資源簡介

6．2 空間向量的坐標表示
課程標準 學習目標
（1）能利用單位正交基的概念，從向量的角度理解平面直角坐標系，會利用空間向量基本定理和空間單位正交基底建立空間直角坐標系． （2）能借助空間直角坐標系和空間向量基本定理建立空間中點、向量與三維有序實數組之間的一一對應關系，能建立空間向量坐標與點的坐標的聯系，并能用坐標表示空間中的點和向量． （3）能用坐標表示空間向量的線性運算（加法、減法、數乘）和數量積運算；會用向量的坐標運算表示兩個向量的平行、垂直的位置關系，會表示空間向量的模長公式、兩個向量的夾角公式，推導空間兩點間的距離公式． （4）能利用空間向量的坐標運算解決平行、垂直的位置關系問題，以及簡單的距離、夾角相關的度量問題；體會空間向量坐標運算在解決立體幾何問題中的作用，建立幾何問題代數化的基本思想． （1）理解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性． （2）借助空間直角坐標系理解空間中點的坐標和向量的坐標的概念及坐標表示． （3）會用坐標表示空間向量的線性運算及數量積運算． （4）會利用空間向量運算的坐標表示解決一些簡單的立體幾何問題．
知識點01 空間向量基本定理及樣關概念的理解
空間向量基本定理：
如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序實數組，使得．其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底．此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式．
【即學即練1】（2024·安徽六安·高二六安一中校考）如圖底面為平行四邊形的四棱錐，，若，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由題意，
，
又因為，
所以，
所以.
故選：A.
知識點02 空間向量的正交分解
單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．
正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
【即學即練2】（2024·陜西榆林·高二校考階段練習）定義：設是空間的一個基底，若向量，則稱有序實數組為向量在基底下的坐標．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標是．則向量在基底下的坐標是 ．
【答案】
【解析】因為向量在基底下的坐標是，
所以，
所以向量在基底下的坐標是.
故答案為：
知識點03 空間直角坐標系
1、空間直角坐標系
從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸，這樣就建立了空間直角坐標系，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面．
2、右手直角坐標系
在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
3、空間點的坐標
空間一點A的坐標可以用有序數組（x，y，z）來表示，有序數組（x，y，z）叫做點A的坐標，記作A（x，y，z），其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．
【即學即練3】（2024·海南儋州·高二校考）向量，則的坐標是 .
【答案】
【解析】向量，則.
故答案為：
知識點04 空間直角坐標系中點的坐標
1、空間直角坐標系中點的坐標的求法
通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是已知點相應的一個坐標．
特殊點的坐標：原點；軸上的點的坐標分別為；坐標平面上的點的坐標分別為．
2、空間直角坐標系中對稱點的坐標
在空間直角坐標系中，點，則有
點關于原點的對稱點是；
點關于橫軸（x軸）的對稱點是；
點關于縱軸（y軸）的對稱點是；
點關于豎軸（z軸）的對稱點是；
點關于坐標平面的對稱點是；
點關于坐標平面的對稱點是；
點關于坐標平面的對稱點是．
【即學即練4】（2024·甘肅天水·高二秦安縣第一中學校考）已知正方體的棱長為2，E，F分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系.寫出向量，，的坐標.

【解析】根據題意可得，
又E，F分別為棱，的中點，可得，
利用向量坐標運算法則可得，即；
，即；
，即；
所以可得，，.
知識點05 空間向量的坐標運算
（1）空間兩點的距離公式
若，則
①
即：一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標．
②，
或．
知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據向量的減法推出向量的坐標表示，然后再用模長公式推出．
（2）空間線段中點坐標
空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標為．
（3）向量加減法、數乘的坐標運算
若，則
①；
②；
③；
（4）向量數量積的坐標運算
若，則
即：空間兩個向量的數量積等于他們的對應坐標的乘積之和．
（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式
若，則
（1）．
（2）．
知識點詮釋：
①夾角公式可以根據數量積的定義推出：
，其中的范圍是
②．
③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關系（相等，互余，互補）．
（6）空間向量平行和垂直的條件
若，則
①
②
規定：與任意空間向量平行或垂直
作用：證明線線平行、線線垂直．
【即學即練5】（2024·山東日照·高二校考階段練習）已知點，C為線段AB上一點，且，則點C的坐標為 ．
【答案】
【解析】設，
則，
由題意得，則，解得，
所以
故答案為：
題型一：空間向量基本定理及其推論
例1．（2024·陜西西安·高二校聯考階段練習）已知是空間的一個基底，則可以和構成空間的另一個基底的向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知：，則與共面，
同理，，
即、均與共面，
所以A、B、D三項均不能和構成空間的另一個基底，故A、B、D錯誤；
設，顯然無法成立，即與不共面，故C正確.
