資源簡介

7.1 兩個基本計數(shù)原理
課程標準 學習目標
（1）能在實際計數(shù)問題中，用自己的語言解釋分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)． （2）能通過具體實例，說明分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理之間的聯(lián)系與區(qū)別，發(fā)展數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)． （3）能根據(jù)實際問題的特征，通過對“完成一件什么事”的分析，正確選擇原理解決簡單的實際問題，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)． （1）了解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理. （2）會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題．
知識點01 分類計數(shù)原理
1、分類加法計數(shù)原理：
完成一件事，有類辦法．在第1類辦法中有種不同方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．
2、加法原理的特點是：
①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；
②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；
③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
知識點詮釋：
使用分類加法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標準進行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和．
【即學即練1】（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）某同學逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（　　）
A．4種 B．6種 C．7種 D．9種
【答案】A
【解析】買兩本，有種方案；買三本，有1種方案；
因此共有方案(種)．
故選：A.
知識點02 分步計數(shù)原理
1、分步乘法計數(shù)原理
“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成．
2、乘法原理的特點：
①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；
②完成每一步有若干種方法；
③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
知識點詮釋：
使用分步乘法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．
【即學即練2】（2024·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）學校組織研學活動，現(xiàn)有壽寧下黨鄉(xiāng)、福安柏柱洋、屏南潦頭村、福鼎赤溪村4條路線供3個年級段選擇，每個年段必項且只能選擇一條路線，則不同的選擇方法有（ ）
A．4種 B．24種 C．64種 D．81種
【答案】C
【解析】3個年級段均有4種選擇，故不同的選擇方法有種.
故選：C
知識點03 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：
1、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：
兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關，一個和分步有關．
完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事，則用加法原理；
若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當且僅當這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計算．
2、利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：
（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？
（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型
①分類或分步．
②先分類，再在每一類里再分步．
③先分步，再在每一步里再分類，等等．
（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？
【即學即練3】（2024·河北·高二河北省文安縣第一中學校考期末）如圖，要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為（ ）
A．5 B．7 C．8 D．12
【答案】C
【解析】要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為．
故選：C．
題型一：分類加法計數(shù)原理
【典例1-1】（2024·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，現(xiàn)從中任選1名同學參加學科競賽，則不同的選派方法數(shù)為.（ ）
A．4 B．5 C．9 D．20
【答案】C
【解析】第一類從女同學中選1名，有4種不同的選法；
第二類從男同學中選1名，有5種不同的選法，
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種不同的選法.
故選：C
【典例1-2】（2024·廣東梅州·高二校考階段練習）從名女同學和名男同學中任選人主持本班的某次專題班會，則不同的選法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】選人主持本班的某次專題班會可從名女同學任選一名，也可以從名男同學中任選名,
由分類加法計數(shù)原理可知不同的選法種數(shù)為種.
故選：C.
【變式1-1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）從1至7這7個整數(shù)中隨機取出3個不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（ ）
A．9種 B．12種 C．20種 D．30種
【答案】B
【解析】①當取出的3個不同的數(shù)中不含3和6時，顯然它們的積不可能是3的倍數(shù)，不符合題意；
②當取出的3個不同的數(shù)中含有3不含有6時，它們的積一定是3的倍數(shù)，
但只有當另外2個數(shù)是，，，，，時，
它們的和才是3的倍數(shù)，共有6種取法；、
③當取出的3個不同的數(shù)中含有6不含有3時，它們的積一定是3的倍數(shù)，
但只有當另外2個數(shù)是，，，，，時，
它們的和才是3的倍數(shù)，也有6種取法；
④當取出的3個不同的數(shù)中含有3和6時，它們的積一定是3的倍數(shù)，
但它們的和一定不是3的倍數(shù)，不符合題意．
綜上，它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（種），
故選：B．
【變式1-2】（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（ ）
A．32種 B．128種 C．64種 D．256種
【答案】C
【解析】若甲、乙都去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法；
若甲、乙都不去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法．
故一共有種去法．
故選：C.
【方法技巧與總結】
應用分類加法計數(shù)原理應注意如下問題
（1）明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事．
（2）無論哪類方案中的哪種方法都可以獨立完成這件事，而不需要再用到其他的方法，即各類方法之間是互斥的，并列的，獨立的．
題型二：分步乘法計數(shù)原理
【典例2-1】（2024·廣東深圳·高二校考期末）某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是（ ）
A．24種 B．4種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】由題意知每位同學都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學選擇，
故共有種選擇方法.
故選：D.
【典例2-2】（2024·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）閱讀課上，5名同學分別從3種不同的書中選擇一種進行閱讀，不同的選法種數(shù)是（ ）
A．50 B．60 C．125 D．243
【答案】D
【解析】由題意，5名同學分別從3種不同的書中選擇一種進行閱讀，
其中，每名同學都有3種不同的選法，所以不同的選法種數(shù)是種.
故選：D.
【變式2-1】（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學校考期末）甲 乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲 乙所選的課程不相同的選法共有（ ）
A．6種 B．12種 C．3種 D．9種
【答案】A
【解析】甲 乙兩人從3門課程中各選修1門，
由乘法原理可得甲 乙所選的課程不相同的選法有（種）.
