】先根據平行線分線段成比例定理得到＝，然后利用比例性質得到BD的長．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得BD＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
4．（2023 開化縣模擬）美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達到美的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考點】黃金分割．
【答案】C
【點撥】先求得下半身的實際高度，再根據黃金分割的定義求解．
【解析】解：根據已知條件得下半身長是165×0.60＝99cm，
設需要穿的高跟鞋是ycm，則根據黃金分割的定義得：
＝0.618，
解得：y≈8cm．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用．關鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比，難度適中．
■考點二 相似三角形的判定
◇典例2：（2023 余杭區二模）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，點D在邊AC上，且DE⊥AC交BC于點E．
（1）求證：△CDE∽△CBA；
（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中點，求DE的長．
【考點】相似三角形的判定與性質．
【答案】見試題解答內容
【點撥】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再結合公共角相等，即可證出△CDE∽△CBA；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的長，結合點E為線段BC的中點可求出CE的長，再利用相似三角形的性質，即可求出DE的長．
【解析】（1）證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4．
∵E是BC中點，
∴CE＝BC＝2．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴DE＝＝．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）利用“兩角對應相等兩三角形相似”證出兩三角形相似；（2）利用相似三角形的性質求出DE的長．
◆變式訓練
1．（2023 昔陽縣模擬）如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加下列一個條件，不正確的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【考點】相似三角形的判定．
【答案】D
【點撥】根據相似三角形的判定方法，逐項判斷即可．
【解析】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，
∴當∠ABP＝∠C時，滿足兩組角對應相等，可判斷△ABP∽△ACB，故A正確；
當∠APB＝∠ABC時，滿足兩組角對應相等，可判斷△ABP∽△ACB，故B正確；
當時，滿足兩邊對應成比例且夾角相等，可判斷△ABP∽△ACB，故C正確；
當＝時，其夾角不相等，則不能判斷△ABP∽△ACB，故D不正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵，即在兩個三角形中，滿足三邊對應成比例、兩邊對應成比例且夾角相等或兩組角對應相等，則這兩個三角形相似．
2．（2023 桐廬縣一模）如圖，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，點D在BC邊上，∠BAD＝∠CAE，邊DE與AC相交于點F．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）如果AE∥BC，DA＝DC，連結CE．
求證：四邊形ADCE是菱形．
【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析；
【點撥】（1）由等角加同角相等可得∠BAC＝∠DAE，由△ABC和△ADE的頂角相等，且都是等腰三角形，以此即可證明△ABC∽△ADE；
（2）根據平行線的性質得∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，進而得到∠ADF＝∠CDF，由等腰三角形三線合一的性質可得AF＝CF，再通過AAS證明△AEF≌△CDF，得到AE＝CD，由對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCE為平行四邊形，最后根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明四邊形ADCE是菱形．
【解析】（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+CAD，即∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝，∠ADE＝∠E＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E，
∴△ABC∽△ADE；
（2）證明：如圖，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，
由（1）可知，∠DCF＝∠ADF＝∠AEF，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵DA＝DC，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE∥CD，AE＝CD，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
∵DA＝DC，
∴平行四邊形ADCE為菱形．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定、等腰三角形的性質、平行線的性質、全等三角形的判定與性質，熟練菱形的判定方法是解題關鍵．菱形的判定：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）．②四條邊都相等的四邊形是菱形．③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
■考點三 相似三角形的性質
◇典例3：（2021 拱墅區二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，連接BD，CE．
（1）判斷BD與CE的數量關系，并證明你的結論；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAC＝120°，∠CAD＝30°．求BD的長．
【考點】相似三角形的性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．
【答案】（1）BD＝CE；（2）2．
【點撥】（1）根據SAS證明△ABD≌△ACE即可；
（2）作DH⊥BA交BA的延長線于H，然后根據勾股定理和直角三角形的性質即可求出BD的長．
【解析】解：（1）結論：BD＝CE，
理由：∵△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，△ADE∽△ABC，
∴AD＝AE，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如圖1中，作DH⊥BA交BA的延長線于H．
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，
∴∠DAH＝30°，
∵∠H＝90°，AD＝4，
∴DH＝2，AH＝2，
∴BH＝AH+AB＝4
在Rt△BDH中，BD＝．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．
◆變式訓練
1．（2024 瑤海區一模）如果兩個相似三角形的相似比是1：3，那么它們的面積比是（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1： D．3：1
【考點】相似三角形的性質．
【答案】B
【點撥】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方解決問題即可．
【解析】解：∵兩個相似三角形的相似比是1：3，
∴這兩個相似三角形的面積比＝1：9，
故選：B．
【點睛】本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
