資源簡介

7．2 排列
課程標準 學習目標
（1）能通過實例，用自己的語言解釋排列的定義；能用定義判斷是不是排列問題，發展數學抽象素養． （2）能從排列的定義出發推導排列數公式，并能用排列數公式解決有關計數問題． （3）能綜合應用排列的概念和公式解決簡單的實際問題． （1）理解并掌握排列的概念. （2）能應用排列知識解決簡單的實際問題． （3）能用排列數公式進行化簡與證明．
知識點01 排列的概念
1、排列的定義：
一般地，從n個不同的元素中取出m（）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
知識點詮釋：
（1）排列的定義中包括兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．
（2）從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列．
（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．
【即學即練1】（2024·高二課時練習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？
B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？
C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？
D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？
【答案】B
【解析】選項A：從10名同學中選取2名去參加知識競賽，選出的2人并未排序，
因而不是排列問題，不合題意；
選項B：10個人互相通信一次，選出2人要分出寄信人和收信人，
是排列問題，適合題意；
選項C：平面上有5個點，任意三點不共線，從中任選2個點
即可確定1條直線，這2個點不分順序. 因而不是排列問題，不合題意；
選項D：從1，2，3，4四個數字中，任選兩個數字相加即得1個結果，
這2個數字不分順序，因而不是排列問題，不合題意.
故選：B．
知識點02 排列數
1、排列數的定義
從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示．
知識點詮釋：
“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指“從個不同的元素中，任取個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；
2、排列數公式
，其中，且．
知識點詮釋：
公式特征：第一個因數是，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是，共有個因數．
【即學即練2】（2024·福建·高二校聯考期末）可表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
故選：B.
知識點03 階乘表示式
1、階乘的概念：
把正整數1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即!．
規定：．
2、排列數公式的階乘式：
所以．
【即學即練3】（2024·高二課時練習）不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】原不等式可化為，其中，，
整理得，即，所以或．
因為，，所以，，所以原不等式的解集為．
故答案為：.
知識點04 排列的常見類型與處理方法
1、相鄰元素捆綁法
2、相離問題插空法
3、元素分析法
4、位置分析法
【即學即練4】（2024·全國·高二隨堂練習）2023年夏天貴州榕江的村超聯賽火爆全國，吸引了國內眾多業余球隊參賽．現有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（ ）種．
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】A
【解析】先將不相鄰的兩隊排除，將貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊看成一個整體，與余下兩隊先排，有種方法，再將不相鄰的兩隊插入他們的空隙中，有種方法，最后落實貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊的具體排法有種方法，故不同的站法有種.
故選：A.
題型一：排列的概念
【典例1-1】（2024·高二課時練習）從集合中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程？
上面四個問題屬于排列問題的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】∵加法滿足交換律，∴①不是排列問題；
∵除法不滿足交換律，∴②是排列問題；
若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則必有，故③不是排列問題；
在雙曲線中不管還是，方程均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故④是排列問題．
故選：B．
【典例1-2】（2024·高二課時練習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？
C．集合的含有三個元素的子集有多少個？
D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節目，有多少種選法？
【答案】D
【解析】A中握手次數的計算與次序無關，不是排列問題；
B中線段的條數計算與點的次序無關，不是排列問題；
C中子集的個數與該集合中元素的次序無關，不是排列問題；
D中，選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．
故選：D
【變式1-1】（2024·高二課時練習）已知下列問題:
①從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學和物理學習小組;
②從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加一項活動;
③從a，b，c，d四個字母中取出2個字母;
④從1，2，3，4四個數字中取出2個數字組成一個兩位數.
其中是排列問題的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】①中，因為兩名同學參加的學習小組與順序有關，所以是排列問題；
②中，因為兩名同學參加的活動與順序無關，不是排列問題；
③中，因為取出的兩個字母與順序無關，不是排列問題；
④中，因為取出的兩個數字還需要按順序排列，是排列問題.
故選：B.
【變式1-2】（多選題）（2024·江西新余·高二校考階段練習）下列選項中，屬于排列問題的是（ ）
A．從六名學生中選三名學生參加數學、物理、化學競賽，共有多少種選法
B．有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案
C．從，，，中任選兩個數做指數運算，可以得到多少個冪
D．從，，，中任取兩個數作為點的坐標，可以得到多少個不同的點
【答案】ACD
【解析】對于A項：從六名學生中選三名學生參加數學、物理、化學競賽，共有多少種選法屬于排列問題，故A項正確；
對于B項：有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，可分為四組，三人一組無先后順序，不屬于排列問題，故B項錯誤；
對于C項：從，，，中任取兩個數進行指數運算，可以得到多少個冪屬于排列問題，故C項正確；
對于D項：從，，，中任取兩個數作為點的坐標，可以得到多少個點屬于排列問題，故D項正確.
故選：ACD.
【變式1-3】（2024·全國·高二專題練習）判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個小組去種菜；
(4)選10人組成一個學習小組；
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；
(6)某班40名學生在假期相互打電話．
【解析】(1)票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．
(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(3)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(5)每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．
所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．
【方法技巧與總結】
判斷一個具體問題是否為排列問題的思路
題型二：畫樹形圖寫排列
【典例2-1】（2024·高二課時練習）寫出從a、b、c、d四個元素中任取兩個不同元素的所有排列．
【解析】先畫出下面的樹形圖：
于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．
【典例2-2】（2024·江蘇·高二專題練習）寫出下列問題的所有排列：
(1)從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成兩位數，共有多少個不同的兩位數？
(2)由1，2，3，4四個數字能組成多少個沒有重復數字的四位數？試全部列出.
【解析】（1）所有兩位數是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個不同的兩位數.
（2）畫出樹狀圖，如圖：
由樹狀圖知，所有的四位數為：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，
3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個沒有重復數字的四位數.