故選：A
【變式2-2】（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習）學校籌辦元旦晚會需要從5名男生和3名女生中各選1人作為志愿者，則不同選法的種數(shù)是（ ）
A．8 B．28 C．20 D．15
【答案】D
【解析】由題意可知不同選法有（種）.
故選:D.
【方法技巧與總結】
利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路
（1）分步：將完成這件事的過程分成若干步．
（2）計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)．
（3）結論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結果．
題型三：兩個原理的綜合應用
【典例3-1】（2024·高二課時練習）已知集合.現(xiàn)在從這三個集合中取出兩個集合,再從這兩個集合中各取出一個元素,組成一個含有兩個元素的集合,則一共可以組成集合的個數(shù)為(　　)
A．24 B．36 C．26 D．27
【答案】C
【解析】所有情況分為三類：
“從中各取一個元素”的方法數(shù)有種；
“從中各取一個元素”的方法數(shù)有種；
“從中各取一個元素”的方法數(shù)有種，
由于三個集合的元素互不相同，
故總的方法數(shù)有種，
故選：C
【典例3-2】（2024·江西南昌·高二階段練習）已知集合，，若從這兩個集合中各取一個元素作為點的橫坐標或縱坐標，則可得平面直角坐標系中第一、二象限內不同點的個數(shù)是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
【答案】C
【解析】分兩類情況討論：
第一類，從中取的元素作為橫坐標，從中取的元素作為縱坐標，則第一、二象限內的點共有（個）；
第二類，從中取的元素作為縱坐標，從中取的元素作為橫坐標，則第一、二象限內的點共有（個），
由分類加法計數(shù)原理，所以所求個數(shù)為．
故選：C
【變式3-1】（2024·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由圖可知，從甲村直接到到丙村的走法有種，
從甲村到乙村再到丙村的走法有種，
所以從甲村到丙村的走法共有種.
故選: D.
【方法技巧與總結】
使用兩個原理的原則
使用兩個原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對于較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時可用分步乘法計數(shù)原理．
題型四：組數(shù)問題
【典例4-1】（2024·甘肅·高二統(tǒng)考期末）“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環(huán)往復的修辭手法，而數(shù)學上也有類似這樣特征的一類“回文數(shù)”，如232，251152等，那么在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有 個.
【答案】225
【解析】依題意，五位正整數(shù)中 “回文數(shù)”具有：
萬位與個位數(shù)字相同，且不為0，千位與十位數(shù)字相同，
求有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類辦法：
第一類：萬位數(shù)字為偶數(shù)且不為0有4種，千位選一個奇數(shù)有5種，
百位選一個奇數(shù)有5種，
不同 “回文數(shù)”的個數(shù)為個，
第二類：萬位數(shù)字為奇數(shù)有5種，千位選一個偶數(shù)有5種，百位選一個奇數(shù)有5種，
不同 “回文數(shù)”的個數(shù)為，
由分類加法原理得，
在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有：個.
故答案為：225
【典例4-2】（2024·河北石家莊·高二校考階段練習）在一個三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構成無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)”有 個，其中偶數(shù)有 個．
【答案】 8 5
【解析】十位上的數(shù)為1時，有213，214，312，314，412，413，共6個；
十位上的數(shù)為2時，有324，423，共2個；
所以共有6＋2＝8個；
偶數(shù)為214，312，314，412，324，共5個．
答案：8，5
【變式4-1】（2024·江蘇·高二專題練習）由數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有 個.
【答案】
【解析】能被整除的三位數(shù)說明末尾數(shù)字是或
當末尾數(shù)字是時，百位數(shù)字除了有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；
當末尾數(shù)字是時，百位數(shù)字有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；
則一共有種
故答案為：
【變式4-2】（2024·高二課時練習）已知集合，，從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，從B中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，能組成 個不同的兩位數(shù)，能組成 個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)．
【答案】 20 10
【解析】①從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，有4種不同的取法，從B中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，有5種不同的取法．由乘法原理可知，能組成4×5＝20個不同的兩位數(shù)．
②要組成十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)，可分如下情況：
當個位數(shù)字為9時，十位上的數(shù)字有4種取法，能組成4個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；
當個位數(shù)字為7時，十位上的數(shù)字有3種取法，能組成3個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；
當個位數(shù)字為5時，十位上的數(shù)字有2種取法，能組成2個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；
當個位數(shù)字為3時，十位上的數(shù)字有1種取法，能組成1個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)．
所以組成的十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)有1＋2＋3＋4＝10個．
故答案為：20，10．
【變式4-3】（2024·高二課時練習）由0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字可以組成 個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).
【答案】52
【解析】根據(jù)題意，對該沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)進行分類討論，
第一類：0在個位數(shù)時，先填百位，有5種方法，再填十位，有4種方法，故能組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)；
第二類，0不在個位數(shù)時，先填個位，只有2、4兩種方法，再填百位，0不能在此位，故有4種方法，最后填十位，有4種方法，故能組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)；
綜上，一共可以組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).
故答案為：52.
