資源簡介

8.1 條件概率
課程標準 學習目標
（1）利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題． （2）能利用條件概率和獨立性等概念分析復雜問題，尋找解決復雜問題的方法，提升數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng). （1）結(jié)合古典概型，了解條件概率的定義. （2）掌握條件概率的計算方法. （3）了解事件的獨立性與條件概率的關(guān)系，掌握概率的乘法公式. （4）會求互斥事件的條件概率，理解條件概率的性質(zhì)． （5）結(jié)合古典概型，理解并掌握全概率公式，會利用全概率公式計算概率并了解貝葉斯公式
知識點01 條件概率
1、條件概率的概念
條件概率揭示了三者之間“知二求一”的關(guān)系
一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
2、概率的乘法公式
由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
【即學即練1】（2024·高二·陜西渭南·期末）已知表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)條件概率定義，所以D正確.
故選：D.
知識點02 條件概率的性質(zhì)
設(shè)，則
（1）
（2）如果與是兩個互布事件，則；
（3）設(shè)和互為對立事件，則．
【即學即練2】（2024·遼寧丹東·一模）已知，，，那么 ．
【答案】/
【解析】因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以.
故答案為：.
知識點03 全概率公式與貝葉斯公式
全概率公式
在全概率的實際問題中我們經(jīng)常會碰到一些較為復雜的概率計算，這時，我們可以用“化整為零”的思想將它門悶分解為一些較為容易的情況分別進行考慮
一般地，設(shè)是一組兩兩互F的事件，，且，則對任意的事件，有
我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．
貝葉斯公式
設(shè)是一組兩兩互壓的事件，，且，則對任意事件，有
在貝葉斯公式中，和分別稱為先儉概率和后驗概率．
【即學即練3】（2024·高二·全國·課時練習）設(shè)某廠有甲，乙，丙三個車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，則此次品由三個車間生產(chǎn)的概率分別是多少？
【解析】（1）記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，
記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，
記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，
記事件表示抽取到次品，
則,
，
取到次品的概率為
（2）若取到的是次品，
此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：
此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：
此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：
題型一：條件概率的理解
【典例1-1】（2024·高二·河北邢臺·階段練習）下面幾種概率是條件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，各投籃一次都投中的概率
B．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
C．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率
D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學途中遇到紅燈的概率
【答案】C
【解析】由條件概率的定義：某一事件已發(fā)生的情況下，另一事件發(fā)生的概率．
選項A：甲乙各投籃一次投中的概率，不是條件概率；
選項B：抽2件產(chǎn)品恰好抽到一件次品，不是條件概率；
選項C：甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率，是條件概率；
選項D：一次上學途中遇到紅燈的概率，不是條件概率．
故選：C
【典例1-2】（多選題）（2024·高二·全國·課時練習）下面幾種概率不是條件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，各投籃一次都投中的概率
B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，在甲投中的條件下乙投籃次命中的概率
C．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學路上遇到紅燈的概率
【答案】ACD
【解析】由條件概率的定義知B選項中的概率為條件概率，A，C，D中的不是條件概率．
故選：ACD．
【變式1-1】（2024·高二·江蘇·專題練習）判斷下列哪些是條件概率？
(1)某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學生運動會，每人參加一個不同的項目，已知一名女生獲得冠軍，求高一的女生獲得冠軍的概率；
(2)擲一個骰子，求擲出的點數(shù)為3的概率；
(3)在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張，已知抽到梅花的條件下，再抽到的是梅花5的概率．
【解析】（1）由于高一的女生獲得冠軍的概率，是在一名女生獲得冠軍的條件求的概率，
所以所求概率是條件概率.
（2）擲一個骰子出現(xiàn)有1，2，3，4，5，6的6個不同結(jié)果，求擲出的點數(shù)為3的概率是古典概率，
所以擲出的點數(shù)為3的概率不是條件概率.
（3）由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的條件下求出的概率，
所以求抽到的是梅花5的概率是條件概率.
【方法技巧與總結(jié)】
判斷是不是條件概率主要看一個事件的發(fā)生是否是在另一個事件發(fā)生的條件下進行的．
題型二：利用定義求條件概率
【典例2-1】（2024·高二·廣東肇慶·期中）從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到奇數(shù)的條件下，第2次又抽到奇數(shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在第1次抽到奇數(shù)的條件下，余下個奇數(shù)和個偶數(shù)，
再次抽取時，抽到奇數(shù)的概率為.
故選：C
【典例2-2】（2024·高二·陜西咸陽·階段練習）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記兩次的點數(shù)均為偶數(shù)，兩次的點數(shù)之和為8，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，基本事件共有種，
其中事件有種，
事件有共種，
所以.
故選：C.
【變式2-1】（2024·高二·四川綿陽·期末）科技博覽會需從5個女生（分別記為，，，，）中選2人參加志愿者服務(wù)，已知這5個人被選中的機會相等，則被選中的概率為（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75
【答案】B
【解析】由題意若被選中，則只需從其余四個人中再選一個人即可，所以被選中的概率為.
故選：B.
【變式2-2】（2024·高二·河南·期中）某單位開展主題為“學習強國，我學習我成長”的知識競賽活動，甲選手答對第一道題的概率為，連續(xù)答對兩道題的概率為.用事件A表示“甲選手答對第一道題”，事件B表示“甲選手答對第二道題”，則＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以.
故選：D.