2．（2023 柯橋區一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點A的坐標為（8，6），點P在矩形ABOC的內部，點E在BO邊上，且滿足△PBE∽△CBO，當△APC是等腰三角形時，點P的坐標為　（，）或（4，3）　．
【考點】相似三角形的性質；坐標與圖形性質；等腰三角形的性質；矩形的性質．
【答案】（，）或（4，3）．
【點撥】由題意得出P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，由此分兩種情形分別求解，可得結論．
【解析】解：∵點P在矩形ABOC的內部，且△APC是等腰三角形，
∴P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；
①當P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與BO的交點即是E，如圖1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為（8，6），
∴點P橫坐標為4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝，即＝，
解得：PE＝3，
∴點P（4，3）；
②P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P，
過點P作PE⊥BO于E，如圖2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為（8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝＝，即：＝＝，
解得：PE＝，BE＝，
∴OE＝8﹣＝，
∴點P（，）；
綜上所述：點P的坐標為：（，）或（4，3）；
故答案為：（，）或（4，3）．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、等腰三角形的判定與性質、坐標與圖形的性質、平行線的判定、勾股定理、分類討論等知識，熟練掌握相似三角形與等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．
■考點四 相似三角形的應用
◇典例4：（2023 寧波模擬）如圖，為了測量平靜的河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點3.2米遠的B點，立一根長為1.6米的標桿AB，在河對岸的岸邊有一根長為4.5米的電線桿MF，電線桿的頂端M在河里的倒影為點N，即PM＝PN，兩岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，經測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？
【考點】相似三角形的應用．
【答案】12米．
【點撥】延長AB交EP的反向延長線于點H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解決問題，
【解析】解：延長AB交EP的反向延長線于點H，
則四邊形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴＝，
∴＝，
∴HO＝4.7，
∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米，
∴PN＝MF+FP＝5.25米，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴＝，
∴＝，
∴PO＝10.5，
∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12，
答：河寬EP是12米．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，關鍵是構造和證明三角形相似．
◆變式訓練
1．（2022 衢州）希臘數學家海倫給出了挖掘直線隧道的方法：如圖，A，B是兩側山腳的入口，從B出發任作線段BC，過C作CD⊥BC，然后依次作垂線段DE，EF，FG，GH，直到接近A點，作AJ⊥GH于點J．每條線段可測量，長度如圖所示．分別在BC，AJ上任選點M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此時點P，A，B，Q共線．挖隧道時始終能看見P，Q處的標志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝　1.8　km．
（2）k＝　　．
【考點】相似三角形的應用；數學常識；列代數式．
【答案】1.8；．
【點撥】（1）根據圖中三條線段所標數據即可解答；
（2）連接AB，過點A作AZ⊥CB，交CB的延長線于點Z．易得AZ＝1.8，BZ＝4＝2.6，證明△BMQ∽△BZA，即可解答．
【解析】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；
（2）連接AB，過點A作AZ⊥CB，交CB的延長線于點Z．
由矩形性質得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，
BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，
∵點P，A，B，Q共線，
∴∠MBQ＝∠ZBA，
又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴＝k＝＝＝．
故答案為：1.8；．
【點睛】本題重點考查矩形性質和相似三角形的判定和性質，解題關鍵是恰當作出輔助線．
2．（2022 溫州）如圖是某風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA，OB，此時各葉片影子在點M右側成線段CD，測得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，則點O，M之間的距離等于 　10　米．轉動時，葉片外端離地面的最大高度等于 　（10+）　米．
【考點】相似三角形的應用；平行投影；旋轉的性質．
【答案】10，（10+）．
【點撥】作輔助線，構建直角△CND，證明△HMC∽△EFG，根據垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，列比例式可得HM的長，由三角函數的定義可得CN的長，從而得OA＝OB＝，由此可解答．
【解析】解：如圖，設AC與OM交于點H，過點C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴＝＝，即＝，
∴HM＝，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴＝＝，
設CN＝2x，DN＝3x，則CD＝x，
∴x＝13，
∴x＝，
∴AB＝CN＝2，
∴OA＝OB＝AB＝，
在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，
∴sin∠AHO＝＝，
∴＝，
∴OH＝，
∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），
以點O為圓心，OA的長為半徑作圓，當OB與OM共線時，葉片外端離地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
故答案為：10，（10+）．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
1．（2023 蘭溪市模擬）若＝，則＝（　　）
A． B． C． D．
【考點】比例的性質．
【答案】D
【點撥】利用比例的性質，進行計算即可解答．
【解析】解：∵＝，
∴＝，
∴
＝2+
＝2+
＝，
故選：D．
【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．
2．（2022 富陽區一模）已知線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），則線段AP的長為（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【考點】黃金分割．
【答案】D
【點撥】根據黃金比值為計算即可．
【解析】解：∵點P是線段AB的黃金分割點，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故選：D．
【點睛】本題考查的是黃金分割的概念，熟記黃金比值為是解題的關鍵．
3．（2021 鄞州區模擬）如圖，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，則BC＝（　　）
A．2 B． C． D．4
【考點】相似三角形的性質．
【答案】B
【點撥】直接利用相似三角形的性質得出BC2＝AC CD，進而得出答案．