【變式4-4】（2024·高二課時練習）“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個數(shù)為 ．
【答案】1359
【解析】“漸升數(shù)”由小到大排列，則1在首位，2在百位的“漸升數(shù)”有 (個)；
1在首位，3在百位，4在十位的“漸升數(shù)”有5個；
1在首位，3在百位，5在十位的“漸升數(shù)”有4個，
此時“漸升數(shù)”有 (個)，因此按從小到大的順序排列，
第30個“漸升數(shù)”必為1 359．
故答案為：1359.
【方法技巧與總結】
對于組數(shù)問題，應掌握以下原則
（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵．一般按特殊位置（末位或首位）分類，分類中再按特殊位置（特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解．
（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位．
題型五：占位模型中標準的選擇
【典例5-1】（2024·高二校考單元測試）教學大樓共有4層，每層都有東西兩個樓梯，從一層到4層共有（ ）種走法.
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)分步計數(shù)原理共有3個樓梯，上每一層都有兩種方法，所以共有種方法.
故選：B
【典例5-2】（2024·高二課時練習）某校教學大樓共有層，每層均有個樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有(　　)
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A
【解析】每層均有個樓梯，每層有種不同的走法，
由分步計數(shù)原理可知：從一樓至五樓共有種不同走法．
故選：A.
【變式5-1】（2024·高二課時練習）一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成 個四位數(shù)號碼？．
【答案】
【解析】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：
第1步，有10種撥號方式，
第2步，有10種撥號方式，
第3步，有10種撥號方式，
第4步，有10種撥號方式，
根據(jù)分步計數(shù)原理，共可以組成個四位數(shù)的號碼.
故答案為：.
【變式5-2】（2024·高二課時練習）我們把中間數(shù)位上的數(shù)字最大，而兩邊依次減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以組成無重復數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是 ．
【答案】20
【解析】由三位“凸數(shù)”的特點知，中間的數(shù)字只能是3，4，5，即分三類，
第一類，當中間數(shù)字為“3”時，此時有2個（132，231）；
第二類，當中間數(shù)字為“4”時，個位數(shù)字有三種選擇，百位數(shù)字有兩種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6（個）；
第三類，當中間數(shù)字為“5”時，個位數(shù)字有四種選擇，百位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有4×3＝12（個），
由分類加法計數(shù)原理，得到由1，2，3，4，5可以組成無重復數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是2＋6＋12＝20（個）.
故答案為：20
【變式5-3】（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“客醉花間花醉客”，既可以順讀也可以逆讀．數(shù)學中有回文數(shù)，如343，12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，33，…，99共9個，則三位數(shù)的回文數(shù)中是奇數(shù)的個數(shù)是 ．
【答案】50
【解析】設三位數(shù)的回文數(shù)為ABA，A有1到9，共9種可能，即1B1、2B2、3B3、9B9.
其中奇數(shù)共5種可能，即1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；
B有0到9共10種可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A.
所以符合題意的有5×10=50個.
故答案為：50
【變式5-4】（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有 個．
【答案】21
【解析】由題知后三位數(shù)字之和為5，
當一個位置為5時有005，050，500，共3個;
當兩個位置和為5時有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個;
當三個位置和為5時有113 ， 131 ， 311 ， 122 ， 212，221，共6個;
所以一共有21個.
故答案為: 21.
【方法技巧與總結】
在占位模型中選擇按元素還是按位置進行分解的標準是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次．解題時一般選擇具有“唯一性”的對象進行分解．
題型六：涂色問題
【典例6-1】（2024·山東德州·高二校考階段練習）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有
（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】B
【解析】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個傘面的涂色．
先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，
當區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；
當區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域有種選擇，
故不同的涂色方案有種．
故選：B．
【典例6-2】（2024·江西新余·高二校考階段練習）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．72種
【答案】D
【解析】先涂C區(qū)域有4種涂法，再涂D區(qū)域3種涂法，涂A區(qū)域3種涂法，涂B區(qū)域2種涂法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種涂法.
故選：D.
【變式6-1】（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期末）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
【答案】C
【解析】將區(qū)域標號，如下圖所示：
因為②③④兩兩相鄰，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，
若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；
若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；
所以共有種不同的涂色方法.
故選：C.
【變式6-2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為（ ）
A．192 B．420 C．210 D．72
【答案】B
【解析】按照的順序進行染色，按照A，C是否同色分類：
第一類，A，C同色，由分步計數(shù)原理有種不同的染色方法；
第二類，A，C不同色，由分步計數(shù)原理有種不同的染色方法；
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種不同的染色方法.
故選：B.
【變式6-3】（2024·高二課時練習）如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上1種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色．如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法數(shù)為（ ）

A．240 B．300
C．420 D．480
【答案】C
【解析】以S→A→B→C→D的順序分步染色．
第1步，對S點染色，有5種方法．
第2步，對A點染色，A與S在同一條棱上，有4種方法．
第3步，對B點染色，B與S，A分別在同一條棱上，有3種方法．
第4步，對C點染色，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類．當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法．
由分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420種．
故選：C．
【變式6-4】（2024·上海嘉定·高二上海市育才中學校考階段練習）如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（ ）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對
【答案】B
【解析】分4步進行分析：
①對于區(qū)域A，有5種顏色可選，
②對于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選;
③對于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰,有3種顏色可選;
④,對于區(qū)域D、E,若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇,
則不同的涂色方案有種;
故選：B
【變式6-5】（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期末）如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（ ）

A．120 B．180 C．221 D．300
【答案】B
【解析】當Ⅰ，Ⅳ同色時，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，
Ⅲ有種涂色方法，此時共有種涂色方法；
Ⅰ，Ⅳ不同色時，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅳ有種涂色方法，
Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時共有種涂色方法，
綜上共有種不同的著色方法.