故選：C
例2．（2024·江西·高二校聯考階段練習）已知空間的一組基，則可以與向量，構成空間的另一組基的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】不存在實數，，使得，所以，，不共面，可以構成空間的另一組基；
因為，所以，，共面，不能構成空間的另一組基；
因為，所以，，共面，不能構成空間的另一組基；
因為，所以，，共面，不能構成空間的另一組基.
故選：A.
例3．（2024·廣東東莞·高二校考）若是空間的一個基底，且向量，，不能構成空間的一個基底，則（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【解析】由于，，所以不共線，
由于不能構成空間的一個基底，
所以存在使得，即
，
所以，解得.
故選：B
變式1．（2024·河南省直轄縣級單位·高二校考）平行六面體中，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由平行六面體可得，
又，
所以，
則.
故選：B.
【方法技巧與總結】
基底的判斷思路
（1）判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底．
（2）判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條棱對應的向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．
題型二：用基底表示向量
例4．（2024·青海西寧·高二校考階段練習）如圖，在平行六面體中，已知，，，則用向量，，可表示向量為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在平行六面體中，，
所以
故選：D.
例5．（2024·山東·高二校聯考）已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量做基底，則向量可表示為（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
．
故選：D.
例6．（2024·河南商丘·高二商丘市實驗中學校聯考）在空間四邊形中，，分別為，的中點，，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
．
故選：D
變式2．（2024·重慶大渡口·高二校考）如圖，空間四邊形中，，點在上，且滿足，點為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，又點為的中點，所以，
所以
.
故選：A
變式3．（2024·北京朝陽·高二校考）如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
則有：
故選：C.
【方法技巧與總結】
用基底表示向量時
（1）若基底確定，要充分利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律．
（2）若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．
題型三：空間向量基本定理的應用
例7．（2024·浙江·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，設，，，E，F分別是的中點.
(1)用向量表示；
(2)若，求實數x，y，z的值.
【解析】（1）在平行六面體中，
，
由E，F分別是的中點，得.
（2），
而，且不共面，
所以.
例8．（2024·海南海口·高二海師附中校考階段練習）如圖所示，平行六面體中，，分別在和上，，.
(1)求證：，，，四點共面；
(2)若，求的值.
【解析】（1）證明：
，
∴，，，四點共面.
（2）
，
∴，，，
∴.
例9．（2024·福建廈門·高二廈門大學附屬科技中學校考階段練習）已知是空間的一個基底，且，，．
(1)求證：A，B，C，D四點共面；
(2)能否作為空間的一個基底？若能，試用這一基底表示；若不能，請說明理由．
【解析】（1）；
；
；
設，即
故，解得，故，
故A，B，C，D四點共面.
（2）假設，則，
故，解得，，
故不能作為基底.
變式4．（2024·安徽·高二淮南第三中學校聯考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的菱形，.
(1)利用空間向量證明；
(2)求的長.
【解析】（1）證明：設，則構成空間的一個基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
變式5．（2024·湖北·高二荊州中學校考階段練習）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系．如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．現有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為，我們將這種坐標系稱為“斜坐標系”．我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜坐標系”下向量的斜坐標：分別為“斜坐標系”下三條數軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序實數組一一對應，稱向量的斜坐標為，記作．
(1)若，求的斜坐標；
(2)在平行六面體中，，建立“空間斜坐標系”如下圖所示．

①若，求向量的斜坐標；
②若，且，求．
【解析】（1），
的斜坐標為．
（2）設分別為與同方向的單位向量，
則，
①
②由題，
由，知，
由，知：
，
，解得，
則．
【方法技巧與總結】
用空間向量基本定理解決立體幾何問題的步驟：首先根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底，如果存在三個兩兩垂直的空間向量也可以確定一個單位正交基底．然后根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算用確定的基底（或已知基底）表示目標向量，最后把空間向量的運算轉化為基向量的運算．
題型四：空間直角坐標系及空間中點的坐標表示
例10．（2024·高二課時練習）已知在直三棱柱中，，，建立適當的空間直角坐標系，求向量，，的坐標．
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，
可得，
，
．
例11．（2024·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，E， F分別是的中點，點G在棱CD上，且， H是的中點．以D為坐標原點，所在直線分別為 x 軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求向量和的坐標．
【解析】由已知可得點， ，， .
因為H是的中點，所以H點坐標為.
故，.
例12．（2024·山東聊城·高二校考階段練習）已知直線經過，兩點，直線上一點，使得，則點坐標 ．
【答案】
【解析】設，則，，
∴由得：，
∴，解得：，
∴點坐標為：.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
（1）建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點落在坐標軸上．
（2）對于長方體或正方體，一般取相鄰的三條棱所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系；確定點的坐標時，最常用的方法就是求某些與軸平行的線段的長度，即將坐標轉化為與軸平行的線段長度，同時要注意坐標的符號，這也是求空間點的坐標的關鍵．
題型五：空間向量的坐標表示及運算
例13．（2024·河南·高二校聯考階段練習）若空間向量，，共面，則實數 .