【解析】解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質，正確得出對應邊關系是解題關鍵．
4．（2022 麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（　　）
A． B．1 C． D．2
【考點】平行線分線段成比例．
【答案】C
【點撥】過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．
【解析】解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，
則＝，即＝2，
解得：BC＝，
故選：C．
【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．
5．（2023 寧波模擬）矩形相鄰的兩邊長分別為25和x（x＜25），把它按如圖所示的方式分割成五個全等的小矩形，每一個小矩形均與原矩形相似，則x的值為（　　）
A．5 B．5 C．5 D．10
【考點】相似多邊形的性質；矩形的性質．
【答案】B
【點撥】根據相似多邊形的性質得出比例式，即可得到答案．
【解析】解：∵原矩形的長為25，寬為x，
∴小矩形的長為x，寬為＝5，
∵小矩形與原矩形相似，
∴，
解得：x＝5或﹣5（舍去），
故選：B．
【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質、矩形的性質，注意分清對應邊是解決本題的關鍵．
6．（2023 蓮都區一模）如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長為3cm，AC被分為5等份．若小玻璃管口DE正好對著量具上2等份處（DE∥AB），那么小玻璃管口徑DE的長為（　　）
A． B．2cm C． D．1cm
【考點】相似三角形的應用．
【答案】A
【點撥】根據平行線的性質可得∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠CED，從而可得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．
【解析】解：∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠CED，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
故選：A．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關鍵．
7．（2023 余杭區校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，則添加下列條件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C． D．
【考點】相似三角形的判定．
【答案】C
【點撥】已知∠ADC＝∠BAC，則A、D選項可根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定；C選項雖然也是對應邊成比例但無法得到其夾角相等，所以不能推出兩三角形相似；B選項可以根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定．
【解析】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需滿足的條件有：
①∠DAC＝∠ABC或CA是∠BCD的平分線；
②＝；
故選：C．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關鍵．
8．（2023 舟山）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現以原點O為位似中心，在第一象限內作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【考點】位似變換；坐標與圖形性質．
【答案】C
【點撥】根據位似變換的性質解答即可．
【解析】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，
∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，
∵點C的坐標為（3，2），
∴點C′的坐標為（3×2，2×2），即（6，4），
故選：C．
【點睛】本題考查的是位似變換的性質、相似三角形的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．
9．（2023 蕭山區二模）如圖，△ABC中，DE∥BC，若，那么下列結論中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】相似三角形的判定與性質；平行線分線段成比例．
【答案】D
【點撥】運用平行線分線段成比例定理對各個選項進行判斷即可．
【解析】解：∵AD：DB＝2：3，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝＝，A不符合題意，
＝＝，B不符合題意；
＝＝，C不符合題意，
＝＝，
故選：D．
【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．
10．（2023 路橋區二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB上一點，且AE：EB＝1：2，AC與DE相交于點F，S△AEF＝3，則S△ACD為（　　）
A．9 B．12 C．27 D．36
【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
【答案】D
【點撥】利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質，相似三角形的判定與性質求得△DFC的面積，再利用等高的三角形的面積比等于底的比求得△AFD的面積，則S△ACD＝S△CDF+S△ADF＝36．
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵AE：EB＝1：2，
∴AE：AB＝1：3，
∴AE：CD＝1：3．
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∴S△CDF＝9S△AEF＝27．
∵△AEF∽△CDF，
∴，
∴S△AEF：S△ADF＝EF：DF＝1：3，
∴S△ADF＝3S△AEF＝9，
∴S△ACD＝S△CDF+S△ADF＝27+9＝36，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，等高的三角形的面積比等于底的比，熟練掌握平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
11．（2022 紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能是（　　）
A． B． C．10 D．
【考點】相似三角形的性質；矩形的性質．
【答案】A
【點撥】根據題意，畫出相應的圖形，然后利用相似三角形的性質和分類討論的方法，求出剪掉的兩個直角三角形的斜邊長，然后即可判斷哪個選項符合題意．
【解析】解：如圖1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
則，
設DF＝x，CE＝y，
則，
解得，
∴DE＝CD+CE＝6+＝，故選項B不符合題意；
EB＝DF+AD＝+2＝，故選項D不符合題意；
如圖2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
則，
設FC＝m，FD＝n，
則，
解得，
∴FD＝10，故選項C不符合題意；
BF＝FC+BC＝8+7＝15；
如圖3所示：
此時兩個直角三角形的斜邊長為6和7；
故選：A．
【點睛】本題考查相似三角形的性質、矩形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用分類討論的方法解答．
12．（2023 紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F，N是線段BF上的點，BN＝2NF，M是線段DE上的點，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（　　）
A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積
【考點】相似三角形的判定與性質；平行線的性質；三角形的面積．
【答案】D
【點撥】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出 ，則 ，又∠NFD＝∠MEC，則△NFD∽△MEC，進而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，結合題意得出，即可求解．