【變式2-1】（2024·高二課時練習）（1）從四個數字中任取兩個數字組成兩位不同的數，一共可以組成多少個？
（2）寫出從4個元素中任取3個元素的所有排列．
【解析】（1）由題意作“樹形圖”，如下．
故組成的所有兩位數為，共有12個．
（2）由題意作“樹形圖”，如下．
故所有的排列為：，.
【變式2-2】（2024·全國·高二課堂例題）求從A，B，C這3個對象中取出3個對象的所有排列的個數，并寫出所有的排列.
【解析】所求排列數為.
所有的排列可用圖所示.
由圖可知，所有排列為，，，，，.
【變式2-3】（2024·高二課時練習）從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來．
【解析】從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，相當于從4個不同的元素中任意取出3個元素，按“甲、乙、丙”的順序進行排列，每一個排列就對應著一種分法，所以共有（種）不同的分法．不妨給“語文、數學、英語、物理”編號，依次1，2，3，4，畫出樹形圖如圖．
由樹形圖可知，按甲、乙、丙的順序分的分法為：
語數英 語數物 語英數 語英物 語物數 語物英
數語英 數語物 數英語 數英物 數物語 數物英
英語數 英語物 英數語 英數物 英物語 英物數
物語數 物語英 物數語 物數英 物英語 物英數
【方法技巧與總結】
樹形圖的畫法
（1）確定首位，以哪個元素在首位為分類標準進行確定首位．
（2）確定第二位，在每一個分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類．
（3）重復以上步驟，直到寫完一個排列為止．
題型三：簡單的排列問題
【典例3-1】（2024·高二課時練習）寫出從a、b、c、d、e這五個不同元素中任意取出兩個元素的所有排列．
【解析】任意取出兩個元素的所有排列為：
.
【典例3-2】（2024·高二課時練習）將A、B、C、D四名同學按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．試寫出他們四人所有不同的排法．
【解析】由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一個，可分為三類：
當排在第一時：BADC，BCDA，BDAC；
當排在第一時：CADB，CDAB，CDBA，
當排在第一時：DABC，DCAB，DCBA，
所以不同的排法為：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA．
【變式3-1】（2024·高二課時練習）（1）從1，2，3，4這4個數字中，每次取出3不同的數字排成一個三位數，寫出得到的所有三位數，并求出排列數；
（2）試寫出由1，2，3，4四個數字組成的沒有重復數字的四位數，并求出排列數.
【解析】（1）所有的三位數為123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24個三位數.
故排列數是.
（2）所有的四位數為1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，
2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，
4312，4321，共24個四位數.
故排列數是.
【變式3-2】（2024·高二課時練習）從、、、這個數字中選出個不同的數字組成個三位數，試寫出所有滿足條件的三位數．
【解析】所有滿足條件的三位數分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個.
【變式3-3】（2024·高二課時練習）請列出下列排列：
(1)從4個不同元素中任取3個元素的所有排列；
(2)從7個不同元素中任取2個元素的所有排列．
【解析】（1）根據題意，從4個不同元素中任取3個元素的所有排列共有如下種：
.
（2）從7個不同元素中任取2個元素的所有排列共有如下種：
.
【變式3-4】（2024·高二課時練習）用紅、黃、藍3面小旗（3面小旗都要用）豎掛在繩上表示信號，不同的順序表示不同的信號，試寫出所有的信號．
【解析】根據題意，所有的信號為：
紅黃藍，紅藍黃，黃紅藍，黃藍紅，藍紅黃，藍黃紅．
【變式3-5】（2024·全國·高二專題練習）解不等式：；
【解析】因為，，，
所以不等式可化為，
解得，又，，
所以不等式的解集為．
【方法技巧與總結】
對于簡單的排列問題，其解題思路可借助分步乘法計數原理進行，即采用元素分析法或位置分析法求解．
題型四：排列數公式的應用
【典例4-1】（2024·高二課時練習） ．
【答案】40
【解析】由題意得，，，
故，
故答案為：40
【典例4-2】（2024·甘肅蘭州·統考一模），則等于 ．
【答案】10
【解析】因為，解得或，
且，所以.
故答案為：10.
【變式4-1】（2024·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知，則 .
【答案】
【解析】因為，所以，且，
解得或（舍去）.
故答案為：
【變式4-2】（2024·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期中）已知，則 ．
【答案】3
【解析】因為，
所以，且，，，
所以，
解得或（舍去），
所以.
故答案為：3.
【變式4-3】（2024·高二課時練習）（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么 ；
（3）已知，那么 ．
【答案】
【解析】（1）由，
則，
即，解得.
（2）由，
則，解得.
（3）由，
則且，
解得或（舍）.
故答案為： ； ；
【變式4-4】（2024·高二課前預習），則 .
【答案】
【解析】根據排列數的計算公式，可得，即，
解得或（舍去）.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
排列數公式的選擇
（1）排列數公式的乘積形式適用于計算排列數．
（2）排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．
題型五：階乘的概念及性質
【典例5-1】（2024·江蘇·高二專題練習）求不等式的解集．
【解析】由題設，則，
所以，
又且，則且，
所以且，則解集為.
【典例5-2】（2024·江蘇·高二專題練習）解不等式：
【解析】由原不等式得且，
所以，即，解得且，
所以.
【變式5-1】（2024·高二課時練習）解關于正整數n的方程：．
【解析】由排列數的定義，有由此解得．
此外，原方程可化為，
再化簡，可得，
即，即．舍去非整數的根，
故．
【變式5-2】（2024·江蘇·高二專題練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)若，求x.
【解析】（1）；
（2）；
（3）由題設，則，
所以，則，
又，故.
【變式5-3】（2024·高二課時練習）解下列方程或不等式．
(1)
(2)
【解析】（1）由于，
所以，
整理得，
解得或（舍去）.
（2）由于，
所以，
整理得，
由于，所以，
所以不等式的解集為.
【方法技巧與總結】
排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．
題型六：與排列數公式有關的證明問題
【典例6-1】（2024·全國·高二課堂例題）求證：．
【解析】．
【典例6-2】（2024·江蘇·高二專題練習）求證：
【解析】，
，
，
綜上，.