【答案】1
【解析】由題可知，故，
所以，解得.
故答案為：
例14．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第二十四中學校考）在空間直角坐標系中，若平行四邊形ABCD的頂點，則頂點D的坐標為 ．
【答案】
【解析】設D的坐標為，
平行四邊形ABCD的頂點，
故，即，
則，即D的坐標為，
故答案為：
例15．（2024·安徽宿州·高二校聯考）已知，且共面，則 ．
【答案】/0.8
【解析】由題意知，共面，
則存在實數使得，
即，
所以，解得.
故答案為：.
變式6．（2024·遼寧·高二丹東市第二中學校聯考階段練習）已知，若，則的坐標是 .
【答案】
【解析】因為，設
則，
所以，
則，
即.
故答案為：
【方法技巧與總結】
（1）向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定，即向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的坐標．特別地，當向量的起點為坐標原點時，向量的坐標即是終點的坐標．
（2）進行空間向量的加、減、數乘的坐標運算的關鍵是運用好其運算法則．
題型六：空間向量平行的坐標表示及應用
例16．（2024·湖南衡陽·高二校考）已知向量，，且與平行，則 .
【答案】/
【解析】，，
因為與平行，所以當時，，解得；
當時，，.
綜上，.
故答案為：
例17．（2024·遼寧沈陽·高二遼寧實驗中學校考階段練習）已知向量，，若，則m，n滿足的關系式為 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】，，，
則存在實數，使，
即，可得m，n滿足的關系式為或等
故答案為：（答案不唯一）.
例18．（2024·貴州黔東南·高二校考）若三點共線，則 ．
【答案】
【解析】，且三點共線，
存在實數，使得．
即，
解得
故答案為：.
變式7．（2024·浙江紹興·高二校考）已知，是實數，若，，且，則 ．
【答案】
【解析】因為，，且，
所以，即，所以，解得，
所以.
故答案為：
變式8．（2024·山東濰坊·高二統考）已知向量，，若，則 ．
【答案】3
【解析】由題意知向量，，，
故存在實數，使得，
即，解得，
故，
故答案為：3
【方法技巧與總結】
判斷空間向量平行的步驟
（1）向量化：將空間中的平行轉化為向量的平行．
（2）向量關系代數化：寫出向量的坐標．
（3）對于，，根據或（都不為0）判斷兩向量是否平行．
題型七：空間向量數量積、垂直及模、夾角的坐標表示
例19．（2024·廣東珠海·高二校考階段練習）已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實數的范圍是 .
【答案】
【解析】由向量，，可得，
因為，可得，解得，
所以，所以與，
又因為向量與所成角為銳角，
所以，解得，
若向量與共線，則，解得，
所以實數的范圍是.
故答案為：.
例20．（2024·北京通州·高二統考）在空間直角坐標系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為 ；在的投影向量 .
【答案】 /0.5
【解析】因為，，，
所以，，
所以，
在的投影向量為.
故答案為：；.
例21．（2024·陜西西安·高二校考階段練習）已知，，若與的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意得且不共線，
所以，解得：且．
故實數t的取值范圍為．
故答案為：.
變式9．（2024·四川廣安·高二廣安二中校考階段練習）已知向量，,則向量在向量方向上投影向量的坐標為 ．
【答案】
【解析】向量在向量方向上投影向量為，
故答案為：
變式10．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知空間向量.
(1)求；
(2)判斷與以及與的位置關系.
【解析】（1）由題知，，
所以.
（2）因為，
所以，
所以；
因為，
所以，所以.
變式11．（2024·新疆和田·高二校考）已知，，求
(1)；
(2)
【解析】（1）因為，所以.
（2）因為，，
所以，所以.
變式12．（2024·江西新余·高二校考階段練習）已知空間中三點，，.
(1)求；
(2)求中邊上中線的長度.
【解析】（1）由題，，，
.
（2）設邊的中點為，則點的坐標為，又，
，
.
所以邊的中線長為.
變式13．（2024·廣東東莞·高二校考）已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)與夾角的余弦值.
【解析】（1），則，解得，
，
又，則，，
；
（2）由（1），，
設與夾角為，則．
變式14．（2024·天津武清·高二統考）已知點，，O為坐標原點，向量
(1)求向量的單位向量
(2)求
(3)求
【解析】（1）由已知得：，則，
因此；
（2）因為，
所以，
則.
（3）因為，所以，
則
【方法技巧與總結】
關于空間向量坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算．
（2）由條件求向量或點的坐標
首先把向量用坐標形式設出來，然后通過建立方程（組），解方程（組）求出其坐標．
題型八：空間兩點間的距離公式及線段的中點坐標
例22．（2024·江西·高二統考階段練習）已知，，若點共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為點共線，所以與共線，
所以，解得，，
故，，
.