【解析】解：如圖所示，連接ND，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．
∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．
∴＝，
∵DM＝2ME，BN＝2NF，
∴，ME＝DE，
∴
∴，
又∵∠NFD＝∠MEC，
∴△NFD∽△MEC．
∴∠ECM＝∠FDN．
∵∠FDB＝∠ECD，
∴∠MCD＝∠NDB．
∴MC∥ND．
∴S△MNC＝S△MDC．
∵DM＝2ME，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，平行線的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．
13．（2022 蕭山區二模）若2m＝3n，則的值是 　　．
【考點】比例的性質．
【答案】．
【點撥】根據比例的基本性質，進行計算即可解答．
【解析】解：∵2m＝3n，
∴＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．
14．（2023 舟山三模）如圖，△ABC中，AB＝9，AC＝6，點E在AB上，且AE＝3，點F在AC上，連接EF．若△AEF∽△ACB，則AF＝　4.5　．
【考點】相似三角形的性質．
【答案】4.5．
【點撥】由△AEF∽△ACB，得到AF：AB＝AE：AC，代入有關數據，即可求出AF的長．
【解析】解：∵△AEF∽△ACB，
∴AF：AB＝AE：AC，
∵AB＝9，AC＝6，AE＝3，
∴AF：9＝3：6，
∴AF＝4.5．
故答案為：4.5．
【點睛】本題考查相似三角形的性質，關鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例．
15．（2022 湖州）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，DE∥BC，＝．若DE＝2，則BC的長是 　6　．
【考點】相似三角形的判定與性質．
【答案】6．
【點撥】由平行線的旋轉得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的旋轉得出，代入計算即可求出BC的長度．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵＝，DE＝2，
∴，
∴BC＝6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握平行線的性質，相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵．
16．（2021 舟山）如圖，在直角坐標系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標是 　（4，2）　．
【考點】位似變換；坐標與圖形性質．
【答案】（4，2）．
【點撥】根據圖示，對應點所在的直線都經過同一點，該點就是位似中心．
【解析】解：如圖，
點G（4，2）即為所求的位似中心．
故答案為：（4，2）．
【點睛】本題考查了位似的相關知識，位似是相似的特殊形式，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．
17．（2023 湖州）某數學興趣小組測量校園內一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點E處，然后沿著直線BF后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量BF，DF，EF，觀測者目高（CD）的長，利用測得的數據可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點D，EF⊥BD于點F，AB⊥BD于點B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長）是 　4.1　米．
【考點】相似三角形的應用．
【答案】4.1
【點撥】過點E作水平線交AB于點G，交CD于點H，根據鏡面反射的性質求出△CHE∽△AGE，再根據對應邊成比例解答即可．
【解析】解：過點E作水平線交AB于點G，交CD于點H，如圖，
∵DB是水平線，CD，EF，AB都是鉛垂線，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根據題意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴，即，
解得：AG＝3.6米，
∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案為：4.1．
【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，通過作輔助線構造相似三角形，并利用相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．
18．（2023 杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點D，E，F分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，FD，已知點B和點F關于直線DE對稱．設＝k，若AD＝DF，則＝　　（結果用含k的代數式表示）．
【考點】相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；軸對稱的性質．
【答案】．
【點撥】先根據軸對稱的性質和已知條件證明DE∥AC，再證△BDE∽△BAC，推出EC＝k AB，通過證明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2 AB，即可求出的值．
【解析】解：∵點B和點F關于直線DE對稱，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵點B和點F關于直線DE對稱，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵點B和點F關于直線DE對稱，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝＝，
∴EC＝BC，
∵＝k，
∴BC＝k AB，
∴EC＝k AB，
∴＝，
∴CF＝k2 AB，
∴＝＝＝＝．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，軸對稱的性質，平行線的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形外角的定義和性質等，有一定難度，解題的關鍵是證明△ABC∽△ECF．
19．（2023 麗水）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1 比例線段”3節課后，發現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．
【考點】比例線段．
【答案】2．
【點撥】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．
【解析】解：當＝2時，＝＝，理由如下：
∵＝2，
∴a＝2c，
∴＝，
∴b＝c，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝．
故答案為：2．
【點睛】本題考查比例線段，關鍵是由＝2，＝＝，得到b＝c．
20．（2022 杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．
（1）若AB＝8，求線段AD的長．
（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．
【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
【答案】（1）2；
（2）6．
【點撥】（1）證明△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應邊的比相等列式，可解答；
（2）根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△ABC的面積是16，同理可得△EFC的面積＝9，根據面積差可得答案．
【解析】解：（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵AB＝8，
∴AD＝2；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面積為1，
∴△ABC的面積是16，
∵四邊形BFED是平行四邊形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△EFC的面積＝9，