故選：B.
【方法技巧與總結】
解決涂色問題的一般思路
（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析．
（2）以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”等問題，用分類加法計數(shù)原理分析．
（3）將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域的涂色問題．
題型七：種植問題
【典例7-1】（2024·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學校考期末）在如圖所示的四個區(qū)域中，有5種不同的花卉可選，每個區(qū)域只能種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法共有 種（用數(shù)字作答）
【答案】240
【解析】由分步乘法計數(shù)原理得種,
故答案為：240.
【典例7-2】（2024·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）某學校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有 種．（用數(shù)字作答）
【答案】180
【解析】先在1中種植，有5種不同的種植方法，再在2中種植，有4種不同的種植方法，
再在3中種植，有3種不同的種植方法，最后在4中種植，有3種不同的種植方法，
所以不同的種植方案共有（種）．
故答案為：180．
【變式7-1】（2024·海南·高二校考期末）如圖，一個正方形花圃被分成5份．若給這5個部分種植花，要求相鄰B兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，有 種不同的種植方法
【答案】96
【解析】先對A部分種植，有4種不同的種植方法，再對B部分種植，又3種不同的種植方法，
對C部分種植進行分類：
①若與B相同，D有2種不同的種植方法，E有2種不同的種植方法，共有（種），
②若與B不同，C有2種不同的種植方法，D有1種不同的種植方法，E有2種不同的種植方法，共有（種），
綜上所述，共有96種種植方法．
故答案為：96.
【變式7-2】（2024·山東濟南·高二統(tǒng)考期末）某公園設計了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購，要求相鄰區(qū)域種不同種類的花，則不同的種植方案個數(shù)為（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
【答案】C
【解析】先種區(qū)域1有種選擇，區(qū)域2有種選擇，區(qū)域3有種選擇，區(qū)域4有種選擇，區(qū)域5有2種選擇，區(qū)域6有1種選擇，
則共有：種.
故選：C.
【變式7-3】（2024·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）如圖所示為某公園景觀的一隅，是由五處區(qū)域構成，現(xiàn)為了美觀要將五處區(qū)域用鮮花裝飾，要求相鄰區(qū)域種植不同色的鮮花，有種顏色鮮花可供選用，則不同的裝飾方案數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】區(qū)域有種顏色鮮花可供選擇，區(qū)域有種顏色鮮花可供選擇，區(qū)域有種顏色鮮花可供選擇，
區(qū)域、各有種顏色鮮花可供選擇，
由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的裝飾方案數(shù)為種.
故選：B.
【變式7-4】（2024·河北保定·高二統(tǒng)考期末）在如圖所示的5個區(qū)域內種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（ ）
A．1440 B．720 C．1920 D．960
【答案】C
【解析】如圖，設5個區(qū)域分別是A，B，C，D，E.
第一步，選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；
第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；
第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；
第四步；若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；
若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則有3種方法可以選擇；
則區(qū)域E可選擇的花卉有種，
故不同的種植方法種數(shù)是.
故選：C
【方法技巧與總結】
種植問題按種植的順序分步進行，用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當選取情況分類，用分類加法計數(shù)原理計數(shù)．
題型八：列舉法
【典例8-1】（2024·河南·馬店第一高級中學模擬預測）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串數(shù)依次為1，2，3．到了晚上，水果店老板要收攤了，假設每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（ ）
A．144 B．96 C．72 D．60
【答案】D
【解析】將6串香蕉編號為1，2，3，4，5，6．
把“2，3，4，5，6”取完，方法為23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10種，再把1插入其中，每個有6種插法．共有60種方法，
故選：D．
【典例8-2】元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（ ）
A．6種 B．9種 C．11種 D．23種
【答案】B
【解析】解法1：設四人A、B、C、D寫的賀卡分別是a、b、c、d，
當A拿賀卡b，則B可拿a、c、d中的任何一張，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，
所以A拿b時有三種不同的分配方式；
同理，A拿c，d時也各有三種不同的分配方式，
由分類加法計數(shù)原理，四張賀卡共有（種）分配方式；
解法2：讓四人A、B、C、D依次拿一張別人送出的賀卡，
如果A先拿，有3種，此時被A拿走的那張賀卡的人也有3種不同的取法，
接下來，剩下的兩個人都各只有1種取法，
由分步乘法計數(shù)原理，四張賀卡不同的分配方式有（種）．
故選：B.