故選：C.
例23．（2024·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）設空間向量則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由可得，
故.
故選：D.
例24．（2024·貴州·高二校聯考）已知空間三點、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，，
則，，
，
即，
所以以、為鄰邊的平行四邊形的面積為．
故選：D.
變式15．（2024·河南·高二校聯考）已知空間中三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】因為，，，所以，，
則，，，所以，
又因為，所以，
則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.
故選：D
變式16．（2024·陜西咸陽·高二統考）若，，則（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】，
所以
故選：D
變式17．（2024·湖北武漢·高二華中師大一附中校考）如圖所示，三棱錐中，平面，，點為棱的中點，分別為直線上的動點，則線段的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】三棱錐中，過作平面，由，知，
以為原點，直線分別為建立空間直角坐標系，如圖，
由平面，得，則，
令，則，設，
于是，
當且僅當時取等號，所以線段的最小值為.
故選：B
變式18．（2024·江西·高二校聯考）已知是坐標原點，空間向量，若線段的中點為，則（ ）
A． B．8 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由題意得，所以，所以.
故選：C.
【方法技巧與總結】
利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟
題型九：利用向量的坐標運算解決平行、垂直問題
例25．（2024·安徽宿州·高二校聯考）已知空間向量．
(1)若，且，求的坐標；
(2)若，且，求的最大值．
【解析】（1）由題意，，所以不妨設，
又，
從而，
解得，所以.
（2）由題意，所以，即，
又因為，
所以由基本不等式可得，等號成立當且僅當，
解得，
所以當且僅當時，的最大值為.
例26．（2024·上海·高二校考）已知空間三點、、，設.
(1)若，求點坐標；
(2)若向量與互相垂直，求實數的值；
(3)若向量與平行，求實數的值.
【解析】（1）設，則，，
由，得，
解得，即.
（2）由，，
則，，
因為向量與互相垂直，
所以，即，
解得或.
（3）由（2）知，，，
所以，，
因為向量與平行，設，
則，解得.
例27．（2024·陜西榆林·高二校聯考階段練習）如圖所示，平面，底面是邊長為1的正方形，，P是上一點，且．

(1)建立適當的坐標系并求點的坐標；
(2)求證：．
【解析】（1）如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，
則．
設，，,
∵，∴，
解得，，，故點的坐標為．
（2）由（1）知，，
∵，∴．
變式19．（2024·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考階段練習）在正方體中，為的中點，為的中點，為的中點．證明：
(1)；
(2)不與平行；
(3)．
【解析】（1）證明：設正方體的棱長為，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、，
所以，，，則，
又因為不在直線上，所以，.
（2）證明：，，顯然、不共線，
所以，不與平行.
（3）證明：，，
則，所以，.
【方法技巧與總結】
（1）判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程（組）求解．
（2）利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明．
一、單選題
1．（2024·四川成都·高二校考）已知，，且，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得：，解得.
故選：C.
2．（2024·江西·高二井岡山中學校聯考階段練習）已知，，，若P，A，B，C四點共面，則（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】C
【解析】由P，A，B，C四點共面，可得，，共面，
設，
則，解得．
故選：C.
3．（2024·海南省直轄縣級單位·高二校考階段練習）若空間向量與的夾角為銳角，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由空間向量與的夾角為銳角，得且與不共線，
于是，解得，此時，而，即與不共線，
所以x的取值范圍是.
故選：C
4．（2024·福建廈門·高二廈門外國語學校校考階段練習）已知向量在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為向量在基底下的坐標為，
可得，
所以向量在基底下的坐標為.
故選：B.
5．（2024·貴州·高二校聯考階段練習）定義:與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，叫做這兩條異面直線的距離，公垂線段的長度可以看作是:分別連接兩異面直線上兩點，正方體的棱長為1，是異面直線與的公垂線段，則的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解:以A為原點，，所在直線分別為x軸，y軸，軸，如圖所示:
， ， ，
， ，
設，，
所以
∵是異面直線與的公垂線段，
∴，解得，
∴，．
故選:C．
6．（2024·安徽·高二池州市第一中學校聯考）已知向量，，則以下說法不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為向量，，
所以，故，所以選項A正確；
，，
所以，故選項B正確；
，所以，，
所以，故選項C錯誤；
，所以，，
又，故，所以選項D正確.
故選：C
7．（2024·安徽阜陽·高二校考階段練習）如圖，在空間四邊形中，若向量，，點E，F分別為線段的中點，則的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為E，F分別為線段的中點，
所以，，.
因為，，，
所以，
，
所以，.
故選：B.