【變式2-3】（2024·四川德陽·模擬預測）質(zhì)數(shù)（prime number）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國際數(shù)學大會上，著名數(shù)學家希爾伯特提出了23個問題，其中第8個就是大名鼎鼎的孿生素數(shù)猜想：即存在無窮多對孿生素數(shù).我國著名數(shù)學家張益唐2013年在《數(shù)學年刊》上發(fā)表論文《素數(shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學界長達一個半世紀的難題，證明了孿生素數(shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們在不超過的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件，這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不超過的自然數(shù)有個，其中素數(shù)有共個，
孿生素數(shù)有和，和，和，和，共組.
所以，，
所以.
故選：D
【變式2-4】（2024·湖南邵陽·一模）在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是和，且三人的測試結(jié)果相互獨立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級分別為事件，三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級為事件D，
，，，
，
，
.
故選：A.
【方法技巧與總結(jié)】
利用定義計算條件概率的步驟
(1)分別計算概率和．
(2)將它們相除得到條件概率，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發(fā)生．
題型三：概率的乘法公式
【典例3-1】（2024·高二·湖北宜昌·階段練習）一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次．求：
(1)第一、第二次都取得白球的概率；
(2)已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率；
(3)求第二次取得白球的概率．
【解析】（1）記事件為“第一次取到白球”，事件為“第二次取到白球”，事件為“第一次未取到白球”，
則第一、第二次都取得白球為事件.
根據(jù)題意可得,
所以,
所以第一、第二次都取得白球的概率為.
（2）根據(jù)題意可得，
所以己知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率為.
（3）根據(jù)題意可得，
所以第二次取得白球的概率為.
【典例3-2】（2024·高二·江蘇·專題練習）10個考簽中有4個難簽，2人參加抽簽(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到難簽的概率；
(2)甲、乙都抽到難簽的概率；
(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率．
【解析】（1）記事件A表示甲抽到難簽，抽簽的試驗有10個不同結(jié)果，它們等可能，
事件A含有4個不同結(jié)果，所以.
（2）記事件B表示乙抽到難簽，由于甲先抽、乙后抽，則，由（1）知，，
所以甲、乙都抽到難簽的概率.
（3）由（1）知甲沒有抽到難簽的概率，，
所以甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率.
【變式3-1】（2024·高二·湖南·課時練習）10個考簽中有4個難簽，3人參加抽簽（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
(1)甲抽到難簽的概率；
(2)甲、乙都抽到難簽的概率；
(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率；
(4)甲、乙、丙都抽到難簽的概率．
【解析】（1）甲抽到難簽的概率為；
（2）甲、乙都抽到難簽的概率為；
（3）甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率為；
（4）甲、乙、丙都抽到難簽的概率為．
【方法技巧與總結(jié)】
概率的乘法公式
公式反映了知二求一的方程思想．
題型四：條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用
【典例4-1】（2024·高二·河南南陽·期末）已知，，則 .
【答案】
【解析】因為，則，
所以，.
故答案為：.
【典例4-2】（2024·高二·安徽安慶·期末）已知，且若，，則 ．
【答案】/
【解析】由可得相互獨立，
又，，
又因為，所以，
所以
故答案為：．
【變式4-1】（2024·高二·河北張家口·期末）已知離散型隨機事件A，B發(fā)生的概率，，若，事件，，分別表示A，B不發(fā)生和至少有一個發(fā)生，則 ， .
【答案】 0.8/ 0.6/
【解析】由題意得，
，
，
，
故答案為：0.8；0.6.
【變式4-2】（2024·高二·江西·期中）已知隨機事件，，若，，，則 .
【答案】
【解析】由題意可得，，且，則，
又因為，則，
且，所以.
故答案為:.
【變式4-3】（2024·高二·吉林長春·階段練習）已知，，，則 .
【答案】/
【解析】因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
當所求事件的概率相對較復雜時，往往把該事件分成兩個(或多個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用便可求得較復雜事件的概率．
題型五：全概率公式
【典例5-1】（2024·湖北武漢·模擬預測）“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結(jié)束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)從出發(fā)最終從1號口出的概率為，所以，解得.
故答案為：.
【典例5-2】（2024·高二·河南駐馬店·期末）為銘記歷史，緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展了共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．
(1)若規(guī)定三名同學都回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學中至少1人回答正確的概率；
(2)若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，求這個問題回答正確的概率．
【解析】（1）設(shè)乙答題正確的概率為，丙答題正確的概率為，
則甲、丙兩人都回答正確的概率是，解得，
乙、丙兩人都回答正確的概率是，解得，
所以規(guī)定三名同學都需要回答這個問題，
則甲、乙、丙三名同學中至少1人回答正確的概率.
（2）記事件為“甲搶答這道題”，事件為“乙搶答這道題”，事件為“丙搶答這道題”，記事件B為“這道題被答對”，
則，，，
且，，，
由全概率公式可得.
【變式5-1】（2024·高二·廣東廣州·期末）現(xiàn)有10個球，其中5個球由甲工廠生產(chǎn)，3個球由乙工廠生產(chǎn)，2個球由丙工廠生產(chǎn)．這三個工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是，，．現(xiàn)從這10個球中任取1個球，設(shè)事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的”．
(1)求；
(2)求．
【解析】（1）依題意，.
（2）依題意，，
由（1）知，
由全概率公式得
.
【變式5-2】（2024·高二·遼寧朝陽·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是數(shù)學、語文、外語三個必選的主科，“1”是物理、歷史二選一，“2”是在地理、生物、化學、政治中選兩科.已知某校高二學生中有的學生選擇物理，剩余的選擇歷史，選擇物理和歷史的學生中選擇地理的概率分別是和，則從該校高二學生中任選一人，這名學生選擇地理的概率為 .