∴平行四邊形BFED的面積＝16﹣9﹣1＝6．
【點睛】本題主要平行四邊形的性質，相似三角形的性質和判定，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題關鍵．
21．（2021 西湖區二模）如圖，在矩形ABCD中，E是CD上一點，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求證：△ADE≌△BFA；
（2）連接BE，若△BCE與△ADE相似，求．
【考點】相似三角形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的性質．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）．
【點撥】（1）根據矩形的性質得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠FAB＝90°，∠FBA+∠FAB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根據全等三角形的判定推出即可；
（2）根據矩形的性質得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根據平行線的性質得出∠CEB＝∠ABE，
設∠CEB＝∠ABE＝x°，根據等腰三角形的性質求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根據相似三角形的性質得出兩種情況：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根據∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，設∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠DAE+∠FAB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，
∴∠DAE＝∠FBA，
在△ADE和△BFA中
，
∴△ADE≌△BFA（AAS）；
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠CEB＝∠ABE，
設∠CEB＝∠ABE＝x°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠EBA＝x°，
當△BCE與△ADE相似時，有兩種情況：
①∠DEA＝∠CEB＝x°，
∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴x+x+x＝180，
解得：x＝60，
即∠DEA＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，
∵AE＝AB，
∴＝＝＝；
②∠DEA＝∠EBC，
設∠DEA＝∠EBC＝y°，
∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，
則∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，
即，
解得：x＝90°，
即∠CEB＝90°，
此時點E和點C重合，△BEC不存在，舍去；
所以＝．
【點睛】本題考查了矩形的性質，平行線的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質，等腰三角形的性質和直角三角形的性質等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．
22．（2023 杭州一模）如圖，銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，點D平分，連接AD，BD，CD．
（1）求證：AB＝CD．
（2）過點D作DG∥AB，分別交AC，BC于點E，F，交⊙O于點G．
①若AD＝a，BC＝b，求線段EF的長（用含a，b的代數式表示）．
②若∠ABC＝72°，求證：FG2＝EF DF．
【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．
【答案】（1）證明見解析過程；
（2）①；
②證明見解析過程．
【點撥】（1）由點D平分，可得，則∠ABD＝∠CBD，由∠ABD+∠CBD＝∠ABC，可得2∠CBD＝∠ABC，則∠ACB＝∠CBD，進而結論得證；
（2）證明四邊形ABFD是菱形，則BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，證明△CEF∽△CAB，則，即，求解即可；
②由∠ABC＝72°，可得∠ACB＝36°，∠CAB＝72°，由DG∥AB，可得∠CEF＝∠CFE＝72°，證明△CEF∽△DCF，則，即EF DF＝CF2，如圖，連接CG，∠DGC＝∠DBC＝36°，說明∠DGC＝∠FCG，則FG＝CF，進而結論得證．
【解析】（1）證明：∵點D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；
（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，則，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∵AB＝AD，
∴四邊形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴線段EF的長為；
②證明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF DF＝CF2，
如圖，連接CG，
∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF DF．
【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、垂徑定理、圓周角定理以及三角形的外接圓與外心，解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
1．（2023 寧波模擬）若＝，則的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
【考點】比例的性質．
【答案】C
【點撥】由＝，可得b＝3a，把b換成3a即可求出的值．
【解析】解：∵＝，
∴b＝3a，
∴＝＝﹣2．
故選：C．
【點睛】此題考查了比例的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是掌握比例變形．
2．（2023 余杭區模擬）如圖，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的長為（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【考點】平行線分線段成比例．
【答案】B
【點撥】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數據代入計算即可．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，
∴＝＝，
∵AF＝21，
∴＝，
解得：DF＝12，
故選：B．
【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．
3．（2023 金東區一模）如圖，線段BD，CE相交于點A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，則BD的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考點】相似三角形的判定與性質．
【答案】D
【點撥】由DE∥BC，利用“兩直線平行，內錯角相等”可得出∠B＝∠D，∠C＝∠E，進而可得出△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性質可得出＝，代入BC＝3，DE＝1.5，AD＝2即可求出AB的長，此題得解．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝，
∴AB＝4，
∴BD＝AB+AD＝4+2＝6．
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，牢記相似三角形對應邊的比相等是解題的關鍵．
4．（2022 賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（　　）
A． B． C． D．
【考點】相似三角形的性質．
【答案】B
【點撥】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE：S△ABC的值為，
故選：B．