8．（2024·河南鶴壁·高二鶴壁高中校考階段練習）已知是空間的一個單位正交基底，且，，則與夾角的余弦值為
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得是空間的一個單位正交基底，
所以=，，
設與的夾角為，，
所以，故D項錯誤.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·全國·高二專題練習）已知向量，，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．不存在實數，使得 D．若，則
【答案】AC
【解析】對于A，因為，所以，解得，故A正確；
對于B，因為，所以，所以，故B錯誤；
對于C，假設，則，
所以，該方程組無解，故C正確；
對于D，因為，所以，解得，
所以，，所以，故D錯誤.
故選：AC.
10．（2024·重慶·高二重慶市萬州第二高級中學校聯考階段練習）已知向量，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．不存在實數，使得 D．若，則
【答案】AC
【解析】對于A 中,由可得解得,故A 選項正確；
對于B 中,由,可得，解得,故B 選項錯誤;
對于C中，若存在實數λ，使得則顯然λ無解，即不存在實數λ，使得故C 選項正確；
對于D中，則，解得，故D錯誤.
故選：AC
11．（2024·浙江·高二路橋中學校考）已知三棱錐，則下列選項正確的是（ ）
A．若，則在上的投影向量為
B．若是三棱錐的底面的重心，則
C．若，則四點共面
D．設，則構成空間的一個基底
【答案】AB
【解析】對于A，易知在上的投影向量為,所以可知A正確；
對于B，取的中點為，連接，如下圖所示：
由是三棱錐的底面的重心可得，
易知
所以，即可知B正確；
對于C，若，顯然，
則四點不共面，所以C錯誤；
對于D，由可知，共面，
所以不能構成空間的一個基底，即D錯誤.
故選：AB
12．（2024·山東·高二校聯考）空間直角坐標系中，已知，，，，則（ ）
A．
B．是直角三角形
C．與平行的單位向量的坐標為
D．可以作為空間的一組基底
【答案】ABD
【解析】因為，
所以，所以，選項A正確；
又因為，所以，
所以，所以是直角三角形，選項B正確；
因為，所以與平行的單位向量的坐標為：，選項C錯誤；
假設，，共面，則存在唯一的有序數對使，
即，
所以，此方程組無解，故，，不共面，
故可作為空間一組基底，選項D正確.
故選：ABD.
三、填空題
13．（2024·浙江寧波·高二余姚中學校考）點，，，若在線段上，且滿足，則點的坐標為 ．
【答案】
【解析】設的坐標為，則，
,，
因為在線段上，且滿足，
所以,即，
解得：，所以點的坐標為．
故答案為：.
14．（2024·陜西西安·高二長安一中校考）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由；
由.
綜上：且.
故答案為：.
15．（2024·安徽阜陽·高二校考階段練習）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若一組基底為，，，則 .
【答案】
【解析】由已知可得，為與的中點，
所以，.
所以，
.
故答案為：.
16．（2024·河南·高二校聯考）已知正方體的棱長為，點在線段上（不含端點）.若是銳角，則線段長度的取值范圍為 .
【答案】
【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，
設，，則，則，
所以，，
顯然與不可能同向，
因為是銳角，所以，
則，解得或，
又，所以，又，
所以，即線段長度的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題
17．（2024·新疆·高二校考階段練習）已知，，.
(1)求的值；
(2).
【解析】（1）由，可得，.
，故
（2），，可得，，故
18．（2024·山東德州·高二統考）如圖，在平行六面體中，，，，，且點為與的交點，點在線段上，且．
(1)求的長；
(2)將用基向量，，來進行表示．設，求，，的值．
【解析】（1）由已知，
，
又，
所以，
，
，
則，
所以；
（2）由點為與的交點，得，
又點在線段上，且，則，
所以，
所以，.
19．（2024·四川成都·高二川大附中校考階段練習）如圖：三棱柱中，，是的中點．
(1)求的長；
(2)若點是棱所在直線上的點，設，當時，求實數的值．
【解析】（1），
因為，
所以，
則
，
所以的長為；
（2），
因為，所以，
即，即，解得.
20．（2024·全國·高三專題練習）如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點，點在棱上，且.求證：四點共面.
【解析】證明：由，且，
取的中點，連接，則，且，
所以，
又是以為直角的等腰直角三角形，所以.