【答案】
【解析】設(shè)選擇地理的概率為P，由全概率公式，得，
即從該校高二學生中任選一人，這名學生選擇地理的概率為.
故答案為：.
【變式5-3】（2024·高二·陜西咸陽·階段練習）有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)的次品率為，乙廠生產(chǎn)的次品率為，丙廠生產(chǎn)的次品率為，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起．已知甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的，從中任取一件產(chǎn)品，則取得的產(chǎn)品為次品的概率為 ．
【答案】0.17/
【解析】記事件表示“任取一件產(chǎn)品為次品”；
事件分別表示零件為甲、乙、丙工廠生產(chǎn)，
則，，，，，，
.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
全概率公式主要用于計算比較復雜事件的概率，它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用．
題型六：貝葉斯公式
【典例6-1】（2024·高二·全國·隨堂練習）某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率有多大？
【解析】設(shè)“抽查的人患有癌癥”為事件，“實驗結(jié)果為陽性”為事件，則“抽查的人不患癌癥”為事件,
已知，，，，
由貝葉斯公式.
所以此人是癌癥患者的概率約為.
【典例6-2】（2024·高二·湖南·課時練習）某一地區(qū)患有某疾病的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是患者的概率有多大？（保留小數(shù)點后四位）
【解析】設(shè)“抽查的人是患者”為事件，“試驗反應(yīng)是陽性”為事件，
則“抽查的人不是患者”為事件，
由題意可知，，
，，
則由貝葉斯公式可得
，
即抽查一個人，試驗反應(yīng)是陽性，此人是患者的概率為.
【變式6-1】（2024·高三·江蘇揚州·期末）有一個郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標記為垃圾郵件或正常郵件.對這個系統(tǒng)的測試具有以下結(jié)果：每封郵件被標記為垃圾郵件的概率為，被標記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標記為垃圾郵件）的概率為 .
【答案】
【解析】記“正常郵件”，“標記為正常郵件”，則，，，
所以，，
故，
所以.
故答案為：
【變式6-2】（2024·高二·全國·課時練習）某生產(chǎn)線的管理人員通過對以往數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，每天生產(chǎn)線啟動時，初始狀態(tài)良好的概率為80%，當生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好時，第一件產(chǎn)品合格的概率為95%；否則，第一件產(chǎn)品合格的概率為60%，某天生產(chǎn)線啟動時，生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品，則當天生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好的概率為 （精確到0.1%）.
【答案】86.4%
【解析】用A表示生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好，B表示產(chǎn)品為合格品，
則由已知得，，，
∴
≈，
故答案為：86.4%
【變式6-3】（2024·高二·福建龍巖·期末）英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B有如下關(guān)系：．某地有A，B兩個游泳館，甲同學決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選擇A，B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)事件為“甲同學周日去A館”，事件為“甲同學周六去A館”，即求，
根據(jù)題意得，，，
則.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
此類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小．
題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
【典例7-1】（2024·高二·廣東肇慶·期中）三部機器生產(chǎn)同樣的零件，其中機器甲生產(chǎn)的占，機器乙生產(chǎn)的占，機器丙生產(chǎn)的占.已知機器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有、和不合格.三部機器生產(chǎn)的零件混合堆放在一起，現(xiàn)從中隨機地抽取一個零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為不合格品，它是由哪一部機器生產(chǎn)出來的可能性大？請說明理由.
【解析】（1）取到的是不合格品的概率為：
.
（2）取到的產(chǎn)品為不合格品，
它是機器甲生產(chǎn)的概率為，
它是機器乙生產(chǎn)的概率為，
它是機器甲生產(chǎn)的概率為，
所以它是機器乙生產(chǎn)的概率最大.
【典例7-2】（2024·高二·福建泉州·期末）在三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有的人患了流感，假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為3：5：2，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人
(1)求這個人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.
【解析】（1）此人來自三個地區(qū)分別為事件，事件為這個人患流感，
所以，
因此
；
（2）.
【變式7-1】（2024·高二·山東濰坊·期中）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT 發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元.ChatGPT所用到的數(shù)學知識，開辟了人機自然交流的新紀元. ChatGPT所用到的數(shù)學知識并非都是遙不可及的高深理論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT 中.某數(shù)學素養(yǎng)提升小組設(shè)計了如下問題進行探究：現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個箱子（如圖），其中甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任取一個箱子，再從中隨機摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，請用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.
【解析】（1）記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
則，
由全概率公式得： .
（2）該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
該球是取自甲箱的概率
該球取自乙箱的概率
因為所以該球取自乙箱的可能性更大.
【變式7-2】（2024·高三·湖南長沙·階段練習）(1)對于任意兩個事件，若，，證明：；
(2)貝葉斯公式是由英國數(shù)學家貝葉斯發(fā)現(xiàn)的，它用來描述兩個條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)，，…，是一組兩兩互斥的事件，，且，，2，…，，則對任意的事件，，有，，2，…，.
（i）已知某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為1%，先用低劑量進行肺癌篩查，醫(yī)學研究表明，化驗結(jié)果是存在錯誤的.已知患有肺癌的人其化驗結(jié)果99%呈陽性（有病），而沒有患肺癌的人其化驗結(jié)果99%呈陰性（無病），現(xiàn)某煙民的檢驗結(jié)果為陽性，請問他真的患肺癌的概率是多少？
（ii）為了確保診斷無誤，一般對第一次檢查呈陽性的煙民進行復診.復診時，此人患肺癌的概率就不再是1%，這是因為第一次檢查呈陽性，所以對其患肺癌的概率進行修正，因此將用貝葉斯公式求出來的概率作為修正概率，請問如果該煙民第二次檢查還是呈陽性，則他真的患肺癌的概率是多少？
【解析】(1)因為，，所以
(2) （i）記檢查結(jié)果呈陽性為事件A，被檢查者患有肺癌為事件B，
由題意可得：，，由貝葉斯公式得
，
因此某煙民的檢查結(jié)果為陽性，他真的患有肺癌的概率是.