【變式8-1】（2024·全國·高三專題練習）已知正整數(shù)有序數(shù)對滿足：
①；
②．
則滿足條件的正整數(shù)有序數(shù)對共有（ ）組．
A．24 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【解析】由題意知，為正整數(shù)，
故由可得，
因為 ，故，則滿足的數(shù)為3和2，
則有序數(shù)對可能為 ，
再由可得 ，
則的可能有共6種情況，
故滿足條件的正整數(shù)有序數(shù)對共有組，
故選：B
【變式8-2】（2024·全國·高三專題練習）將編號的小球放入編號為 盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號不能相同，則不同的放球方法有__種．
【答案】12.
【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，
當四個小球分組為如下情況時，放球方法有：
當1與2號球放在同一盒子中時，只能放入3號盒，號球放入號盒，有2種不同的放法；
同理當1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
因此，不同的放球方法有12種．
故答案為：12．
【方法技巧與總結】
將所有情況一一列舉出來．
一、單選題
1．（2024·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知集合，從集合M中選一個元素作為點的橫坐標，從集合N中選一個元素作為點的縱坐標，則落在第三、第四象限內點的個數(shù)是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】依題意，可得點的坐標有：
其中落在第三、第四象限內點有
共6個.
故選：A
2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某游泳錦標賽上有四名運動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（ ）
A． B． C．12 D．9
【答案】A
【解析】甲、乙、丙、丁每人均有3種選擇，可以采用分步計數(shù)原理，得四人參賽方案的種類為．
故選：A.
3．（2024·山東德州·高二校考階段練習）為提高學生的身體素質，某校開設了游泳、武術和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學每人從中任選門課程參加，則不同的選法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【解析】甲、乙、丙、丁4位同學每人都有種不同的選法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選法共有種．
故選：C．
4．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期末）甲、乙、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，
每個人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為種.
故選：B.
5．（2024·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（ ）
A．9種 B．10種 C．11種 D．12種
【答案】A
【解析】用表示編號的面試者回答的試題為，其中，
所以的全部可能情況有：，
所以共有9種，
故選：A
6．（2024·山東臨沂·高二校考階段練習）集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數(shù)是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】第二象限的橫坐標是負數(shù)，縱坐標是正數(shù)．
若集合提供橫坐標，集合提供縱坐標，則有，
若集合提供縱坐標，集合提供橫坐標，則有，合計，
即這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數(shù)是6個，
故選：D.
7．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）若3名學生報名參加天文 計算機 文學 美術這4個興趣小組，每人選1組，則不同的報名方式有（ ）
A．12種 B．24種 C．64種 D．81種
【答案】C
【解析】由題意可得每個人都有4種選法，則由分步乘法原理可得不同的報名方式有
種，
故選：C
8．（2024·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）10000的除去1和自己外的正因數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．25 B．24 C．23 D．16
【答案】C
【解析】由題意，
所求數(shù)的不同正因數(shù)的個數(shù)可以看做從兩盒子中取數(shù)，
其中盒子中有4個2，盒子中裝有4個5，從兩盒中各取一個數(shù)相乘可以得到一個因數(shù)（如不取可看作取1），
所以從兩盒中取數(shù)均有5種取法，但要舍去都不取或全取出所有的4個2和4個5這2種情況（即因數(shù)為1和10000本身的情況），
綜上所述，10000的除去1和自己外的正因數(shù)的個數(shù)是.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·遼寧沈陽·高二校考階段練習）下列結論正確的是（　　）
A．在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同
B．在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事
C．在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成
D．在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法可以相同
【答案】BC
【解析】對于A，在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法互不相同，故A錯誤；
對于B，在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事，故B正確；
對于C，在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成，故C正確；
對于D，在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的，故D錯誤．
故選：BC．
10．（2024·高二課時練習）(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可取（ ）
A．－8 B．－12
C．11 D．24
【答案】ABD
【解析】分兩步：第一步在集合中{2，3}中任取一個值，有2種不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一個值，有2種不同的取法，故x·y可表示2×2＝4個不同的值．即2×(－4)＝－8，2×8＝16，3×(－4)＝－12，3×8＝24，
故選：ABD.
11．（2024·吉林長春·高二校考階段練習）高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（ ）
A．所有可能的方法有種
B．如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
C．如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種
D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種
【答案】BC
【解析】對于選項A，安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，
每位同學只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區(qū)進行活動，
故有種選擇方案，錯誤；
對于選項B，如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種），正確；
對于選項C：如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種），正確；
對于選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，
再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種），
錯誤.
故選：BC
三、填空題
12．（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）有且僅有語文、數(shù)學、英語、物理4科老師布置了作業(yè)，同一時刻3名學生都在做作業(yè)，則這3名學生做作業(yè)的可能情況有 種．
【答案】64
【解析】因為4科老師布置了作業(yè)，在同一時刻每個學生做作業(yè)的情況有4種可能，
所以3名學生都做作業(yè)的可能情況種．
故答案為:64.
13．（2024·全國·高二假期作業(yè)）用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個面涂色，每個面只涂一種顏色。如果 一種涂色方案可以通過重新擺放正方體，變?yōu)榱硪环N涂色方案，則這兩種方案認為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個面涂白色; b.上面涂黑色，另外五個面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有 種。
【答案】8
【解析】兩種顏色類型的，有種；
類型的，有種（兩個面相鄰、相對）
類型的，有2種（三個面有公共頂點或者沒有公共頂點）
因此共有8種.