【變式6-1】（2024·高二課時練習）證明，并利用這一結果化簡：
(1)；
(2)．
【解析】（1）證明：由可得，
則.
所以
（2）因為，
所以.
【變式6-2】（2024·高二課時練習）求證：．
【解析】左邊，
右邊，
所以，即證.
【變式6-3】（2024·高二課時練習）證明，并用它來化簡．
【解析】證明，即證.
【變式6-4】（2024·高二課時練習）求證：
(1)；
(2)．
【解析】（1）證明：.
（2）證明：.
【方法技巧與總結】
對含有字母的排列數的式子進行變形式有關的論證時，一般用階乘式．
題型七：相鄰問題
【典例7-1】（2024·全國·高二假期作業）第19屆亞運會于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行，本屆亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”，分別代表世界遺產良渚古城遺址、西湖和京杭大運河．某同學買了6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，現將這6個吉祥物排成一排，且名稱相同的兩個吉祥物相鄰，則排法種數共為（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】A
【解析】由題意，因名稱相同的兩個吉祥物相鄰，分別看成一個元素共有種排法，
相鄰元素內部再排共有種排法，
故共有種排法，
故選：A．
【典例7-2】（2024·河南駐馬店·高二校聯考期末），，，，五人站成一排，如果，必須相鄰，那么排法種數共有（ ）
A．24 B．120 C．48 D．60
【答案】C
【解析】將，看成一體，，的排列方法有種方法，然后將和當成一個整體與其他三個人一共個元素進行全排列，即不同的排列方式有，根據分步計數原理可知排法種數為，
故選：.
【變式7-1】（2024·全國·高二隨堂練習）停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有（　　）
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【解析】將個空車位視為一個元素，與輛車共個元素進行全排列，共有種．
故選：D
【變式7-2】（2024·遼寧·高二校聯考階段練習）市內某公共汽車站有6個候車位（成一排），現有3名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續空座位的候車方式的種數是（ ）
A．48 B．54 C．72 D．84
【答案】C
【解析】根據題意，現將3個乘客全排列，將有4個空隙，再將兩個空座位捆綁在一起和另一個空座位，放入4個空隙中的兩個，共有種.
故選：C.
【變式7-3】（2024·全國·高二專題練習）2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分戰勝韓國隊，實現蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（ ）
A．18種 B．24種 C．30種 D．36種
【答案】C
【解析】當丙站在左端時，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；
當丙不站在左端時，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，
有種站法，
所以一共有種不同的站法．
故選：C
【方法技巧與總結】
相鄰問題捆綁法
題型八：不相鄰問題
【典例8-1】（2024·福建漳州·高二統考期末）某班聯歡會原定3個節目已排成節目單，開演前又增加了2個節目，現將這2個新節目插人節目單中，要求新節目不相鄰，那么不同的插法種數為（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
【答案】B
【解析】這2個新節目插入節目單中且不相鄰，則在原定3個節目已排成節目單產生的4個空位中，
選2個位置安排2個新節目，且兩個新節目順序可變，此時有種插法.
故選：B
【典例8-2】（2024·遼寧撫順·高二校聯考期末）某5位同學排成一排準備照相時，又來了甲 乙 丙3位同學要加入，若保持原來5位同學的相對順序不變，且甲 乙2位同學互不相鄰，丙同學不站在兩端，則不同的加入方法共有（ ）
A．360種 B．144種 C．180種 D．192種
【答案】D
【解析】分兩種情況：
當丙不在甲 乙中間時，先加入甲，有種方法，再加入乙，有種方法，最后加入丙，有種方法，此時不同的加入方法共有種；
當丙在甲 乙中間時，共有種方法.
故不同的加入方法共有種.
故選：D
【變式8-1】（2024·全國·高二假期作業）亞運會火炬傳遞，假設某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（ ）
A．288種 B．360種 C．480種 D．504種
【答案】C
【解析】先安排甲乙以外的個人，然后插空安排甲乙兩人，
所以不同的傳遞方案共有種.
故選：C
【變式8-2】（2024·全國·高二假期作業）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．96種
【答案】B
【解析】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，
再與丙和丁外的1人排列有種，
再排丙和丁有種，
故共有種排法.
故選：B.
【變式8-3】（2024·全國·高二假期作業）寒冬己至，大雪紛飛，峨眉山頂銀裝素裹.成實外教育集團的5位學生相約一起爬山觀景.其中位女生，位男生，在到達零公里時，為了安全起見，他們排隊前進，為了照顧大家安全，位男生不能相鄰，且女生甲怕猴子，不能排在最后一個，則不同的排法種數共有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】種類一：一位男生在最后，此時有種情況，
位女生全排列有種情況，
最后將剩余一位男生插入女生所形成的個空中，且不在女生最后，共種情況，
所以共種情況；
種類二：
男生不相鄰，可先排女生，又女生甲不在最后，
所以女生甲有種排法，
其他為女生有種排法，
最后男生插入女生所形成的個空中，且不在女生最后，共種情況，
共種情況；
綜上所述，共種情況，
故選：A.
【變式8-4】（2024·山東德州·高二校考期末）6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任意兩人不相鄰的坐法種數為（ ）
A．14 B．120 C．72 D．24
【答案】D
【解析】根據題意，先排3個空位，形成4個空隙，從4個空隙中選出3個空隙，讓3人就坐，
共有種不同的坐法.
故選：D.
【方法技巧與總結】
不相鄰問題插空法
題型九：定序問題
【典例9-1】（2024·上海市金山中學高二期末）某次演出有6個節目，若甲、乙、丙3個節目的先后順序已確定，則不同的排法有____種．
【答案】
【解析】演出中的6個節目全排列有,
甲、乙、丙3個節目全排列有,
所以演出中的6個節目，若甲、乙、丙3個節目的先后順序已確定，則不同的排法有，
故答案為：.