（ii）同（i），.
【方法技巧與總結(jié)】
是在沒有進一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識，當有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化．
一、單選題
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）某飲料廠生產(chǎn)兩種型號的飲料，已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為，且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為，若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（ ）
A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32
【答案】C
【解析】由題意，選到非碳酸飲料的概率為.
故選：C.
2．（2024·高二·全國·開學考試）某校有7名同學獲省數(shù)學競賽一等獎，其中男生4名，女生3名．現(xiàn)隨機選取2名學生作“我愛數(shù)學”主題演講．假設(shè)事件為“選取的兩名學生性別相同”，事件為“選取的兩名學生為男生”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，事件包含的樣本點數(shù)，
事件和包含的樣本點數(shù)，
所以.
故選：D
3．（2024·高二·山東濟寧·階段練習）甲乙兩人進行羽毛球比賽，在前三局比賽中，甲勝2局，乙勝1局，規(guī)定先勝3局者取得最終勝利，已知甲在每局比賽中獲勝的概率為，乙在每局比賽中獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則甲取得最終勝利的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】甲取得最后的勝利包含兩種情況:
一是第4局甲勝，此時甲勝的概率為；
二是第4局甲負，第5局甲勝，此時甲勝的概率為，
所以甲取得最終勝利的概率為.
故選；D.
4．（2024·福建漳州·模擬預測）甲、乙兩名大學生利用假期時間參加社會實踐活動，可以從，，，四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)，設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇了社區(qū)”，事件為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲、乙兩名大學生從四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)的情況共有（種），
事件發(fā)生的情況共有（種），事件和事件同時發(fā)生的情況共有6種，
所以.
故選：B.
5．（2024·高二·湖南邵陽·期中）一玩具制造廠的某一配件由A，B，C三家配件制造廠提供，根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠A，B，C的次品率分別為0.02，0.01，0.03，提供配件的份額分別為，，，設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉庫均勻混合且不區(qū)別標記，從中隨機抽取一件配件，若抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件來自于A制造廠，
事件：抽到的配件來自于B制造廠，事件：抽到的配件來自于C制造廠，
則，
,
故
，
則抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為,
故選：A
6．（2024·河南信陽·二模）隨著城市經(jīng)濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，
由題意可知：，
則，
，
若小明遲到了，則他自駕去上班的概率是.
故選：B.
7．（2024·高二·江西萍鄉(xiāng)·期末）某一地區(qū)患有癌癥的人占0.05，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.9，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.05.現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】記事件某人是癌癥患者，事件化驗結(jié)果呈陽性，
由題意可知，，，
所以，
現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則此人是癌癥患者的概率為：.
故選：D
8．（2024·高二·湖南長沙·開學考試）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①事件與相互獨立 ②
③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且，，
而，①錯誤；
，，所以，②正確；
，③正確；
，④錯誤，綜上：結(jié)論正確的個數(shù)為2.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則（ ）
A． B．
C．若A，B獨立，則 D．若A，B互斥，則
【答案】ACD
【解析】因為，所以A正確，B錯誤；
由獨立事件定義，若A，B獨立，則，所以C正確；
若A，B互斥，則，，，所以D正確．
故選：ACD．
10．（2024·高三·全國·期末）已知隨機事件滿足，，，則下列說法正確的是（ ）
A．不可能事件與事件互斥
B．必然事件與事件相互獨立
C．
D．若，則
【答案】ABC
【解析】因為不可能事件與事件不會同時發(fā)生，所以互斥，故選項A正確；
因為,
所以，所以必然事件與事件相互獨立，故選項B正確；
因為，且互斥，所以，故選項C正確；
對于選項D，假如做拋擲一枚骰子1次的試驗，設(shè)事件為出現(xiàn)點數(shù)小于等于4，事件為出現(xiàn)點數(shù)小于等于2，
則，但故選項 D 錯誤.
故選:ABC.
11．（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習）國慶節(jié)期間，某商場搞促銷活動，商場準備了兩個裝有卡片的盒子，甲盒子中有4張紅色卡片、2張綠色卡片，乙盒子中有5張紅色卡片、3張綠色卡片(這14張卡片球除顏色外，大小、形狀完全相同). 顧客購物滿500元即可參加抽獎，其規(guī)則如下：顧客先從甲盒子中隨機取出1張卡片放入乙盒子，再從乙盒子中隨機取出1張卡片，記“在甲盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件， “在甲盒子中取出的卡片是綠色卡片”為事件， “從乙盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件M，若事件M 發(fā)生，則該顧客中獎，否則不中獎. 則有（ ）
A． 與是互斥事件 B．
C． D．與相互獨立
【答案】AC
【解析】從甲箱中摸一張卡片，紅色卡片與綠色卡片不可能同時出現(xiàn)，所以與是互斥事件，故A正確；
由題意知，，所以，故B錯誤；
，所以，故C正確；
因為，故D錯誤.
故選：AC．
三、填空題
12．（2024·高二·全國·專題練習）設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，，則 .