故答案為：8.
14．（2024·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236），那么三位漸升數(shù)有 個，其中比516大的三位漸升數(shù)有 個．
【答案】 84 10
【解析】完成這件事需選出3個數(shù)，要滿足“漸升數(shù)”需分類來解.
當百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為2時，個位上的數(shù)字有7種選法；
當百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為3時，個位上的數(shù)字有6種選法；…；
當百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法.
由加法原理得百位上的數(shù)字為1的三位“漸升數(shù)”有（個）.
同理，百位上的數(shù)字為2的三位“漸升數(shù)”有（個），
百位上的數(shù)字為3的三位“漸升數(shù)”有（個），
百位上的數(shù)字為4的“漸升數(shù)”有（個），
百位上的數(shù)字為5的三位“漸升數(shù)”有（個），
百位上的數(shù)字為6的三位“漸升數(shù)”有（個），
百位上的數(shù)字為7的三位“漸升數(shù)”有1個.
根據(jù)加法原理得共有（個）“漸升數(shù)”.
百位上的數(shù)字為5，6，7的三位“漸升數(shù)”均比516大，
故比516大的三位“漸升數(shù)”有（個）.
故答案為：84；10
四、解答題
15．（2024·山東菏澤·高二校考階段練習）口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現(xiàn)從中取出2個球．
(1)至少有一個白球的取法有多少種？
(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？
【解析】（1）根據(jù)題意分2類完成任務：
第一類：白球紅球各一個有種，第二類：均為白球，種，
所以共有種；
（2）根據(jù)題意分2類完成任務：
第一類：均為白球，種，第二類：均為紅球，種，
所以共有種．
16．（2024·全國·高二隨堂練習）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？
【解析】先安排區(qū)域，然后安排區(qū)域，再安排區(qū)域，
按區(qū)域的顏色和區(qū)域的顏色相同或不相同分類，
所以不同的著色方法有：種.
17．（2024·高二課時練習）4名學生分別報名參加學校的足球隊、籃球隊和棒球隊，每人限報其中的一支．問：有多少種不同的報名方法？
【解析】因為4名學生分別報名參加學校的足球隊、籃球隊和棒球隊，每人限報其中的一支，
可得每名同學都有3種選法，由分步計數(shù)原理得，共有種不同的報名方法.
18．（2024·全國·高二課堂例題）在某設計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子（如圖所示），要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？
【解析】用表示紅色，用表示藍色，
用表示第一個和第三個格子涂紅色，第二個和第四個格子涂藍色．
因為紅色和藍色都要用兩次，為了簡化問題，考慮涂紅色的格子是否相鄰，
則填涂結果可以分為兩類：涂紅色的格子相鄰，涂紅色的格子不相鄰．
涂紅色的格子相鄰的方法有：、、，共種；
涂紅色的格子不相鄰的方法有：、、，共種．
依據(jù)分類加法計數(shù)原理，李明共有不同的涂法種．
19．（2024·高二課時練習）為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃、藍共三種顏色，在安裝時要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？
【解析】由題意知，每種顏色的路燈至少要有2盞，這說明有三種顏色的路燈的分配情況只能是2，2，3的形式．
不妨設紅的3個，七個位置分別用1，2，3，4，5，6，7表示，
那么紅的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10種，
其中135，136，146，247，257，357會留下4個空，兩個不相鄰，兩個相鄰，連續(xù)的不能放一樣的顏色，
那么就必須一藍一黃，剩下兩個一黃一藍放到剩下兩個不相鄰的空里，各4種.
147留4個空，兩個兩個相鄰，共4種放法.
137，157，四個空中3個相鄰，一個分開，各2種放法.