過點作，垂足為，則點為的中點，且，
因為平面平面，且平面平面，
所以平面，
故以所在的直線分別為軸，軸，過點作垂直于平面的軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，
因為為棱的中點，所以，又因為點在棱上，且，
所以，則，，，
令，
則，
則，解得，
故，則共面，且向量有公共點，
所以四點共面.6．2 空間向量的坐標表示
課程標準 學習目標
（1）能利用單位正交基的概念，從向量的角度理解平面直角坐標系，會利用空間向量基本定理和空間單位正交基底建立空間直角坐標系． （2）能借助空間直角坐標系和空間向量基本定理建立空間中點、向量與三維有序實數組之間的一一對應關系，能建立空間向量坐標與點的坐標的聯系，并能用坐標表示空間中的點和向量． （3）能用坐標表示空間向量的線性運算（加法、減法、數乘）和數量積運算；會用向量的坐標運算表示兩個向量的平行、垂直的位置關系，會表示空間向量的模長公式、兩個向量的夾角公式，推導空間兩點間的距離公式． （4）能利用空間向量的坐標運算解決平行、垂直的位置關系問題，以及簡單的距離、夾角相關的度量問題；體會空間向量坐標運算在解決立體幾何問題中的作用，建立幾何問題代數化的基本思想． （1）理解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性． （2）借助空間直角坐標系理解空間中點的坐標和向量的坐標的概念及坐標表示． （3）會用坐標表示空間向量的線性運算及數量積運算． （4）會利用空間向量運算的坐標表示解決一些簡單的立體幾何問題．
知識點01 空間向量基本定理及樣關概念的理解
空間向量基本定理：
如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序實數組，使得．其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底．此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式．
【即學即練1】（2024·安徽六安·高二六安一中校考）如圖底面為平行四邊形的四棱錐，，若，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
知識點02 空間向量的正交分解
單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．
正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
【即學即練2】（2024·陜西榆林·高二校考階段練習）定義：設是空間的一個基底，若向量，則稱有序實數組為向量在基底下的坐標．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標是．則向量在基底下的坐標是 ．
知識點03 空間直角坐標系
1、空間直角坐標系
從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸，這樣就建立了空間直角坐標系，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面．
2、右手直角坐標系
在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
3、空間點的坐標
空間一點A的坐標可以用有序數組（x，y，z）來表示，有序數組（x，y，z）叫做點A的坐標，記作A（x，y，z），其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．
【即學即練3】（2024·海南儋州·高二校考）向量，則的坐標是 .
知識點04 空間直角坐標系中點的坐標
1、空間直角坐標系中點的坐標的求法
通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是已知點相應的一個坐標．
特殊點的坐標：原點；軸上的點的坐標分別為；坐標平面上的點的坐標分別為．
2、空間直角坐標系中對稱點的坐標
在空間直角坐標系中，點，則有
點關于原點的對稱點是；
點關于橫軸（x軸）的對稱點是；
點關于縱軸（y軸）的對稱點是；
點關于豎軸（z軸）的對稱點是；
點關于坐標平面的對稱點是；
點關于坐標平面的對稱點是；
點關于坐標平面的對稱點是．
【即學即練4】（2024·甘肅天水·高二秦安縣第一中學校考）已知正方體的棱長為2，E，F分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系.寫出向量，，的坐標.

知識點05 空間向量的坐標運算
（1）空間兩點的距離公式
若，則
①
即：一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標．
②，
或．
知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據向量的減法推出向量的坐標表示，然后再用模長公式推出．
（2）空間線段中點坐標
空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標為．
（3）向量加減法、數乘的坐標運算
若，則
①；
②；
③；
（4）向量數量積的坐標運算
若，則
即：空間兩個向量的數量積等于他們的對應坐標的乘積之和．
（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式
若，則
（1）．
（2）．
知識點詮釋：
①夾角公式可以根據數量積的定義推出：
，其中的范圍是
②．
③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關系（相等，互余，互補）．
（6）空間向量平行和垂直的條件
若，則
①
②
規定：與任意空間向量平行或垂直
作用：證明線線平行、線線垂直．
【即學即練5】（2024·山東日照·高二校考階段練習）已知點，C為線段AB上一點，且，則點C的坐標為 ．
題型一：空間向量基本定理及其推論
例1．（2024·陜西西安·高二校聯考階段練習）已知是空間的一個基底，則可以和構成空間的另一個基底的向量為（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江西·高二校聯考階段練習）已知空間的一組基，則可以與向量，構成空間的另一組基的向量是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·廣東東莞·高二校考）若是空間的一個基底，且向量，，不能構成空間的一個基底，則（ ）
A． B．1 C．0 D．
變式1．（2024·河南省直轄縣級單位·高二校考）平行六面體中，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【方法技巧與總結】
基底的判斷思路
（1）判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底．
（2）判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條棱對應的向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．
題型二：用基底表示向量
例4．（2024·青海西寧·高二校考階段練習）如圖，在平行六面體中，已知，，，則用向量，，可表示向量為（ ）

A． B．
C． D．
例5．（2024·山東·高二校聯考）已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量做基底，則向量可表示為（ ）

A．
B．
C．
D．
例6．（2024·河南商丘·高二商丘市實驗中學校聯考）在空間四邊形中，，分別為，的中點，，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·重慶大渡口·高二校考）如圖，空間四邊形中，，點在上，且滿足，點為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·北京朝陽·高二校考）如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
用基底表示向量時
（1）若基底確定，要充分利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數乘向量的運算律．
（2）若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．
題型三：空間向量基本定理的應用
例7．（2024·浙江·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，設，，，E，F分別是的中點.