【答案】
【解析】由，有，
又由，有，
可得．
故答案為：
13．（2024·高三·山東濟寧·開學考試）設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)了1000件，乙、丙兩廠各生產(chǎn)500件，而且各廠的次品率依次為，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為 ．
【答案】0.025
【解析】甲乙丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品所占的比例分別為，
所以任取一件，則取到次品的概率為，
故答案為：0.025
14．（2024·山西晉城·一模）某羽毛球超市銷售4種品牌（品牌，，，）的羽毛球，該超市品牌，，，的羽毛球的個數(shù)的比例為，品牌，，，的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不買這4個品牌中的1個品牌的羽毛球，他從其他3個品牌的羽毛球中隨機選取1個購買，已知他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率大于0.8，則可推測他不買的羽毛球的品牌為 （填入，，，中的1個）．
【答案】D
【解析】因為他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有，所以他不買的羽毛球品牌一定不是品牌．
若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為．
若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為．
若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為．
故答案為：D
四、解答題
15．（2024·高二·上海黃浦·期末）擲質(zhì)地均勻的一黑、一白兩顆骰子，觀察朝上的點數(shù)，A表示事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”，B表示事件“白色骰子的點數(shù)是1”，C表示事件“兩顆骰子中至少有一顆的點數(shù)是1”，分別驗證事件A與事件B、事件A與事件C是否獨立，請說明理由．
【解析】擲黑、白兩顆骰子，可得基本事件的總數(shù)為．
設(shè)為事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”， 為事件“白色骰子的點數(shù)是1”，則表示“白色骰子的點數(shù)是1且兩顆骰子的點數(shù)和為7”，
事件A包含的基本事件有（16）,（25）,（34）,（43）,（52）,（61）共有6個，
事件B包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）共有6個，
事件AB包含的基本事件有（61）共有1個，
則， ，，
故，
即事件A與事件B是獨立的．
（2）設(shè)為事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”， C為事件“兩顆骰子中至少有一顆的點數(shù)是1”，則AC表示“兩顆骰子中至少有一顆的點數(shù)是1且兩顆骰子的點數(shù)和為7”，
事件C包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）,（16）,（15）,（14）,（13）,（12）共有11個，
事件AC包含的基本事件有（16），（61）共有2個，
則， ，，
而，
故事件A與事件C是不是獨立的．
16．（2024·高二·全國·課堂例題）一場精彩的足球賽即將舉行，5個球迷好不容易才買到一張入場券．大家都想去，只好用抽簽的方法來決定，準備5張同樣的卡片，其中一張卡片的正面寫有“入場券”，其余的什么也不寫．將它們背面朝上放在一起洗勻，讓5個人依次不放回地抽取．問后抽比先抽的吃虧嗎？
【解析】我們用表示“第i個人抽到入場券”（i=1，2，3，4，5），
則表示第i個人未抽到入場券”
由題意可得，，．
也就是說，第1個人抽到入場券的概率是．
若第2個人抽到了入場券，則第1個人肯定沒抽到，即，
由乘法公式計算可得．
同理，第3個人要抽到入場券，必須第1個、第2個人都沒有抽到，
因此
．
同理可得
，
．
也就是說，每個人抽到入場券的概率都是．
因此，后抽比先抽的不吃虧，抽簽不必爭先恐后．
17．（2024·高二·云南紅河·階段練習）某校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3:3:4，三個年級的學生都報名參加公益志愿活動，經(jīng)過選拔，高一年級有的學生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有的學生成為公益活動志愿者．
(1)設(shè)事件“在三個年級中隨機抽取的1名學生是志愿者”；事件“在三個年級中隨機抽取1名學生，該生來自高年級”（）．請完成下表中不同事件的概率并寫出演算步驟：
事件概率
概率值
(2)若在三個年級中隨機抽取1名學生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學生來自于高一年級的概率．
【解析】（1）根據(jù)三個年級的人數(shù)比值為，則，
，，
由每個年級的抽取比例可知，，，
由全概率公式，得
，
事件概率
概率值
（2）該學生來自于高一年級的概率.
18．（2024·四川·模擬預測）在某果園的苗圃進行果苗病蟲害調(diào)查，隨機調(diào)查了200棵受到某病蟲害的果苗，并測量其高度（單位：，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
(1)估計該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間的概率；
(3)已知該苗圃的果苗受到這種病蟲害的概率為，果苗高度位于區(qū)間的棵數(shù)占該果苗總棵數(shù)的.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗，求該棵果苗受到這種病蟲害的概率（以樣本數(shù)據(jù)中受到病蟲害果苗的高度位于各區(qū)間的頻率作為受到病蟲害果苗的高度位于該區(qū)間的概率）.
【解析】（1）由頻率分布直方圖得該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度為：
.
（2）該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間的頻率為：.
所以，估計該苗圃一顆受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間的概率為0.6.
（3）設(shè)從苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗為事件，該棵果苗受到這種病蟲害為事件，
則.
19．（2024·高二·山東濰坊·期末）現(xiàn)有兩臺車床加工同一型號的零件，第1臺車床加工的零件次品率為6%，第2臺車床加工的零件次品率為5%，加工出來的零件混放在一起已知第1臺車床加工的零件數(shù)與第2臺車床加工的零件數(shù)之比為2：3，從這些零件中任取一個.
(1)求這個零件是次品的概率；
(2)已知這個零件是次品，求它是第一臺車床加工的概率.
【解析】（1）
記事件：第一臺車床加工的零件，記事件：第二臺車床加工的零件，
記事件：這個零件是次品，
由題意可得，，，，
由全概率公式可得：
.