【典例9-2】（2024·天津市濱海新區塘沽第一中學高二期末）在8所高水平的高校代表隊中，選擇5所高校進行航模表演.如果、為必選的高校，并且在航模表演過程中必須按先后的次序（、兩高校的次序可以不相鄰），則可選擇的不同航模表演順序有_______.
【答案】1200.
【解析】從8所高校中選出5所，除去、還需要選3所，選法是種，當、兩高校不相鄰時，不同的表演順序有，當、兩高校相鄰時，不同的表演順序有，因此可選擇的不同航模表演順序有種.
故答案為：1200.
【變式9-1】（2024·全國·高二課時練習）期中安排考試科目9門，語文，數學，英語三門課的前后順序已經確定，則期中考試不同的安排順序有______種．
【答案】60480
【解析】解法一：空位法．語文，數學，英語的前后順序已經確定，先排除了語文，數學，英語之外
的6科，總共有種排法，剩下三個位置給語文，數學，英語，因為它們的順序
確定，只有一種方法，故共有60480種排法．
解法二：插空法．語文，數學，英語的前后順序已經確定，先排語文，數學，英語，只有
一種排法，然后再讓剩下6科逐個插空，總共有種排法．
解法三：除法．9門課程任意排，總共有種排法．語文，數學，英語有種排法．因
為語文，數學，英語的前后順序已經確定，所以總共有種排法．
故答案為：60480
【變式9-2】（2024·全國·高二課時練習）將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為A，B，C或C，B，A（可以不相鄰），這樣的排列方法有______種.（用數字作答）
【答案】40
【解析】5個元素無約束條件的全排列有種排法，
由于字母A，B，C的排列順序為A，B，C或C，B，A，
因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法
有（種）.
故答案為：40
【變式9-3】（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個，現需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數是____________（用數字作答）.
【答案】
【解析】因為有六個集裝箱，需要全部裝運，共有種取法，
又因為每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，
由排列中的定序問題，可知不同的取法有種.
故答案為：90.
題型十：間接法
【典例10-1】（2024·河南駐馬店·高二統考期末）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節氣的方式開始倒計時創意新穎，驚艷了全球觀眾.我市某中學為了弘揚我國二十四節氣文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五張知識展板，分別放置在五個并排的文化櫥窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中間位置，則不同的放置方式的種數有（ ）
A．66 B．64 C．48 D．30
【答案】B
【解析】由題意，五張知識展板并排放在文化櫥窗里共有種排法，
小雪站在首位或大雪站在末位有種排法，
小雪站在首位且大雪站在末位有種排法，
則小雪不站首位，大雪不站在末位的站法共有種，
而小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間的情況分兩類，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間，小雪不站末位，有，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中間，小雪站末位，有，
故小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至不在正中間的站法共有：種.
故選：B.
【典例10-2】（2024·廣東茂名·高二統考期末）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數”指數學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（ ）
A．480種 B．336種 C．144種 D．96種
【答案】B
【解析】依題意，“數”不在第一次也不在第六次的不同次序數有：，
“數”不在第一次也不在第六次時，“禮”和“樂”相鄰的不同次序數有：，
所以所求“六藝”講座不同的次序數共有：.
故選：B
【變式10-1】（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四節課，計劃安排語文、數學、美術、體育各一節，要求體育不排在第一節，則該班周一上午不同的排課方案共有（ ）
A．24種 B．18種 C．12種 D．6種
【答案】B
【解析】語文、數學、美術、體育4門學科的全排列數為種，其中體育排在第一節的有種，
所以該班周一上午不同的排課方案共有（種）.
故選：B
【變式10-2】（2024·全國·西北工業大學附屬中學高二期末）某人根據自己愛好，希望從中選2個不同字母，從中選3個不同數字編擬車牌號，要求前3位是數字，后兩位是字母，且數字2不能排在首位，字母和數字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號有（ ）
A．198個 B．180個 C．216個 D．234個
【答案】A
【解析】當2在首位時，在任選兩個數在余下兩個數字位上全排有，從任選兩個字母在字母位上全排有；
當2與Z相鄰時，即2在數字位的最后，Z在字母位的最前面，再從任選兩個數在余下兩個數字位上全排有，從任選一個字母放在字母位的最后有；
所以當2在首位和2與Z相鄰的情況共有種，
而任選3個數字在數字位全排，任選2個字母在字母位全排共有種，
所以滿足要求的車牌號有種.
故選：A
【方法技巧與總結】
正難則反
一、單選題
1．（2024·河南·高二校聯考專題練習）四名護士和一名醫生站成一排照相，則醫生站在正中間的不同站法有（ ）
A．64種 B．12種 C．120種 D．24種
【答案】D
【解析】根據題意，分2步進行分析：
①、將四名護士全排列，有種排法；
②、醫生站在正中間，有1種情況.
則5人不同的站法有種.
故選：D.
2．（2024·遼寧大連·高二統考期末）用1，2，3，4，5，6寫出沒有重復數字的六位數中，滿足相鄰的數字奇偶性不同的數有（ ）個
A．18 B．36 C．72 D．86
【答案】C
【解析】由題意，可先對計數進行全排列，共有種排法；
再對構成的4個空隙中，連續前三個空隙或后相鄰的三個空隙，放入偶數，
共有種放法，
根據分步計數原理，可得共有種不同的排法.
故選：C.
3．（2024·北京石景山·高二統考期末）用可以組成無重復數字的兩位數的個數為（ ）
A．25 B．20 C．16 D．15
【答案】C
【解析】從中任選兩個數字，組成兩位數的個數有個，
其中數字0排首位的有4個，
所以滿足條件的兩位數有個.
故選：C
4．（2024·江西上饒·高二婺源縣天佑中學校考期末）“數獨九宮格”原創者是18世紀的瑞士數學家歐拉，它的游戲規則很簡單，將1到9這九個自然數填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數，且9個空格的數字各不相同，若中間空格已填數字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數字都是從大到小排列的，則不同的填法種數為（ ）
4
A．70 B．120 C．140 D．144
【答案】B
【解析】比小的有，共個，從中選出個排在的左邊和上方，方法數有種，
比大的有，共個，從中選出個排在的右邊和下方，方法數有種，
所以不同的填法種數為種.