【點睛】本題主要考查相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
5．（2023 東明縣一模）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
【考點】相似三角形的判定．
【答案】C
【點撥】根據已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．
【解析】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
選項C中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，
故選：C．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．
6．（2021 紹興）如圖，樹AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知路燈高PO＝5m，樹影AC＝3m，樹AB與路燈O的水平距離AP＝4.5m，則樹的高度AB長是（　　）
A．2m B．3m C．m D．m
【考點】相似三角形的應用；中心投影．
【答案】A
【點撥】利用相似三角形的性質求解即可．
【解析】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴，
∴，
∴AB＝2（m），
故選：A．
【點睛】本題考查中心投影以及相似三角形的應用．測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．
7．（2021 溫州）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3，點A，B的對應點分別為點A′，B′．若AB＝6，則A′B′的長為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
【考點】位似變換．
【答案】B
【點撥】根據位似圖形的概念列出比例式，代入計算即可．
【解析】解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3，AB＝6，
∴＝，即＝，
解得，A′B′＝9，
故選：B．
【點睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質，掌握位似圖形的兩個圖形是相似圖形、相似三角形的性質是解題的關鍵．
8．（2023 余杭區二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，點P在BC邊上，若AP是∠BAC的三等分線，則BP的長度為（　　）
A．或5 B． C．﹣1或2 D．或2
【考點】黃金分割；等腰三角形的性質．
【答案】C
【點撥】根據已知條件得出∠B＝∠C＝36°，再根據AP是∠BAC的三等分線，求出∠BAP的度數與AC＝PC＝2，再根據AA證出△BAP∽△BCA，＝，從而得出＝，最后代值計算即可得出答案．
【解析】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AP是∠BAC的三等分線，
∴∠BAP＝36°，∠CAP＝72°，
∴∠CPA＝72°，
∴AC＝PC＝2，
在△BAP與△BCA中，
，
∴△BAP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BP2+2BP﹣4＝0，
∴BP＝﹣1或2（舍去）．
當∠BAP＝72°，∠CAP＝36°時，
AB＝PB＝2，
故選C．
【點睛】此題考查了等腰三角形的性質以及黃金分割，掌握相似三角形的判斷以及等腰三角形的性質是解題的關鍵．
9．（2023 紹興模擬）小明在星期天上午8：30測得某樹的影長為9m，下午13：00他又測得該樹的影長為4m（如圖所示），若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（　　）
A．8m B．6m C．4.5m D．4m
【考點】相似三角形的應用；平行投影．
【答案】B
【點撥】根據題意，畫出示意圖，易得Rt△EDC∽Rt△FDC，進而可得；即DC2＝ED FD，代入數據可得答案．
【解析】解：根據題意，作△EFC；
樹高為CD，且∠ECF＝90°，ED＝4，FD＝9，
∵∠ECD+∠FCD＝90°，∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠CED＝∠FCD，
又∵∠EDC＝∠FDC＝90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴；
即DC2＝ED FD，
代入數據可得DC2＝36，
解得DC＝6．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的應用，本題通過投影的知識結合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性質在實際生活中的應用．
10．（2023 嵊州市一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，連接AC，BD交于點E，若AD＝5，AC＝10，BC＝20，則AE的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考點】相似三角形的判定與性質；平行線的判定．
【答案】B
【點撥】根據平行線的判定可以得到AD∥BC，然后即可得到△AED∽CEB，從而可以得到，再根據AC的值，即可求得AE的值．
【解析】解：∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴△AED∽CEB，
∴，
即，
∴，
∴AC＝AE+CE，AC＝10，
∴AE＝AC＝2，
故選：B．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、平行線的判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
11．（2024 義烏市模擬）如圖是一個由A，B，C三種相似的直角三角形紙片（相似比相同）拼成的矩形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中A，B，C的紙片的面積分別S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，則這個矩形的面積一定可以表示為（　　）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【考點】相似三角形的性質；矩形的性質．
【答案】A
【點撥】如圖，由A、B、C三種直角三角形相似，設相似比為k，EF＝m，則GH＝mk，FH＝mk2．想辦法構建方程，求出k定值，證明S2+S3＝S1即可解決問題；
【解析】解：如圖，由A、B、C三種直角三角形相似，設相似比為k，EF＝m，則GH＝mk，FH＝mk2．
∴EH＝m（1+k2），FM＝，FK＝km（1+k2），
則有：km（1+k2）+mk＝，
整理得：k4+k2﹣1＝0，
∴k2＝或（舍去），
∴S2＝S1，S3＝（）2S1＝S1，
∴S2+S3＝S1，
∴這個矩形的面積＝2S1+2（S2+S3）＝4S1，
故選：A．
【點睛】本題考查相似三角形的性質、矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
12．（2023 杭州一模）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與點B，C重合，點F在邊AB上，且AF＝BE，連接AE，DF，對角線AC與DF交于點G，連接BG，交AE于點H．若DF＝4GH，則＝（　　）
A． B． C． D．
【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．
【答案】A
【點撥】設GH＝a，則DF＝4a，證明△DAF≌△ABE和△DAG≌△BAG，推出AH＝BH＝HE，作EQ∥AC，證明△EQH≌△AGH，得到BQ＝QH＝GH＝a，DG＝BG＝3a，設AF＝b，則CD＝3b＝AD，推出，在Rt△AFD中，利用勾股定理求得，代入計算即可求解．
【解析】解：設GH＝a，則DF＝4a，
∵正方形ABCD中，AF＝BE，
∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABE＝90°，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴DF＝AE，∠ADF＝∠BAE，
∵對角線AC與DF交于點G，
∴BG＝DG，
∵AB＝AD，AG＝AG，
∴△DAG≌△BAG（SSS），
∴∠ADF＝∠ABG＝∠BAE，
∴AH＝BH，
∵∠BAE+∠AEB＝∠ABH+∠HBE＝90°，
∴∠HBE＝∠HEB，
∴AH＝BH＝HE，
作EQ∥AC，