（2）由（1）知，已知這個零件是次品，它是第一臺車床加工的概率為
.8.1 條件概率
課程標準 學習目標
（1）利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題． （2）能利用條件概率和獨立性等概念分析復雜問題，尋找解決復雜問題的方法，提升數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng). （1）結(jié)合古典概型，了解條件概率的定義. （2）掌握條件概率的計算方法. （3）了解事件的獨立性與條件概率的關(guān)系，掌握概率的乘法公式. （4）會求互斥事件的條件概率，理解條件概率的性質(zhì)． （5）結(jié)合古典概型，理解并掌握全概率公式，會利用全概率公式計算概率并了解貝葉斯公式
知識點01 條件概率
1、條件概率的概念
條件概率揭示了三者之間“知二求一”的關(guān)系
一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
2、概率的乘法公式
由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
【即學即練1】（2024·高二·陜西渭南·期末）已知表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，則（ ）
A． B．
C． D．
知識點02 條件概率的性質(zhì)
設(shè)，則
（1）
（2）如果與是兩個互布事件，則；
（3）設(shè)和互為對立事件，則．
【即學即練2】（2024·遼寧丹東·一模）已知，，，那么 ．
知識點03 全概率公式與貝葉斯公式
全概率公式
在全概率的實際問題中我們經(jīng)常會碰到一些較為復雜的概率計算，這時，我們可以用“化整為零”的思想將它門悶分解為一些較為容易的情況分別進行考慮
一般地，設(shè)是一組兩兩互F的事件，，且，則對任意的事件，有
我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．
貝葉斯公式
設(shè)是一組兩兩互壓的事件，，且，則對任意事件，有
在貝葉斯公式中，和分別稱為先儉概率和后驗概率．
【即學即練3】（2024·高二·全國·課時練習）設(shè)某廠有甲，乙，丙三個車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，則此次品由三個車間生產(chǎn)的概率分別是多少？
題型一：條件概率的理解
【典例1-1】（2024·高二·河北邢臺·階段練習）下面幾種概率是條件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，各投籃一次都投中的概率
B．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
C．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率
D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學途中遇到紅燈的概率
【典例1-2】（多選題）（2024·高二·全國·課時練習）下面幾種概率不是條件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，各投籃一次都投中的概率
B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，在甲投中的條件下乙投籃次命中的概率
C．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學路上遇到紅燈的概率
【變式1-1】（2024·高二·江蘇·專題練習）判斷下列哪些是條件概率？
(1)某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學生運動會，每人參加一個不同的項目，已知一名女生獲得冠軍，求高一的女生獲得冠軍的概率；
(2)擲一個骰子，求擲出的點數(shù)為3的概率；
(3)在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張，已知抽到梅花的條件下，再抽到的是梅花5的概率．
【方法技巧與總結(jié)】
判斷是不是條件概率主要看一個事件的發(fā)生是否是在另一個事件發(fā)生的條件下進行的．
題型二：利用定義求條件概率
【典例2-1】（2024·高二·廣東肇慶·期中）從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到奇數(shù)的條件下，第2次又抽到奇數(shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高二·陜西咸陽·階段練習）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記兩次的點數(shù)均為偶數(shù)，兩次的點數(shù)之和為8，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·高二·四川綿陽·期末）科技博覽會需從5個女生（分別記為，，，，）中選2人參加志愿者服務(wù)，已知這5個人被選中的機會相等，則被選中的概率為（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75
【變式2-2】（2024·高二·河南·期中）某單位開展主題為“學習強國，我學習我成長”的知識競賽活動，甲選手答對第一道題的概率為，連續(xù)答對兩道題的概率為.用事件A表示“甲選手答對第一道題”，事件B表示“甲選手答對第二道題”，則＝（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·四川德陽·模擬預測）質(zhì)數(shù)（prime number）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國際數(shù)學大會上，著名數(shù)學家希爾伯特提出了23個問題，其中第8個就是大名鼎鼎的孿生素數(shù)猜想：即存在無窮多對孿生素數(shù).我國著名數(shù)學家張益唐2013年在《數(shù)學年刊》上發(fā)表論文《素數(shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學界長達一個半世紀的難題，證明了孿生素數(shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們在不超過的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件，這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2024·湖南邵陽·一模）在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是和，且三人的測試結(jié)果相互獨立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的前提條件下，乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結(jié)】
利用定義計算條件概率的步驟
(1)分別計算概率和．
(2)將它們相除得到條件概率，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發(fā)生．
題型三：概率的乘法公式
【典例3-1】（2024·高二·湖北宜昌·階段練習）一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次．求：
(1)第一、第二次都取得白球的概率；
(2)已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率；
(3)求第二次取得白球的概率．
【典例3-2】（2024·高二·江蘇·專題練習）10個考簽中有4個難簽，2人參加抽簽(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到難簽的概率；
(2)甲、乙都抽到難簽的概率；
(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率．
【變式3-1】（2024·高二·湖南·課時練習）10個考簽中有4個難簽，3人參加抽簽（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
(1)甲抽到難簽的概率；
(2)甲、乙都抽到難簽的概率；
(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率；
(4)甲、乙、丙都抽到難簽的概率．
【方法技巧與總結(jié)】
概率的乘法公式
公式反映了知二求一的方程思想．
題型四：條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用
【典例4-1】（2024·高二·河南南陽·期末）已知，，則 .
【典例4-2】（2024·高二·安徽安慶·期末）已知，且若，，則 ．
【變式4-1】（2024·高二·河北張家口·期末）已知離散型隨機事件A，B發(fā)生的概率，，若，事件，，分別表示A，B不發(fā)生和至少有一個發(fā)生，則 ， .