故選：B
5．（2024·吉林·高二長春市第二實驗中學校聯考期末）4個人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（　 　）
A．8 B．10
C．12 D．24
【答案】C
【解析】甲不站兩邊的有種方法，
故選：C
6．（2024·福建·高二校聯考期末）可表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
故選：B.
7．（2024·江西·高二校聯考期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A．108種 B．96種 C．84種 D．72種
【答案】B
【解析】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間人占據首四位或中間四位或尾四位，
當乙丙及中間人占據首四位，此時還剩最后2位，甲不在兩端，
第一步先排末位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數原理可得有種；
當乙丙及中間人占據中間四位，此時兩端還剩2位，甲不在兩端，
第一步先排兩端有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數原理可得有種；
乙丙及中間人占據尾四位，此時還剩前2位，甲不在兩端，
第一步先排首位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數原理可得有種；
由分類加法計數原理可知，一共有種排法.
故選：B.
8．（2024·河南南陽·高二統考期末）南陽市博物院為國家二級博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標，是展示南陽悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽市博物院每周一閉館（節假日除外）.某學校計劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級的同學去南陽市博物院參觀研學，每天只能有一個年級參觀，其中高一年級需要連續兩天，高二、高三年級各需要一天，則不同的方案有（ ）
A．20種 B．50種 C．60種 D．100種
【答案】C
【解析】因為博物院每周一閉館，
所以高一年級可以從周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中選擇2日去參觀，共5種選擇，
再從剩下的四天里安排高二、高三年級，有種安排方法，
根據分步計數原理，知不同的方案有種，
故選：C.
二、多選題
9．（2024·遼寧大連·高二校聯考期末）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子．現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說法正確的是（ ）
A．共有種排列方式． B．若兩個“將”相鄰，則有種排列方式．
C．若兩個“將”不相鄰，則有種排列方式． D．若同色棋子不相鄰，則有種排列方式．
【答案】ACD
【解析】A選項，由排列知識可得共有種排列方式，A正確；
B選項，兩個“將”捆綁，有種情況，再和剩余的4個棋子進行全排列，
故共有種情況，B錯誤；
C選項，兩個“將”不相鄰，先將剩余3個棋子進行全排列，共有4個空，
再將兩個“將”插空，故共有種情況，C正確；
D選項，將2個黑色的棋子進行全排列，共有3個空，
再將3個紅色的棋子進行插空，則有種排列方式，D正確.
故選：ACD
10．（2024·河南·高二校聯考階段練習）下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】，故A正確；
由上述可知，因此，故B錯誤；
，故C正確；
由上述可知，故D錯誤.
故選:AC.
11．（2024·江蘇常州·高二常州高級中學校考期末）2023年國外某智庫發布《尖端技術研究國家競爭力排名》的報告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術、人工智能、無人機等二十多個領域.報告顯示，中國在其中19個領域處于領先.某學生是科技愛好者，打算從這19個領域中選取這5個領域給班級同學進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹，則下列結論中正確的是（ ）
A．都在后3天介紹的方法種數為36
B．相隔一天介紹的方法種數為36
C．A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數為72
D．A在，之前介紹的方法種數為40
【答案】ABD
【解析】A選項，在后3天中選擇2天，有種選擇，
再將和剩余的3天進行全排列，有種選擇，
故有種方法數，A正確；
B選項，先把進行全排列，再從選擇1個放在之間，有種方法，
再將這三個領域捆綁，和剩余的兩個領域進行全排列，共有種選擇，
綜上，共有種方法數，B正確；
C選項，若A在最后一天進行介紹，則將剩余4個領域進行全排列，有種方法，
若A不在最后一天進行介紹，從3天中選擇1天安排A，
再從除了最后一天的剩余3天中選擇1天安排，有種選擇，
最后將剩余的3個領域和3天進行全排列，有種選擇，
則此時有種選擇，
綜上，A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數為，C錯誤；
D選項，進行全排列，共有種方法，
將進行全排列，共有種方法，其中A在，之前的有2種，
故120種排列中，A在，之前的有種，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
12．（2024·福建寧德·高二統考期末）寧德北路戲是珍貴的國家非物質文化邀產．在某次文化表演中，主辦方安排了《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》、《宏珵緣》、《旗王哭將》五個北路戲傳統劇目，其中要求《宏碧緣》與《旗王哭將》不相鄰，則不同的節目安排種數為 （用數字作答）．
【答案】
【解析】先將《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》三個節目進行排序，
然后將《宏碧緣》與《旗王哭將》兩個節目插入《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》這三個
節目中形成的四個空位中的兩個空位，
由分步乘法計數原理可知，不同的排法種數為種.
故答案為：.
13．（2024·遼寧·高二期末）一種汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數字組成，且2個英文字母不能相同，不同牌照號碼的個數是 ．
【答案】
【解析】由題意，汽車拍照由2個英文字母，其中英文字母不能相同有種不同的排法，
又由4個數字組成可重復有種不同的排法，
根據分步計數原理得，共有種不同的汽車拍照號碼.
故答案為：.
14．（2024·江蘇南通·高二統考期末）第三屆“一帶一路”國際高峰論壇于年月在北京召開，某記者與參會的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有 種.
【答案】
【解析】只考慮代表甲與代表乙相鄰，只需將這兩人捆綁，與剩余人進行排序，
共有種不同的排法，
若記者站兩端中的某個位置，且代表甲與代表乙相鄰，則記者有種站法，
然后將代表甲與代表乙捆綁，與剩余人進行排序，此時不同的站法種數為種，
因此，若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·山東德州·高二校考階段練習）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？
(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？
(4)男、女相間的站法有多少種？
(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
【解析】（1）先排甲有種，其余有種，
共有種排法.