∴∠EHQ＝∠AHG，∠QEH＝∠GAH，
∴△EQH≌△AGH（ASA），
∴EQ＝AG，QH＝GH＝a，
∵DF＝AE，
∴，
∴BQ＝QH＝GH＝a，
∴DG＝BG＝3a，GF＝DF﹣DG＝a，
∵AF∥DC，
∴△AFG∽△CDG，
∴＝＝＝，
設AF＝b，則CD＝3b＝AD，
∴，
∴，
在Rt△AFD中，
AF2+AD2＝DF2，即b2+（3b）2＝（4a）2，
整理得：，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及正方形的性質，解題的關鍵是學會利用參數構建等量關系是解決的問題．
13．（2022 錢塘區一模）已知線段a＝+1，b＝﹣1，則a，b的比例中項線段等于 　2　．
【考點】比例線段；分母有理化．
【答案】2．
【點撥】根據比例中項的定義直接列式求值，問題即可解決．
【解析】解：設a、b的比例中項為x，
∵a＝+1，b＝﹣1，
∴x2＝ab＝（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝5﹣1＝4
∴x＝＝2（舍去負值），
即a、b的比例中項線段等于2，
故答案為：2．
【點睛】該題主要考查了比例中項等基本概念問題和根式的乘法；熟練掌握比例中項的概念和根式的化簡方法是解決問題的關鍵．
14．（2021 鎮江）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若＝，則＝　　．
【考點】相似三角形的性質．
【答案】
【點撥】根據相似三角形對應中線的比等于相似比求出，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．
【解析】解：∵M，N分別是DE，BC的中點，
∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對應中線的比等于相似比是解題的關鍵．
15．（2023 婺城區模擬）如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一個矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，則CF的長為　1　．
【考點】相似多邊形的性質；矩形的性質．
【答案】1
【點撥】根據相似多邊形的性質，利用比例性質求出CE，再利用勾股定理計算即可．
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，
∵四邊形EFBC是矩形，
∴EF＝BC＝2，CF＝BE，
∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，
即，
∴CF＝1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了相似多邊形的性質：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形；相似多邊形對應邊的比叫做相似比．
16．（2022 嘉興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為 　　．
【考點】相似三角形的判定與性質．
【答案】．
【點撥】根據正切的定義求出AB，證明△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質列出比例式，把已知數據代入計算即可．
【解析】解：由題意得，DE＝1，BC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
則AB＝＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：BD＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
17．（2022 杭州）某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝　9.88　m．
【考點】相似三角形的應用；平行投影．
【答案】9.88．
【點撥】根據平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，證明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性質即可求解．
【解析】解：∵同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，
解得AB＝9.88，
∴旗桿的高度為9.88m．
故答案為：9.88．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．證明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解題的關鍵．
18．（2023 衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．
（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為 　9　．
（2）若，則＝　　．
【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形；一元二次方程的應用；全等三角形的判定與性質；勾股定理的證明．
【答案】（1）9；
（2）．
【點撥】（1）在圖1中，過C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC＝，可得CT＝BC，CM＝AC，故CT CM＝BC AC＝BC AC，而△ABC的面積為16，即可得紙片Ⅲ的面積為CT BT＝CT CM＝9；
（2）標識字母如圖，設NT＝19t，證明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT WT＝BT2，即CT （34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．
【解析】解：（1）在圖1中，過C作CM⊥AB于M，如圖：
∵CT∥AB，
∴∠ABC＝∠BCT，
∵cos∠ABC＝，
∴cos∠BCT＝，即＝，
∴CT＝BC，
∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，
∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，
∴CM＝AC，
∴CT CM＝BC AC＝BC AC，
∵△ABC的面積為16，
∴BC AC＝16，
∴BC AC＝32，
∴CT CM＝18，
∴紙片Ⅲ的面積為CT BT＝CT CM＝9；
故答案為：9；
（2）如圖：
∵＝，
∴＝，
設NT＝19t，則BT＝15t，BN＝34t，
∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，
∴△BFN≌△CBW（ASA），
∴BN＝CW＝34t，
∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，
∴△BCT∽△WBT，
∴＝，
∴CT WT＝BT2，
∴CT （34t﹣CT）＝（15t）2，
解得CT＝9t或CT＝25t，
當CT＝9t時，WT＝25t，這情況不符合題意，舍去；
當CT＝25t時，WT＝9t，
而BK＝CT，AK＝WT，
∴＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的性質與判定，涉及正方形性質及應用，全等三角形性質與判定，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是掌握三角形相似的判定定理．
19．（2023 杭州模擬）如圖所示，延長平行四邊形ABCD一邊BC至點F，連結AF交CD于點E，若．
（1）求證：△ADE∽△FCE；
（2）若BC＝3，求CF的長．
【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）9．
【點撥】（1）利用平行四邊形的性質可以證明△ADE∽△FCE；
（2）結合（1）利用相似三角形的性質和已知條件即可求解．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BF，AD＝BC，
∴△ADE∽△FCE；
（2）解：∵△ADE∽△FCE，
∴＝，
∵＝，
∴CF＝3AD＝3BC，
∵BC＝3，
∴CF＝9．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質與判定，平行四邊形的性質，解決本題的關鍵是得到△ADE∽△FCE．
20．（2023 慈溪市一模）如圖是某風車平面示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA，OB，此時各葉片影子在點M右側形成線段CE，O的對應點為D，測得MC＝4m，CE＝16m，此時太陽的與地面的夾角為30°（即∠ODM＝30°）．