246，四個空都分開，有6種放法．
所以共有種，
當黃或藍有3個時，總數(shù)一樣，故一共有種不同的放法．7.1 兩個基本計數(shù)原理
課程標準 學習目標
（1）能在實際計數(shù)問題中，用自己的語言解釋分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)． （2）能通過具體實例，說明分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理之間的聯(lián)系與區(qū)別，發(fā)展數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)． （3）能根據(jù)實際問題的特征，通過對“完成一件什么事”的分析，正確選擇原理解決簡單的實際問題，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)． （1）了解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理. （2）會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題．
知識點01 分類計數(shù)原理
1、分類加法計數(shù)原理：
完成一件事，有類辦法．在第1類辦法中有種不同方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．
2、加法原理的特點是：
①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；
②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；
③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
知識點詮釋：
使用分類加法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標準進行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和．
【即學即練1】（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）某同學逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（　　）
A．4種 B．6種 C．7種 D．9種
知識點02 分步計數(shù)原理
1、分步乘法計數(shù)原理
“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成．
2、乘法原理的特點：
①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；
②完成每一步有若干種方法；
③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
知識點詮釋：
使用分步乘法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．
【即學即練2】（2024·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）學校組織研學活動，現(xiàn)有壽寧下黨鄉(xiāng)、福安柏柱洋、屏南潦頭村、福鼎赤溪村4條路線供3個年級段選擇，每個年段必項且只能選擇一條路線，則不同的選擇方法有（ ）
A．4種 B．24種 C．64種 D．81種
知識點03 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：
1、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：
兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關，一個和分步有關．
完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事，則用加法原理；
若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當且僅當這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計算．
2、利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：
（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？
（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型
①分類或分步．
②先分類，再在每一類里再分步．
③先分步，再在每一步里再分類，等等．
（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？
【即學即練3】（2024·河北·高二河北省文安縣第一中學校考期末）如圖，要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為（ ）
A．5 B．7 C．8 D．12
題型一：分類加法計數(shù)原理
【典例1-1】（2024·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，現(xiàn)從中任選1名同學參加學科競賽，則不同的選派方法數(shù)為.（ ）
A．4 B．5 C．9 D．20
【典例1-2】（2024·廣東梅州·高二校考階段練習）從名女同學和名男同學中任選人主持本班的某次專題班會，則不同的選法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）從1至7這7個整數(shù)中隨機取出3個不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（ ）
A．9種 B．12種 C．20種 D．30種
【變式1-2】（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（ ）
A．32種 B．128種 C．64種 D．256種
【方法技巧與總結】
應用分類加法計數(shù)原理應注意如下問題
（1）明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事．
（2）無論哪類方案中的哪種方法都可以獨立完成這件事，而不需要再用到其他的方法，即各類方法之間是互斥的，并列的，獨立的．
題型二：分步乘法計數(shù)原理
【典例2-1】（2024·廣東深圳·高二校考期末）某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是（ ）
A．24種 B．4種 C．種 D．種
【典例2-2】（2024·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）閱讀課上，5名同學分別從3種不同的書中選擇一種進行閱讀，不同的選法種數(shù)是（ ）
A．50 B．60 C．125 D．243
【變式2-1】（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學校考期末）甲 乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲 乙所選的課程不相同的選法共有（ ）
A．6種 B．12種 C．3種 D．9種
【變式2-2】（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習）學校籌辦元旦晚會需要從5名男生和3名女生中各選1人作為志愿者，則不同選法的種數(shù)是（ ）
A．8 B．28 C．20 D．15
【方法技巧與總結】
利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路
（1）分步：將完成這件事的過程分成若干步．
（2）計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)．
（3）結論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結果．
題型三：兩個原理的綜合應用
【典例3-1】（2024·高二課時練習）已知集合.現(xiàn)在從這三個集合中取出兩個集合,再從這兩個集合中各取出一個元素,組成一個含有兩個元素的集合,則一共可以組成集合的個數(shù)為(　　)
A．24 B．36 C．26 D．27
【典例3-2】（2024·江西南昌·高二階段練習）已知集合，，若從這兩個集合中各取一個元素作為點的橫坐標或縱坐標，則可得平面直角坐標系中第一、二象限內不同點的個數(shù)是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
【變式3-1】（2024·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【方法技巧與總結】
使用兩個原理的原則
使用兩個原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對于較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時可用分步乘法計數(shù)原理．
題型四：組數(shù)問題
【典例4-1】（2024·甘肅·高二統(tǒng)考期末）“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環(huán)往復的修辭手法，而數(shù)學上也有類似這樣特征的一類“回文數(shù)”，如232，251152等，那么在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有 個.
【典例4-2】（2024·河北石家莊·高二校考階段練習）在一個三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構成無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)”有 個，其中偶數(shù)有 個．
【變式4-1】（2024·江蘇·高二專題練習）由數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有 個.
【變式4-2】（2024·高二課時練習）已知集合，，從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，從B中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，能組成 個不同的兩位數(shù)，能組成 個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)．
【變式4-3】（2024·高二課時練習）由0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字可以組成 個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).
【變式4-4】（2024·高二課時練習）“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個數(shù)為 ．
【方法技巧與總結】
對于組數(shù)問題，應掌握以下原則
（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵．一般按特殊位置（末位或首位）分類，分類中再按特殊位置（特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解．
（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位．
題型五：占位模型中標準的選擇
【典例5-1】（2024·高二校考單元測試）教學大樓共有4層，每層都有東西兩個樓梯，從一層到4層共有（ ）種走法.