(1)用向量表示；
(2)若，求實數x，y，z的值.
例8．（2024·海南海口·高二海師附中校考階段練習）如圖所示，平行六面體中，，分別在和上，，.
(1)求證：，，，四點共面；
(2)若，求的值.
例9．（2024·福建廈門·高二廈門大學附屬科技中學校考階段練習）已知是空間的一個基底，且，，．
(1)求證：A，B，C，D四點共面；
(2)能否作為空間的一個基底？若能，試用這一基底表示；若不能，請說明理由．
變式4．（2024·安徽·高二淮南第三中學校聯考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的菱形，.
(1)利用空間向量證明；
(2)求的長.
變式5．（2024·湖北·高二荊州中學校考階段練習）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系．如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．現有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為，我們將這種坐標系稱為“斜坐標系”．我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜坐標系”下向量的斜坐標：分別為“斜坐標系”下三條數軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序實數組一一對應，稱向量的斜坐標為，記作．
(1)若，求的斜坐標；
(2)在平行六面體中，，建立“空間斜坐標系”如下圖所示．

①若，求向量的斜坐標；
②若，且，求．
【方法技巧與總結】
用空間向量基本定理解決立體幾何問題的步驟：首先根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底，如果存在三個兩兩垂直的空間向量也可以確定一個單位正交基底．然后根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算用確定的基底（或已知基底）表示目標向量，最后把空間向量的運算轉化為基向量的運算．
題型四：空間直角坐標系及空間中點的坐標表示
例10．（2024·高二課時練習）已知在直三棱柱中，，，建立適當的空間直角坐標系，求向量，，的坐標．
例11．（2024·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，E， F分別是的中點，點G在棱CD上，且， H是的中點．以D為坐標原點，所在直線分別為 x 軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求向量和的坐標．
例12．（2024·山東聊城·高二校考階段練習）已知直線經過，兩點，直線上一點，使得，則點坐標 ．
【方法技巧與總結】
（1）建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點落在坐標軸上．
（2）對于長方體或正方體，一般取相鄰的三條棱所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系；確定點的坐標時，最常用的方法就是求某些與軸平行的線段的長度，即將坐標轉化為與軸平行的線段長度，同時要注意坐標的符號，這也是求空間點的坐標的關鍵．
題型五：空間向量的坐標表示及運算
例13．（2024·河南·高二校聯考階段練習）若空間向量，，共面，則實數 .
例14．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第二十四中學校考）在空間直角坐標系中，若平行四邊形ABCD的頂點，則頂點D的坐標為 ．
例15．（2024·安徽宿州·高二校聯考）已知，且共面，則 ．
變式6．（2024·遼寧·高二丹東市第二中學校聯考階段練習）已知，若，則的坐標是 .
【方法技巧與總結】
（1）向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定，即向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的坐標．特別地，當向量的起點為坐標原點時，向量的坐標即是終點的坐標．
（2）進行空間向量的加、減、數乘的坐標運算的關鍵是運用好其運算法則．
題型六：空間向量平行的坐標表示及應用
例16．（2024·湖南衡陽·高二校考）已知向量，，且與平行，則 .
例17．（2024·遼寧沈陽·高二遼寧實驗中學校考階段練習）已知向量，，若，則m，n滿足的關系式為 ．
例18．（2024·貴州黔東南·高二校考）若三點共線，則 ．
變式7．（2024·浙江紹興·高二校考）已知，是實數，若，，且，則 ．
變式8．（2024·山東濰坊·高二統考）已知向量，，若，則 ．
【方法技巧與總結】
判斷空間向量平行的步驟
（1）向量化：將空間中的平行轉化為向量的平行．
（2）向量關系代數化：寫出向量的坐標．
（3）對于，，根據或（都不為0）判斷兩向量是否平行．
題型七：空間向量數量積、垂直及模、夾角的坐標表示
例19．（2024·廣東珠海·高二校考階段練習）已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實數的范圍是 .
例20．（2024·北京通州·高二統考）在空間直角坐標系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為 ；在的投影向量 .
例21．（2024·陜西西安·高二校考階段練習）已知，，若與的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍是 .
變式9．（2024·四川廣安·高二廣安二中校考階段練習）已知向量，,則向量在向量方向上投影向量的坐標為 ．
變式10．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知空間向量.
(1)求；
(2)判斷與以及與的位置關系.
變式11．（2024·新疆和田·高二校考）已知，，求
(1)；
(2)
變式12．（2024·江西新余·高二校考階段練習）已知空間中三點，，.
(1)求；
(2)求中邊上中線的長度.
變式13．（2024·廣東東莞·高二校考）已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)與夾角的余弦值.