（1）求旋轉中心到地面的距離OM的值；
（2）風車轉動時，要求葉片外端離地面的最低高度高于2.5米，請判斷此風車是否符合要求．
【考點】相似三角形的應用；平行投影．
【答案】（1）4m，（2）風車符合要求．
【點撥】（1）先利用平行線等分線段定理求出CD，再在Rt△OMD中求出OM；
（2）先在Rt△FMC、Rt△FOA中利用特殊角及直角三角形的邊角關系求出FM、OA，再利用線段的和差關系得結論．
【解析】解：（1）由題意知：AC∥OD∥BE，AO＝OB，
∴∠ODM＝∠ACM＝30°，CD＝DE＝8m．
∴MD＝MC+CD＝12m．
在Rt△OMD中，
∵tan∠ODM＝，
∴OM＝tan∠ODM MD
＝tan30°×12
＝×12
＝4（m）．
（2）∵太陽光線恰好垂直照射葉片OA，
∴∠OAC＝90°．
∵∠AFO＝∠MOC，
∴∠AOM＝∠ACM＝30°．
在Rt△FMC中，
∵tan∠ACM＝，
∴FM＝tan∠ACM MC＝tan30°×4＝（m）．
∴OF＝OM﹣FM＝4﹣＝（m）．
在Rt△FOA中，
∵cos∠AOM＝，
∴OA＝cos∠AOM OF＝cos30°×＝4（m）．
∴葉片外端離地面的最低高度為：OM﹣OA＝（4﹣4）m．
∵4﹣4≈6.92﹣4＝2.92＞2.5，
∴此風車符合要求．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握平行線等分線段定理和直角三角形的邊角間關系是解決本題的關鍵．
21．（2023 婺城區模擬）請閱讀以下材料并完成相應的任務．17世紀德國著名天文學家開普勒曾經這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．黃金分割比（簡稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較長部分與整體長度之比等于較短部分與較長部分的長度之比（如圖①）即，其比值為．
已知頂角為36°的等腰三角形是黃金三角形的一種；當底角被平分時，形成兩個較小的等腰三角形，這兩個三角形之一相似于原三角形，而另一個三角形可用于產生螺旋形曲線（如圖②）．
任務：
（1）如圖③，在圓內接正十邊形中，AB是正十邊形的一條邊，M是∠ABO的平分線與半徑OA的交點．若OA＝2，求正十邊形邊長AB的長度；
（2）在（1）的條件下，利用圖③進一步探究，請你寫出sin18°與黃金比之間的關系，并說明理由．
【考點】黃金分割；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；正多邊形和圓．
【答案】（1）；
（2）sin18°是黃金比的一半，理由見解析．
【點撥】（1）由題意易得∠AOB＝36°，則可得∠ABM＝∠OBM＝36°，∠BMA＝72°，然后可得△ABM∽△AOB，進而可得AB2＝AO2﹣AO AB，然后問題可求解；
（2）延長AO交⊙O于點P，連接PB，由題意可得∠OPB＝18°，則有AP＝2OA＝4，然后可根據三角函數進行求解．
【解析】解：（1）∵正十邊形的中心角為36°，
∴∠AOB＝36°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝72°，
∵BM平分∠ABO，
∴∠ABM＝∠OBM＝36°，∠BMA＝72°，
∴∠BMA＝∠BAM，
∴OM＝BM＝AB，
∴△ABM∽△AOB，
∴，即，
∴AB2＝AO2﹣AO AB，
∴，解得（負值已舍去），
∵OA＝2，
∴；
（2）sin18°是黃金比的一半；
理由如下：如圖，延長AO交⊙O于點P，連接PB，
∵∠AOB＝36°，
∴∠OPB＝18°，
∵AP是⊙O的直徑，AP＝2OA＝4，
∴∠ABP＝90°，
∴，即．
∴sin18°是黃金比的一半．
【點睛】本題主要考查黃金分割比、相似三角形的性質與判定及三角函數，熟練掌握黃金分割比、相似三角形的性質與判定及三角函數是解題的關鍵．
22．（2021 杭州）如圖，銳角三角形ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線AG交⊙O于點G，交BC邊于點F，連接BG．
（1）求證：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求線段FG的長（用含a，b的代數式表示）．
（3）已知點E在線段AF上（不與點A，點F重合），點D在線段AE上（不與點A，點E重合），∠ABD＝∠CBE，求證：BG2＝GE GD．
【考點】相似三角形的判定與性質；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．
【答案】（1）證明見解析；
（2）a﹣b；
（3）證明見解答過程．
【點撥】（1）根據∠BAC的平分線AG交⊙O于點G，知∠BAG＝∠FAC，由圓周角定理知∠G＝∠C，即可證△ABG∽△AFC；
（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可計算FG的長度；
（3）先證△DGB∽△BGE，得出線段比例關系，即可得證BG2＝GE GD．
【解析】（1）證明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）證明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE GD．
【點睛】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質，圓周角定理等知識，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
23．（2023 錢塘區三模）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F．
（1）求證：FC＝2FA．
（2）若EF＝1，求AC的長．
（3）連接DF，判斷△CDF的形狀，并說明理由．
【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質．
【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）△CDF是等腰三角形，理由見解答過程．
【點撥】（1）先證△AEF和△CBF相似得AE/BC＝FA/FC，再根據點E為AD的中點得AE/AD＝1/2，據此即可得出結論；
（2）過點D作DH⊥AC于點H，先證EF為△ADH的中位線得DH＝2EF＝2，FA＝FH，進而根據（1）的結論得CH＝FH＝FA，設AE＝a，AB＝b，FA＝x，則AD＝2a，CD＝b，CH＝FH＝FA＝x，AC＝3x，再證△BAE和△ADC相似可得b2＝2a2，然后在Rt△ADH中由勾股定理得a2＝x2+1，在Rt△CDH中由勾股定理得b2＝x2+4，據此可求出x，進而可得AC的長；
（3）△CDF是等腰三角形．由（2）知：CH＝HF，DH⊥CF，則DH為線段FH的垂直平分線，然后根據線段垂直平分線的性質可得出結論．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵點E為AD的中點，
∴AE＝ED，
∴，
即：，
∴，
∴FC＝2FA．
（2）解：過點D作DH⊥AC于點H，
∵BE⊥AC，
∴BE∥DH，
又點E為AD的中點，
∴EF為△ADH的中位線，
∴DH＝2EF＝2，FA＝FH，
由（1）知：FC＝2FA，
∴CH+FH＝2FA，
∴CH＝FH＝FA，
∴AC＝3FA，
設AE＝a，AB＝b，FA＝x，
則AD＝2a，CD＝b，CH＝FH＝FA＝x，AC＝3x，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAC＝90°，
又BE⊥AC，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，
又∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴，
即：，
∴b2＝2a2，
在Rt△ADH中，AD＝2a，AH＝2x，DH＝2，
由勾股定理得：AD2＝AH2+DH2，
即：（2a）2＝（2x）2+4，
∴a2＝x2+1，
在Rt△CDH中，DH＝2，DC＝b，CH＝x，
由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，
即：b2＝x2+4
∴x2+4＝2（x2+1），
解得：（舍去負值），
∴．
（3）解：△CDF是等腰三角形．理由如下：
由（2）知：CH＝HF，DH⊥CF，
∴DH為線段FH的垂直平分線，
∴DF＝DC，
∴△CDF是等腰三角形．
【點睛】此題主要考查了矩形的性質，相似形的判定和性質，三角形中位線定理，線段垂直平分線的性質，勾股定理等，解答此題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的對應邊成比例．
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