（2）先排甲、乙，再排其余人，
共有種排法.
（3）把男生和女生分別看成一個元素，
男生和女生內部還有一個全排列，共種.
（4）先排名男生有種方法，
再將名女生插在男生形成的個空上有種方法，
故共有種排法.
（5）人共有種排法，
其中甲、乙、丙三人有種排法，
因而在種排法中每種對應一種符合條件的排法，
故共有種排法．
16．（2024·河北石家莊·高二校考期中）現有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少種不同的排法，求：
(1)甲、乙不能相鄰；
(2)甲、乙相鄰且都不站在兩端．
【解析】（1）先將除甲、乙外三人全排列，有種；再將甲、乙插入4個空當中的2個，有種，
由分步乘法計數原理可得，完成這件事情的方法總數為種；
（2）將甲、乙兩人“ 綁”看成一個整體，排入兩端以外的兩個位置中的一個，有種；
再將其余3人全排列有種，
故共有種不同排法；
17．（2024·全國·高二課堂例題）證明： ．
【解析】證明 ：
．
為了使上述結論在時也成立，我們規定．
由此可知，排列數公式還可以寫成．
18．（2024·江西·高二校聯考階段練習）用數字、、、、、組成沒有重復數字的六位數．
(1)偶數不能相鄰，則不同的六位數有多少個？（結果用數字表示）
(2)若數字和之間恰有一個奇數，沒有偶數，則不同的六位數有多少個？（結果用數字表示）
【解析】（1）若六位數中，偶數不能相鄰，則先將三個奇數進行排序，
然后從三個奇數形成的個空位中選出個空位插入三個偶數，
所以，不同的六位數個數為.
（2）在數字和之間恰有一個奇數，有種，
將這個整體與其余三個數字進行排列，滿足條件的六位數的個數為.
19．（2024·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校校考期中）電影《長津湖》講述了在極寒嚴酷環境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長津湖戰役勝利做出重要貢獻的故事，現有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？
【解析】（1）根據題意，先將3個女生排在一起，有種排法，
將排好的女生視為一個整體，與4個男生進行排列，共有種排法，
由分步乘法計數原理，共有種排法；
（2）根據題意，先將4個男生排好，有種排法，
再在這4個男生之間及兩頭的5個空位中插入3個女生有種方法，
故符合條件的排法共有種；
（3）根據題意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有種排法，
由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，
最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中有種排法，故符合條件的排法共有種．7．2 排列
課程標準 學習目標
（1）能通過實例，用自己的語言解釋排列的定義；能用定義判斷是不是排列問題，發展數學抽象素養． （2）能從排列的定義出發推導排列數公式，并能用排列數公式解決有關計數問題． （3）能綜合應用排列的概念和公式解決簡單的實際問題． （1）理解并掌握排列的概念. （2）能應用排列知識解決簡單的實際問題． （3）能用排列數公式進行化簡與證明．
知識點01 排列的概念
1、排列的定義：
一般地，從n個不同的元素中取出m（）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
知識點詮釋：
（1）排列的定義中包括兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．
（2）從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列．
（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．
【即學即練1】（2024·高二課時練習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？
B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？
C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？
D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？
知識點02 排列數
1、排列數的定義
從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示．
知識點詮釋：
“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指“從個不同的元素中，任取個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；
2、排列數公式
，其中，且．
知識點詮釋：
公式特征：第一個因數是，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是，共有個因數．
【即學即練2】（2024·福建·高二校聯考期末）可表示為（　　）
A． B．
C． D．
知識點03 階乘表示式
1、階乘的概念：
把正整數1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即!．
規定：．
2、排列數公式的階乘式：
所以．
【即學即練3】（2024·高二課時練習）不等式的解集為 ．
知識點04 排列的常見類型與處理方法
1、相鄰元素捆綁法
2、相離問題插空法
3、元素分析法
4、位置分析法
【即學即練4】（2024·全國·高二隨堂練習）2023年夏天貴州榕江的村超聯賽火爆全國，吸引了國內眾多業余球隊參賽．現有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（ ）種．
A．144 B．72 C．36 D．24
題型一：排列的概念
【典例1-1】（2024·高二課時練習）從集合中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程？
上面四個問題屬于排列問題的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
【典例1-2】（2024·高二課時練習）下列問題是排列問題的是（ ）
A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？
C．集合的含有三個元素的子集有多少個？
D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節目，有多少種選法？
【變式1-1】（2024·高二課時練習）已知下列問題:
①從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學和物理學習小組;
②從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加一項活動;
③從a，b，c，d四個字母中取出2個字母;
④從1，2，3，4四個數字中取出2個數字組成一個兩位數.
其中是排列問題的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-2】（多選題）（2024·江西新余·高二校考階段練習）下列選項中，屬于排列問題的是（ ）
A．從六名學生中選三名學生參加數學、物理、化學競賽，共有多少種選法
B．有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案
C．從，，，中任選兩個數做指數運算，可以得到多少個冪
D．從，，，中任取兩個數作為點的坐標，可以得到多少個不同的點
【變式1-3】（2024·全國·高二專題練習）判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個小組去種菜；
(4)選10人組成一個學習小組；
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；
(6)某班40名學生在假期相互打電話．
【方法技巧與總結】
判斷一個具體問題是否為排列問題的思路
題型二：畫樹形圖寫排列
【典例2-1】（2024·高二課時練習）寫出從a、b、c、d四個元素中任取兩個不同元素的所有排列．
【典例2-2】（2024·江蘇·高二專題練習）寫出下列問題的所有排列：
(1)從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成兩位數，共有多少個不同的兩位數？
(2)由1，2，3，4四個數字能組成多少個沒有重復數字的四位數？試全部列出.
【變式2-1】（2024·高二課時練習）（1）從四個數字中任取兩個數字組成兩位不同的數，一共可以組成多少個？
（2）寫出從4個元素中任取3個元素的所有排列．
【變式2-2】（2024·全國·高二課堂例題）求從A，B，C這3個對象中取出3個對象的所有排列的個數，并寫出所有的排列.