【變式4-2】（2024·高二·江西·期中）已知隨機事件，，若，，，則 .
【變式4-3】（2024·高二·吉林長春·階段練習）已知，，，則 .
【方法技巧與總結(jié)】
當所求事件的概率相對較復雜時，往往把該事件分成兩個(或多個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用便可求得較復雜事件的概率．
題型五：全概率公式
【典例5-1】（2024·湖北武漢·模擬預測）“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結(jié)束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為 ．
【典例5-2】（2024·高二·河南駐馬店·期末）為銘記歷史，緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展了共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．
(1)若規(guī)定三名同學都回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學中至少1人回答正確的概率；
(2)若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，求這個問題回答正確的概率．
【變式5-1】（2024·高二·廣東廣州·期末）現(xiàn)有10個球，其中5個球由甲工廠生產(chǎn)，3個球由乙工廠生產(chǎn)，2個球由丙工廠生產(chǎn)．這三個工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是，，．現(xiàn)從這10個球中任取1個球，設(shè)事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的”．
(1)求；
(2)求．
【變式5-2】（2024·高二·遼寧朝陽·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是數(shù)學、語文、外語三個必選的主科，“1”是物理、歷史二選一，“2”是在地理、生物、化學、政治中選兩科.已知某校高二學生中有的學生選擇物理，剩余的選擇歷史，選擇物理和歷史的學生中選擇地理的概率分別是和，則從該校高二學生中任選一人，這名學生選擇地理的概率為 .
【變式5-3】（2024·高二·陜西咸陽·階段練習）有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)的次品率為，乙廠生產(chǎn)的次品率為，丙廠生產(chǎn)的次品率為，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起．已知甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的，從中任取一件產(chǎn)品，則取得的產(chǎn)品為次品的概率為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
全概率公式主要用于計算比較復雜事件的概率，它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用．
題型六：貝葉斯公式
【典例6-1】（2024·高二·全國·隨堂練習）某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率有多大？
【典例6-2】（2024·高二·湖南·課時練習）某一地區(qū)患有某疾病的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是患者的概率有多大？（保留小數(shù)點后四位）
【變式6-1】（2024·高三·江蘇揚州·期末）有一個郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標記為垃圾郵件或正常郵件.對這個系統(tǒng)的測試具有以下結(jié)果：每封郵件被標記為垃圾郵件的概率為，被標記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標記為垃圾郵件）的概率為 .
【變式6-2】（2024·高二·全國·課時練習）某生產(chǎn)線的管理人員通過對以往數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，每天生產(chǎn)線啟動時，初始狀態(tài)良好的概率為80%，當生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好時，第一件產(chǎn)品合格的概率為95%；否則，第一件產(chǎn)品合格的概率為60%，某天生產(chǎn)線啟動時，生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品，則當天生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好的概率為 （精確到0.1%）.
【變式6-3】（2024·高二·福建龍巖·期末）英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B有如下關(guān)系：．某地有A，B兩個游泳館，甲同學決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選擇A，B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
此類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小．
題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
【典例7-1】（2024·高二·廣東肇慶·期中）三部機器生產(chǎn)同樣的零件，其中機器甲生產(chǎn)的占，機器乙生產(chǎn)的占，機器丙生產(chǎn)的占.已知機器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有、和不合格.三部機器生產(chǎn)的零件混合堆放在一起，現(xiàn)從中隨機地抽取一個零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為不合格品，它是由哪一部機器生產(chǎn)出來的可能性大？請說明理由.
【典例7-2】（2024·高二·福建泉州·期末）在三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有的人患了流感，假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為3：5：2，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人
(1)求這個人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.
【變式7-1】（2024·高二·山東濰坊·期中）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT 發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元.ChatGPT所用到的數(shù)學知識，開辟了人機自然交流的新紀元. ChatGPT所用到的數(shù)學知識并非都是遙不可及的高深理論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT 中.某數(shù)學素養(yǎng)提升小組設(shè)計了如下問題進行探究：現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個箱子（如圖），其中甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任取一個箱子，再從中隨機摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，請用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.
【變式7-2】（2024·高三·湖南長沙·階段練習）(1)對于任意兩個事件，若，，證明：；
(2)貝葉斯公式是由英國數(shù)學家貝葉斯發(fā)現(xiàn)的，它用來描述兩個條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)，，…，是一組兩兩互斥的事件，，且，，2，…，，則對任意的事件，，有，，2，…，.