A．6 B． C． D．
【典例5-2】（2024·高二課時練習）某校教學大樓共有層，每層均有個樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有(　　)
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式5-1】（2024·高二課時練習）一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成 個四位數(shù)號碼？．
【變式5-2】（2024·高二課時練習）我們把中間數(shù)位上的數(shù)字最大，而兩邊依次減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以組成無重復數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是 ．
【變式5-3】（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“客醉花間花醉客”，既可以順讀也可以逆讀．數(shù)學中有回文數(shù)，如343，12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，33，…，99共9個，則三位數(shù)的回文數(shù)中是奇數(shù)的個數(shù)是 ．
【變式5-4】（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有 個．
【方法技巧與總結】
在占位模型中選擇按元素還是按位置進行分解的標準是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次．解題時一般選擇具有“唯一性”的對象進行分解．
題型六：涂色問題
【典例6-1】（2024·山東德州·高二校考階段練習）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有
（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
【典例6-2】（2024·江西新余·高二校考階段練習）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．72種
【變式6-1】（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期末）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
【變式6-2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為（ ）
A．192 B．420 C．210 D．72
【變式6-3】（2024·高二課時練習）如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上1種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色．如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法數(shù)為（ ）

A．240 B．300
C．420 D．480
【變式6-4】（2024·上海嘉定·高二上海市育才中學校考階段練習）如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（ ）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對
【變式6-5】（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期末）如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（ ）

A．120 B．180 C．221 D．300
【方法技巧與總結】
解決涂色問題的一般思路
（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析．
（2）以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”等問題，用分類加法計數(shù)原理分析．
（3）將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域的涂色問題．
題型七：種植問題
【典例7-1】（2024·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學校考期末）在如圖所示的四個區(qū)域中，有5種不同的花卉可選，每個區(qū)域只能種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法共有 種（用數(shù)字作答）
【典例7-2】（2024·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）某學校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有 種．（用數(shù)字作答）
【變式7-1】（2024·海南·高二校考期末）如圖，一個正方形花圃被分成5份．若給這5個部分種植花，要求相鄰B兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，有 種不同的種植方法
【變式7-2】（2024·山東濟南·高二統(tǒng)考期末）某公園設計了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購，要求相鄰區(qū)域種不同種類的花，則不同的種植方案個數(shù)為（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
【變式7-3】（2024·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）如圖所示為某公園景觀的一隅，是由五處區(qū)域構成，現(xiàn)為了美觀要將五處區(qū)域用鮮花裝飾，要求相鄰區(qū)域種植不同色的鮮花，有種顏色鮮花可供選用，則不同的裝飾方案數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-4】（2024·河北保定·高二統(tǒng)考期末）在如圖所示的5個區(qū)域內種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（ ）
A．1440 B．720 C．1920 D．960
【方法技巧與總結】
種植問題按種植的順序分步進行，用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當選取情況分類，用分類加法計數(shù)原理計數(shù)．
題型八：列舉法
【典例8-1】（2024·河南·馬店第一高級中學模擬預測）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串數(shù)依次為1，2，3．到了晚上，水果店老板要收攤了，假設每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（ ）
A．144 B．96 C．72 D．60
【典例8-2】元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（ ）
A．6種 B．9種 C．11種 D．23種
【變式8-1】（2024·全國·高三專題練習）已知正整數(shù)有序數(shù)對滿足：
①；
②．
則滿足條件的正整數(shù)有序數(shù)對共有（ ）組．
A．24 B．12 C．9 D．6
【變式8-2】（2024·全國·高三專題練習）將編號的小球放入編號為 盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號不能相同，則不同的放球方法有__種．
【方法技巧與總結】
將所有情況一一列舉出來．
一、單選題
1．（2024·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知集合，從集合M中選一個元素作為點的橫坐標，從集合N中選一個元素作為點的縱坐標，則落在第三、第四象限內點的個數(shù)是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某游泳錦標賽上有四名運動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（ ）
A． B． C．12 D．9
3．（2024·山東德州·高二校考階段練習）為提高學生的身體素質，某校開設了游泳、武術和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學每人從中任選門課程參加，則不同的選法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
4．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期末）甲、乙、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（ ）
A．9種 B．10種 C．11種 D．12種
6．（2024·山東臨沂·高二校考階段練習）集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數(shù)是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）若3名學生報名參加天文 計算機 文學 美術這4個興趣小組，每人選1組，則不同的報名方式有（ ）
A．12種 B．24種 C．64種 D．81種
8．（2024·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）10000的除去1和自己外的正因數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．25 B．24 C．23 D．16
二、多選題
9．（2024·遼寧沈陽·高二校考階段練習）下列結論正確的是（　　）
A．在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同
B．在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事
C．在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成
D．在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法可以相同
10．（2024·高二課時練習）(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可取（ ）
A．－8 B．－12
C．11 D．24
11．（2024·吉林長春·高二校考階段練習）高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（ ）
A．所有可能的方法有種
B．如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
C．如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種
D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種
三、填空題
12．（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）有且僅有語文、數(shù)學、英語、物理4科老師布置了作業(yè)，同一時刻3名學生都在做作業(yè)，則這3名學生做作業(yè)的可能情況有 種．
13．（2024·全國·高二假期作業(yè)）用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個面涂色，每個面只涂一種顏色。如果 一種涂色方案可以通過重新擺放正方體，變?yōu)榱硪环N涂色方案，則這兩種方案認為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個面涂白色; b.上面涂黑色，另外五個面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有 種。
14．（2024·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236），那么三位漸升數(shù)有 個，其中比516大的三位漸升數(shù)有 個．
四、解答題
15．（2024·山東菏澤·高二校考階段練習）口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現(xiàn)從中取出2個球．
(1)至少有一個白球的取法有多少種？
(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？
16．（2024·全國·高二隨堂練習）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？
17．（2024·高二課時練習）4名學生分別報名參加學校的足球隊、籃球隊和棒球隊，每人限報其中的一支．問：有多少種不同的報名方法？
18．（2024·全國·高二課堂例題）在某設計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子（如圖所示），要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？
19．（2024·高二課時練習）為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃、藍共三種顏色，在安裝時要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？

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