【變式2-3】（2024·高二課時練習）從語文、數學、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來．
【方法技巧與總結】
樹形圖的畫法
（1）確定首位，以哪個元素在首位為分類標準進行確定首位．
（2）確定第二位，在每一個分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類．
（3）重復以上步驟，直到寫完一個排列為止．
題型三：簡單的排列問題
【典例3-1】（2024·高二課時練習）寫出從a、b、c、d、e這五個不同元素中任意取出兩個元素的所有排列．
【典例3-2】（2024·高二課時練習）將A、B、C、D四名同學按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．試寫出他們四人所有不同的排法．
【變式3-1】（2024·高二課時練習）（1）從1，2，3，4這4個數字中，每次取出3不同的數字排成一個三位數，寫出得到的所有三位數，并求出排列數；
（2）試寫出由1，2，3，4四個數字組成的沒有重復數字的四位數，并求出排列數.
【變式3-2】（2024·高二課時練習）從、、、這個數字中選出個不同的數字組成個三位數，試寫出所有滿足條件的三位數．
【變式3-3】（2024·高二課時練習）請列出下列排列：
(1)從4個不同元素中任取3個元素的所有排列；
(2)從7個不同元素中任取2個元素的所有排列．
【變式3-4】（2024·高二課時練習）用紅、黃、藍3面小旗（3面小旗都要用）豎掛在繩上表示信號，不同的順序表示不同的信號，試寫出所有的信號．
【變式3-5】（2024·全國·高二專題練習）解不等式：；
【方法技巧與總結】
對于簡單的排列問題，其解題思路可借助分步乘法計數原理進行，即采用元素分析法或位置分析法求解．
題型四：排列數公式的應用
【典例4-1】（2024·高二課時練習） ．
【典例4-2】（2024·甘肅蘭州·統考一模），則等于 ．
【變式4-1】（2024·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知，則 .
【變式4-2】（2024·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期中）已知，則 ．
【變式4-3】（2024·高二課時練習）（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么 ；
（3）已知，那么 ．
【變式4-4】（2024·高二課前預習），則 .
【方法技巧與總結】
排列數公式的選擇
（1）排列數公式的乘積形式適用于計算排列數．
（2）排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．
題型五：階乘的概念及性質
【典例5-1】（2024·江蘇·高二專題練習）求不等式的解集．
【典例5-2】（2024·江蘇·高二專題練習）解不等式：
【變式5-1】（2024·高二課時練習）解關于正整數n的方程：．
【變式5-2】（2024·江蘇·高二專題練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)若，求x.
【變式5-3】（2024·高二課時練習）解下列方程或不等式．
(1)
(2)
【方法技巧與總結】
排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．
題型六：與排列數公式有關的證明問題
【典例6-1】（2024·全國·高二課堂例題）求證：．
【典例6-2】（2024·江蘇·高二專題練習）求證：
【變式6-1】（2024·高二課時練習）證明，并利用這一結果化簡：
(1)；
(2)．
【變式6-2】（2024·高二課時練習）求證：．
【變式6-3】（2024·高二課時練習）證明，并用它來化簡．
【變式6-4】（2024·高二課時練習）求證：
(1)；
(2)．
【方法技巧與總結】
對含有字母的排列數的式子進行變形式有關的論證時，一般用階乘式．
題型七：相鄰問題
【典例7-1】（2024·全國·高二假期作業）第19屆亞運會于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行，本屆亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”，分別代表世界遺產良渚古城遺址、西湖和京杭大運河．某同學買了6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，現將這6個吉祥物排成一排，且名稱相同的兩個吉祥物相鄰，則排法種數共為（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【典例7-2】（2024·河南駐馬店·高二校聯考期末），，，，五人站成一排，如果，必須相鄰，那么排法種數共有（ ）
A．24 B．120 C．48 D．60
【變式7-1】（2024·全國·高二隨堂練習）停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有（　　）
A．種 B．種
C．種 D．種
【變式7-2】（2024·遼寧·高二校聯考階段練習）市內某公共汽車站有6個候車位（成一排），現有3名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續空座位的候車方式的種數是（ ）
A．48 B．54 C．72 D．84
【變式7-3】（2024·全國·高二專題練習）2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分戰勝韓國隊，實現蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（ ）
A．18種 B．24種 C．30種 D．36種
【方法技巧與總結】
相鄰問題捆綁法
題型八：不相鄰問題
【典例8-1】（2024·福建漳州·高二統考期末）某班聯歡會原定3個節目已排成節目單，開演前又增加了2個節目，現將這2個新節目插人節目單中，要求新節目不相鄰，那么不同的插法種數為（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
【典例8-2】（2024·遼寧撫順·高二校聯考期末）某5位同學排成一排準備照相時，又來了甲 乙 丙3位同學要加入，若保持原來5位同學的相對順序不變，且甲 乙2位同學互不相鄰，丙同學不站在兩端，則不同的加入方法共有（ ）
A．360種 B．144種 C．180種 D．192種
【變式8-1】（2024·全國·高二假期作業）亞運會火炬傳遞，假設某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（ ）
A．288種 B．360種 C．480種 D．504種
【變式8-2】（2024·全國·高二假期作業）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．96種
【變式8-3】（2024·全國·高二假期作業）寒冬己至，大雪紛飛，峨眉山頂銀裝素裹.成實外教育集團的5位學生相約一起爬山觀景.其中位女生，位男生，在到達零公里時，為了安全起見，他們排隊前進，為了照顧大家安全，位男生不能相鄰，且女生甲怕猴子，不能排在最后一個，則不同的排法種數共有（ ）
A． B． C． D．
【變式8-4】（2024·山東德州·高二校考期末）6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任意兩人不相鄰的坐法種數為（ ）
A．14 B．120 C．72 D．24
【方法技巧與總結】
不相鄰問題插空法
題型九：定序問題
【典例9-1】（2024·上海市金山中學高二期末）某次演出有6個節目，若甲、乙、丙3個節目的先后順序已確定，則不同的排法有____種．
【典例9-2】（2024·天津市濱海新區塘沽第一中學高二期末）在8所高水平的高校代表隊中，選擇5所高校進行航模表演.如果、為必選的高校，并且在航模表演過程中必須按先后的次序（、兩高校的次序可以不相鄰），則可選擇的不同航模表演順序有_______.