（i）已知某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為1%，先用低劑量進行肺癌篩查，醫(yī)學研究表明，化驗結(jié)果是存在錯誤的.已知患有肺癌的人其化驗結(jié)果99%呈陽性（有病），而沒有患肺癌的人其化驗結(jié)果99%呈陰性（無病），現(xiàn)某煙民的檢驗結(jié)果為陽性，請問他真的患肺癌的概率是多少？
（ii）為了確保診斷無誤，一般對第一次檢查呈陽性的煙民進行復診.復診時，此人患肺癌的概率就不再是1%，這是因為第一次檢查呈陽性，所以對其患肺癌的概率進行修正，因此將用貝葉斯公式求出來的概率作為修正概率，請問如果該煙民第二次檢查還是呈陽性，則他真的患肺癌的概率是多少？
【方法技巧與總結(jié)】
是在沒有進一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識，當有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化．
一、單選題
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）某飲料廠生產(chǎn)兩種型號的飲料，已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為，且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為，若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（ ）
A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32
2．（2024·高二·全國·開學考試）某校有7名同學獲省數(shù)學競賽一等獎，其中男生4名，女生3名．現(xiàn)隨機選取2名學生作“我愛數(shù)學”主題演講．假設(shè)事件為“選取的兩名學生性別相同”，事件為“選取的兩名學生為男生”，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·高二·山東濟寧·階段練習）甲乙兩人進行羽毛球比賽，在前三局比賽中，甲勝2局，乙勝1局，規(guī)定先勝3局者取得最終勝利，已知甲在每局比賽中獲勝的概率為，乙在每局比賽中獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則甲取得最終勝利的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建漳州·模擬預測）甲、乙兩名大學生利用假期時間參加社會實踐活動，可以從，，，四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)，設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇了社區(qū)”，事件為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·高二·湖南邵陽·期中）一玩具制造廠的某一配件由A，B，C三家配件制造廠提供，根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠A，B，C的次品率分別為0.02，0.01，0.03，提供配件的份額分別為，，，設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉庫均勻混合且不區(qū)別標記，從中隨機抽取一件配件，若抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南信陽·二模）隨著城市經(jīng)濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·高二·江西萍鄉(xiāng)·期末）某一地區(qū)患有癌癥的人占0.05，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.9，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.05.現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·高二·湖南長沙·開學考試）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①事件與相互獨立 ②
③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則（ ）
A． B．
C．若A，B獨立，則 D．若A，B互斥，則
10．（2024·高三·全國·期末）已知隨機事件滿足，，，則下列說法正確的是（ ）
A．不可能事件與事件互斥
B．必然事件與事件相互獨立
C．
D．若，則
11．（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習）國慶節(jié)期間，某商場搞促銷活動，商場準備了兩個裝有卡片的盒子，甲盒子中有4張紅色卡片、2張綠色卡片，乙盒子中有5張紅色卡片、3張綠色卡片(這14張卡片球除顏色外，大小、形狀完全相同). 顧客購物滿500元即可參加抽獎，其規(guī)則如下：顧客先從甲盒子中隨機取出1張卡片放入乙盒子，再從乙盒子中隨機取出1張卡片，記“在甲盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件， “在甲盒子中取出的卡片是綠色卡片”為事件， “從乙盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件M，若事件M 發(fā)生，則該顧客中獎，否則不中獎. 則有（ ）
A． 與是互斥事件 B．
C． D．與相互獨立
三、填空題
12．（2024·高二·全國·專題練習）設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，，則 .
13．（2024·高三·山東濟寧·開學考試）設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)了1000件，乙、丙兩廠各生產(chǎn)500件，而且各廠的次品率依次為，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為 ．
14．（2024·山西晉城·一模）某羽毛球超市銷售4種品牌（品牌，，，）的羽毛球，該超市品牌，，，的羽毛球的個數(shù)的比例為，品牌，，，的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不買這4個品牌中的1個品牌的羽毛球，他從其他3個品牌的羽毛球中隨機選取1個購買，已知他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率大于0.8，則可推測他不買的羽毛球的品牌為 （填入，，，中的1個）．
四、解答題
15．（2024·高二·上海黃浦·期末）擲質(zhì)地均勻的一黑、一白兩顆骰子，觀察朝上的點數(shù)，A表示事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”，B表示事件“白色骰子的點數(shù)是1”，C表示事件“兩顆骰子中至少有一顆的點數(shù)是1”，分別驗證事件A與事件B、事件A與事件C是否獨立，請說明理由．
16．（2024·高二·全國·課堂例題）一場精彩的足球賽即將舉行，5個球迷好不容易才買到一張入場券．大家都想去，只好用抽簽的方法來決定，準備5張同樣的卡片，其中一張卡片的正面寫有“入場券”，其余的什么也不寫．將它們背面朝上放在一起洗勻，讓5個人依次不放回地抽取．問后抽比先抽的吃虧嗎？
17．（2024·高二·云南紅河·階段練習）某校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3:3:4，三個年級的學生都報名參加公益志愿活動，經(jīng)過選拔，高一年級有的學生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有的學生成為公益活動志愿者．
(1)設(shè)事件“在三個年級中隨機抽取的1名學生是志愿者”；事件“在三個年級中隨機抽取1名學生，該生來自高年級”（）．請完成下表中不同事件的概率并寫出演算步驟：
事件概率
概率值
(2)若在三個年級中隨機抽取1名學生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學生來自于高一年級的概率．
18．（2024·四川·模擬預測）在某果園的苗圃進行果苗病蟲害調(diào)查，隨機調(diào)查了200棵受到某病蟲害的果苗，并測量其高度（單位：，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
(1)估計該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間的概率；
(3)已知該苗圃的果苗受到這種病蟲害的概率為，果苗高度位于區(qū)間的棵數(shù)占該果苗總棵數(shù)的.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗，求該棵果苗受到這種病蟲害的概率（以樣本數(shù)據(jù)中受到病蟲害果苗的高度位于各區(qū)間的頻率作為受到病蟲害果苗的高度位于該區(qū)間的概率）.
19．（2024·高二·山東濰坊·期末）現(xiàn)有兩臺車床加工同一型號的零件，第1臺車床加工的零件次品率為6%，第2臺車床加工的零件次品率為5%，加工出來的零件混放在一起已知第1臺車床加工的零件數(shù)與第2臺車床加工的零件數(shù)之比為2：3，從這些零件中任取一個.
(1)求這個零件是次品的概率；
(2)已知這個零件是次品，求它是第一臺車床加工的概率.

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