變式14．（2024·天津武清·高二統考）已知點，，O為坐標原點，向量
(1)求向量的單位向量
(2)求
(3)求
【方法技巧與總結】
關于空間向量坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算．
（2）由條件求向量或點的坐標
首先把向量用坐標形式設出來，然后通過建立方程（組），解方程（組）求出其坐標．
題型八：空間兩點間的距離公式及線段的中點坐標
例22．（2024·江西·高二統考階段練習）已知，，若點共線，則（ ）
A． B． C． D．
例23．（2024·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）設空間向量則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
例24．（2024·貴州·高二校聯考）已知空間三點、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式15．（2024·河南·高二校聯考）已知空間中三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A． B． C．3 D．
變式16．（2024·陜西咸陽·高二統考）若，，則（ ）
A．10 B．3 C． D．
變式17．（2024·湖北武漢·高二華中師大一附中校考）如圖所示，三棱錐中，平面，，點為棱的中點，分別為直線上的動點，則線段的最小值為（ ）

A． B． C． D．
變式18．（2024·江西·高二校聯考）已知是坐標原點，空間向量，若線段的中點為，則（ ）
A． B．8 C．3 D．2
【方法技巧與總結】
利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟
題型九：利用向量的坐標運算解決平行、垂直問題
例25．（2024·安徽宿州·高二校聯考）已知空間向量．
(1)若，且，求的坐標；
(2)若，且，求的最大值．
例26．（2024·上海·高二校考）已知空間三點、、，設.
(1)若，求點坐標；
(2)若向量與互相垂直，求實數的值；
(3)若向量與平行，求實數的值.
例27．（2024·陜西榆林·高二校聯考階段練習）如圖所示，平面，底面是邊長為1的正方形，，P是上一點，且．

(1)建立適當的坐標系并求點的坐標；
(2)求證：．
變式19．（2024·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學校考階段練習）在正方體中，為的中點，為的中點，為的中點．證明：
(1)；
(2)不與平行；
(3)．
【方法技巧與總結】
（1）判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程（組）求解．
（2）利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明．
一、單選題
1．（2024·四川成都·高二校考）已知，，且，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2024·江西·高二井岡山中學校聯考階段練習）已知，，，若P，A，B，C四點共面，則（ ）
A．3 B． C．7 D．
3．（2024·海南省直轄縣級單位·高二校考階段練習）若空間向量與的夾角為銳角，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建廈門·高二廈門外國語學校校考階段練習）已知向量在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·貴州·高二校聯考階段練習）定義:與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，叫做這兩條異面直線的距離，公垂線段的長度可以看作是:分別連接兩異面直線上兩點，正方體的棱長為1，是異面直線與的公垂線段，則的長為（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽·高二池州市第一中學校聯考）已知向量，，則以下說法不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·安徽阜陽·高二校考階段練習）如圖，在空間四邊形中，若向量，，點E，F分別為線段的中點，則的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·河南鶴壁·高二鶴壁高中校考階段練習）已知是空間的一個單位正交基底，且，，則與夾角的余弦值為
（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·全國·高二專題練習）已知向量，，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．不存在實數，使得 D．若，則
10．（2024·重慶·高二重慶市萬州第二高級中學校聯考階段練習）已知向量，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．不存在實數，使得 D．若，則
11．（2024·浙江·高二路橋中學校考）已知三棱錐，則下列選項正確的是（ ）
A．若，則在上的投影向量為
B．若是三棱錐的底面的重心，則
C．若，則四點共面
D．設，則構成空間的一個基底
12．（2024·山東·高二校聯考）空間直角坐標系中，已知，，，，則（ ）
A．
B．是直角三角形
C．與平行的單位向量的坐標為
D．可以作為空間的一組基底
三、填空題
13．（2024·浙江寧波·高二余姚中學校考）點，，，若在線段上，且滿足，則點的坐標為 ．
14．（2024·陜西西安·高二長安一中校考）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為 .
15．（2024·安徽阜陽·高二校考階段練習）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若一組基底為，，，則 .
16．（2024·河南·高二校聯考）已知正方體的棱長為，點在線段上（不含端點）.若是銳角，則線段長度的取值范圍為 .
四、解答題
17．（2024·新疆·高二校考階段練習）已知，，.
(1)求的值；
(2).
18．（2024·山東德州·高二統考）如圖，在平行六面體中，，，，，且點為與的交點，點在線段上，且．
(1)求的長；
(2)將用基向量，，來進行表示．設，求，，的值．
19．（2024·四川成都·高二川大附中校考階段練習）如圖：三棱柱中，，是的中點．
(1)求的長；
(2)若點是棱所在直線上的點，設，當時，求實數的值．
20．（2024·全國·高三專題練習）如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點，點在棱上，且.求證：四點共面.

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