【變式9-1】（2024·全國·高二課時練習）期中安排考試科目9門，語文，數學，英語三門課的前后順序已經確定，則期中考試不同的安排順序有______種．
【變式9-2】（2024·全國·高二課時練習）將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為A，B，C或C，B，A（可以不相鄰），這樣的排列方法有______種.（用數字作答）
【變式9-3】（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個，現需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數是____________（用數字作答）.
題型十：間接法
【典例10-1】（2024·河南駐馬店·高二統考期末）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節氣的方式開始倒計時創意新穎，驚艷了全球觀眾.我市某中學為了弘揚我國二十四節氣文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五張知識展板，分別放置在五個并排的文化櫥窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中間位置，則不同的放置方式的種數有（ ）
A．66 B．64 C．48 D．30
【典例10-2】（2024·廣東茂名·高二統考期末）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數”指數學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（ ）
A．480種 B．336種 C．144種 D．96種
【變式10-1】（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四節課，計劃安排語文、數學、美術、體育各一節，要求體育不排在第一節，則該班周一上午不同的排課方案共有（ ）
A．24種 B．18種 C．12種 D．6種
【變式10-2】（2024·全國·西北工業大學附屬中學高二期末）某人根據自己愛好，希望從中選2個不同字母，從中選3個不同數字編擬車牌號，要求前3位是數字，后兩位是字母，且數字2不能排在首位，字母和數字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號有（ ）
A．198個 B．180個 C．216個 D．234個
【方法技巧與總結】
正難則反
一、單選題
1．（2024·河南·高二校聯考專題練習）四名護士和一名醫生站成一排照相，則醫生站在正中間的不同站法有（ ）
A．64種 B．12種 C．120種 D．24種
2．（2024·遼寧大連·高二統考期末）用1，2，3，4，5，6寫出沒有重復數字的六位數中，滿足相鄰的數字奇偶性不同的數有（ ）個
A．18 B．36 C．72 D．86
3．（2024·北京石景山·高二統考期末）用可以組成無重復數字的兩位數的個數為（ ）
A．25 B．20 C．16 D．15
4．（2024·江西上饒·高二婺源縣天佑中學校考期末）“數獨九宮格”原創者是18世紀的瑞士數學家歐拉，它的游戲規則很簡單，將1到9這九個自然數填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數，且9個空格的數字各不相同，若中間空格已填數字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數字都是從大到小排列的，則不同的填法種數為（ ）
4
A．70 B．120 C．140 D．144
5．（2024·吉林·高二長春市第二實驗中學校聯考期末）4個人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（　 　）
A．8 B．10
C．12 D．24
6．（2024·福建·高二校聯考期末）可表示為（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·江西·高二校聯考期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A．108種 B．96種 C．84種 D．72種
8．（2024·河南南陽·高二統考期末）南陽市博物院為國家二級博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標，是展示南陽悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽市博物院每周一閉館（節假日除外）.某學校計劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級的同學去南陽市博物院參觀研學，每天只能有一個年級參觀，其中高一年級需要連續兩天，高二、高三年級各需要一天，則不同的方案有（ ）
A．20種 B．50種 C．60種 D．100種
二、多選題
9．（2024·遼寧大連·高二校聯考期末）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子．現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說法正確的是（ ）
A．共有種排列方式． B．若兩個“將”相鄰，則有種排列方式．
C．若兩個“將”不相鄰，則有種排列方式． D．若同色棋子不相鄰，則有種排列方式．
10．（2024·河南·高二校聯考階段練習）下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江蘇常州·高二常州高級中學校考期末）2023年國外某智庫發布《尖端技術研究國家競爭力排名》的報告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術、人工智能、無人機等二十多個領域.報告顯示，中國在其中19個領域處于領先.某學生是科技愛好者，打算從這19個領域中選取這5個領域給班級同學進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹，則下列結論中正確的是（ ）
A．都在后3天介紹的方法種數為36
B．相隔一天介紹的方法種數為36
C．A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數為72
D．A在，之前介紹的方法種數為40
三、填空題
12．（2024·福建寧德·高二統考期末）寧德北路戲是珍貴的國家非物質文化邀產．在某次文化表演中，主辦方安排了《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》、《宏珵緣》、《旗王哭將》五個北路戲傳統劇目，其中要求《宏碧緣》與《旗王哭將》不相鄰，則不同的節目安排種數為 （用數字作答）．
13．（2024·遼寧·高二期末）一種汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數字組成，且2個英文字母不能相同，不同牌照號碼的個數是 ．
14．（2024·江蘇南通·高二統考期末）第三屆“一帶一路”國際高峰論壇于年月在北京召開，某記者與參會的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有 種.
四、解答題
15．（2024·山東德州·高二校考階段練習）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？
(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？
(4)男、女相間的站法有多少種？
(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
16．（2024·河北石家莊·高二校考期中）現有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少種不同的排法，求：
(1)甲、乙不能相鄰；
(2)甲、乙相鄰且都不站在兩端．
17．（2024·全國·高二課堂例題）證明： ．
18．（2024·江西·高二校聯考階段練習）用數字、、、、、組成沒有重復數字的六位數．
(1)偶數不能相鄰，則不同的六位數有多少個？（結果用數字表示）
(2)若數字和之間恰有一個奇數，沒有偶數，則不同的六位數有多少個？（結果用數字表示）
19．（2024·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校校考期中）電影《長津湖》講述了在極寒嚴酷環境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長津湖戰役勝利做出重要貢獻的故事，現有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？

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